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文檔簡介
高考一輪復習熱點難點精講精析:
10.3統(tǒng)計案例.
(一)線性回歸分析
※相關鏈接※
1.首先利用散點圖判斷兩個變量是否線性相關.
2.求回歸方程y=bx+a.
⑴線性回歸方程中的.截距。和斜率匕都是通過樣一本估計而來的,存在著誤差,這種誤差可能導致預報
結果的偏差.
(2)回歸方程y=區(qū)+4中的人表示X增加1個單位時y的變化量為人
(3)可以利用回歸方程y=bx+a預報在x取某一個值時),的估計值.
3.相關系數(shù)廠
利用相關系數(shù),?來衡量兩個變量之間的線性相關的強弱.
4.建立回歸模型的步驟
(1)確定研究對象,明確哪個變量是解釋變量,哪個變量是預報變量.
(2)畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖,觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等).
⑶由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系,則選用線性回歸方程y=bx+a).
(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法).
(5)得出結果后分析殘差是否異常(個別數(shù)據(jù)對應殘差過大,或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等).若存在異
常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否適合等.
注:回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體,而且一般都有時間性.樣本的取值范圍一般不能超過
回歸方程的適用范圍,否則沒有實用價值.
※例題解析※
K例1測得某國10對父子身高(單位:英寸)如下:
父親身
60626465666768707274
高(力
兒子身
63.665.26665.566.967.167.468.370.170
V)
(1,)對變量y與x進行相關性檢驗;
(2)如果y與x之間具有線性相關關系,求回歸方程.
(3)如果父親的身高為73英寸,估計兒子的身高.
思路解析:(1)先根據(jù)已知計算相關系數(shù)「,判斷是否具有相關關系.
(2)再利用分工求出回歸方程進行回歸分析.
解答:⑴
101010
x=66.8,y=67.0l,x=4462.24,y?4490.4,Zx:=44974,工=44941.93,工=44842.4,
/=1i=l/=!
44842.4-10x4476.26879.72,、。八,
-I,~~iy0.804.
(fxMoz)(Zx2-io7)“44794—44622.4)(44941.93-449.3.4),6611.5764
/=!/=1
所以y與x之間具有很強的線性相關,關系.
10____
£3為-10Q
44842.4-44762.68_79.72
(2)設回歸方程為y=〃x+a.由3=/=|
-?0.4646.
E%,2-10x44794-44662.4171.6
;=1
a=y-bx=61.01-0.4646x66.8?35.97.
故所求的回歸方程為:?=0.4646x+35.97.
⑶當x=73時,3=0.4646x73+35.97a69.9.所以當父親身高為73英寸時,估計兒子身高約為
69.9英寸.
(二).非線性回歸分析
※相關鏈接※
1.非線性回歸模型:當回歸方程不是形如y=尿+。時稱之為非線性回歸模型.
2.非線性回歸模型的擬合效果:對于給定的樣本點(內(nèi),兇),(々,%),,(x“,y”),兩個含有未知數(shù)的模
型)川=/(x,a)和y°)=g(x,勿,其中。和匕都是未知參數(shù).
可按如下的步驟比較它們的擬合效果:
⑴分別建立對應于兩個模型的回歸方程歹D=/(x,&)和/⑵=其中4和△分別是參數(shù)。和Z?
的估計值;
⑵分別計算兩個回歸方程的殘差平方和"=£(y—%D)2和。⑵=f(y—*2))2;
1=1/=1
⑶若。⑴V0⑵,則/=/(X,0的效果比嚴=g(x,b);
反之,科>=/(x,4)的效果不如?、?g(x1)的好.
※例題解析※
K例】為了研究某種細菌隨時間x變化時,繁殖個數(shù)y的變化,收集數(shù)據(jù)如下:
3
人數(shù),7A1O156
繁殖個數(shù)w個1112251995190
(1)用一天數(shù)x作解釋變量,繁殖個數(shù)y作預報變量,作出這些數(shù)據(jù).的散點圖
(2)描述解釋變量x與預報變量y之間的關系;
(3)計,算殘差平方和、相關指數(shù).
思路解析:作出散點圖f分析與哪種曲線擬合-轉(zhuǎn)化線性關系T進行回歸分析.
解答:(1)所作散點圖如圖所示.
r?
20()?
*
150-
1()0-?
5()-?
(2)由散點圖看出樣本點分析在一條指數(shù)函數(shù)y=的周圍,于是令z=Iny,則
?)
131,16
ry
1.i2.183.22.-1,15.25
由計算器得:2=0.69X+1.112,則有1=/69MLU2.
r6.06]:';.'::!?18.0195.771D
yI-;121995190
(3)
666?1643
則2?,2=》?'一力)2=3/643,y(x-X)2=24642.8,g=1一二-=0.9999,即解釋變量
MM24642.8
天數(shù)對預報變量細菌的繁殖個數(shù)解釋了99.99%.
(三)獨立性檢驗
K例》在調(diào)查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,分別利用圖形和獨立性
檢驗的方法來判斷色盲與性別是否有關?你所得到的結論在什.么范圍內(nèi)有效?
思路解析:(1)先由已知作出調(diào)查數(shù)據(jù)的列聯(lián)表;
(2)再根據(jù)列聯(lián)表畫出二維條形圖,并進行分析;
(3)利用獨立性檢驗作出判斷.
解答:根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的聯(lián)表:
色盲不色盲合計
男38112180
女I-;511520
合計9561000
根據(jù)列聯(lián)表作出,相應的二維條形圖,如圖所示.
從二維條形圖來看,在男人中患色盲的比例生,要比在女人中患色盲的比例且要大,其差值為
480520
|衛(wèi)-上一花0.068,差值較大,因而我們可以認為“性別與患色盲是有關的”,根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)
480520
可以有a=38,b=442,c=6,1=514,a+b=480,c+d=520,a+c=44,〃+d=956,〃=1000,
1000x(38x514-6x442)^
代入公式K2=-------〃""一姐-------得K-
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