2023-2024學(xué)年保定市三中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年保定市三中高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

2023.11

（考試時間：120分鐘，滿分：150分）

第I卷（選擇題，共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每個5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要

求的

1.設(shè)全集0={xeN|%<9},集合A={3,4,5,6},則4A=（）

A{1,2,3,8}B{1,2,7,8}c{0,l,2,7}D{0,1,2,7,8}

2.已知。、b、ceR,貝心a<》”是“ac2Vbe的（）.

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件

3.已知。+匕=12,則而的最大值是（）

A.48B.36c.24D.12

4.下列函數(shù)既是累函數(shù)又是偶函數(shù)的是（）

A./（x）=3x~Bf（x）=c"）JD=x3

5.若命題，P：VxeR,尤2-2苫+,"0’,是真命題，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.m>lB.C.D.相￡1

6.已知函數(shù)“X）滿足"x+l）=f+2x+3,則解析式是

22

A./（X）=V-2B./（力=幺+2c/（X）=X-2XD/（X）=X+2X

八）［（2一Q）X-4〃,X<1

7.已知函數(shù)l依，無21，若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（T。）B.（J，）C.?9D.31

8.若在R上定義運(yùn)算：苫*〉=武1-〉）.若不等式（尤一。）*（尤+。）<1對任意實(shí)數(shù)方恒成立，則（）

1331

—VQ<———<a<——

A.-1<a<1B.0<a<2Q22D.22

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

9.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）

22

Af(x)=x-2x-l^g(t)=t-2t-lB=f與g(x)=l

1

c.心:與?。?*當(dāng)

10.下列選項(xiàng)中正確的是（）

不等式。+人之疝恒成立a+-<2

A.2B.存在實(shí)數(shù)。，使得不等式。成立

2a2+-^>2

J---1---乙-乙

C.若為正實(shí)數(shù)，則“°D.若aw0,則a

11.下列命題中是真命題的是()

A.若x,yeR,且無+y>2,則％,y中至少有一個大于1

@=-1

〃+人>的充要條件是了

B.0

C.￡R,九2—2?0

D.VXGR,x2>3

12.對于定義在R上的函數(shù)/（X）,若/（x+1）是奇函數(shù)，/（x+2）是偶函數(shù)，且在［L2］上單調(diào)遞減，則（）

A.〃3）=。B.〃。）=〃4）

C.4萬1<5；.在［刊上單調(diào)遞減

第II卷（非選擇題，共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知集合人={1'3,標(biāo)}'8={1，間，8?！绖t機(jī)的值為，

X-|］

14.若1>1,則xT的最小值為

15.函數(shù)/（力=3+小6,臼0,5］的值域?yàn)椋?/p>

16.已知函數(shù)個）=三-4X+3,g（x）=mr+3-2zn伽>0）,若對任意％40,4］,總存在々?0,4］,使

/a）=g（“2）成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

/（X）=y/——JCH---,1_

17.已知函數(shù)內(nèi)與的定義域?yàn)榧螦.

（1）集合A;

（2）若集合3HxeM0<x<3},求ACB并寫出它的所有子集.

2

18.解答下列問題:

11

—I—

⑴設(shè)正數(shù)羽y滿足》+2k1,求x＞的最小值；

⑵已知比較人+4與a+b的大小

19.己知AM是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)彳2。時，〃x）=Y+2x—3

⑴求的解析式；

⑵若/W+l）＜/（2"zT）,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

5和十）=弋"1）=2，〃2）=|

20.設(shè)函數(shù)了,且2.

⑴求〃龍）解析式；

（2）判斷了（X）在區(qū)間口'+8）上的單調(diào)性，并利用定義證明.

21.已知幕函數(shù)/⑴二口療-6m+5）X"'M為偶函數(shù).

（1）求的解析式；

（2）若函數(shù)y=/（￡）—2（“一1卜+1在區(qū)間（2,3）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.為降低疫情影響，某廠

家擬盡快加大力度促進(jìn)生產(chǎn).已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成木為100萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入

y\C（x）=-x2+10x

成本為［（町（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，2（萬元）.當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，

。（》）=52無+翌9-600

》+2（萬元），每件商品售價(jià)為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.

（1）寫出年利潤￡（力（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?最大利潤是多少？

3

1.B

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念即可求出.

【詳解】因?yàn)閁={xeN|X<9}={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5,6},所以毛A={1,2,7,8}

故選：B.

2.B

【分析】當(dāng)。=°時，代入驗(yàn)證不充分，根據(jù)不等式性質(zhì)得到必要性，得到答案.

【詳解】若。<>，當(dāng)c=0時，ac2=bc2=0,故不充分；

若改2〈歷二則co,故。<6,必要性.

故"a<6，，是“ac2V歷2”的必要非充分條件.

故選：B

3.B

【分析】利用基本不等式求得最大值.

,(a+b'X<12?cz

【詳解】<2>,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=6時等號成立.

故選：B

4.C

【解析】根據(jù)幕函數(shù)的定義，形如了("的函數(shù)時幕函數(shù),幕函數(shù)過定點(diǎn)(U).偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

且/(—x)=/(x)

【詳解】解:幕函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1』)，排除A；

/(x)=?與/(x)=x-3不是偶函數(shù)，排除B,口.

故選:C

5.B

【分析】根據(jù)命題為真命題，可知公<°,解不等式即可.

【詳解】解:命題/-2》+m二°是真命題，

則A<0,即(一2)_4小<。,解得根>］.

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查已知全稱命題的真假求參數(shù)，是基礎(chǔ)題.

6.B

［詳解］/(工+1)=/+2x+3=(x+1)+2

4

/（x）=x2+2

故選：B.

7.D

2-（2>0

<0<a

【解析】令g（x）=（2-“）x-4a,心）=依，解不等式組［（2-a）xl_4a4axl即得解.

【詳解】對于任意給定的不等實(shí)數(shù)"巧，在（-S,+⑹為增函數(shù).

令g（%）=（2-a）x-4a,h（x）=ax

要使函數(shù)“無）在（-°0，+功上為增函數(shù)，

則有g(shù)（x）=（2_。）尤-4“在區(qū)間（Y°，1）上為增函數(shù)，

"（X）="在區(qū)間［1,+8）上為增函數(shù)且g⑴4h（l）,

2-a>0

<0<a1

.（2-a）xl-4?<?xl；解得§<“<2.

故選：D

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一個兩段的分段函數(shù)是增函數(shù)，要滿足兩個條件，一是兩個函數(shù)都是增函數(shù)，二是左

邊函數(shù)的最大值小于等于右邊函數(shù)的最小值.

8.C

【分析】利用定義運(yùn)算得到二次不等式恒成立問題，利用判別式來解答即可.

【詳解】由已知得（尤"）（1—尤—"），

則（》一。）（1-x-a）<1對任意實(shí)數(shù)無恒成立

整理得Y—x—〃+"+1>°對任意實(shí)數(shù)x恒成立,

A=1-4（-a~+a+1）<0

故選：C.

9.AD

【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義判斷四個選項(xiàng)即可.

【詳解】對于A,兩函數(shù)的定義域均為R,對應(yīng)關(guān)系也相同，所以兩個函數(shù)是同一個函數(shù)，故A正確；

對于B,〃?=X°的定義域?yàn)閧2**°},8（力=1的定義域?yàn)镽,兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一

個函數(shù)，故B錯誤;

5

x=

f(x\=L/I^()/—\i

對于C,X的定義域?yàn)镸ix*。},x(x-2)的定義域?yàn)榍襵*2},兩個函數(shù)的定義域

不同，所以不是同一個函數(shù)，故C錯誤；

對于D,兩函數(shù)的定義域均為R,且/(x)=G=N,所以兩函數(shù)對應(yīng)關(guān)系也相同，所以兩個函數(shù)是同一

個函數(shù)，故D正確，

故選：AD.

10.BCD

【分析】由基本不等式的成立條件可判斷A選項(xiàng)；取。=-1可判斷B選項(xiàng)；應(yīng)用基本不等式可以判斷C,

D選項(xiàng)；

【詳解】對于A,不等式0+/^2族成立條件為“20020,顯然。=-1力=-1時不等式不成立，故人錯

誤；

a+-<2

對于B,當(dāng)。=-1時，a成立，故B正確；

乒=2

對于C,當(dāng)為正實(shí)數(shù)，應(yīng)用基本不等式可得，。bb,當(dāng)且僅當(dāng)。=6時等號成立，故C正

確；

a2>0,^7>0a2+—>2.a2■—=2

對于D,當(dāng)?，應(yīng)用基本不等式可得V礦，當(dāng)且僅當(dāng)。=±1時等號成立,

故D正確，

故選：BCD.

11.AC

【分析】對于A選項(xiàng)，假設(shè)x,y中沒有一個大于1得尤+'42,與尤+y>2矛盾可判斷；對于B選項(xiàng)，當(dāng)

°=2)=-1時，必要性不成立，故錯誤；對于c選項(xiàng)，取工=0判斷；對于D選項(xiàng)，取段卜時可

判斷

【詳解】解：對于A選項(xiàng)，假設(shè)x,>中沒有一個大于1,即X<1,蚱1,則無+”2,與x+y>2矛盾,

故命題正確；

-=-2

對于B選項(xiàng)，顯然充分性不成立；當(dāng)”=2,0=-1時，a+b>Q,止匕時6,必要性不成立，故錯誤；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)％=°時，尤2-24°成立，故正確；

對于D選項(xiàng)，［一內(nèi)，百］時，%2<3,故錯誤.

故選：AC

12.AB

6

【分析】由題有：“f+1)=—〃x+l),"f+2)=/(x+2),即“X)圖像關(guān)于(1,0)對稱，且關(guān)于直線X=2

對稱.A選項(xiàng)，令x=°可得/°),x=l可得/G)；B選項(xiàng)，令彳=2即可判斷選項(xiàng)；C選項(xiàng)，令苫-5結(jié)合

單調(diào)性可判斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，由圖像的對稱性可判斷在3可上的單調(diào)性.

【詳解】令g(x)=,(x+l),由/(x+1)是奇函數(shù)，

則g(f)=/(-x+1)=-g(x)=+1),

即/(r+1)=-〃x+l),圖像關(guān)于(LO)對稱.

令"(x)=/(x+2),由〃x+2)是偶函數(shù)，

則/z(-x)=/(-x+2)=//(x)=+2),

即〃r+2)=/(x+2),圖像關(guān)于直線x=2對稱.

A選項(xiàng),令彳=0,可得/(I)—。)"。"。,

又令x=l,可得/⑴"G)=°.故A正確；

B選項(xiàng)，令x=2,可得/(0)=〃4),

故B正確；

又因“X)在必2］上單調(diào)遞減，由圖像關(guān)于°，°)對稱，則〃X)在【°」)上單調(diào)遞減,

即〃尤)在［0，2］上單調(diào)遞減,故嗎)>41［故C錯誤.

D選項(xiàng)，由/(X)在1°，可上單調(diào)遞減，結(jié)合f(x)圖像關(guān)于直線尤=2對稱，

則“X)在⑵可上單調(diào)遞增故口錯誤.

故選：AB

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題涉及抽象函數(shù)的奇偶性的相關(guān)結(jié)論.

為定義在R上函數(shù)，若“X+G為奇函數(shù)，則/(T+a)=-/(x+。)，

圖像關(guān)于3°)對稱；若/(X+4為偶函數(shù)，則〃f+a)=/(x+a),

圖像關(guān)于x=a對稱.

7

13.0或3

【分析】由集合4={1，3,而},'={1,明，'三、得m=3或加=標(biāo)，由此能求出小的值.

【詳解】解：?.?集合"={1'3'后}=.?.機(jī)=3或%=詬，

解得加=3或加=0或根=1,

當(dāng)加=3時，4={1，3詞，八{(lán)1,3},成立；

當(dāng)相=0時，A={l,3,0},B={l,0}成立；

當(dāng)機(jī)=1時，A==不成立.綜上，機(jī)的值為0或3.

故答案為：0或3

【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查子集等基礎(chǔ)知識，注意集合元素的互異性，是基礎(chǔ)題.

14.2

【分析】運(yùn)用基本不等式可得答案.

【詳解】因?yàn)椋ィ?,所以xT＞。，

111

XH--------1=(X-1)H--------22X—1=------

因?yàn)?T,當(dāng)且僅當(dāng)時，即1=2等號成立，

1

XH-------

所以X-1的最小值為2.故答案為：2.

15.［T—幻

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求其值域.

【詳解】解:/(耳=3+4尸6=-(*-2)2-2,

故"X)在［0,2］上為增函數(shù)，在(2,5］上為減函數(shù)，

所以〃X)2=〃2)=-2,而〃5)=Tl,〃0)=d,故〃4?=一11,

故函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋?/p>

16.P+⑹

【分析】根據(jù)對任意的玉40'4］,總存在々目。，4］,使/a)=g(N)成立,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含關(guān)系,

進(jìn)而根據(jù)關(guān)于加的不等式組，解不等式組可得答案.

［詳解］由題意，函數(shù)〃X)=X2_4X+3=(X_2)2_1.g^)=mr+3-2m.

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)x?°，4］時J(x)?-l,3］,記4=［-1,3］.

由題意當(dāng)機(jī)＞。時,8(")=皿+3—2用在［()，4］上是增函數(shù)，

8

,g(x)G[3-2m,2m+3]B=[3-2m,3+2m]

由對任意再e[°，4],總存在%目。，4],使"％)=g(%)成立,所以A=B

m>0

v-1>3-2m

則13+2將3,解得：m>2故答案為[2,+“).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，以及存在性問題求解和集合包含關(guān)系的綜合

應(yīng)用，其中解答中把對任意的％a°，4],總存在9目0,4],使/&)=g(馬)成立,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含

關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題.

17.(1)A={%]—3<%<4}(2)AB={1,2},0,{1},{2},{1,2}.

I——1[4-x>0

f(x)=A/4—XH—/4

【分析】(1)因?yàn)镴x+3,函數(shù)”無)定義域應(yīng)滿足：9+3>O,即可求得答案；

(2)化簡B"eN10<x<3}={1,2},根據(jù)交集定義即可求得答案；

I------1[4-x>0

f(X)=-X-\--/{

【詳解】(1)Ox+3二函數(shù)小)定義域應(yīng)滿足：[x+3>°,

解得：-3<x?4;.函數(shù)/(尤)的定義域人={.一3〈尤44}.

(2)化簡3={xeN[0<x<3}={l,2}

又:由(])得<={只一3<xM4}；.AQB={x|-3<x44}{1,2}={1,2},

???AcB的子集為：0,{]{2},{1，2}.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)定義域和求集合的子集，解題關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)定義域的求法和子集定義,

考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.⑴3+2次⑵答案見解析

【分析】(1)利用基本不等式“1”的妙用求解即可.

a2b2

----1----

(2)作差法比較ba與a+6的大小關(guān)系.

-+-=[-+-^+2y)=3+^+->3+272

【詳解】⑴因?yàn)檎龜?shù)無，，滿足％+2y=1,所以x>yjxy,

j_j_

當(dāng)且僅當(dāng)x=0y=0T時等號成立，所以xy的最小值為3+2&.

9

(2)由題意，

/+〃,+力—fb—ab?_a2(a-b)-b2(a-b)_(tz+/?)(^-Z?)2

baababab

因?yàn)閍,6e(0,+oo),所以a+6>0,">0

-+—-(a+b^Q,—+—^a+b

所以當(dāng)〃=Z?時，baba

-+--(a+b)>O,—+—>a+b

當(dāng)時，。aba

/、jx2+2x-3,x＞0

19.⑴龍一2無一3,x＜0⑵{〃伽＜0或加＞2}

【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義以及己知的解析式，求解即可；

（2）利用偶函數(shù)的定義將不等式變形，然后利用單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】（1）當(dāng)時，，一x＞。，

/、Jx2+2x-3?x＞,

./（%）=/（—%）=（—X）+2,（一x）—3=爐—2x—3所以[x2—2x—3?x＜,

（2）當(dāng)x?0時，f（尤）=丁+2工―3=（尤+1）2—4,

因此當(dāng)x?。時，該函數(shù)單調(diào)遞增，

因?yàn)椤篔）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)尤2°時，該函數(shù)單調(diào)遞增，

所以由/（冽+1）＜/3-1）等價(jià)于川"+力＜f（l2w-1l）,所以帆+卜囚-1|,

因此（根+1）＜（2”1）,即療-2m＞0,解得心2或加＜0,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是{時加＜°或機(jī)＞2}.

（\L

20.⑴f"x無=x+一尤⑵在[IM）上遞增，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得.力，由此求得f（x）解析式.

（2）判斷出了（無）的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.

/⑴=〃+匕=2

⑴依J收里二『:』."口

1

=x+—

【詳解】X

（2）在□"）上遞增，證明如下:

10

〃占）_“々）=%+，_］」］=占_9+二』=在3（些口

任取X|<X2）再尤2X1X2

-—i）.0

其中現(xiàn)一龍2<°，王々_1>0,%%>0,所以王尤2,

即"孑）<八%）,所以“X）在［1，+8）上遞增.

21.（1）〃*）=廠；（2）。43或a".

【分析】（1）根據(jù)幕函數(shù)的概念和性質(zhì)即可求/（X）的解析式;

（2）化簡函數(shù)y=/（"）—2（a-l）x+l,根據(jù)八龍）在區(qū)間（2,3）上為單調(diào)函數(shù)，利用二次函數(shù)對稱軸和區(qū)間之

間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】（1）由f（x）為一函數(shù)知,2m2-6m+5=l,即m2-3m+2=0,得m=l或m=2,

當(dāng)m=l時，f（x）=x2,是偶函數(shù)，符合題意；

當(dāng)m=2時，f（x）=r,為奇函數(shù)，不合題意，舍去.故f（x）=x；

（2）由（D得、=/（尤）_2（0_1）》+1=/_2（0_1）尤+1,函數(shù)/⑺的對稱軸為x=a-l,

由題意知函數(shù)/（X）在（2,3）上為單調(diào)函數(shù),

.,.a-l<2或a-l>3,分別解得a<3或a>4.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為：aW3或論4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查累函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸之間的關(guān)系，要求熟練掌握

累函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題.

1

——x92+40x-100,0<x<80

“尤）=，2

500-2x-生尤2