押題06 第18題 數(shù)列（九大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點押題模擬預(yù)測卷（新高考專用）含解析

押題06第18題數(shù)列（九大題型）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)考點押題模擬預(yù)測卷（新高考專用）押題06第18題數(shù)列（九大題型）1．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及前項和．2．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明3．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，押題06數(shù)列高考模擬題型分布表題型序號題型內(nèi)容題號題型1存在性問題1-3題型2證明不等式4-7題型3數(shù)列與函數(shù)8-9題型4求參數(shù)范圍10-12題型5數(shù)列與集合13-14題型6數(shù)列與統(tǒng)計概率15-16題型7數(shù)列與導(dǎo)數(shù)17題型8數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計概率綜合18題型9新定義數(shù)列19題型1：存在性問題1．（2024·江蘇南通·二模）已知數(shù)列的前n項和為，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和；(3)是否存在正整數(shù)p，q（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，求p，q；若不存在，說明理由.2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列與為等差數(shù)列，，，前項和為．(1)求出與的通項公式；(2)是否存在每一項都是整數(shù)的等差數(shù)列，使得對于任意，都能滿足．若存在，求出所有上述的；若不存在，請說明理由．3．（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．(1)已知，①若，求；②若關(guān)于m的不等式的解集為M，集合M中的最小元素為8，求的取值范圍；(2)若，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，請說明理由．題型2：證明不等式4．（2024·福建廈門·二模）若，都存在唯一的實數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.(1)證明：存在源數(shù)列；(2)（?。┤艉愠闪ⅲ蟮娜≈捣秶唬áⅲ┯浀脑磾?shù)列為，證明：前項和.5．（2024·廣東佛山·二模）已知數(shù)列滿足，，且．(1)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，．6．（23-24高二上·上?！て谀┒x：對于任意大于零的自然數(shù)n，滿足條件且（M是與n無關(guān)的常數(shù)）的無窮數(shù)列稱為M數(shù)列．(1)若等差數(shù)列的前n項和為，且，，判斷數(shù)列是否是M數(shù)列，并說明理由；(2)若各項為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，且，證明：數(shù)列是M數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列是各項均為正整數(shù)的M數(shù)列，求證：．7．（2023·天津和平·三模）已知等比數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)記，求證：.題型3：數(shù)列與函數(shù)8．（2024·吉林·二模）已知數(shù)列,(1)求.(2)求的通項公式；(3)設(shè)的前項和為,若,求.9．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項和，集合共有4個元素，求范圍；(3)，求數(shù)列的前項和．題型4：求參數(shù)范圍10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，且，為其前項的和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求滿足不等式的最小正整數(shù)的值；(3)設(shè)，，其中，若對任意，，總有成立，求的取值范圍．11．（20-21高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，其中.(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和.(3)在（1）的條件下，若，是否存在實數(shù)，使得對任意的，都有，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.12．（22-23高三上·天津東麗·期末）若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項公式；(2)對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．(3)記的前項和為，且滿足對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．題型5：數(shù)列與集合13．（2024·黑龍江·二模）已知集合是公比為2的等比數(shù)列且構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)是等差數(shù)列，將集合的元素按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為.①若，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最大值；②若，數(shù)列的前5項構(gòu)成等比數(shù)列，且，試寫出所有滿足條件的數(shù)列.14．（2024·河南信陽·一模）定義：已知數(shù)列滿足．(1)若，，求，的值；(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整數(shù)p，使得，若存在，求出p的可能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列為正項數(shù)列，證明：不存在實數(shù)A，使得．題型6：數(shù)列與統(tǒng)計概率15．（2023·全國·三模）國學(xué)小組有編號為1，2，3，…，的位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個選擇題，每人答對第一題的概率為、答對第二題的概率為，每個同學(xué)的答題過程都是相互獨立的，比賽規(guī)則如下：①按編號由小到大的順序依次進行，第1號同學(xué)開始第1輪出賽，先答第一題；②若第號同學(xué)未答對第一題，則第輪比賽失敗，由第號同學(xué)繼繼續(xù)比賽；③若第號同學(xué)答對第一題，則再答第二題，若該生答對第二題，則比賽在第輪結(jié)束；若該生未答對第二題，則第輪比賽失敗，由第號同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進行到了第輪，則不管第號同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束．(1)令隨機變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束，當(dāng)時，求隨機變量的分布列；(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第號同學(xué)未答對第二題，則第輪比賽失敗，第號同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束．①求隨機變量的分布列；②證明：單調(diào)遞增，且小于3．16．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時間（即發(fā)動一次攻擊后需經(jīng)過一段時間才能再次發(fā)動攻擊）.其擁有兩個技能，技能一是每次發(fā)動攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過冷卻時間持續(xù)發(fā)動攻擊；技能二是每次發(fā)動攻擊時有的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉淼?倍，但是多次觸發(fā)時效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時僅得到第一次觸發(fā)帶來的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動時先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨立：(1)當(dāng)“突擊者”發(fā)動一輪攻擊時，記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率(2)設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.題型7：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)17．（2024·山東濟寧·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：對任意，存在唯一的實數(shù)，使得成立；(3)設(shè)，，數(shù)列的前項和為．證明：．題型8：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計概率綜合18．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一種不斷分裂的細胞，每個時間周期內(nèi)分裂一次，一個細胞每次分裂能生成一個或兩個新的細胞，每次分裂后原細胞消失，設(shè)每次分裂成一個新細胞的概率為，分裂成兩個新細胞的概率為；新細胞在下一個周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個細胞間相互獨立.設(shè)有一個初始的細胞，在第一個周期中開始分裂，其中.(1)設(shè)結(jié)束后，細胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)結(jié)束后，細胞數(shù)量為的概率為.（i）求；（ii）證明：.題型9：新定義數(shù)列19．（2024·山東泰安·一模）已知各項均不為0的遞增數(shù)列的前項和為，且（，且）．(1)求數(shù)列的前項和；(2)定義首項為2且公比大于1的等比數(shù)列為“-數(shù)列”．證明：①對任意且，存在“-數(shù)列”，使得成立；②當(dāng)且時，不存在“-數(shù)列”，使得對任意正整數(shù)成立．押題06第18題數(shù)列（九大題型）一、解答題1．（2023·天津·高考真題）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)設(shè)是等比數(shù)列，且對任意的，當(dāng)時，則，（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及前項和．【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)，前項和為.【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式計算可得.(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時，，取，當(dāng)時，，取，即可證得題中的不等式；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前項和公式即可計算其前項和.【解析】（1）由題意可得，解得，則數(shù)列的通項公式為，求和得.（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時，，取，則，即，當(dāng)時，，取，此時，據(jù)此可得，綜上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，則數(shù)列的公比滿足，當(dāng)時，，所以，所以，即，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列的通項公式為，其前項和為：.【點睛】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項公式和前項和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，它對學(xué)生探索新知識很有裨益.2．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；（II）（i）運算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.【解析】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.3．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）根據(jù)定義得，再根據(jù)和項與通項關(guān)系化簡得，最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果；（2）根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，即得；（3）根據(jù)定義得，利用立方差公式化簡得兩個方程，再根據(jù)方程解的個數(shù)確定參數(shù)滿足的條件，解得結(jié)果【解析】（1）（2），（3）假設(shè)存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對于給定的，存在三個不同的數(shù)列為數(shù)列，且或有兩個不等的正根.可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則有兩個不等正根，設(shè).①

當(dāng)時，，即，此時，，滿足題意.②

當(dāng)時，，即，此時，，此情況有兩個不等負根，不滿足題意舍去.綜上，【點睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步，考查綜合分析求解能力，屬難題.押題06數(shù)列高考模擬題型分布表題型序號題型內(nèi)容題號題型1存在性問題1-3題型2證明不等式4-7題型3數(shù)列與函數(shù)8-9題型4求參數(shù)范圍10-12題型5數(shù)列與集合13-14題型6數(shù)列與統(tǒng)計概率15-16題型7數(shù)列與導(dǎo)數(shù)17題型8數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計概率綜合18題型9新定義數(shù)列19題型1：存在性問題1．（2024·江蘇南通·二模）已知數(shù)列的前n項和為，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和；(3)是否存在正整數(shù)p，q（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，求p，q；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合及等比數(shù)列定義推理即得.（2）由（1）求出，再利用裂項相消法求和即可.（3）由（1）求出，由已知建立等式，驗證計算出，再分析求解即可.【解析】（1），，當(dāng)時，，兩式相減得，即，則有，當(dāng)時，，則，即，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，則，數(shù)列是等差數(shù)列，于是，解得，則，所以的前項和.（3）由（1）知，，由成等差數(shù)列，得，整理得，由，得，又，，不等式成立，因此，即，令，則,從而，顯然，即，所以存在，使得成等差數(shù)列.【點睛】易錯點睛：裂項法求和，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列與為等差數(shù)列，，，前項和為．(1)求出與的通項公式；(2)是否存在每一項都是整數(shù)的等差數(shù)列，使得對于任意，都能滿足．若存在，求出所有上述的；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，.(2)存在數(shù)列，為，，，.【分析】（1）由等差數(shù)列通項公式及通項公式，可求出與的通項公式.（2）根據(jù)第一小問求得的與的通項公式，結(jié)合題意，可得出的限制條件，由條件寫出符合題意的通項公式.【解析】（1）∵等差數(shù)列前項和公式為，前項和為，∴，，解得：，公差，則，又∵，，∴的公差為，則.綜上所述：，.（2）由題意可知，需滿足，當(dāng)時，，即，，，當(dāng)時，，，若，，則，，，，解得：，符合題意；若，，則，，，，解得：，符合題意；若，，則，，，，解得：，符合題意；若，，則，，，，解得：，符合題意；綜上所述：存在數(shù)列，為，，，.3．（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．(1)已知，①若，求；②若關(guān)于m的不等式的解集為M，集合M中的最小元素為8，求的取值范圍；(2)若，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)①或2或3或4；②(2)存在；【分析】（1）①當(dāng)時代入遞推公式，解出，再解出即可；②由遞推關(guān)系分解因式得到，得到的關(guān)系，再結(jié)合已知最小元素列不等式求解即可；（2）由上問寫出的表達式，再由，得到關(guān)于，解出符合條件的k即可.【解析】（1）①，∴或2，而．若，∴或2．若，∴或4，經(jīng)檢驗均符合．∴或2或3或4．②由條件知，∴，∴，或，或或或或，，，…，，…或，…，，或，…或∴．（2）或，，…，，，令，，，∴，當(dāng)時，不是自然數(shù)，所以當(dāng)時，，，∴存在這樣的k，．【點睛】方法點睛：已知數(shù)列遞推求數(shù)列中的具體項時，直接代入求解即可；由遞推公式求數(shù)列的符合某一條件的項時，常將遞推公式分解因式，得出數(shù)列的性質(zhì)，然后再根據(jù)已知條件求解.題型2：證明不等式4．（2024·福建廈門·二模）若，都存在唯一的實數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.(1)證明：存在源數(shù)列；(2)（?。┤艉愠闪?，求的取值范圍；（ⅱ）記的源數(shù)列為，證明：前項和.【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，根據(jù)數(shù)列的新定義，即可證明結(jié)論；（2）（i）由恒成立，可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，即可求得答案；（ii）由（i）可得，從而由，推得，可得到，繼而可利用放縮法以及裂項求和法，證明不等式.【解析】（1）由，得，即在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)且x無限趨近于0時，趨向于正無窮大，即的值域為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，對于可以取到任意正整數(shù)，且在上都有存在唯一自變量與之對應(yīng)，故對于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨設(shè)解為，即，則都存在唯一的實數(shù)，使得，即存在源數(shù)列；（2）（i）恒成立，即恒成立，令，即恒成立，令，則，令，則，僅在時取等號，即在上單調(diào)遞減，故，即在上單調(diào)遞增，、故，故；（ii）由（i）得，故，即，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即前項和.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了數(shù)列的新定義以及數(shù)列不等式恒成立以及證明不等式問題，綜合性較強，解答的關(guān)鍵在于證明不等式時，得到后，即可推出，此時要用放縮法得到，從而再用裂項法求和，證明不等式.5．（2024·廣東佛山·二模）已知數(shù)列滿足，，且．(1)證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，．【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列.（2）先把數(shù)列進行適當(dāng)?shù)姆趴s，再用分組求和的方法求滿足的關(guān)系，并證明.【解析】（1）因為，，所以，，.所以，所以，因為．所以是等比數(shù)列，首項，公比，所以．（2）由（1）可得，先證明左邊：即證明，當(dāng)時，，所以，所以，再證明右邊：，因為，所以，即，下面證明，即證，即證設(shè)，，則，設(shè)，，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，，所以，所以．綜上，．【點睛】方法點睛：數(shù)列不等式的證明方法主要有：（1）作差比較法：不等式兩邊作差與0比較大小.（2）放縮比較法：對表達式適當(dāng)放縮，證出不等式.6．（23-24高二上·上?！て谀┒x：對于任意大于零的自然數(shù)n，滿足條件且（M是與n無關(guān)的常數(shù)）的無窮數(shù)列稱為M數(shù)列．(1)若等差數(shù)列的前n項和為，且，，判斷數(shù)列是否是M數(shù)列，并說明理由；(2)若各項為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，且，證明：數(shù)列是M數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列是各項均為正整數(shù)的M數(shù)列，求證：．【答案】(1)不是M數(shù)列，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）確定數(shù)列無上限即可得；（2）由等比數(shù)列的基本量法求出Sn，根據(jù)數(shù)列新定義證明即可；（3）用反證法，假設(shè)存在正整數(shù)k，使得，由數(shù)列是各項均為正整數(shù)，得，即，然后利用新定義歸納，這樣由可得數(shù)列從某一項開始為負，與已知矛盾，從而證得結(jié)論．【解析】（1）由題意知，故，則，故，但等差數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，當(dāng)時，，所以不是M數(shù)列；（2）由，則，即，有，則，即，則，則，又，即對任意大于零的自然數(shù)n，滿足條件，且，即數(shù)列是M數(shù)列；（3）假設(shè)存在正整數(shù)k使得成立，由數(shù)列的各項均為正整數(shù)，可得，即，因為，所以，由及得，故，因為，所以，由此類推可得，因為又存在M，使，∴當(dāng)時，，這與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾，所以假設(shè)不成立，即任意大于零的自然數(shù)n，都有成立.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了數(shù)列的新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大值，研究數(shù)列的不等關(guān)系，最后一問關(guān)鍵在于用反證法解題．7．（2023·天津和平·三模）已知等比數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)記，求證：.【答案】(1)(2)(3)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求出代入化簡即可解決；（3）求出，進行適當(dāng)放縮后用裂項相消求和解決.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，有，則

①當(dāng)時，，兩式相減可得：，整理得，可知，代入①可得，所以等比數(shù)列的通項公式為（）.（2）由已知在與之間插入個數(shù)，組成以為首項的等差數(shù)列，所以，則，設(shè)，則是遞增數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，即，所以；當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，即，所以；綜上所述，的取值范圍是.（3）證明：由（1）得，則有.,原不等式得證.題型3：數(shù)列與函數(shù)8．（2024·吉林·二模）已知數(shù)列,(1)求.(2)求的通項公式；(3)設(shè)的前項和為,若,求.【答案】(1)(2)(3)4048【分析】(1)將分別代入關(guān)系式運算即可.(2)考查等比數(shù)列的構(gòu)造,通過構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求解即可.(3)考查數(shù)列的周期性，通過對的周期性取值討論求解即可.【解析】（1）當(dāng)時,得；當(dāng)時,得（2）設(shè)整理得又解得又是以為首項,為公比的等比數(shù)列,故的通項公式為（3）設(shè)設(shè)則當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,若,則9．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)表示不超過x的最大整數(shù)，表示數(shù)列的前項和，集合共有4個元素，求范圍；(3)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）設(shè)出數(shù)列公比，數(shù)列公差，結(jié)合題意計算即可得；（2）由，即可得，令，由的值，可得數(shù)列的單調(diào)性，計算出前五項，即可得的取值范圍；（3）分奇偶討論后，分別借助錯位相減法與裂項相消法求和計算即可得.【解析】（1）設(shè)數(shù)列首項，設(shè)公比，設(shè)數(shù)列首項，設(shè)公差，∵，即，∴，（舍去），，∴．；（2），其中，∴，集合，設(shè)，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，．計算可得，，，，，因為集合有4個元素，；（3），，設(shè)，，則，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時，，設(shè)，所以.題型4：求參數(shù)范圍10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，且，為其前項的和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求滿足不等式的最小正整數(shù)的值；(3)設(shè)，，其中，若對任意，，總有成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)14(3)【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列的形式即可求解；（2）數(shù)列分組求和后代入已知條件即可求解；（3）恒成立轉(zhuǎn)化為最值即可求解【解析】（1）因為，所以，所以而，所以是以3為首項，為公比的等比數(shù)列；所以，則.（2），所以，由得，則，所以的最小值為14.（3）恒成立，所以，因為，而，所以，所以，由得，所以，則有，所以，解得，因為，所以解得.【點睛】注意構(gòu)造新數(shù)列，分組求和，并將恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題.11．（20-21高一下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，其中.(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和.(3)在（1）的條件下，若，是否存在實數(shù)，使得對任意的，都有，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在；【分析】（1）結(jié)合遞推關(guān)系，證明為常數(shù)即可；（2）由錯位相減法求和；（3）命題等價成恒成立，轉(zhuǎn)為說明恒成立，對n分奇偶討論，分別求恒成立問題即可.【解析】（1）證明：，，∴數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列；（2），設(shè)，則①，②，①-②得，∴；（3）存在，理由如下：cn=6n+若對任意的n∈N*，都有cn+1>cn∈N*，當(dāng)n為偶數(shù)時，?2當(dāng)n為奇數(shù)時，?23n綜上，存在λ∈?94,312．（22-23高三上·天津東麗·期末）若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項公式；(2)對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．(3)記的前項和為，且滿足對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1),(2)(3)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.，，，分別利用“”法和“”法求解.（2）由（1）知當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，然后分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，然后相加即可.(3)把恒成立轉(zhuǎn)化為求最大值問題,作差比較大小,應(yīng)用單調(diào)求解即可.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.因為，，所以，解得d=1.所以的通項公式為.由，又，得，解得，所以的通項公式為.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，①由①得②由①②得，，，所以.所以.所以數(shù)列的前2n項和為.（3）因為,且,而,故即,可得,對于恒成立令,當(dāng)時,,即,所以,當(dāng)時,,即所以,所以題型5：數(shù)列與集合13．（2024·黑龍江·二模）已知集合是公比為2的等比數(shù)列且構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)是等差數(shù)列，將集合的元素按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為.①若，數(shù)列的前項和為，求使成立的的最大值；②若，數(shù)列的前5項構(gòu)成等比數(shù)列，且，試寫出所有滿足條件的數(shù)列.【答案】(1)(2)①32；②【分析】（1）利用基本量法得到公比q的方程，得到q,進而求出通項公式；（2）①確定兩數(shù)列的公共元素，并結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求解；②對元素2進行分類討論，確定.【解析】（1）是公比為2的等比數(shù)列且構(gòu)成等比數(shù)列.則，即，解得，故數(shù)列的通項公式.（2）①,設(shè)其前n項和，,設(shè)其前n項和，集合中的所有元素的最小值為，且三個元素是中前205項中的元素，且是中的元素，又．又，故，且,故使成立的的最大值是32.②因為，中的元素按從小到大的順序記為，對集合中的元素2進行分類討論：當(dāng)時，由的前5項成等比數(shù)列，得，顯然不成立；當(dāng)時，由的前5項成等比數(shù)列，得，；因此數(shù)列的前5項分別為1，，2，，4；這樣，則數(shù)列的前9項分別為1，，2，，4，，，，8；上述數(shù)列符合要求；當(dāng)時，有，即數(shù)列的公差，，1，2，；，2，4在數(shù)列的前8項中，由于，這樣，，，，以及1，2，4共9項，它們均小于8，即數(shù)列的前9項均小于8，這與矛盾，所以也不成立；綜上所述，；【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的公共項問題，關(guān)鍵是利用數(shù)列特點確定公共項，并估算和為2024的大概位置.14．（2024·河南信陽·一模）定義：已知數(shù)列滿足．(1)若，，求，的值；(2)若，，使得恒成立．探究：是否存在正整數(shù)p，使得，若存在，求出p的可能取值構(gòu)成的集合；若不存在，請說明理由；(3)若數(shù)列為正項數(shù)列，證明：不存在實數(shù)A，使得．【答案】(1)，或(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由定義代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，分與討論，當(dāng)時，再分S為有限集與S為無限集討論，即可證明.【解析】（1）依題意，，顯然；故；，即或，則或．（2），對恒成立，.，，①時,當(dāng),且時,.的集合為且②時,，，，當(dāng),且時,.的集合為且③且時,的集合為（3），；設(shè)，①若，則，，對任意，?。╗x]表示不超過x的最大整數(shù)），當(dāng)時，；②若，?。┤鬝為有限集，設(shè)，，對任意，?。╗x]表示不超過x的最大整數(shù)），當(dāng)時，；ⅱ）若S為無限集，設(shè)，，若，則，又，矛盾；故；記；當(dāng)時，，，；因為，所以；當(dāng)時，，，因為，故；因為，故，故對任意，取，當(dāng)時，；綜上所述，不存在實數(shù)A，使得．綜上所述，不存在實數(shù)A，使得對任意的正整數(shù)n，都有．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了新定于與數(shù)列綜合問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于理解新定義的概念，以及結(jié)合數(shù)列的知識解答.題型6：數(shù)列與統(tǒng)計概率15．（2023·全國·三模）國學(xué)小組有編號為1，2，3，…，的位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個選擇題，每人答對第一題的概率為、答對第二題的概率為，每個同學(xué)的答題過程都是相互獨立的，比賽規(guī)則如下：①按編號由小到大的順序依次進行，第1號同學(xué)開始第1輪出賽，先答第一題；②若第號同學(xué)未答對第一題，則第輪比賽失敗，由第號同學(xué)繼繼續(xù)比賽；③若第號同學(xué)答對第一題，則再答第二題，若該生答對第二題，則比賽在第輪結(jié)束；若該生未答對第二題，則第輪比賽失敗，由第號同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進行到了第輪，則不管第號同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束．(1)令隨機變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束，當(dāng)時，求隨機變量的分布列；(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第號同學(xué)未答對第二題，則第輪比賽失敗，第號同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束．①求隨機變量的分布列；②證明：單調(diào)遞增，且小于3．【答案】(1)分布列見解析(2)①分布列見解析；②證明見解析【分析】（1）由題設(shè)有，可取值為1，2，3，應(yīng)用獨立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值對應(yīng)的概率，即可得分布列；（2）①應(yīng)用二項分布概率公式求取值1，2，…，對應(yīng)概率，即可得分布列；②由①分布列得（，），定義法判斷單調(diào)性，累加法、等比數(shù)列前n項和公式求通項公式，即可證結(jié)論.【解析】（1）由題設(shè)，可取值為1，2，3，，，，因此的分布列為123（2）①可取值為1，2，…，，每位同學(xué)兩題都答對的概率為，則答題失敗的概率均為：，所以時，；當(dāng)時，故的分布列為：123……②由①知：（，）．，故單調(diào)遞增；由上得，故，∴，故．16．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）某游戲中的角色“突擊者”的攻擊有一段冷卻時間（即發(fā)動一次攻擊后需經(jīng)過一段時間才能再次發(fā)動攻擊）.其擁有兩個技能，技能一是每次發(fā)動攻擊后有的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動，該技能可以連續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過冷卻時間持續(xù)發(fā)動攻擊；技能二是每次發(fā)動攻擊時有的概率使得本次攻擊以及接下來的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉淼?倍，但是多次觸發(fā)時效果不可疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時僅得到第一次觸發(fā)帶來的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動時先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶來的連續(xù)攻擊稱為一輪攻擊，造成的總傷害稱為一輪攻擊的傷害.假設(shè)“突擊者”單次攻擊的傷害為1，技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨立：(1)當(dāng)“突擊者”發(fā)動一輪攻擊時，記事件A為“技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2”，事件B為“技能一和技能二各觸發(fā)1次”，求條件概率(2)設(shè)n是正整數(shù)，“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為的概率記為，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）分析試驗過程，分別求出和，利用條件概率的公式直接計算；（2）分析“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.進行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一；ii.第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一；iii.前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.分別求概率.即可求出.【解析】（1）兩次攻擊，分成下列情況：i.第一次攻擊，技能一和技能二均觸發(fā)，第二次攻擊，技能一和技能二均未觸發(fā)；ii.第一次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第二次攻擊，技能二觸發(fā)，技能一未觸發(fā)；iii.第一、二次攻擊，技能一觸發(fā)，技能二未觸發(fā)，第三次攻擊，技能一、二未觸發(fā)；所以..所以.（2）“突擊者”一輪攻擊造成的傷害為,分為：i.記事件D：進行次，均不觸發(fā)技能二；前面的次觸發(fā)技能一，最后一次不觸發(fā)技能一.其概率為：ii.記事件E：第一次觸發(fā)技能二，然后的次觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：iii.記事件：前面的次未觸發(fā)技能二，然后接著的第次觸發(fā)技能二；前面的觸發(fā)技能一，第次未觸發(fā)技能一.其概率為：，則事件彼此互斥，記，所以.所以【點睛】關(guān)鍵點睛：這道題關(guān)鍵的地方是題意的理解，文字較多，要明白一輪攻擊中含多次攻擊，每次攻擊判斷技能的觸發(fā)，在第二問中需要分多種情況進行討論，然后用互斥事件的概率計算公式進行求解題型7：數(shù)列與導(dǎo)數(shù)17．（2024·山東濟寧·一模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，證明：對任意，存在唯一的實數(shù)，使得成立；(3)設(shè)，，數(shù)列的前項和為．證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對進行分類討論即可；（2）先構(gòu)造函數(shù)，可判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性，可判斷，，進而可判斷，，進而結(jié)合根的存在性定理可證；（3）先令，時，，即，可得，放縮后裂項相消可證.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，①若，恒成立，在上單調(diào)遞增．②若，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：令，則因為，所以，在