青島版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專題突破講練：四點(diǎn)共圓問(wèn)題大盤(pán)點(diǎn)

初中數(shù)學(xué)四點(diǎn)共圓問(wèn)題大盤(pán)點(diǎn)編稿老師田莉鳳一校楊雪二校黃楠審核楊國(guó)勇1.四點(diǎn)共圓的性質(zhì)：（1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角度數(shù)相等；（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。2.四點(diǎn)共圓常用的判定方法：判定1：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)在同一圓上。假如：OA=OB=OC=OD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定2：若兩個(gè)直角三角形共斜邊，則四個(gè)頂點(diǎn)共圓，且直角三角形的斜邊為圓的直徑。假如：△ABD和△BCD是直角三角形，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定3：共底邊的兩個(gè)三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四個(gè)頂點(diǎn)共圓。假如：A、D在公共邊BC同側(cè)，且∠A=∠D，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定4：對(duì)于凸四邊形ABCD，若對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。假如：∠1+∠2=180°或∠1=∠3，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定5：對(duì)于凸四邊形ABCD其對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，若PA·PC=PB·PD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。（相交弦定理的逆定理）例題（鄭州模擬）如圖，在正△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于點(diǎn)F。（1）求證：A、E、F、D四點(diǎn)共圓；（2）若正△ABC的邊長(zhǎng)為2，求A、E、F、D所在圓的半徑。解析：（1）依題意，可證得△BAD≌△CBE，從而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=180°，即可證得A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓；（2）取AE的中點(diǎn)G，連接GD，可證得△AGD為正三角形，GA=GE=GD=，即點(diǎn)G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為。答案：（1）證明：∵AE=AB，∴BE=AB，∵在正△ABC中，AD=AC，∴AD=BE，又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，即∠ADF+∠AEF=180°，所以A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓。（2）解：如圖，取AE的中點(diǎn)G，連接GD，則AG=GE=AE，∵AE=AB，∴AG=GE=AB=，∵AD=AC=，∠DAE=60°，AB=AC∴△AGD為正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以點(diǎn)G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為，由于A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，即A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓G，其半徑為。點(diǎn)撥：本題著重考查全等三角形的證明與四點(diǎn)共圓的證明，突出推理實(shí)力與分析運(yùn)算實(shí)力的考查，屬于難題。【方法定位】將已知條件、欲求的結(jié)論以及所給圖形的特點(diǎn)三個(gè)方面仔細(xì)分析、思索，即可發(fā)覺(jué)，適當(dāng)利用四點(diǎn)共圓的有關(guān)性質(zhì)以及定理，就能奇妙地找到解決問(wèn)題的途徑。也就是說(shuō)，四點(diǎn)共圓有時(shí)在解（證）題中起著“搭橋鋪路”的作用。例題（河南模擬）如圖：AB是⊙O的直徑，G是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，GCD是⊙O的割線，過(guò)點(diǎn)G作AG的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作⊙O的切線，切點(diǎn)為H。（1）求證：C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（2）若GH=6，GE=4，求EF的長(zhǎng)。解析：（1）連接DB，利用AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ACD=∠ABD，進(jìn)而得到∠ACD=∠AFE即可證明四點(diǎn)共圓；（2）由C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用共線定理可得GE·GF=GC·GD。由GH是⊙O的切線，利用切割線定理可得GH2=GC·GD，進(jìn)而得到GH2=GE·GF。即可答案：證明：（1）連接DB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE?！郈，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（2）∵C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴GE·GF=GC·GD?！逩H是⊙O的切線，∴GH2=GC·GD，∴GH2=GE·GF。又因?yàn)镚H=6，GE=4，所以GF=9?！郋F=GF－GE=9－4=5。點(diǎn)撥：嫻熟駕馭圓的切線的性質(zhì)、同弧所對(duì)的圓周角相等、四點(diǎn)共圓的判定方法、切割線定理等是解題的關(guān)鍵。此題綜合性較強(qiáng)，涉及學(xué)問(wèn)點(diǎn)較全面。（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題1.銳角△ABC的三條高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七個(gè)點(diǎn)中。能組成四點(diǎn)共圓的組數(shù)是（）A.4組B.5組 C.6組 D.7組2.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，下列說(shuō)法：①當(dāng)AC=BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。其中正確的是（）A.①② B. ①③ C.②③D.①②③3.如圖，A，B，C，D是圓上四點(diǎn)，AD，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，弧AB、弧CD分別為100°、40°，則∠P的度數(shù)為（）A.40° B.35°C.60° D.30°4.（高青縣模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，CM切⊙O于點(diǎn)C，∠BCM=60°，則∠B的正切值是（）A.B. C. D.5.已知Pi（i=1，2，3，4）是拋物線y=x2+bx+1上共圓的四點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為xi（i=1，2，3，4），又xi（i=1，2，3，4）是方程（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0的根，則二次函數(shù)y=x2+bx+1的最小值為（）A.－1B.－2 C.－3 D.－4二、填空題6.如圖，在△ABC中，AD，BE分別是∠A，∠B的角平分線，O是AD與BE的交點(diǎn)，若C，D，O，E四點(diǎn)共圓，DE=3，則△ODE的內(nèi)切圓半徑為。7.（濟(jì)寧）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，則∠CBD=度。8.已知△ABC的中線AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四點(diǎn)共圓，則CK=。**9.如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE=DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓。若DB=BE=EA，則過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為。三、解答題10.（太原模擬）如圖，已知AB為半圓O的直徑，BE、CD分別為半圓的切線，切點(diǎn)分別為B、C，DC的延長(zhǎng)線交BE于F，AC的延長(zhǎng)線交BE于E。AD⊥DC，D為垂足。（1）求證：A、D、F、B四點(diǎn)共圓；（2）求證：EF=FB。*11.（貴陽(yáng)模擬）如圖，AP是圓O的切線，A是切點(diǎn)，AD⊥OP于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的割線與圓O相交于B，C兩點(diǎn)。（1）證明：O、D、B、C四點(diǎn)共圓。（2）設(shè)∠OPC=30°，∠ODC=40°，求∠DBC的大小。*12.（長(zhǎng)春模擬）如圖，在△ABC中，∠C為鈍角，點(diǎn)E，H分別是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)K和M分別是邊AC和BC上的點(diǎn)，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。（1）求證：E、H、M、K四點(diǎn)共圓；（2）若KE=EH，CE=3，求線段KM的長(zhǎng)。一、選擇題1.C解析：如圖，以AH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、D、C），共6組。故選C。2.C解析：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點(diǎn)O，如圖所示，∵點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC，∴四邊形ENFM是平行四邊形，①當(dāng)AC=BD時(shí)，則有EM=EN，所以平行四邊形ENFM是菱形，而菱形的四個(gè)頂點(diǎn)不肯定共圓，故①不肯定正確；②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°，所以平行四邊形ENFM是矩形，則有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓，故②正確；③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，同理可得：四邊形ENFM是正方形。則有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓，故③正確。故選C。3.D解：連接BD，∵=100°，∴∠ADB=100°×=50°，又∵=40°，∴∠B=20°，在△DBP中，∠P=∠ADB－∠B=50°－20°=30°。故選D。4.B解：連接BD，AB是直徑，則∠ADB=90°，∴∠CDB=∠BCM=60°，∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°，∵∠CBA=180°－∠CDA=30°，∴tan∠ABC=tan30°=，故選B。5.C解：拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)，上下兩組點(diǎn)的連線的中點(diǎn)位于拋物線的對(duì)稱軸上。所以由（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0可知，該拋物線的對(duì)稱軸為x=2。則b=－4。所以最小值為。二、填空題6.解：作OF⊥ED于點(diǎn)F，∵AD，BE分別是∠A，∠B的角平分線，∴∠AOB=90°+∠C，CO平分∠ACB，又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，∴90°+∠C＋∠C=180°在AB上截取AM=AE，可得△AOE△AOM∴OE=OM，∵∠DOE=120°，∴∠EOA=∠AOM=∠DOB=∠BOM=60°，∴△BOM△BOD∴OD=OM，∴OD=OE，∴∠OED=∠ODE=30°，∴FD=，tan30°=，∴FO=，OD=OE=，∴△ODE的周長(zhǎng)為：2+3，∴△ODE的面積為：×3×=，∴△ODE的內(nèi)切圓半徑為，故答案為：。7.解：∵AB=AC=AD，∴點(diǎn)B，C，D可以看成是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上的三個(gè)點(diǎn)，∴∠CBD是弧CD所對(duì)的圓周角，∠CAD是弧CD所對(duì)的圓心角；∵∠CAD=76°，∴∠CBD=∠CAD=×76°=38°。8.解：作△ABC的外接圓，延長(zhǎng)CK交圓于點(diǎn)H，交AB于F，則∵K，D，C，E四點(diǎn)共圓，DE∥BA∴∠BHC=∠BAC=∠DEC=∠DKC，∴AK∥HB，∵D為BC的中點(diǎn)∴點(diǎn)K是CH的中點(diǎn)，即CK=KH，又K是重心，∴FK=HF=CF，由相交弦定理，得BF×FA=CF×FH，∴·=CF2，∴CF=，∴CK==1，故答案為1。9.解：如圖所示，連接EF?！逥C是△ABC的外接圓的切線，∴∠DCB=∠EAF，∵BC·AE=DC·AF，∴，∴△BCD≌△FAE，∴∠CBD=∠AFE，∵B、E、F、C四點(diǎn)共圓，∴∠AFE=∠CBE，∴∠CBD=∠CBE，又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°，∴AC是△ABC的外接圓的直徑，CE是E，F(xiàn)，C四點(diǎn)所在圓的直徑。不妨設(shè)DB=1，則BE=EA=DB=1，由切割線定理可得：DC2=DB?DA=1×3，，在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE?！郈E=DC=，在Rt△CBE中，BC2=CE2－BE2=，在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6?！噙^(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值=。故答案為。三、解答題10.證明：（1）∵FB是半圓O的切線，∴∠ABF=90°，又∵AD⊥DC，∴∠ADF=90°，∴A，D，F(xiàn)，B四點(diǎn)共圓。（2）解：連接BC，則BC⊥AC，∵DF是半圓的切線，∴∠DCA=∠ABC，∵∠DCA=∠ECF，∴∠ECF=∠ABC，在Rt△ABE中，BC⊥AE，∴∠ABC=∠E，∴∠ECF=∠E，∴EF=FC，∵FC，F(xiàn)B是半圓的切線，∴FC=FB，∴EF=FB。11.解：（1）證明：∵AP是圓O的切線，A是切點(diǎn)，∴OA⊥AP，∵AD⊥OP，∴AP2=PD·PO，∵AP是圓O的切線，PBC是圓O的割線，∴AP2=PB·PC，∴PD·PO=PB·PC，∵∠DPB=∠CPO，∴△DPB∽△CPO，∴∠PDB=∠PCO，∴O，D，B，C四點(diǎn)共圓；（2）解：連接OB，則∠OBC=∠