2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市實驗中學(xué)高一年級下冊3月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市實驗中學(xué)高一下學(xué)期3月月考數(shù)

學(xué)試題

一、單選題

1.1g210g810的值為()

A.3B.log310C.-D.Ig3

【答案】C

【分析】使用換底公式及對數(shù)運算性質(zhì)求解.

【詳解】Ig21og810=lg2x^=lg2x—L=lg2x-1-=1

lg8lg2,31g23

故選：C

2.已知角a的終邊過點(1+tan15。,1-tan15。)，貝tana的值為()

A.叢B.-43C.-3D.立

33

【答案】D

【分析】結(jié)合三角函數(shù)的定義、兩角差的正切公式求得正確答案.

l-tanl5°_」an45°-tanl50tan(45°-15°)=tan30°=與

【詳解】tana=

1+tan1501+tan45°tan15°

故選：D

3.平面向量a與b相互垂直，已知a=(6,-8),忖=5,且匕與向量(1,0)的夾角是鈍角，則b=()

A.(—3,—4)B.(4,3)C.(-4,3)D.(T-3)

【答案】D

【分析】先設(shè)出向量b的坐標(biāo)，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示及模的運算，向量夾角的定義求解即

可.

【詳解】設(shè)b=(x,y)

a_1_力，.6x-8y=0,①,

\t\=\]x2+y2=5,②，

〃與向量(1，0)夾角為鈍角，.?.x<o,③,

(x=~~4

由①②③解得《一.?.6=(-4,-3),

[y=-3

故選：D.

sin?35°一!

4.化簡sm八2二()

sin20

A.gB.C.—1D.1

【答案】B

【分析】利用降次公式和誘導(dǎo)公式化簡所求表達(dá)式，由此求得正確結(jié)論.

1-cos701

【詳解】依題意，原式—221cos701sin201,故選B.

=---------------------------=-------X----------------=--------X----------------=--------

sin202sin202sin202

【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式，考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

1?|

5.已知二ABC中，BD=-BC,AE=,AC,AO與3E交于點尸，且AP=4A。，=則4+〃=

()

A5-7「4-3

A.—B.—C.-D.—

4434

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量基本定理，用基底向量A8,AC表示AP,然后利用向量相等即可求解.

【詳解】BD=\BC,AE=^-AC,A。與8E交于點P,且AP=4A￡）,BP=/JBE,

32

A尸=2（AB+8Q）=/l（AB+gBC）=/lA8+；（AC—AB）=^AB+^AC,

又AP=AB+8尸=48+〃BE=AB+〃（AE-A8）=（1-〃）A8+J"AC,

,2,

1-//=-X

,3,解得2=：3,"=11

42

23

2+//=-.

4

故選：A.

A

6.如圖，已知點P是邊長為2的正三角形ABC的邊BC上的動點，則AP-(AB+AC)=()

4

A.最大值為8B.為定值6

C.最小值為2D,與尸的位置有關(guān)

【答案】B

【分析】因為尸共線，所以設(shè)AP=(1-⑷A5+/IAC,再代入AP?A8+AC)求解即可.

【詳解】因為B,C,P共線，故AP=(1—4)Ag+；lAC,/le/?.

所以AP?(A3+AC)=[(l-/l)A8+/lAC](A8+ACj

2,2

=(1-A)AB'+AAC'+AABAC+(1-A)^BAC=22(1-2+2)+ABAC=6.

故選：B

【點睛】本題主要考查了共線向量的運用以及數(shù)量積的轉(zhuǎn)換計算，屬于中檔題.

ir?777T

7.已知f(x)=2sin(2x+a),夕e(—n,0),一條對稱軸為x=g,若關(guān)于x的方程f(x)=彳，在0,-

有兩個不同的實數(shù)根，則加的取值范圍為()

A.(-4,-25/2]B.[-4,-2應(yīng)]

C.[2x/2,4)D.I2x/2,4j

【答案】A

7T3九37r

【分析】由犬二三是〃幻的對稱軸及夕￡(一元,0),可求出。=-?，得到/(x)=2sin(2x—：),換元后

844

利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為X=9是函數(shù)/(X)=2sin(2x+⑼的一條對稱軸,

O

所以2x^+0=二+E,AeZ,解得°=2+E,ZeZ,

824

又因為(一W。)，所以。=一個，所以/(x)=2sin(2x-當(dāng).

44

人、m「八兀1.小3n.m「八7C

f(x)——,xG0,—,Bnn|Jsin(2x-----)=—,xG0,—,

、rtc37r「i3717t

設(shè)f=2x--—,貝！--,

444_

5訪/=:在匹-浮，g上有兩個零點，

4144

故選：A.

8.克羅狄斯?托勒密(PWemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：

任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補時取等號，

根據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓。的直徑為2,A為直徑延長線上的一點，。4=2,B為半

圓上一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC,則當(dāng)線段OC的長取最大值時，NAOC=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】根據(jù)已知條件先分析出OC的最大值并得到NOBCNOAC之間的關(guān)系，由此借助余弦定理

求解出AB的長度，再利用余弦定理即可求解出ZAOC的大小.

【詳解】因為O8AC+O48C\OCAB,且二A5C為等邊三角形，08=1,04=2,

所以O(shè)3+042OC,所以O(shè)CV3,所以0C的最大值為3,取等號時NQ3C+NOAC=180。,

所以cosNOBC+cos/Q4c=0,不妨設(shè)A8=x,

所以《止2+立T=o,所以解得光=近，

2x4x

9+4-71

所以cosNAOC=----------=-，所以NAOC=60°,

2x2x32

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答問題的關(guān)鍵是理解題中所給的定理，由此分析得到角的關(guān)系，并借助余

弦定理即可求解出結(jié)果.

二、多選題

9.已知tan。，tan￡是方程3》2+5犬-7=0的兩個實數(shù)根，則下列關(guān)系式中一定成立的是()

sin(cr+4)_5

A.tan(a+/?)=

cos(a-/?)4

4,八4

C.sin2(a+￡)=gD.cos2(cr4-y0)=—

【答案】ABD

57

【分析】由題意根據(jù)韋達(dá)定理可知tana+ta”=C，tana?tan〃=-§,再利用三角函數(shù)間的關(guān)系

即可求解.

【詳解】解：tana,匕鰭是方程獷+5-7=0的兩個實數(shù)根，

57

由韋達(dá)定理可知tana+tan>3=-^,tanrztan/7=--,

_5

/八、

對TA,tan(a+小匚tan嬴a+了tan￡嬴濟-午1丁-15,A選項正確；

_5

sin(a+p)_sinacoscosasin/?_tana+tan/?-3

對于B,B選項正確;

cos(a-0)cosacos〃+sinasin夕14-tana-tanpu

3

2sin(a+￡)cos(a+p)

對于C,sin2(a+0=2sin(a+2)cos(a+/7)=

sin2(a+/)+cos2(a+p)

2tan(a+/?)_4

C選項錯誤;

tan2(?+/?)+!~5

2(m_cos?(a+夕)_]_]_4

CSa+222

對于D,°cos(a+>0)+sin(a+l+tan(a+^)?+15，D選項正確:

4

故選：ABD.

10.在三角形ABC中，下列命題正確的有()

A.若A=30°,b=4,a=5,則三角形ABC有兩解

B.若0。2114七1118<1,則_ABC一定是鈍角三角形

C.若cos(4-B)cos(3-C)cos(C-A)=l,則ABC一定是等邊三角形

D.若a-6=CJCOS8-OCOSA,則一ABC的形狀是等腰或直角三角形

【答案】BCD

【分析】利用正弦定理，對A進(jìn)行判斷，得到A,B都是銳角，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，

及兩角和與差的三角函數(shù)公式得cos(A+B)>0,對B進(jìn)行判斷，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)對C進(jìn)行判斷,

利用正弦定理及兩角和與差的三角函數(shù)公式，對D進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論.

〃sin42

【詳解】對于A,因為A=30",。=4,。=5,所以由正弦定理得sinB=--=b<a

a5

所以6角只有一個解，A選項錯誤；

對于B,由0vtanAtan8<l,即0Vsin,sin3<4

cosAcosZ?

所以cosAssB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,

■jrjr

所以4+5<5，所以C=兀一(A+8)>,,

故一定是鈍角三角形，B選項正確；

對于C,因為cos(八一8)cos(8-C)cos(C-A)=l

所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C一A)=1

所以A=8=(7=60°,C選項正確；

對于D,因為a-A=c,8s5-c?cos4,

由正弦定理可得sinA-sin6=sinCcosB-sinCcosA,

所以sinA-sinCcos8=sinB-sinCcosA

因為sinA=sin(B+C)=sin3cosc+cos8sinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

JI、

所以sinBcosC=sinAcosC,解得cosC=0或sinA=sin8,即C=§或A=3,

所以43c的形狀是等腰或直角三角形，D選項正確.

故選：BCD.

11.在中，。為AB上一點滿足AO=3QB，若P為線段C。上一點，且A戶=448+〃4。，(九〃

為正實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）

13

A.CD=-CA+-CBB.42+3;/=2

44

13

C.■的最大值為百D.A+//e（-,l）

124

【答案】AD

【分析】由題設(shè)AP=三4AAO+〃AC結(jié)合三點共線可得4彳+3〃=3,再應(yīng)用基本不等式及入〃的關(guān)

系求工〃的最值和2+4的取值范圍，利用向量加減、數(shù)乘的幾何意義求CD,C4,CB的線性關(guān)系.

【詳解】由題設(shè)，可得”=彳4。+〃4?,又ARC三點共線，所以=+〃=1,

對于A選項，CD=CB+BD=CB+\BA,又8A=8C+CA，

4

131

：.CD=CB+-（BC+CA）=-CB^-CA故A正確；

444f

42

對于B選項，由學(xué)+〃=1,即4義+3〃=3知，B錯誤；

對于C選項，由2,〃為正實數(shù)，42+3〃=324場?，則

16

當(dāng)且僅當(dāng)a=2=:時等號成立，故C錯誤；

o2

42423

對于D選項，由知，〃=i——>o,則。<2<a，

41

而幾十〃=4+l-12=1-§4,

333

所以，由0<幾得:<丸+〃<1,即4+//￡（二,1）,故D正確，

444

故選：AD.

12.已知定義在R上的偶函數(shù)〃x）,滿足/（力+〃2-力=2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.“X）的圖象關(guān)于x=l對稱

B./（x+4）=/（x）

C.若函數(shù)〃x）在區(qū)間［05上單調(diào)遞增，則〃x）在區(qū)間［2021,2022］上單調(diào)遞增

D.若函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的解析式為〃x)=lnx+l,則在區(qū)間(2,3)上的解析式為

/(x)=ln(x-l)+l

【答案】BC

【分析】利用函數(shù)的對稱性可判斷A選項；利用已知條件結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷B選項；利用函

數(shù)周期性可判斷C選項；設(shè)x?2,3),利用/(x)=2-〃2-x)

【詳解】對于A選項，因為〃x)+〃2-x)=2,則函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱，A錯；

對于B選項，因為〃x)+/(2-x)=2且函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

所以，〃x)+/(x—2)=2可得〃x+2)+/(x)=2,所以，/(x+2)=/(x-2),

所以，對任意的xeR,/(x+4)=/(x),B對；

對于C選項，因為〃x+4)=/(x),

若函數(shù)在區(qū)間［0』上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間［2021,2022］上單調(diào)遞增，C對；

對于D選項，當(dāng)xe(2,3)時，2-尤e(-l,0),x-2e(0,l),

所以，/(x)=2-/(2-x)=2-/(x-2)=2-［ln(x-2)+l］=l-ln(x-2),D錯.

故選：BC.

三、填空題

13.B^Osinacos(a+—),則cos(4a-=)=_____.

3643

7

【答案】-§

【分析】根據(jù)已知條件利用三角函數(shù)和差倍角公式，輔助角公式化簡計算后可得sin(2a+1)=g,

最后利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.

./7C、.(兀..7T).fl也.

【詳解】解:smacos(a+—)=sinorlcosacos--sinasin—I=sincr—cosa-----sina

22

」sinacosa-近sin%+38s2”

="sin2a--(1-cos2a)=-sin2a

2244'7444

1.c兀

=—sin2a+一近2—正

23~T~6~T

/.—sin2a+—=—=>sin2a+—=-

2I3J6I3J3

則cos(4c—1)=cos[2(2a+^)—兀

1-2x17

99

7

故答案為：-工

14.在.ABC中，,@=2&,AC=(cosa,sine),a￡R,若對任意的實數(shù)fJA3TAC|2145-A。]

恒成立，則ABC的面積等于.

【答案】五心不

22

【分析】由不等式卜8-472A。對任意的實數(shù)，恒成立，通過向量的數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為關(guān)于，

的二次不等式恒成立，即可求出cosA,sinA的值，從而可求ABC的面積.

【詳解】因為卜8-fAC卜卜B—AC|,所以

即（AB-fAC），（AB-ACj2,

|UU1|2LilliIIUU|UUM|2|Uimi2UUDUUW1UUIU12

所以AB-2tAB-AC+t2\AC\>\AB\-2AB-AC+\AC\

又因為=2>/2,AC=（cosa,sina）,a￡R,|AC|=1

所以8—4瓶小。54+/>8-4>/2cos71+1，

即』_4"COSA+4&COS4-120對任意的實數(shù)廣恒成立，

所以△=（40cos4『一4（4行cosA-l）W0,即（2夜cosA-l『<0,

所以cosA=，因為0<A<兀,所以sinA=,

44

所以ABC的面積為:卜用AqsinA=；x2V5xlx羋=W，

故答案為：叵.

2

15.已知三角形ABC中，A8=4,AC=5,8C=6,/是的重心，P是"8C內(nèi)部（不含邊界）的

動點，若AP=/IAB+〃AC（/l,〃eR）,則義+〃的取值范圍.

2

【答案】~,1

\J

【分析】以點A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，先求出C,/兩點的坐標(biāo)，設(shè)尸（x,y）,利用

AP=AAB+juAC,將2+〃用x,y表示，再根據(jù)線性規(guī)劃即可得出答案.

【詳解】如圖，以點A為原點建立平面直角坐標(biāo)系,

16+25-361

cosA=則sinA=f

2x4x5-88

則4(0,0),8(4,0),。號呼

因為/是..ABC的重心,

0+4+20+0+^^

(375。

所以/—丁出，——1—

,即/24，-8-

\/

直線BC的方程為y=_斗仁一4),即手x+V-用=0,

設(shè)尸(x,y),P在/BC內(nèi)部(不含邊界)，

AL，AB=(4,0),AC=1|,學(xué)

,OO,

/I-\

因為APMAB+/MC,即(x,y)=；l(4,0)+〃

,oo

「511

元=42十@〃—x----f=y

412萬

所以，所以

15幣8'

、y=—一—A片收

19

則'+〃=廠+水百’

人：二〃-1丫上95772077

^Z=AA=420T7y，貝仃=一丁》+k2,

由圖可知當(dāng)直線產(chǎn)-乎x+呼z過點8(4,0)時，2耐=1,

業(yè)吉處5772077、■+占/衛(wèi)_2

m直線y=-X4----Z過點/,時，Zmin-q，

99I4&J3

所以2+〃的取值范圍是(1,1.

13/

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了向量中的最值問題，建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行坐標(biāo)運算和把點的

位置用不等式組體現(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

四、雙空題

16.如圖，在平面凸四邊形ABCO中，48=4。=。=28。=4,2為對角線4(^的中點.若尸力=&28.

則尸。=,ZABC=.

【分析】設(shè)刊?=x，則PO=GPB=GX,由ZAPB+NCPB=%,利用余弦定理建立

cosZAPS+cosZCPB=O,解方程即可得到答案；在中，由余弦定理即可算得NABC.

【詳解】設(shè)PB=x,則PD/PB=6X,因為D4=DC,尸為AC的中點，所以O(shè)P1.AC,

PA=PC,AP2=AD2-DP2=16-3x2,又NAPB+NCPB=兀,

所以cosZAPB+cosNCPB=0,即4產(chǎn)+府-AB-十枚+笛-BU=。，代入數(shù)

2APPB2PBPC

??16_3x2+x2—1616—3x2+x2-4.1—.1—

據(jù)有/,1I~-0>解得工=逐，所以P￡)=J5X=3;

2x-V16-3x22x-V16-3x29

BA2+BC2-AC216+4-4x(16-9)1

在_43C中，由余弦定理得，cosNA8C=—,

2BABC2x4x22

2

所以NA3C=—乃.

3

2

故答案為：3；—71.

3

【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.

五、解答題

17.已知a,4為銳角，cosa=|,cos(?+/?)=--.

⑴求sin2a的值；

(2)求cos￡的值.

24

【答案】(l)sin2a=

⑵乎

【分析】(1)根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正弦二倍角公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角差的余弦公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因為。為銳角，cosa=1,所以sina=J1-cos2a=」1-2=+,

5V255

3424

則sin2a=2sinacosa=2x^x—=—；

(2)由于。，夕為銳角，則。<a+夕V7i,

又cos(a+/)=一半=>sin(a+/7)=』_cos?(a+.)=J]_g=,所以

cos/?=cos[(a+/7)-a]=cos(a+P)cosa+sin(a+P)sina=-^x-|+^^-x-1=

18.在ABC中，AB=9,點。在邊8C上，AD=7.

2

(1)若cos8=§,求的值，

2

(2)若cosNBA。=-§,且點。是邊6C的中點，求AC的值.

【答案】(1)83=8或6。=4

(2)40=6+7^

【分析】(1)由余弦定理列出方程，求出8。的值；

(2)作出輔助線，得到cosZAE3=],由余弦定理求出￡4=3+?,從而求得答案.

32

【詳解】(1)在△ABZ)中，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2ABBD-cosB,

2

所以49=81+8。?-2x930x3,解得80=8或50=4,

經(jīng)檢驗均符合要求；

(2)在△ABO中，過。作A8的平行線交AC于E,

因為點。是邊BC的中點，所以點E為4c的中點，

19

在即中，ED=-AB=一,

22

2

XABAC+ZAED=7T,所以cos/AED=-.

3

IA-JzgT--r\+ED?-2

由余弦定理得：cosZAED=--------------=-,

2AEED3

所以￡4?一6￡4=0,所以"=3+迪＞0或E4=3-返＜0（舍去），

422

故AC=2E4=6+＞/i7T.

L1L1UULILI

19.如圖，在J15C中，已知C4=l,CB=2,NAC8=60。，點。是A8上一點，滿足AQ=4A8,

點E是邊CB上一點，滿足BE=/IBC

(2)是否存在非零實數(shù)4,使得AELCD?若存在，求出力的值：若不存在，請說明理由

【答案】⑴I

2

(2)存在非零實數(shù)4=§,使得AEJ.CO

【分析】(1)當(dāng)時，。、E分別是3C,AB的中點，則AE=4C+gB、CD=^(CA+CB),

然后根據(jù)已知條件即可求解CD;

(2)假設(shè)存在非零實數(shù)2,使得AE_LCD，利用C8、C4為基底分別表示出C。和AE,

UUUUIU1

由AEC3=0求出久值即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)X=g時，AD=^AB,BE=^BC,

;.D、￡；分別是BC,AB的中點，

AE=AC+CE=AC+^CB,CD=^CA+CB),

：.AECD=(AC+^CB)^(CA+CB)=^ACCA+^ACCB+^CBCA+^CB2

=--xl2+—xlx2xcosl200+—x2xlxcos600+—x22=—；

22444

(2)解：假設(shè)存在非零實數(shù)4,使得AELC。，

UUUUUU

由AD=AAB，得AD=4(CB-CA),

CD=CA+AD=CA+A(CB-CA)=九CB4-(1-2)CA；

又BE—BC，

??.AE=AB+BE=(CB-C4)+2(-CB)=(1-4CB-CA；

AECD=X(y-/l)Cfi'-ACBC4+(l-2)2CBC4-(l-A)C4-

2

=4/1(1—2)—71+(1—Ay—(1—/I)=-3/i2+2A=0,解得4=§或九=。(不合題意，舍去)，

2

所以存在非零實數(shù)4=5,使得AEJ_CD.

20.已知函數(shù)/(月=45皿3+水＞0,。＞0,閘＜|^在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移g個單位長度后，得到函數(shù)卜=8(制的圖象，求g(x)在［0,句

0

上的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】⑴/(x)=2sin12x+注(2)0,1、51

6

【分析】(1)由圖象可得出函數(shù)/(X)的最小正周期T的值，可求出0,再將點代入函數(shù)解

析式，結(jié)合e的取值范圍可求得夕的值，由/(0)=1可求得A的值，綜合可得出函數(shù)f(x)的解析式;

(2)利用函數(shù)圖象變換求得g(x)=2sin(2x-,,求出函數(shù)g(x)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間，再與定

義域取交集可得結(jié)果.

1\TI54

【詳解】(1)由圖可得函數(shù)/")的最小正周期為7=2x

所以，口=干27r=2,

閨=2sin傳+.=0,則sin(夕+年

f=0,

n7CTV5萬4萬5萬則夕=?，所以，/(x)=Asin(2x+'J,

6

因為/'(。)=Asinf=《A=l,所以，4=2,所以，/(x)=2sin(2x+g]；

62k07

、兀71

(2)由題意可得g(x)=2sin24—=2osin2o,x----

616

冗冗冗冗冗

令---4-Ikjr<2x-----<—+2k7r,keZ,得----\-k7r<x<--\-k7r,keZ,

26263

記人=-*k兀7k兀(kwZ),則A[0"]=0,gI當(dāng)

，乃

633o36

-rr5〃

因此，函數(shù)g(x)在［0,句上的增區(qū)間是0,-、不"?

【點睛】方法點睛：根據(jù)三角函數(shù)〃x)=Asin(5+0)+人或的部分圖象求函數(shù)解析式的方法:

/八十/(X)-/(x),f(x)4-f(x).

(1)求A、b:A=y/nux-v7min,b二、八”~v7nun；

22

(2)求出函數(shù)的最小正周期7,進(jìn)而得出/=與；

(3)取特殊點代入函數(shù)可求得。的值.

21.如圖，正方形ABC￡＞邊長為5,其中AE廠是一個半徑為4的扇形，在弧E尸上有一個動點Q,

過。作正方形邊長BC,C7)的垂線分別交BC,CD于G,H,設(shè)NE4Q=6,長方形QGCH的面積

為S.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)解析式；

(2)求S的最大值.

TF

【答案】(1)S=25-20(cose+sine)+16sin'cos。，0G0,—；(2)5.

【分析】(1)先根據(jù)題意計算AQ在豎直方向上和水平方向上的投影的長度，即可計算”Q,QG的長

度，計算長方形QGC”的面積再化筒即得結(jié)果；

(2)先換元sin6+cos6=f,確定新元的范圍和函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即得結(jié)果.

【詳解】解：⑴N￡AQ=。，則AQ在豎直方向上的投影的長度為4cosd,在水平方向上的投影長度

為4sin6,

TT

故HQ=5-4cos&QG=5-4sin6,0G0,y,

TT

S=(5—4cos6)(5-4sin。)，0e0,—,

_2_

整理得：5=25-20(cos0+sin0)4-16sin0cos0,0e0,y

（2）S=25-20（cos，+sin，）+16sin，cos，，0e0,—,

_2_

令sin9+cos9=r,即gsin（e+f）=r,平方可得2sinecose=r-1,

4

當(dāng)即0.j時，可求得

,S=25-20f+8（產(chǎn)一l）=8/-20f+17=8（f-j）+1,fw[l,VT|,

根據(jù)二次函數(shù)對稱性可知，當(dāng)/=1時，Smax=8-20+17=5.

【點睛】方法點睛：

求含有正余弦函數(shù)的和（或差）及乘積的函數(shù)求最值（范圍）時，常進(jìn)行三角換元，令和（或差）

為新變量，形成二次函數(shù)，求二次函數(shù)最值（范圍）即可.

V*