第05講 一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第05講一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2.會(huì)解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題，從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法：把方程變成的形式，當(dāng)m＞0時(shí)，方程的解為；當(dāng)m＝0時(shí)，方程的解；當(dāng)m＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解．（2）配方法：通過(guò)配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開(kāi)平方法求得方程的解．（3）公式法：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，它的解為．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個(gè)一次因式積的形式，使每一個(gè)因式等于零，就得到兩個(gè)一元一次方程，分別解這兩個(gè)方程，就得到原方程的解．要點(diǎn)詮釋：直接開(kāi)平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△<0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．上述由左邊可推出右邊，反過(guò)來(lái)也可由右邊推出左邊．要點(diǎn)詮釋：△≥0方程有實(shí)數(shù)根.4．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程(a≠0)的兩個(gè)根是，那么．考點(diǎn)二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程．要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的三個(gè)重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于的方程和都是分式方程，而關(guān)于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，換元法．3.解分式方程的一般步驟(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程(2)解這個(gè)整式方程；(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公

分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.要點(diǎn)詮釋：解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根．考點(diǎn)三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1．應(yīng)用問(wèn)題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型(1)數(shù)字問(wèn)題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問(wèn)題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律．(2)體積變化問(wèn)題關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系.(3)打折銷售問(wèn)題其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤(rùn)＝售價(jià)-成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤(rùn)率＝×100%．明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．(4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問(wèn)題重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)列出方程.(5)行程問(wèn)題對(duì)于相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問(wèn)題，也是易出錯(cuò)的問(wèn)題，一定要分析其中的特點(diǎn)，同向而行一般是追及問(wèn)題，相向而行一般是相遇問(wèn)題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問(wèn)題增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率；現(xiàn)有量＝原有量+增長(zhǎng)量；現(xiàn)有量＝原有量-降低量．2．解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．要點(diǎn)詮釋：方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)的語(yǔ)句的數(shù)學(xué)思想．注意：①設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹單位；③列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題意．【典型例題】題型一、一元二次方程 【例1-1】用配方法解一元二次方程：【思路點(diǎn)撥】把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)右移，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再用直接開(kāi)平方法解出未知數(shù)的值.【答案與解析】移項(xiàng)，得二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得配方由此可得，【總結(jié)升華】用配方法解一元二次方程的一般步驟：①把原方程化為的形式；②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開(kāi)平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.【例1-2】閱讀材料：為解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，然后設(shè)，那么原方程可化為……①，解得，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，故原方程的解為，，，．解答問(wèn)題：（1）上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用________法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程．【思路點(diǎn)撥】此題考查了學(xué)生學(xué)以致用的能力，解題的關(guān)鍵是掌握換元思想．【答案與解析】（1）換元法；（2）設(shè)，那么原方程可化為解得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去．所以原方程的解為，．【總結(jié)升華】應(yīng)用換元法解方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.【變式1】用配方法解方程x2-7x-1=0．【答案】將方程變形為x2-7x=1，兩邊加一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接開(kāi)平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根為x=或x=．【變式2】設(shè)m是實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的方程的根．【答案】x1=1,x2=m+2.【例2-1】關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍.(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】判別式大于0，二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.【答案與解析】（1）由△=(k+2)2－4k·＞0∴k＞－1又∵k≠0∴k的取值范圍是k＞－1，且k≠0（2）不存在符合條件的實(shí)數(shù)k理由：設(shè)方程kx2+(k+2)x+=0的兩根分別為x1、x2，由根與系數(shù)關(guān)系有：x1+x2=，x1·x2=，又=0則=0∴由（1）知，時(shí)，△＜0，原方程無(wú)實(shí)解∴不存在符合條件的k的值.【總結(jié)升華】（1）注意隱含條件k≠0；（2）由根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，求出k的值，要驗(yàn)證k的值是否符合題意.【例2-2】已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值.【思路點(diǎn)撥】由于這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，因此⊿＝，可得出a、b之間的關(guān)系，然后將化簡(jiǎn)后，用含b的代數(shù)式表示a，即可求出這個(gè)分式的值．【答案與解析】∵有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴⊿＝，即．∵∵，∴【總結(jié)升華】本題需要綜合運(yùn)用分式和一元二次方程來(lái)解決問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題的能力，屬于中等難度的試題，具有一定的區(qū)分度．【變式1】已知關(guān)于x的方程．（1）求證方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)m為何值時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時(shí)方程的解．【答案】（1）證明:因?yàn)椤?= 所以無(wú)論取何值時(shí)，△>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：因?yàn)榉匠痰膬筛橄喾磾?shù)，所以， 根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，解得， 所以原方程可化為，解得，.【變式2】關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍（2）請(qǐng)選擇一個(gè)k的負(fù)整數(shù)值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴＞0．即，解得，．（2）若k是負(fù)整數(shù)，k只能為－1或－2．如果k＝－1，原方程為．解得，，．（如果k＝－2，原方程為，解得，，．）題型二、分式方程【例3-1】解方程：【思路點(diǎn)撥】先去分母將分式方程化為整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn).【答案與解析】方程兩邊都乘以，得【總結(jié)升華】首先要確定各分式分母的最簡(jiǎn)公分母，在方程兩邊乘這個(gè)公分母時(shí)不要漏乘，解完后記著要驗(yàn)根.【例3-2】解方程：【思路點(diǎn)撥】把原方程右邊化為代入原方程求解較為簡(jiǎn)單.【答案與解析】原方程變?yōu)榻?jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根.【總結(jié)升華】因?yàn)椋?，所以最?jiǎn)公分母為：，若采用去分母的通常方法，運(yùn)算量較大，可采用上面的方法較好.【變式1】解分式方程：．【答案】方程兩邊同乘以，得． ．． 經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，所以原方程的解是． 【變式2】方程的解是x=．【答案】.【變式3】解方程：【答案】原方程化為方程兩邊通分，得化簡(jiǎn)得解得經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根.【變式4】【答案】解此方程此方程無(wú)解.【例4-1】若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（）A. B.C. D.【思路點(diǎn)撥】先把原方程化為整式方程，再把可能的增根分別代入整式方程即可求出m的值.【答案】D；【解析】由題意得增根是：化簡(jiǎn)原方程為：把代入解得，故選擇D.【總結(jié)升華】分式方程產(chǎn)生的增根，是使分母為零的未知數(shù)的值.【例4-2】m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？【思路點(diǎn)撥】先把原方程化為整式方程，使分母為0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得整理，得【總結(jié)升華】分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根.【變式1】若關(guān)于的方程無(wú)解，則的值是．【答案】1.【變式2】當(dāng)m為何值時(shí)，方程會(huì)產(chǎn)生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，將增根代入，得m＝3.所以，當(dāng)m＝3時(shí)，原分式方程會(huì)產(chǎn)生增根.故選C.題型三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用【例5-1】輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時(shí)；在另一次航行中，用相同的時(shí)間，順流航行40千米，逆流航行70千米.求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度.【思路點(diǎn)撥】在航行問(wèn)題中的等量關(guān)系是“順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度”，兩次航行提供了兩個(gè)等量關(guān)系.【答案與解析】設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，水流速度為y千米/小時(shí)由題意，得答：水流速度為3千米/小時(shí)，船在靜水中的速度為17千米/小時(shí).【總結(jié)升華】流水問(wèn)題公式：順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度；靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2.【例5-2】要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨(dú)做則要超過(guò)3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成.問(wèn)規(guī)定日期是多少天？【思路點(diǎn)撥】設(shè)規(guī)定日期是x天，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，工作總量為1.【答案與解析】設(shè)規(guī)定日期為x天根據(jù)題意，得解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根答：規(guī)定日期是6天.【總結(jié)升華】工程問(wèn)題涉及的量有三個(gè)，即每天的工作量、工作的天數(shù)、工作的總量．它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=每天的工作量×工作的天數(shù)．【變式1】甲、乙兩班同學(xué)參加“綠化祖國(guó)”活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹(shù)，甲班種60棵所用的時(shí)間與乙班種66棵樹(shù)所用的時(shí)間相等，求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹(shù)？【答案】設(shè)甲班每小時(shí)種x棵樹(shù)，則乙班每小時(shí)種（x+2）棵樹(shù)，由題意得：答：甲班每小時(shí)種樹(shù)20棵，乙班每小時(shí)種樹(shù)22棵.【變式2】據(jù)林業(yè)專家分析，樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用．已知一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹(shù)葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國(guó)槐樹(shù)葉的片數(shù)相同，求一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量．【答案】設(shè)一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為x毫克，由題意得，解得：x=22，經(jīng)檢驗(yàn)：x=22是原分式方程的解，且符合題意．答：一片國(guó)槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為22毫克．【例6-1】某服裝廠生產(chǎn)一批西服，原來(lái)每件的成本價(jià)是500元，銷售價(jià)為625元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該產(chǎn)品銷售價(jià)第一個(gè)月將降低20%，第二個(gè)月比第一個(gè)月提高6%，為了使兩個(gè)月后的銷售利潤(rùn)達(dá)到原來(lái)水平，該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低百分之幾？【思路點(diǎn)撥】設(shè)該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月降低率為x，那么兩個(gè)月后的銷售價(jià)格為625（1-20%）（1+6%），兩個(gè)月后的成本價(jià)為500（1-x）2，然后根據(jù)已知條件即可列出方程，解方程即可求出結(jié)果．【答案與解析】設(shè)該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低的百分?jǐn)?shù)為x．625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．1-x=±0.9，x=1±0.9，x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．答：該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低10%．【總結(jié)升華】題目中該產(chǎn)品的成本價(jià)在不斷變化，銷售價(jià)也在不斷變化，要求變化后的銷售利潤(rùn)不變，即利潤(rùn)仍要達(dá)到125元，關(guān)鍵在于計(jì)算和表達(dá)變動(dòng)后的銷售價(jià)和成本價(jià)．【例6-2】某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)工程費(fèi)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共5500元．⑴求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超過(guò)15天完成全部工程，問(wèn)由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】第一問(wèn)是工程問(wèn)題，工程問(wèn)題中有三個(gè)量：工作總量，工作效率，工作時(shí)間，這三個(gè)量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間第二問(wèn)只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊(duì)多少錢，并由第一問(wèn)求出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需的天數(shù)，即可求出在規(guī)定時(shí)間內(nèi)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程哪個(gè)隊(duì)花錢最少.【答案與解析】⑴設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，依題意，得

×＋②×＋③×，得＋＋＝．④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10④－③×，得＝，即y＝15．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10，y＝15，z＝30是原方程組的解．⑵設(shè)甲隊(duì)做一天廠家需付元，乙隊(duì)做一天廠家需付元，丙隊(duì)做一天廠家需付元，根據(jù)題意，得由⑴可知完成此工程不超過(guò)工期只有兩個(gè)隊(duì)：甲隊(duì)和乙隊(duì)．此工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成需花錢元；此工程由乙隊(duì)單獨(dú)完成需花錢元.所以，由甲隊(duì)單獨(dú)完成此工程花錢最少．【總結(jié)升華】這是一道聯(lián)系實(shí)際生活的工程應(yīng)用題，涉及工期和工錢兩種未知量．對(duì)于工期，一般情況下把整個(gè)工作量看成1，設(shè)出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間分別為天，天，天，可列出分式方程組．在求解時(shí)，把，，分別看成一個(gè)整體，就可把分式方程組轉(zhuǎn)化為整式方程組來(lái)解．【中考過(guò)關(guān)真題練】一．選擇題（共3小題）1．（2018?上海）下列對(duì)一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情況的判斷，正確的是（）A．有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 C．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出Δ＝13＞0，進(jìn)而即可得出方程x2+x﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（1）×（﹣3）＝13＞0，∴方程x2+x﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．2．（2017?上海）下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x+2＝0【分析】分別計(jì)算各方程的根的判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判定方程根的情況即可．【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．3．（2020?上海）用換元法解方程+＝2時(shí)，若設(shè)＝y(tǒng)，則原方程可化為關(guān)于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0【分析】方程的兩個(gè)分式具備倒數(shù)關(guān)系，設(shè)＝y(tǒng)，則原方程化為y+＝2，再轉(zhuǎn)化為整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解答】解：把＝y(tǒng)代入原方程得：y+＝2，轉(zhuǎn)化為整式方程為y2+1＝2y，即y2﹣2y+1＝0．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時(shí)常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡(jiǎn)，化難為易，對(duì)此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．二．填空題（共9小題）4．（2016?上海）如果關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)k的值是．【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＝0，解得：k＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是找出9﹣4k＝0．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)方程解的情況結(jié)合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關(guān)鍵．5．（2022?上海）某公司5月份的營(yíng)業(yè)額為25萬(wàn)，7月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)，已知5、6月的增長(zhǎng)率相同，則增長(zhǎng)率為20%．【分析】設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)5月份的營(yíng)業(yè)額為25萬(wàn)元，7月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)元，表示出7月的營(yíng)業(yè)額，即可列出方程解答．【解答】解：設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，由題意得25（1+x）2＝36，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）所以平均每月的增長(zhǎng)率為20%．故答案為：20%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2020?上海）如果關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值是4．【分析】一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解答】解：依題意，∵方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是一元二次方程的根判別式，當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．7．（2019?上海）如果關(guān)于x的方程x2﹣x+m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞．【分析】由于方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則其判別式Δ＜0，由此可以建立關(guān)于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．【解答】解：由題意知Δ＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．【點(diǎn)評(píng)】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．8．（2021?上海）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍為c＞．【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，然后求出c的取值范圍．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×c＜0，解得c＞，∴c的取值范圍是c＞．故答案為：c＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．9．（2022?上海）解方程組：的結(jié)果為．【分析】由x2﹣y2＝3可知（x+y）（x﹣y）＝3，再根據(jù)x+y＝1計(jì)算出x﹣y＝3，然后與x+y＝1聯(lián)立計(jì)算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，且x+y＝1，∴x﹣y＝3，∴可得方程組，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程組的解法，根據(jù)題干尋找解題方向及熟練掌握常見(jiàn)公式如平方差公式等是解題的關(guān)鍵．10．（2018?上海）方程組的解是，．【分析】方程組中的兩個(gè)方程相加，即可得出一個(gè)一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．【解答】解：②+①得：x2+x＝2，解得：x＝﹣2或1，把x＝﹣2代入①得：y＝﹣2，把x＝1代入①得：y＝1，所以原方程組的解為，，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解高次方程組，能把二元二次方程組轉(zhuǎn)化成一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．11．（2017?上海）方程＝1的解是x＝2．【分析】根據(jù)無(wú)理方程的解法，首先，兩邊平方，解出x的值，然后，驗(yàn)根解答出即可．【解答】解：，兩邊平方得，2x﹣3＝1，解得，x＝2；經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是方程的根；故答案為x＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理方程的解法，解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法，解無(wú)理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．12．（2016?上海）方程＝2的解是x＝5．【分析】利用兩邊平方的方法解出方程，檢驗(yàn)即可．【解答】解：方程兩邊平方得，x﹣1＝4，解得，x＝5，檢驗(yàn)：把x＝5代入方程，左邊＝2，右邊＝2，左邊＝右邊，則x＝5是原方程的解，故答案為：x＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是無(wú)理方程的解法，正確利用兩邊平方的方法解出方程，并正確進(jìn)行驗(yàn)根是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）13．（2021?上海）解方程組：．【分析】解方程組的中心思想是消元，在本題中，只能用代入消元法解題．【解答】解：，由①得：y＝3﹣x，把y＝3﹣x代入②，得：x2﹣4（3﹣x）2＝0，化簡(jiǎn)得：（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x1＝2，x2＝6．把x1＝2，x2＝6依次代入y＝3﹣x得：y1＝1，y2＝﹣3，∴原方程組的解為．【點(diǎn)評(píng)】本題以解高次方程組為背景，旨在考查學(xué)生對(duì)消元法的靈活應(yīng)用能力．14．（2020?上海）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動(dòng)期間，前六天的總營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，第七天的營(yíng)業(yè)額是前六天總營(yíng)業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營(yíng)業(yè)額為350萬(wàn)元，8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率相同，“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額與9月份的營(yíng)業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率．【分析】（1）根據(jù)該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額＝前六天的總營(yíng)業(yè)額+第七天的營(yíng)業(yè)額，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該商店去年7月份及9月份的營(yíng)業(yè)額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（萬(wàn)元）．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營(yíng)業(yè)額為504萬(wàn)元．（2）設(shè)該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為x，依題意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該商店去年8、9月份營(yíng)業(yè)額的月增長(zhǎng)率為20%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15．（2019?上海）解方程：﹣＝1【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是增根，分式方程的解為x＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．16．（2017?上海）解方程：﹣＝1．【分析】?jī)蛇叧藊（x﹣3）把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：兩邊乘x（x﹣3）得到3﹣x＝x2﹣3x，∴x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x＝3或﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的增根，∴原方程的解為x＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的步驟，注意解分式方程必須檢驗(yàn)．17．（2016?上海）解方程：﹣＝1．【分析】根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4＝x2﹣4，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是增根，舍去；x＝﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，熟記解分式方程的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1是解題的關(guān)鍵，注意驗(yàn)根．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共7小題）1．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）A． B． C．x3+3＝0 D．x4+4＝0【分析】根據(jù)任何數(shù)的算術(shù)平方根以及偶次方一定是非負(fù)數(shù)即可作出判斷．【解答】解：A、≥0，因而方程一定無(wú)解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，則﹣x＜0，故原式一定不成立，方程無(wú)解；C、x3+3＝0，則x＝﹣，故選項(xiàng)正確；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程無(wú)解．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了任何數(shù)的算術(shù)平方根以及偶次方一定是非負(fù)數(shù)．2．（2022?嘉定區(qū)二模）下列關(guān)于x的一元二次方程中有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（）A．x2+4＝0 B．x2+2x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣x+2＝0【分析】分別計(jì)算四個(gè)方程的根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況即可．【解答】解：A．因?yàn)棣ぃ?2﹣4×4＝﹣16＜0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)棣ぃ?2﹣4×0＝4＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以B選項(xiàng)符合題意；C．因?yàn)棣ぃ剑ī?）2﹣4×4＝0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．因?yàn)棣ぃ剑ī?）2﹣4×2＝﹣7＜0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．3．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）下列方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解的是（）A．x2+5x﹣6＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣6x+9＝0 D．x2+6x﹣9＝0【分析】先分別計(jì)算各方程的根的判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義分別進(jìn)行判斷．【解答】解：A、Δ＝52﹣4×（﹣6）×1＝49＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以A選項(xiàng)不符合題意；B、Δ＝（﹣5）2﹣4×1×6＝1＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以B選項(xiàng)不符合題意；C、Δ＝（﹣6）2﹣4×9×1＝0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以C選項(xiàng)符合題意；D、Δ＝62﹣4×（﹣9）×1＞0，則方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．4．（2022?徐匯區(qū)模擬）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）A．x3＝﹣1 B．＝0 C．x2+5x+8＝0 D．＝1【分析】解各個(gè)選項(xiàng)給出的方程，根據(jù)是否有解得結(jié)論．【解答】解：（﹣1）3＝﹣1，所以x3＝﹣1有實(shí)數(shù)根，故A合題意；x4≥0，x4+1≥1，所以沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故B不合題意；方程x2+5x+8＝0的根的判別式Δ＝25﹣32＝﹣7＜0，所以方程C沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故C不合題意；分式方程變形得x2﹣x+1＝0，其根的判別式Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，所以方程D沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故D不合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解方程，掌握高次方程、無(wú)理方程、一元二次方程、分式方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022?寶山區(qū)二模）關(guān)于一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的根的情況，下列判斷正確的是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【分析】先計(jì)算根的判別式的值得到Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝1+8＝9＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．6．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞4 B．k≤4 C．k≥4 D．k＜4【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4×k≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣4×k≥0，解得k≤4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．7．（2022?閔行區(qū)二模）在下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）A． B．x2+3x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．【分析】根據(jù)的值是非負(fù)數(shù)，即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)根的判別式即可判斷選項(xiàng)B和選項(xiàng)C，方程兩邊都乘x﹣1得出x＝1，再進(jìn)行檢驗(yàn)，即可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：A．＝﹣1，∵≥0，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；B．x2+3x+1＝0，∵Δ＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；C．x2+2x+3＝0，∵Δ＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；D．＝，方程兩邊都乘x﹣1，得x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x﹣1＝0，所以x＝1是增根，即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程，根的判別式和解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，注意：二次根式中a≥0，≥0．二．填空題（共21小題）8．（2022?楊浦區(qū)二模）如果關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)k的值是．【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k＝9﹣4k＝0，解得：k＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是找出9﹣4k＝0．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)方程解的情況結(jié)合根的判別式得出方程（不等式或不等式組）是關(guān)鍵．9．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）如果關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0（m為常數(shù)）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，那么m＝1．【分析】本題需先根據(jù)已知條件列出關(guān)于m的等式，即可求出m的值．【解答】解：∵x的方程x2﹣2x+m＝0（m為常數(shù)）有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1?m＝04﹣4m＝0m＝1故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式，在解題時(shí)要注意對(duì)根的判別式進(jìn)行靈活應(yīng)用是本題的關(guān)鍵．10．（2022?金山區(qū)二模）方程的解是4．【分析】將方程變形，化為整式方程，解整式方程再檢驗(yàn)即可得答案．【解答】解：∵1﹣＝0，∴＝1，∴x﹣3＝1，∴x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的解，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解無(wú)理方程，解題的關(guān)鍵是將無(wú)理方程化為有理方程，注意解無(wú)理方程須檢驗(yàn)．11．（2022?青浦區(qū)模擬）如果關(guān)于x的方程2x2+3x﹣k＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是k＜﹣．【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝32﹣4×2×（﹣k）＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝32﹣4×2×（﹣k）＜0，解得k＜﹣．故答案為：k＜﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．12．（2022?徐匯區(qū)二模）如果關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜．【分析】根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k＞0，解得k＜，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＜．故答案為：k＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．13．（2022?上海模擬）如果關(guān)于x的方程x2++m＝0有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的最大值是．【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝（）2﹣4m≥0，解不等式得到m的取值范圍，從而得到m的最大值．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（）2﹣4m≥0，解得m≤，所以實(shí)數(shù)m的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．14．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）如果關(guān)于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是m≤．【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，所以m≤．故答案為：m≤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．15．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）某小區(qū)2012年屋頂綠化面積為2000平方米，計(jì)劃2014年屋頂綠化面積要達(dá)到2880平方米，如果每年屋頂綠化面積的增長(zhǎng)率相同，那么這個(gè)增長(zhǎng)率是20%．【分析】一般用增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），如果設(shè)人均年收入的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意即可列出方程．【解答】解：設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列出方程為：2000（1+x）2＝2880，（1+x）2＝1.44．1+x＝±1.2．所以x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．故x＝0.2＝20%．即：這個(gè)增長(zhǎng)率為20%．故答案是：20%．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用．對(duì)于平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a（1+x）2＝b（a＜b）；平均降低率問(wèn)題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a（1﹣x）2＝b（a＞b）．16．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）方程＝4的根是x＝5．【分析】方程的兩邊平方，化無(wú)理方程為整式方程，求解驗(yàn)根即可．【解答】解：方程兩邊平方，得3x+1＝16，整理，得3x＝15，解得x＝5．經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是原方程的解．所以原方程的解為x＝5．故答案為：x＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理方程的解法，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解決本題的關(guān)鍵．17．（2022?寶山區(qū)模擬）方程的解是x＝2．【分析】?jī)蛇吰椒降贸鲫P(guān)于x的整式方程，解之求得x的值，再根據(jù)二次根式有意義的條件得出符合方程的x的值，可得答案．【解答】解：兩邊平方得（x﹣2）（x﹣1）＝0，則x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得：x＝2或x＝1，又，解得：x≥2，則x＝2，故答案為：x＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查無(wú)理方程，解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．18．（2022?徐匯區(qū)模擬）方程的解是x＝1．【分析】先把方程兩邊平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可求出答案．【解答】解：，兩邊平方得：x2﹣1＝x﹣1，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x1＝0時(shí)，左邊＝，方程無(wú)意義，當(dāng)x2＝1時(shí)，左邊＝右邊＝0，則原方程的解是x＝1；故答案為：x＝1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了無(wú)理方程，關(guān)鍵是通過(guò)把方程兩邊平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程，要注意檢驗(yàn)．19．（2022?虹口區(qū)二模）方程的根是x＝1．【分析】把方程兩邊平方去根號(hào)后即可轉(zhuǎn)化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：兩邊平方得：2﹣x＝x2，整理得：x2+x﹣2＝0，解得：x＝1或﹣2．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝1是方程的解，x＝﹣2不是方程的解．故答案是：x＝1．【點(diǎn)評(píng)】在解無(wú)理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題用了平方法．20．（2022?楊浦區(qū)二模）方程的解為3．【分析】首先把方程兩邊分別平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．【解答】解：兩邊平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，檢驗(yàn)：當(dāng)x1＝3時(shí)，方程的左邊＝右邊，所以x1＝3為原方程的解，當(dāng)x2＝﹣1時(shí)，原方程的左邊≠右邊，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解無(wú)理方程，關(guān)鍵在于首先把方程的兩邊平方，注意最后要把x的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)．21．（2022?普陀區(qū)二模）如果關(guān)于x的方程（x﹣1）2＝m沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜0．【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，即可解答．【解答】解：如果關(guān)于x的方程（x﹣1）2＝m沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是：m＜0，故答案為：m＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開(kāi)平方法，熟練掌握負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根是解題的關(guān)鍵．22．（2022?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如果一元二次方程2x2﹣x+k＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是k＞．【分析】由于方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ＜0，由此建立關(guān)于k的不等式，解不等式即可求得k的取值范圍．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣x+k＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣1）2﹣4×2?k＜0，解得k＞．故答案為：k＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系，當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．23．（2022?嘉定區(qū)二模）用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)＝y(tǒng)，那么原方程可化為關(guān)于y的整式方程是2y2﹣3y+1＝0．【分析】當(dāng)分式方程比較復(fù)雜時(shí)，通常采用換元法使分式方程簡(jiǎn)化，可設(shè)y＝．【解答】解：設(shè)y＝，則＝．則原方程可化為：2y2﹣3y+1＝0．故答案為：2y2﹣3y+1＝0．【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)分式方程比較復(fù)雜時(shí)，通常采用換元法使分式方程簡(jiǎn)化．24．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）用換元法解方程＝3時(shí)，設(shè)＝y(tǒng)，那么原方程化成關(guān)于y的整式方程是y2﹣3y+2＝0．【分析】根據(jù)題意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可．【解答】解：設(shè)＝y(tǒng)，則．所以原方程可變形為：．方程的兩邊都乘以y，得y2+2＝3y．即y2﹣3y+2＝0．故答案為：y2﹣3y+2＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了換元法．換元法解方程一般四步：設(shè)元（未知數(shù)），換元，解元，還元．25．（2022?黃浦區(qū)二模）一輛汽車，新車購(gòu)買價(jià)20萬(wàn)元，第一年使用后折舊20%，以后該車的年折舊率有所變化，但它在第二，三年的年折舊率相同．已知在第三年年末，這輛車折舊后價(jià)值11.56萬(wàn)元，如果設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，那么根據(jù)題意，列出的方程為20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【分析】設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，則第二年這就后的價(jià)格為20（1﹣20%）（1﹣x）元，第三年折舊后的而價(jià)格為20（1﹣20%）（1﹣x）2元，與第三年折舊后的價(jià)格為11.56萬(wàn)元建立方程．【解答】解：設(shè)這輛車第二、三年的年折舊率為x，由題意，得20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．故答案是：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．【點(diǎn)評(píng)】一道折舊率問(wèn)題，考查了列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，解答本題時(shí)設(shè)出折舊率，表示出第三年的折舊后價(jià)格并運(yùn)用價(jià)格為11.56萬(wàn)元建立方程是關(guān)鍵．26．（2022?普陀區(qū)模擬）試寫(xiě)出一個(gè)二元二次方程，使該方程有一個(gè)解是，你寫(xiě)的這個(gè)方程是x2+y2＝5（寫(xiě)出一個(gè)符合條件的即可）．【分析】根據(jù)（﹣1）2+22＝5列出方程即可．【解答】解：∵（﹣1）2+22＝5，∴x2+y2＝5，故答案為：x2+y2＝5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查高次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊成立的未知數(shù)的值，根據(jù)解寫(xiě)方程應(yīng)先列算式再列方程是關(guān)鍵．27．（2022?松江區(qū)二模）方程＝3的解是x＝3．【分析】方程兩邊平方得出x+6＝9，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：＝3，方程兩邊平方得：x+6＝9，解得：x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，即原方程的解是x＝3，故答案為：x＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．28．（2022?普陀區(qū)模擬）方程的解是x＝﹣1．【分析】根據(jù)方程可知等號(hào)左邊的x+1≤0，等號(hào)右邊根號(hào)里面的x+1≥0，聯(lián)立不等式組，即可解答本題．【解答】解：∵，∴，解得，x＝﹣1，故答案為：x＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解無(wú)理方程，解題的關(guān)鍵是明確無(wú)理方程的解法，由無(wú)理方程可以發(fā)現(xiàn)隱含條件．三．解答題（共18小題）29．（2022?黃浦區(qū)二模）解方程：．【分析】觀察可得方程最簡(jiǎn)公分母為（x2﹣9）．去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解．結(jié)果要檢驗(yàn)．【解答】解：方程兩邊同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分）4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分）整理得：x2﹣4x+3＝0，（2分）解得：x1＝1，x2＝3，（3分）經(jīng)檢驗(yàn)：x2＝3是原方程的增根，（1分）所以，原方程的解為x＝1．（1分）【點(diǎn)評(píng)】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根．30．（2022?崇明區(qū)二模）解方程組：．【分析】分解因式，將二元二次方程組化為二元一次方程組即可求解．【解答】解：由②得：（x﹣y）（x﹣4y）＝0，∴x﹣4y＝0或x﹣y＝0，∴原方程組可以化為兩個(gè)二元一次方程組：或，解，得，解，得，∴原方程組的解是或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是將二元二次方程組降次，化為二元一次方程組．31．（2022?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）解方程組：．【分析】用代入法即可解答，把①化為x＝1+y，代入②得（1+y）2+2y+3＝0即可．【解答】解：由①得y＝x﹣2③把③代入②，得x2﹣2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）2＝0，即x2﹣4x+3＝0解這個(gè)方程，得x1＝3，x2＝1代入③中，得或．∴原方程組的解為或．【點(diǎn)評(píng)】考查了高次方程，解答此類題目一般用代入法比較簡(jiǎn)單，先消去一個(gè)未知數(shù)再解關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，把求得結(jié)果代入一個(gè)較簡(jiǎn)單的方程中即可．32．（2022?青浦區(qū)模擬）解方程：+＝．【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，求出方程+＝的解即可．【解答】解：去分母得：x（x﹣2）+12＝3（x+2），去括號(hào)得：x2﹣2x+12＝3x+6，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：x2﹣5x+6＝0，解得：x＝2或x＝3，檢驗(yàn)：（1）把x＝2代入得：x2﹣4＝0，∴x＝2不是原方程的解．（2）把x＝3代入得：x2﹣4≠0，∴x＝3是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解分式方程問(wèn)題，要明確解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．33．（2022?金山區(qū)二模）解方程：．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣1﹣（2x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣，檢驗(yàn)：把x＝1代入得：（x+1）（x﹣1）＝0，把x＝﹣代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，∴x1＝1是原方程的增根，x2＝﹣是原方程的根，則原方程的根是x＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．34．（2022?寶山區(qū)二模）解方程：．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣2+4＝x2﹣4，即x2﹣x﹣6＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，解得：x＝3或x＝﹣2，當(dāng)x＝3時(shí)，（x+2）（x﹣2）≠0；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2是增根，分式方程的解為x＝3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．35．（2022?楊浦區(qū)三模）解方程：．【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟計(jì)算．【解答】解：方程兩邊同乘（x+1）（x﹣1），得，x（x﹣1）﹣4＝（x+1）（x﹣1）整理得，x＝﹣3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣3時(shí)，（x+1）（x﹣1）≠0，x＝﹣3是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式方程的解法，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．36．（2022?黃浦區(qū)校級(jí)二模）解方程：【分析】由于x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），本題的最簡(jiǎn)公分母是（x+1）（x﹣1），方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解．【解答】解：方程兩邊都乘（x+1）（x﹣1），得x2﹣3x+（2x﹣1）（x+1）＝0，整理得3x2﹣2x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣．經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝1是增根，x2＝﹣是原方程的根．∴原方程的根是x＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最簡(jiǎn)公分母驗(yàn)根．（3）本題需注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式，又能進(jìn)行因式分解時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行因式分解，才能確定最簡(jiǎn)公分母．37．（2022?徐匯區(qū)二模）解方程組．【分析】把組中的第二個(gè)方程利用因式分解法化為兩個(gè)一次方程，再與組中的第一個(gè)方程組成新的方程組，求解即可．【解答】解：，由（2）得：（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）＝0，∴x﹣y+4＝0或x﹣y﹣4＝0．（1）和新方程組成新的方程組為或，解這兩個(gè)方程組得或．所以原方程組的解為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程，掌握整式的因式分解，把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程組是解決本題的關(guān)鍵．38．（2022?松江區(qū)二模）解方程組：．【分析】因式分解組中方程②，把①整體代入得新方程，新方程和①組成方程組，求解即可．【解答】解：，由②，得（x﹣2y）（x+y）＝10③，把①代入③，得x﹣2y＝5④．由①④組成新的方程組為，解得．所以原方程組的解為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程，解決本題亦可把①變形，用代入法求解．39．（2022?閔行區(qū)二模）解方程組：．【分析】因式分解方程組中的方程②，化為兩個(gè)一元一次方程，與組中的方程①重新構(gòu)成新的方程組，求解即可．【解答】解：，由②得：（2x+3y）（2x﹣3y）＝0．∴2x+3y＝0，2x﹣3y＝0，∴原方程組可化為，．解方程組解得；解方程組得．∴原方程組的解為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程，把高次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程是解決本題的關(guān)鍵．40．（2022?金山區(qū)校級(jí)模擬）解方程組：．【分析】因式分解②，得兩個(gè)二元一次方程，這兩個(gè)二元一次方程和①聯(lián)立組成新的方程組，求解即可．【解答】解：由②，得（x+5y）（x﹣y）＝0，所以x+5y＝0③或x﹣y＝0④．由①③、①④組成新的方程組為：，．解這兩個(gè)方程組，得，．所以原方程組的解為；，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了高次方程，掌握因式分解和二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．41．（2022?上海模擬）已知x＝﹣1是方程的解，求實(shí)數(shù)a的值．【分析】把x＝﹣1代入方程中可得﹣＝1，然后按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：﹣＝1，5﹣4（a+4）＝a2﹣16，解得：a＝﹣5或a＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)a＝﹣5時(shí)，a2﹣16≠0，∴a＝﹣5是原方程的根，當(dāng)a＝1時(shí)，a2﹣16≠0，∴a＝1是原方程的根，∴實(shí)數(shù)a的值為﹣5或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，一元二次方程的解，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．42．（2022?嘉定區(qū)二模）解方程組：【分析】由②得出（x+6y）（x﹣y）＝0，求出x+6y＝0，x﹣y＝0③，由①和③組成兩個(gè)二元一方程組，再求出方程組的解即可．【解答】解：，由②得：（x+6y）（x﹣y）＝0，即x+6y＝0，x﹣y＝0③，則由①和③組成兩個(gè)方程組，，解之得：，，即原方程組的解是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組（低次方程組）是解此題的關(guān)鍵．43．（2022?楊浦區(qū)二模）解方程組：．【分析】由②得出（x﹣3y）（x+y）＝0，求出x﹣3y＝0，x+y＝0③，由①和③組成兩個(gè)二元一方程組，再求出方程組的解即可．【解答】解：，由②得：（x﹣3y）（x+y）＝0，即x﹣3y＝0，x+y＝0③，則由①和③組成兩個(gè)方程組，，解之得：，，即原方程組的解是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組（低次方程組）是解此題的關(guān)鍵．44．（2022?上海模擬）近年來(lái)，自動(dòng)駕駛的無(wú)人配送車紛紛落地使用．無(wú)人配送車都是由電池驅(qū)動(dòng)的，主要有“換電”和“充電”兩種能源補(bǔ)給方式，“充電”方式需要企業(yè)建造高標(biāo)準(zhǔn)的充電樁，初始固定成本偏高．如圖是某無(wú)人配送車企業(yè)針對(duì)一個(gè)配送區(qū)域所繪制的兩種能源補(bǔ)給方式的總平均成本y（單位：元）與人口數(shù)x（單位：萬(wàn)人）的函數(shù)關(guān)系圖象（直線），已知兩種能源補(bǔ)給方式的初始固定成本差為21元．（1）求兩種能源補(bǔ)給方式各自的y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（不要求寫(xiě)函數(shù)的定義域）（2）目前該配送區(qū)域人口為50萬(wàn)，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)分析，兩年后企業(yè)全部采用“充電”能源補(bǔ)給方式的總平均成本更低，求估計(jì)的該區(qū)域人口的年平均增長(zhǎng)率．（百分?jǐn)?shù)保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈5.477，≈5.916，≈6.325，≈6.708）【分析】（1））由題意得“充電”補(bǔ)給方式的初始固定成本為51元，設(shè)“充電”補(bǔ)給方式y(tǒng)關(guān)于x的解析式為y＝k1x+b1，把（0，51），（30，36）代入，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式，設(shè)“換電”補(bǔ)給方式y(tǒng)關(guān)于x的解析式為y＝k2x+b2，把（0，30），（30，24）代入，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；（2）聯(lián)立，解得：，得出當(dāng)配送區(qū)域人口為70萬(wàn)人時(shí)，兩種方式的總平均成本一樣，設(shè)該區(qū)域人口的年平均增長(zhǎng)率為a，由題意得列出一元二次方程，解方程得出增長(zhǎng)率為0.183，由兩年后“充電”能源補(bǔ)給方式的總平均成本更低，得出該區(qū)域人口的年平均增長(zhǎng)率要大于18.3%．【解答】解：（1）∵30+21＝51（元），∴“充電”補(bǔ)給方式的初始固定成本為51元，設(shè)“充電”補(bǔ)給方式y(tǒng)關(guān)于x的解析式為y＝k1x+b1，把（0，51），（30，36）代入得：，解得：，∴“充電”補(bǔ)給方式y(tǒng)關(guān)于x的解析式為y＝﹣x+51，設(shè)“換電”補(bǔ)給方式y(tǒng)關(guān)于x的解析式為y＝k2x+b2，把（0，30），（30，24）代入得：，解得：，∴“換電”補(bǔ)給方式y(tǒng)關(guān)于x的解析式為y＝﹣x+30；（2）聯(lián)立，解得：，∴當(dāng)配送區(qū)域人口為70萬(wàn)人時(shí)，兩種方式的總平均成本一樣，設(shè)該區(qū)域人口的年平均增長(zhǎng)率為a，由題意得：50（1+a）2＝70，解得：a1＝0.183，a2＝﹣2.183（不符合題意，舍去），∵兩年后“充電”能源補(bǔ)給方式的總平均成本更低，∴該區(qū)域人口的年平均增長(zhǎng)率要大于18.3%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，列一元二次方程，解一元二次方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．45．（2022?靜安區(qū)二模）現(xiàn)有某服裝廠接到一批襯衫生產(chǎn)任務(wù)，該廠有甲乙兩個(gè)生產(chǎn)襯衫的車間，甲車間要完成3000件，乙車間要完成2500件．已知甲車間比乙車間每天多生產(chǎn)125件，如果兩車間同時(shí)開(kāi)工，且甲車間比乙車間提前2天完成任務(wù)，那么甲車間和乙車間分別用了幾天完成各自的任務(wù)？【分析】設(shè)乙車間每天生產(chǎn)x件，則甲車間每天生產(chǎn)（x+125）件，根據(jù)“兩車間同時(shí)開(kāi)工，且甲車間比乙車間提前2天完成任務(wù)”列分式方程，求解即可．【解答】解：設(shè)乙車間每天生產(chǎn)x件，則甲車間每天生產(chǎn)（x+125）件，根據(jù)題意，得，解得x1＝250，x2＝﹣625（不合題意，舍去）經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝250是原方程的根，且符合題意，3000÷（250+125）＝8（天），2500÷250＝10（天），答：甲車間用8天完成任務(wù)，乙車間用10天完成任務(wù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．46．（2022?閔行區(qū)二模）北京冬奧會(huì)期間，海內(nèi)外掀起一股購(gòu)買冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”的熱潮．某玩具廠接到6000箱“冰墩墩”的訂單，需要在冬奧會(huì)閉幕之前全部交貨．為了盡快完成訂單，玩具廠改良了原有的生產(chǎn)線，每天可以多生產(chǎn)20箱“冰墩墩”，結(jié)果提前10天完成任務(wù)，求該玩具廠改良生產(chǎn)線前每天生產(chǎn)多少箱“冰墩墩”？【分析】設(shè)玩具廠改良生產(chǎn)線前每天生產(chǎn)x箱“冰墩墩”，根據(jù)改良生產(chǎn)線后提前10天完成任務(wù)，列分式方程，求解即可．【解答】解：設(shè)玩具廠改良生產(chǎn)線前每天生產(chǎn)x箱“冰墩墩”，根據(jù)題意，得，化簡(jiǎn)得：x2+20x﹣12000＝0，解得x1＝100，x2＝﹣120（不合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝100是原方程的根，且符合題意，答：玩具廠改良生產(chǎn)線前每天生產(chǎn)100箱“冰墩墩”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【名校自招練】一．填空題（共17小題）1．（2018?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）已知關(guān)于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的兩實(shí)根x1、x2滿足，則實(shí)數(shù)a＝3﹣．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之積與兩根之和，代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的兩實(shí)根為x1、x2，∴Δ＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴當(dāng)a≥0時(shí)，a﹣8≥0，即a≥8；當(dāng)a＜0時(shí)，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1?x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合題意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案為：a＝3﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系，熟記x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解答此題的關(guān)鍵．2．（2016?閔行區(qū)校級(jí)自主招生）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5的最小值為0．【分析】根據(jù)配方法把原式變成平方和的形式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答．【解答】解：2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5＝（x2+4xy+4y2）+（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝（x+2y）2+（x﹣2）2+（y+1）2≥0，∵（x+2y）2≥0，（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴當(dāng)x＝2，y＝﹣1時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)x＝2，y＝﹣1時(shí)，代數(shù)式2x2+4xy+5y2﹣4x+2y+5的最小值為0，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握配方法的一般步驟、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2018?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）關(guān)于x、y的方程組有2組解．【分析】先把y＝1兩邊平方得到y(tǒng)2?x＝1，得到x＝y(tǒng)﹣2，再把x＝y(tǒng)﹣2代入方程xx﹣y＝y(tǒng)x+y得y﹣2（x﹣y）＝y(tǒng)x+y，然后討論：當(dāng)y＝1時(shí)，x＝1；當(dāng)y≠1，則﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，再代入x＝y(tǒng)﹣2即可得到y(tǒng)的值，從而可確定方程組的解．【解答】解：把y＝1兩邊平方得到y(tǒng)2?x＝1，則x＝y(tǒng)﹣2，把x＝y(tǒng)﹣2代入方程xx﹣y＝y(tǒng)x+y得y﹣2（x﹣y）＝y(tǒng)x+y，當(dāng)y＝1時(shí)，x＝1，當(dāng)y≠1，則﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．經(jīng)檢驗(yàn)方程組的解為或．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程：通過(guò)平方法或換元法把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)確定無(wú)理方程的解．也考查了a0＝1（a≠0）以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．4．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）設(shè)實(shí)數(shù)x，y分別滿足99x2+2019x+1＝0．y2+2019y+99＝0并且xy≠1．則＝﹣．【分析】根據(jù)題意可知x與是方程99x2+2019x+1＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系分別求出兩根的和與兩根的積，代入代數(shù)式即可求出代數(shù)式的值．【解答】解：∵y2+2019y+99＝0，∴y≠0，方程y2+2019y+99＝0兩邊除以y2得，99×+2019×+1＝0，∴x和是方程足99x2+2019x+1＝0的兩個(gè)根，∴x+＝，，∴＝x+10×+＝＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及代數(shù)式求值．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．5．（2017?楊浦區(qū)校級(jí)自主招生）已知a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，且a≠b，則+＝﹣．【分析】由a、b滿足條件a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，可知a、b為方程x2+3x﹣7＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b＝﹣＝﹣3，ab＝＝﹣7，再將分式轉(zhuǎn)化成只含a+b和ab的分式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，∴a、b為方程x2+3x﹣7＝0的兩個(gè)根，∴a+b＝﹣＝﹣3，ab＝＝﹣7．＝＝＝＝＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、分式的化簡(jiǎn)以及完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出a+b＝﹣3，ab＝﹣7．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出兩根之和與兩根之積是關(guān)鍵．6．（2016?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）已知a是非零實(shí)數(shù)，則a2+的最小值等于2．【分析】原式變形后配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可．【解答】解：∵a是非零實(shí)數(shù)，∴原式＝a2﹣2+（）2+2＝（a﹣）2+2≥2，則a2+的最小值等于2，故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．7．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）如果方程x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0的三個(gè)根可以作為一個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)k＝6或．【分析】先確定x＝2是方程的一個(gè)根，再由x2﹣5x+k＝0有兩個(gè)相等的根或x2﹣5x+k＝0有一個(gè)根是2，分別求解k的值，根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答】解：由題意可知x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0有兩個(gè)相等的根，∵當(dāng)x＝2時(shí)，x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0，∴x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝（x﹣2）（x2﹣5x+k），∵方程的三個(gè)根可以作為一個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)，∴x2﹣5x+k＝0有兩個(gè)相等的根或x2﹣5x+k＝0有一個(gè)根是2，當(dāng)x2﹣5x+k＝0有兩個(gè)相等的根時(shí)，Δ＝25﹣4k＝0，解得k＝，此時(shí)方程的根為x＝，∴三角形的三條邊長(zhǎng)分別為2，，；當(dāng)x2﹣5x+k＝0有一個(gè)根是2時(shí)，k＝6，此時(shí)方程的根為x＝2或x＝3，∴三角形的三條邊長(zhǎng)分別為2，2，3；綜上所述：k的值為6或，故答案為：6或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，高次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2019?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）已知兩二次方程ax2+ax+b＝0與ax2+bx+b＝0各取一根，這兩根乘積為1，求這兩根的平方和為3．【分析】設(shè)方程兩根分別為：m、，則，兩式相減得到（a﹣b）（m2+m﹣1）＝0，即可得到m2+m﹣1＝0，得m﹣＝﹣1，進(jìn)而得到m2+＝（m﹣）2+2＝3．【解答】解：設(shè)方程兩根分別為：m、，則相減可得：（a﹣b）（m2+m﹣1）＝0，若a＝b，則x2+x+1＝0，無(wú)實(shí)根若a≠b，則m2+m﹣1＝0，得m﹣＝﹣1，∴m2+＝（m﹣）2+2＝3，故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．9．（2017?楊浦區(qū)校級(jí)自主招生）已知關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣（a+1）＝0的根都是整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)a的值為1，﹣1，0，2，3．【分析】首先利用當(dāng)a＝1時(shí)，得到一個(gè)一元一次方程，直接得出根；當(dāng)a≠1，把x＝1代入方程，得出a的取值．【解答】解：①當(dāng)a＝1時(shí)，x＝1；②當(dāng)a≠1時(shí)，原式可以整理為：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，易知x＝1是方程的一個(gè)整數(shù)根，再由x＝＝﹣1+且x是整數(shù)，知1﹣a＝±1或±2，∴a＝﹣1，0，2，3．故答案為：1，﹣1，0，2，3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方程整數(shù)解的求法，從特殊解入手求解，比較簡(jiǎn)單．10．（2017?楊浦區(qū)校級(jí)自主招生）＝1的解有2個(gè)．【分析】分兩種情況考慮：1、底數(shù)為1；2、指數(shù)為0，底數(shù)不為0，分別求出解即可．【解答】解：當(dāng)x﹣3＝1，即x＝4時(shí)，方程成立；當(dāng)x﹣3＝﹣1，即x＝2時(shí)，指數(shù)中分母為0，不合題意；當(dāng)＝0，x﹣3≠0時(shí)，整理得：x2﹣8x+15＝0，即（x﹣3）（x﹣5）＝0，x≠3，解得：x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是分式方程的解，綜上，方程的解為x＝4或x＝5，共2個(gè)．故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，絕對(duì)值，以及零指數(shù)冪，熟練掌握各自的性質(zhì)及分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．11．（2016?徐匯區(qū)校級(jí)自主招生）方程的解為x＝2【分析】設(shè)y＝，則原方程轉(zhuǎn)化為y++1＝3，解該分式方程即可．【解答】解：設(shè)y＝，則原方程轉(zhuǎn)化為y++1＝3整理，得：（y﹣1）2＝0，解得y＝1，所以＝1，整理，得：x+1＝3，解得x＝2．經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是原方程的根．故答案是：x＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查換元法在解分式方程中的應(yīng)用．換元法是借助引進(jìn)輔助元素，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的一種解題方法．這種方法在解題過(guò)程中，把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代表它，實(shí)行等量替換．這樣做，常能使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，形象直觀．12．（2019?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）若關(guān)于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三個(gè)根恰好可以組成某直角三角形的三邊長(zhǎng)，則m的值為．【分析】運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，根據(jù)勾股定理列方程解答即可．【解答】解：設(shè)某直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，依題意可得x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，設(shè)x2﹣6x+m＝0的兩根為a、b，∴（﹣6）2﹣4m≥0，m≤9，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得a+b＝6，ab＝m，則c＝4，①c為斜邊時(shí)，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合題意，舍去）；②a為斜邊時(shí)，c2+b2＝a2，42+（6﹣a）2＝a2，a＝，b＝6﹣a＝，∴m＝ab＝＝，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，熟練運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式是解題的關(guān)鍵．13．（2019?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）設(shè)方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0的兩根為x1，x2，則（x1+1）（x2+1）＝．【分析】先將方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0化簡(jiǎn)，然后根據(jù)韋達(dá)定理得出x1+x2和x1x2的值，再化簡(jiǎn)要求的式子，最后將x1+x2和x1x2的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可．【解答】解：∵（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1）（x+21）＝0∴x2+12x+11+x2+32x+231+x2+22x+21＝0∴3x2+66x+263＝0∵Δ＝662﹣4×3×263＝4356﹣3156＞0∴由韋達(dá)定理得：x1+x2＝﹣22，x1x2＝∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣22+1＝故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及方程和代數(shù)式的化簡(jiǎn)，計(jì)算具有一定的難度．14．（2017?浦東新區(qū)校級(jí)自主招生）建平中學(xué)社團(tuán)活動(dòng)豐富多彩，有JTV社（金蘋(píng)果電視臺(tái)）、04辯論社、智能機(jī)器人社、健美操社……，在一次社團(tuán)文化節(jié)上．中國(guó)象棋社開(kāi)展了社員PK活動(dòng)