2023-2024學(xué)年河南省信陽(yáng)高二年級(jí)上冊(cè)月考數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河南省信陽(yáng)高二上冊(cè)月考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛q｝中R=I,則4+即=()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算，即可得答案.

【詳解】由題意等差數(shù)列｛%｝中4=1，

可得4+%=2%=2,

故選：B

2.已知直線/的方向向量α=(-2,3,1),平面ɑ的一個(gè)法向量為3=(4,0,8),則直線/與平面

α的位置關(guān)系是()

A.平行B.垂直C.在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)閑e=0,所以α,e,所以直線/與平面α的位置關(guān)系是平行或在

平面內(nèi).

故選：D.

3.若直線4：0x+3y+l=0與32x+(α+l)y+l=0互相平行，則"的值是()

A.—3B.2

C.一3或2D.3或一2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)直線4：0x+3y+l=0與4：2x+(α+l)y+l=0互相平行，由α(α+l)=2x3求

解.

【詳解】因?yàn)橹本€4：0r+3y+l=0與*2x+(α+l)y+l=0互相平行,

所以α(α+l)=2x3,即/+”_6=(),

解得α=-3或α=2,

當(dāng)a=-3時(shí)，直線/"3x-3y+l=0,∕2：2x-2γ+l=0,互相平行;

當(dāng)4=2時(shí)，直線4：2x+3y+l=0,I2：2x+3γ+l=O,重合；

所以α=—3,

故選：A

4.已知過(guò)點(diǎn)P(2,l)有且僅有一?條直線與圓+V+20r+qy+2∕+4-I=O相切，則。=

()

A.-1B.-2C.1或2D.-I或-2

【正確答案】A

由f+y2+2aχ+ay+2〃~+。-1=0為圓的方程可得(2α)"+a"-4(2t∕2+a—1)>0,又過(guò)點(diǎn)

尸(2,1)有且僅有一條直線與圓C：%2+/+2雙+@+2/+。一1=0相切，則點(diǎn)P(2,l)在圓上,

聯(lián)立即可得解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)22,1)有且僅有一條直線與圓C：χ2+y2+2ar+αy+2∕+α-1=。相切，

則點(diǎn)P(2,l)在圓上，

貝吐+產(chǎn)+44+〃+2/+〃一I=0,解得。=-2或Q=-1,

又f+J?+20r+αy+2/+α-l=0為圓的方程，

則(24+4-4(2/+α-l)>0,即-2<α<∣,

即Q=—1,

故選：A

5.已知雙曲線C=1(a>O,b>O)的離心率為亞，則C的漸近線方程為

a2b22

A.y=±-xB.y=±LC.y=±LD.y=±x

432

【正確答案】C

【詳解】=好，故4=LB[J-≈7,故漸近線方程為y=±2χ=±!x.

a?a22a24a2a2

本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.

6.下列說(shuō)法正確的是()

A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P伍,九)的直線都可以用方程y-%=%(χ-Λ0)表示

B.方程x+my-2=0(meR)不能表示平行>軸的直線

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1),傾斜角為。的直線方程為y-l=tanθ(x-1)

D.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)q(%,y),2(々,%)(百/%)的直線方程為y-y=&?三L(X-XJ

【正確答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式不能表示斜率不存在的直線判斷A選項(xiàng)；

特殊值的思路，當(dāng)，〃=0時(shí)直線與y軸平行，即可判斷B選項(xiàng)；

根據(jù)正切函數(shù)的定義域即可判斷C選項(xiàng)；

根據(jù)斜率公式和點(diǎn)斜式即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程不能用y-%=MX-X。)表示，故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)：當(dāng)M=O時(shí)，直線方程為x=2,跟>軸平行，故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)：當(dāng)6=90。時(shí)，tan。不存在，故C錯(cuò)；

D選項(xiàng)：經(jīng)過(guò)R,巴兩點(diǎn)時(shí)，直線斜率為憶=上&,再根據(jù)點(diǎn)斜式得到直線方程為

?-xι

y-M=逅二M(X-XJ,故D正確.

故選：D.

7.在三棱錐S-A3C中，SA、SB、SC兩兩垂直且1S4=S8=SC=2,點(diǎn)M為S-ABC的

外接球上任意一點(diǎn)，則MA.何8的最大值為()

A.4B.2C.2√3D.2√3+2

【正確答案】D

【分析】將三棱錐S-ABC補(bǔ)成正方體，計(jì)算出正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，叩為三棱錐S-A8C

的外接球直徑長(zhǎng)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E,利用點(diǎn)M、球心、點(diǎn)E三點(diǎn)共線且球心在線段EM

上時(shí)，ME最長(zhǎng)可求得IMEl的最大值，由此可得出MA?的最大值.

【詳解】因?yàn)槿忮FS-ABC中，SA，SB、SC兩兩垂直且M=SB=SC=2,

將三棱錐S-ABC補(bǔ)成正方體SADB-CPQR,

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球半徑為R,球心為。，

則2R=+SB'+SC)=2上，；.R=舟

M

取AB的中點(diǎn)E,連接OE、MO,

SA±SB,則AB為4S43的外接圓的一條直徑，則E為ASAB的外接圓圓心,

所以，OE_L平面5A8,ABU平面SAS,..OE_LA8,

,小________

AE=—AB=——SA=V2，.?.OE=>JR2—AE'=1，

22

由球的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)M、。、E三點(diǎn)共線且點(diǎn)。在線段ME上時(shí)，

IMEl取得最大值，且WHM=WOI+∣o目=G+I.

MA=ME+EA^MB=ME+EB=ME-EA,

所以，MAMB=(ME+EA)(ME-EA)=ME2-EA2=∣ME∣2-2≤(√3+1)"-2=2√3+2.

當(dāng)且僅當(dāng)IMEI=6+1時(shí)，等號(hào)成立.

因此，仞4.時(shí)8的最大值為26+2.

故選：D.

方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方

體或長(zhǎng)方體中去求解；

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同而均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

8.等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”,且4>0,$=0.設(shè)勿=勺%,0+2(〃€”),則當(dāng)數(shù)列也｝

的前”項(xiàng)和Z,取得最大值時(shí)，〃的值為

A.23B.25C.23或24D.23或25

【正確答案】D

【分析】先依據(jù)條件知等差數(shù)列｛qj的前25項(xiàng)為正數(shù)，從第26項(xiàng)起各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，所以可

以判斷他,｝的前23項(xiàng)為正數(shù)，&為負(fù)數(shù)，旗為正數(shù)，從第27項(xiàng)起各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，而

3+3=0,故也｝的前”項(xiàng)和T,取得最大值時(shí)，〃的值為23或25.

【詳解】a,>0,S50=O,

二等差數(shù)列｛%｝的公差d<0,

且%=?^J=25（電5+心）=0

則“25>。,。26<°,且|%51=l?619

由a=4,AI+“+2（〃GM）,知也｝的前23項(xiàng)為正數(shù)，3為負(fù)數(shù)，%為正數(shù)，從第27項(xiàng)起

各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，

而蜀與久是絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，相加為零，

T23=T25,之后7；越來(lái)越小，

所以數(shù)列他,｝的前”項(xiàng)和1取得最大值時(shí),?的值為23,25,故選D.

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及求數(shù)列前〃項(xiàng)和取最值的判斷方法.

二、多選題

9.如圖，設(shè)直線/,m,”的斜率分別為占，k2,&,則（）

A.k1>k3B.k2<klC.k2<k3D.∣fc2∣>?∣

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)直線的傾斜方向先判斷出直線的傾斜角是銳角或鈍角，再根據(jù)直線的傾斜程度

判斷其絕對(duì)值的大小，得出答案.

【詳解】由圖可知直線/,，”，〃的傾斜角分別為銳角、鈍角、鈍角，

所以K>Q,k2<O,k3<0

又直線機(jī)最陡峭，則網(wǎng)>|勾,網(wǎng)>網(wǎng)=4

所以&<4，&k∣>K?故選項(xiàng)BCD正確.

故選：BCD

10.在如圖所示的棱長(zhǎng)為I的正方體ABa）-A旦a。中，點(diǎn)尸在側(cè)面BCGq所在的平面上

運(yùn)動(dòng)，則下列命題中正確的（）

A.若點(diǎn)P總滿足必"LBD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線

B.若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為√∑,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長(zhǎng)為2π的圓

C.若點(diǎn)尸到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓

D.若點(diǎn)尸到平面BAA內(nèi)與到直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡拋物線.

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得即2面ACC圈，可得出u面ACClA,進(jìn)而可得尸

在面ACGA與面BCC內(nèi)的交線上可判斷A；由已知可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以5為圓心，1為

半徑的小圓（在平面BCCg內(nèi)），可判斷B；由P8+PC=1=BC可判斷C；根據(jù)點(diǎn)到平面

的距離以及點(diǎn)到直線的距離結(jié)合拋物線的定義可判斷D；進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镃C∣，面ABC。，8E>u面ABC。，可得CG_LB。，

因?yàn)锳ClBO,AC∩CC,=C,所以8。/面ACGA，

因?yàn)辄c(diǎn)P總滿足R4_L8O,所以B4u面ACGA,點(diǎn)PC面ACGA，

因?yàn)槭珿面BCG旦，所以點(diǎn)P在面AeGA與面8CGB∣的交線上,

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線CG,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B：點(diǎn)尸的軌跡是以A為球心，半徑為0的球面與平面BCC4的交線，即點(diǎn)P的軌跡

是小圓，設(shè)小圓的半徑為，因?yàn)榍蛐腁到平面8CC內(nèi)的距離為AB=1,所以

r=《可-1=1,交線即以8為圓心，1為半徑的小圓(在平面BCeBl內(nèi))，所以小圓的周

長(zhǎng)為2πr=2兀，

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C：點(diǎn)尸到直線AB的距離即是點(diǎn)P到點(diǎn)8的距離，即平面BCGq內(nèi)點(diǎn)戶滿足

PB+PC=?=BC,所以滿足條件的點(diǎn)尸的軌跡是線段3C,而不是橢圓，故選項(xiàng)C不正確;

對(duì)于D：點(diǎn)P到平面BAA耳與到直線Co的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以線段BC的中點(diǎn)

為頂點(diǎn)，直線BC為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，(在平面BCCS內(nèi))，故選項(xiàng)D正確；

11.已知數(shù)列也｝滿足4=10,%=2,且q,+2—2?M+q=θ("eN*),則下列結(jié)論正確的是

()

A.α,,=12-2”

B.|%|的最小值為O

C.∣41+|%I+∣%∣+…-11”+60

D.當(dāng)且僅當(dāng)〃=5時(shí)，%+%+?3+…+4取最大值30

【正確答案】AB

【分析】由遞推式可知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，由4=10,?=2,可求得公差d,從而可得

數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式，即可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)〃=6時(shí)，?=0,可判斷B；當(dāng)為5時(shí)，an>0,

當(dāng)〃..6時(shí)，alt,,0,從而可求得lql+31+31+...+kl,即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)〃=6時(shí)，UI取

得最小值為0,即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由4+2-2a,z+%=0,可得《】+2-an+?=an+?~an，所以數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列,

因?yàn)閝=10,αs=2,所以公差"=與斗=_2,

所以q=4+5-1）〃=10-2（〃-1）=12-2〃，故A正確；

∣?∣=∣12-2n∣,當(dāng)”=6時(shí)，同取得最小值為0,故B正確；

當(dāng)〃=6時(shí)，?！?0,所以當(dāng)〃V5時(shí)?，?>0,當(dāng)幾>6時(shí),cιn<O,

以當(dāng)〃<5時(shí),I<7∣I÷1J+|生|+…+|。〃I=α∣+/+。3+…+4?=-^--------------?=1—A?2,

當(dāng)M≥6時(shí)，∣α,∣+∣02∣+∣?∣+???+∣αJ=01+a2+???+α5-06-------an

=—(4+a2+/+,,?+)+2(q+出+???+%)=—SU+2S5=—(11/?—/?~)+60=π~—11/?+60,

X7X≥>故C錯(cuò)誤;

所以同+同+同+…+同=6

當(dāng)"=5或〃=6時(shí)，巧+%+為+-一+4取最大值30,故D錯(cuò)誤.

故選：AB

12.已知尸為橢圓C：土+匕=1的左焦點(diǎn)，直線/：y=履（ZHo）與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),

168

AE_LX軸，垂足為￡,BE與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則（）

,,14

A.∣AF∣+∣lBF∣l=8B.府j+前的最小值為2

C.直線BE的斜率為;&D.44B為鈍角

【正確答案】AC

【分析】對(duì)于A,利用橢圓與y=丘的對(duì)稱(chēng)性可證得四邊形AFe尸為平行四邊形，進(jìn)而得到

∣AF∣+∣βF∣≈8:

14

對(duì)于B,利用A中的結(jié)論及基本不等式“1”的妙用即可得到國(guó)+畫(huà)的最小值；

對(duì)于C,由題意設(shè)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)斜率公式即可得到A?=：女；

對(duì)于D,先由各點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合橢圓方程可得到心/怎B=-：,從而可證得?心a=T,由此

可知NHB=90°.

22

2

【詳解】由橢圓c：2+2L=l得/=16萬(wàn)=8,則α=44=2√Σ,c=8.c=2√2,

168

對(duì)于A,設(shè)將圓C的右焦點(diǎn)為百，如圖，連接A9，BF',

由橢圓與y=kx的對(duì)稱(chēng)性可知AO=BO,OF=OF',則四邊形AF1BF為平行四邊形，

t^?AF]+?BF?=?AF?+?AF'?=2a=S,故A正確；

對(duì)于B,

?÷AU(∣AF∣÷∣B4?÷ΛLιf5÷M^?r麻I研9

?BF?8"11l,[?AF??BF?}81?AF?忸尸∣J/『+2?伺.褐J=G

BF4?AF?IIlll...16

當(dāng)且僅當(dāng)工開(kāi)=方寸，且IAFl+∣M∣=8,即忸F∣=2∣AF∣=5時(shí)，等號(hào)成立,

49

故+

兩8-

對(duì)于C,設(shè)Aa,%),B(-x0,-y0),E(?,0),故直線BE的斜率曝==*=；孑=；

?o十X。乙?o乙

故C正確；

對(duì)于D,設(shè)p(m,〃)，直線出的斜率為/?,直線尸B的斜率為心8，則

2

n-ynn+yan-yp

k,.k

^PΛAPR2

tn-m+x0ιn-xθ

22?2

又點(diǎn)P和點(diǎn)A在橢圓C上，故竺+工=1,五+苑=1,

168168

兩式相減得聯(lián)+式=0'則反T，故心%一，

易知％=臉=權(quán),則％*q,得％=q,

所以&A?h∕)=(-"1%=T,故N%B=90°,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

13-已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“=2〃2-〃+1,則其通項(xiàng)公式q=

2,n=l

【正確答案】

4n-3,n≥2,nsN"

【分析】利用當(dāng)“≥2時(shí)，?=Sπ-S,,.1,可求出此時(shí)的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證〃=1時(shí)是否適合，可

得答案.

【詳解】當(dāng)“≥2時(shí)，a,=S“-S“T=2〃2-"+l-[2（〃-l）2一（"-l）+l]=4"-3,

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2-1+1=2不適合上式，

2,n=l

4〃一3,〃≥2,〃∈N*

2,n=1

故答案為:

4〃一3,〃≥2,〃∈N*

14.《孫子算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)期（公元5世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作.在《孫子算經(jīng)》中有“物不

知數(shù)”問(wèn)題：一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù).設(shè)這個(gè)整數(shù)為"，當(dāng)α∈[l,2022]

時(shí)，符合條件的最大的。為.

【正確答案】2018

【分析】由題意可設(shè)α=3m+2=5"+3,m,∏∈N,則3m=5α+l,對(duì)整除5的余數(shù)分情況

討論，即可求出符合題意的〃的值，再結(jié)合αe[l,2022]即可求出符合條件的最大的α.

【詳解】由題意可設(shè)"=3m+2=5"+3,in,∏∈N,

則3w=5"+l,設(shè)％∈N,

當(dāng)m=5&時(shí)，15左=5〃+1,”不存在,

當(dāng)∕M=5Z+1時(shí)，15Z+3=5〃+1,5〃=15k+2,〃不存在,

當(dāng)"?=5/+2時(shí),l5k+6=5n+?,:.5n=\5k+5,.?n=3k+?,滿足題意,

當(dāng)m=5∕+3時(shí),\5k+9=5n+\,:.5n=15k+8,“不存在,

當(dāng)機(jī)=54+4時(shí),15?+12=5n+l,.?.5/7=15)1+11,〃不存在,

即n=3A+1時(shí)滿足題意，.?,α=15?+8,

72014

又.αe[l,2022],貝∣J1≤15k+8≤2022,即詈，

故人的最大值為134,.?.符合條件的最大的“為15x134+8=2018.

故答案為:2018.

15.如圖，兩條異面直線“，匕所成角為60°,在直線上α,〃分別取點(diǎn)A，，E和點(diǎn)A,F,使

AAua且A4」。.已知A'E=2,AF=3,EF=5.則線段AA'=.

【正確答案】3&或指

【分析】根據(jù)空間向量的加法，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算模長(zhǎng)，建立方程，可得答案.

【詳解】因?yàn)镋F=EA'+AN+AF，所以

∣EF∣2=(E4'+A'A+AFy=IEAf+1A'A『+,尸『+2EA,?A'A+2EA'-AF+2A'AAF,

由于A4'_La,AAYb,貝∣J2EA?AA=O,2A'A?AF=0，

又因?yàn)閮蓷l異面直線0,6所成角為60。，所以(EA',AF)=60或120,

故5?=2?+∣A,A∣2+32+2X2X3XCOS(EA',AF),可得IAH=30或痛.

故3&或#

2222

16.設(shè)%B分別為橢圓G：與+夫=1(4>々>0)與雙曲線C：二一??=l(α,>b,>0)的

axP1④D2

公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)〃，NEMg=90。，若橢圓的離心率qe-?,

則雙曲線。2的離心率氣的取值范圍為.

【正確答案】半，3

【分析】由題意，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，表示出焦半徑，整理齊次方程，根據(jù)離心率定

義以及二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】由橢圓及雙曲線定義得知6+M馬=2q,MK-Mg=2/=MfJ=q+%,

MF2=al-a2,

22

因?yàn)镹月M心=90。，所以(弓+nJ?+(6-%y=4C?2,a1+a1=2c,4"+4"=2,

eIe2

32√2981916所以92一卜27

因?yàn)閑∣∈,-屋18'9則

43l6,9匕2eI98

因?yàn)棣?>b,,%<1,由e2=E=Jl+[2]<√L所以l<e,<也，因此e?e"M五

出見(jiàn)Y^L7

故答案為.當(dāng),友)

四、解答題

17.記S”為等差數(shù)列｛“"｝的前"項(xiàng)和，已知Sy=一怒.

(1)若的=4,求｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若“∕>0,求使得S"≥m的”的取值范圍.

【正確答案】(1)?=-2n+10;

(2)l≤w≤10(n∈N*).

【分析】(1)首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于q和d的方程組,

求得4和d的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果：

(2)根據(jù)題意有4=0,根據(jù)q>0,可知d<0,根據(jù)S“>4，得到關(guān)于〃的不等式，從

而求得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為4,公差為d,

,..9a.+d=-(a+4d)

根據(jù)題意有'2'l,

ai+2d=4

(4=8

解答]所以4=8+(〃一l)x(-2)=—2〃+l。，

[a=-2

所以等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為?=-2/7+10；

(2)由條件S9=-45,得9A5=T?,即〃5=°，

因?yàn)?>0,所以“<0,并且有“5=4+4d=0,所以有α∣=-4”,

2

由Sn>an得nal+“(丁)d≥al+(n-l)d,整理得(n-9n)d≥(2n-10)J,

因?yàn)閐<0,所以有/-9"≤2"-10,EPn2-lln+10≤0>

解得l≤"<10,

所以〃的取值范圍是：l≤"≤10("eN*)

該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公

式，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.

18.已知直線/經(jīng)過(guò)兩條直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn)，且與直線x+y-2=0垂

直.

(1)求直線/的方程；

(2)若圓C過(guò)點(diǎn)(1,0),且圓心在X軸的正半軸上，直線/被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2夜，求

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【正確答案】(l)y=χ-ι

⑵(I)"-

【分析】(1)先求得直線2x-y-3=0和直線4x-3y-5=0的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求得直

線/的方程.

(2)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+>2=嚴(yán)，根據(jù)已知條件列方程組，求得由此求得

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

[2x-y-3=0(x=2

【詳解】(1)彳q<八=

[4x-3y-5=0[γ=l

直線x+y-2=0的斜率為τ,所以直線/的斜率為1,

所以直線/的方程為y-l=lχ(χ-2),y=χ-L

（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—ap+y2=產(chǎn),

=>a=39r=2t

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）2+V=4.

19.如圖，在四棱錐P-ΛBCf>中，底面ABCO是梯形，AB//CD,ADLAB,

AB=AD=PD=^CD,PD_L平面ABCD,點(diǎn)M是棱PC上的一點(diǎn).

⑴若PC=3PM,求證：PA，平面MBD；

（2）若M是PC的中點(diǎn)，求二面角M-BZ）-C的余弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵遠(yuǎn)

3

ANAR1

【分析】（1）連接AC交8。于N,連接MN,則可得dANBS∕?CND,f?-

NCDC2

ANPM1

再結(jié)合已知可得黑=Er=則必〃MN,然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論，

NCMC2

（2）過(guò)M作ME_L￡>C于E,過(guò)E作EFJ_BD于F,連接Λ∕E,可得NMFE是二面角

V-即-C的平面角，從而可求得結(jié)果

【詳解】（1）證明：連接AC交8。于N,連接MN,

因?yàn)锳8〃8

所以一ANBSACND,

re、IANAB?

所以質(zhì)=灰

2

因?yàn)槭?

2

ZANPM1

所IX以而=荻=5

所以P4〃MN,

因?yàn)镻Aa平面MBD,MNU平面MBD

所以〃平面M8/)

(2)過(guò)M作ME_L￡>C于￡,

因?yàn)镻D_L平面ABC￡),Pr)U平面PDC,

所以平面PDC，平面ABa),

因?yàn)槠矫鍼DC平面ΛBCD=CZ),

所以MEl.平面ABa),

因?yàn)锽Du平面A8C7),所以MEJ_8D

過(guò)E作EF_L8D于尸，連接M尸，

因?yàn)镸ECET7=E,所以Br)I平面ME戶，

因?yàn)檫砋平面用EF,

所以"FLBD

所以NMFE是二面角M-3￡>-C的平面角，

不妨設(shè)A8=2,則A8=AO=P￡)=?C￡>=2,

2

因?yàn)锳B〃C￡),Az)?AB,所以BD=2√2,BC=2√2,DC=4,

所以8￡>2+8。2=jDC2,所以BDLBC,

所以ME=LPo=1,EF=LBC=血，

22

所以MF=6，

20.已知拋物線V=2px(p>0)?過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線/與該拋物線交于不同的

兩點(diǎn)A、B.

⑴若∣AB∣≤2p,求α的取值范圍；

(2)若線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)。，交X軸于點(diǎn)M試求RtAMNQ的面積.

【正確答案】(1)(苫，/；

⑵P?.

【分析】(1)設(shè)直線/的方程為y=χ-α,與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得

∣AB∣=λ∕8p(p+20),求解O<∣AB∣≤2p即可；

(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求Q(α+p,"),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得IQM2=2/,又

△MNQ是等腰直角三角形，從而可求SMN0.

【詳解】(1)直線/的方程為y=x-",

將y=x—α代入V=2pχ(p>0),f?x2-2(α+p)x+α2=0.

設(shè)Aa方)，8(々,丫2)，

4(α+/?)--4a2>0,

貝∣J<x∣+w=2(α+p),

?

x1x2=a".

所以14卻=?/?+12?J[2(α+P)丁一4〃2=J8p(p+2”).

因?yàn)?<∣A8∣≤2p,

所以p+24>0且J8p(p+24)42p,解得-?^<"≤∕.

故α的取值范圍是.

(2)設(shè)。(馬必)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得匕=弋上="+P,

61

J3=(XI-a)?")=p,故。(4+p,p).

所以IQM「={a+p-a?+(p-0)2=Ip1.

因?yàn)榫€段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q,交X軸于點(diǎn)M且直線/的傾斜角為45。，

所以aMNQ是等腰直角三角形，

所以%優(yōu)=3。加『=廣

21.如圖，C是以AB為直徑的圓。上異于4,B的點(diǎn)，平面PAC_L平面ABC,一PAC為正三

角形，E,F分別是尸CM上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：BCVAEx

(2)若E,F分別是PC刃?的中點(diǎn)且異面直線AF與BC所成角的正切值為B,記平面AEF與

2

平面ABC的交線為直線/,點(diǎn)Q為直線/上動(dòng)點(diǎn)，求直線PQ與平面AE尸所成角的取值范圍.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵(吟］

【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證明BCl平面PAC,即可證明BCj.AE?

(2)由已知結(jié)合線面平行的判定定理知BC〃平面AEF,結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理知

BCHl,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q(2,f,0),求出平面AE尸的一個(gè)法向量，利用空間向量

求線面角即可得解.

【詳解】(1)證明：因?yàn)镃是以A3為直徑的圓。上異于A,B的點(diǎn)，所以3CLAC,

又平面R4C_L平面A8C,且平面PAC"平面A8C=AC,3Cu平面ABC,

所以8C/平面PAC,AEu平面PAC.

所以8CL4E

(2)由E,尸分別是PC,PB的中點(diǎn)，連結(jié)AE,￡7"所以BC〃$，由(1)知BCLAE,

所以EFLAE,所以在RJAFE中，-AFE就是異面直線A尸與BC所成的角.

因?yàn)楫惷嬷本€AF與BC所成角的正切值為正，

2

所以tan∕AFE=且，即絲=走

2EF2

又E尸U平面AEF,BC0平面AEF,

所以BC〃平面AEF,又BCu平面ABC,平面防4c平面ABC=/,

所以8C〃/

所以在平面ABC中，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線即為直線/.

因?yàn)锳PAC為正三角形所以AE=石，從而EF=2

由已知E,F分別是PCPB的中點(diǎn)，所以BC=2EF=4

(1⑸flJj

則A(2,0,0),8(0,4,0),P(LO,√5),所以E5,O,3尸子2,后

所以AE=（3。6）,EF=（0,2,0）,

〔-于（M

因?yàn)锽C〃/,所以可設(shè)。(2/0),平面AEF的一個(gè)法向量為/M=(x,y,z),

3x?/?z

AE?m=-—I------=O

則22取2=百，得m=(l,0,6),

EF`m=2y=0

又α.「我，則6〈也，〃〉=湍粉二/€恒

設(shè)直線PQ與平面AE尸所成角為凡則sin9=-rXτe(θJ.

√4+rk2」

所以直線尸。與平面AE/所成角的取值范圍為(。高.

22.已知斜率為左的直線/與橢圓C：：+［=1交于A,5兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為

M(1,∕7∕)(∕7Z>0).

(1)證明：Z<-L;

2

⑵設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn),且尸P+E4+FB=0?證明：網(wǎng)，網(wǎng)，網(wǎng)成等

差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

【正確答案】(1)%<-：；⑵證明見(jiàn)解析，公差為更紅或—酒.

22828

【分析】(1)方法一：設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明.

(2)方法一：解出血進(jìn)而求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，得到|尸耳,再由兩點(diǎn)間距離公式表示出|必|,卜耳

得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解.

【詳解】(D［方法一］：【最優(yōu)解】點(diǎn)差法

2222

--

設(shè)A(Λpy∣),8(々，%)，則+［=+4=L

兩式相減，并由"A=&得五3+嗎&/=0,

由題設(shè)知衿衛(wèi)=1,町及=〃?，于是k=①

224m

由題設(shè)得0<"<三3,故&<一1一.

22

［方法二］：【通性通法】常規(guī)設(shè)線

設(shè)AB:y=fcr+f,A(^,>?),β(x2,y2),當(dāng)k=0時(shí)，顯然不滿足題意;

1+彳勺得，(3+4公卜2+8近χ+4∕2-i2=0,所以，x,+x≈--

?-2

y=κx+t

Δ>0,即4公+3—2>0,而Wi=1,所以3+4公=-4燈,

2

ΛL2.3一3

又m=k+1=k-----------=—>0,所以AV0,

4kAk

(4*23V11

4/+3—+>0,即F〉；，解得：k<-.

-4kJ42

［方法三］:直線與橢圓系的應(yīng)用

對(duì)原橢圓作關(guān)于M(?,ni)對(duì)稱(chēng)的橢圓為0Ξ立+02二2匚=1.

43

兩橢圓方程相減可得X+等y=ι+gm,即為AB的方程，故k=-3?

334機(jī)

又點(diǎn)M(l,w)在橢圓C內(nèi)部可得』+仁<1,解得：0<"7<=.

432

［方法四］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用

X=I+FCOS夕,

設(shè)/的參數(shù)方程為(6為/傾斜角，f為參數(shù))代入橢圓C中得

y="7+/Sine

(3CoS26+4sin26)r+(6cose+8〃7sine)-9+4"?2=0.設(shè)f”是線段中點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù),

3

M(IM)是線段AB中點(diǎn),知4+%=0得一(685夕+8/豆11。)=0,即(=tan'=一-而點(diǎn)

4/77

M(Lm)在C內(nèi)得L日<1,解得：機(jī)/。，9,所以A=-F-<二.

43I2)4m2

(