2023-2024學年貴州省貴陽市普通中學高三3月份模擬考試數(shù)學試題含解析

2023-2024學年貴州省貴陽市普通中學高三3月份模擬考試數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是等差數(shù)列的前項和，，，則（）A．85 B． C．35 D．2．已知命題：使成立．則為（）A．均成立 B．均成立C．使成立 D．使成立3．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則,，的大小關系為（）A． B． C． D．4．已知是邊長為1的等邊三角形，點，分別是邊，的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（）A． B． C． D．5．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．6．設集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}7．一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．設分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想的內容是：每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如：，，，那么在不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．10．若，則實數(shù)的大小關系為（）A． B． C． D．11．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A． B．3 C． D．212．設為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，點，在曲線上，且以為直徑的圓的方程是．則_______．14．的展開式中，x5的系數(shù)是_________．（用數(shù)字填寫答案）15．函數(shù)的極大值為________.16．給出下列四個命題，其中正確命題的序號是_____．（寫出所有正確命題的序號）因為所以不是函數(shù)的周期；對于定義在上的函數(shù)若則函數(shù)不是偶函數(shù)；“”是“”成立的充分必要條件；若實數(shù)滿足則．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，求的值.18．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．19．（12分）已知數(shù)列滿足且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）設實數(shù)滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若，，求證：.21．（12分）某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過度的部分按元/度收費，超過度但不超過度的部分按元/度收費，超過度的部分按元/度收費．（I）求某戶居民用電費用（單位：元）關于月用電量（單位：度）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這戶居民中，今年1月份用電費用不超過元的占，求，的值；（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點代替，記為該居民用戶1月份的用電費用，求的分布列和數(shù)學期望.22．（10分）如圖，四棱錐E﹣ABCD的側棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

將已知條件轉化為的形式，求得，由此求得.【詳解】設公差為，則，所以，，，.故選：B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和的計算，屬于基礎題.2、A【解析】試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即．考點：全稱命題.3、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，再比較的大小，根據(jù)函數(shù)的單調性可得選項.【詳解】依題意得，，當時，，因為，所以在上單調遞增，又在上單調遞增，所以在上單調遞增，，即，故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應用、冪、指、對的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調性比較大小，屬于中檔題.4、D【解析】

設，，作為一個基底，表示向量，，，然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設，，所以，，，所以.故選：D【點睛】本題主要考查平面向量的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5、B【解析】

建立平面直角坐標系，用坐標表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0，0).不妨設AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點睛】本題主要考查了由平面向量線性運算的結果求參數(shù)，屬于中檔題.6、C【解析】

先求集合A，再用列舉法表示出集合B，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故選：C．【點睛】本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎題．7、B【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【點睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體．8、B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結合的思想，屬于基礎題.9、B【解析】

先求出從不超過18的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)的所有可能結果，然后再求出其和等于16的結果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過18的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個，從中隨機選取兩個不同的數(shù)共有，其和等于16的結果，共2種等可能的結果，故概率.故選：B.【點睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計數(shù)得到，屬于基礎題.10、A【解析】

將化成以為底的對數(shù)，即可判斷的大小關系；由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質，可判斷出與1的大小關系，從而可判斷三者的大小關系.【詳解】依題意，由對數(shù)函數(shù)的性質可得.又因為，故.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質，考查了對數(shù)函數(shù)的性質，考查了對數(shù)的運算性質.兩個對數(shù)型的數(shù)字比較大小時，底數(shù)相同，則構造對數(shù)函數(shù)，結合對數(shù)的單調性可判斷大小；若真數(shù)相同，則結合對數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大?。蝗粽鏀?shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.11、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設與軸的交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.12、D【解析】

用誘導公式和二倍角公式計算．【詳解】．故選：D．【點睛】本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式，解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設所在直線方程為設?點坐標分別為，，都在上，代入曲線方程，兩式作差可得，從而可得直線的斜率，聯(lián)立直線與的方程，由，利用弦長公式即可求解.【詳解】因為是圓的直徑，必過圓心點，設所在直線方程為設?點坐標分別為，，都在上，故兩式相減，可得(因為是的中點)，即聯(lián)立直線與的方程：又，即，即又因為，則有即∴.故答案為：【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系、弦長公式，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于中檔題.14、-189【解析】由二項式定理得，令r=5得x5的系數(shù)是．15、【解析】

對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)單調性，即可容易求得函數(shù)的極大值.【詳解】依題意，得.所以當時，；當時，.所以當時，函數(shù)有極大值.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，考查運算求解能力以及化歸轉化思想，屬基礎題.16、【解析】

對①,根據(jù)周期的定義判定即可.對②,根據(jù)偶函數(shù)滿足的性質判定即可.對③,舉出反例判定即可.對④,求解不等式再判定即可.【詳解】解：因為當時,所以由周期函數(shù)的定義知不是函數(shù)的周期,故正確；對于定義在上的函數(shù),若,由偶函數(shù)的定義知函數(shù)不是偶函數(shù),故正確；當時不滿足則“”不是“”成立的充分不必要條件,故錯誤；若實數(shù)滿足則所以成立,故正確．正確命題的序號是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了命題真假的判定,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線的直角坐標方程為；直線的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標方程為直角坐標方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；（2）聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點坐標，從而得兩點間距離．【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為直線的直角坐標方程為（2）據(jù)解，得或【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查參數(shù)方程與普通方程的互化，屬于基礎題．18、（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【解析】試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復合角的三角函數(shù)式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式，即可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）得函數(shù)，分析它在閉區(qū)間上的單調性，可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，，∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為．考點：1．兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2．三角函數(shù)的周期性和單調性．19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)已知可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解；（2）由（1）可得為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項和公式，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，又所以數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比為.故（2）由（1）知，所以所以【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義及通項公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和，屬于基礎題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）依題意可得，考慮到，則有再分類討論可得；（2）要證明，即證，即證.利用基本不等式即可得證；【詳解】解：（1）由及，得，考慮到，則有，它可化為或即或前者無解，后者的解集為，綜上，的取值范圍是.（2）要證明，即證，由，得，即證.因為（當且僅當，時取等號）.所以成立，故成立.【點睛】本題考查分類討論法解絕對值不等式，基本不等式的應用，屬于中檔題.21、（1）；（2），；（3）見解析.【解析】試題分析:（1）根據(jù)題意分段表示出函數(shù)解析式;（2）將代入（1）中函數(shù)解析式可得，即，根據(jù)頻率分布直方圖可分別得到關于的方程,即可得;（3）取每段中點值作為代表的用電量,分別算出對應的費用值,對應得出每組電費的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.試題解析:（1）當時，；當當時，；當當時，，所以與之間的函數(shù)解析式為.（2）由（1）可知，當時，，則，結合頻率分布直方圖可知，∴，（3）由題意可知可取50，150，250，350，450，550，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，故的概率分布列為25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以隨機變量的數(shù)學期望22、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質定理，可得DE//BF，然后根據(jù)勾股定理計算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾