2023-2024學(xué)年山西省懷仁市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山西省懷仁市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.橢圓工+片=i的長軸長為（）

52

A.2.75B.V5C.4D.2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求出長軸.

【詳解】由橢圓二+二~=1,得/=5,a-y/5>2a-2y/5>

52

故選：A.

2.過點（2,1）的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.4-^=1B.片-片=1C.片-D.片-巨=1

33553355

【正確答案】A

【分析】先設(shè)出雙曲線的方程為/-必=義（440）,代點進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)雙曲線的方程為x2-F=幾（義片。），

代入點（2,1）,得4=3,

故所求雙曲線的方程為V-_/=3,

其標(biāo)準(zhǔn)方程為（W=l.

故選：A.

3.已知數(shù)列庭,加,4?,3應(yīng)，夜，…，貝150是這個數(shù)列的（）

A.第11項B.第12項C.第13項D.第14項

【正確答案】B

【分析】根據(jù)被開方數(shù)的特點求出數(shù)列的通項公式，最后利用通項公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】數(shù)列a7,3后，痙，…，即數(shù)列指,加,布,夜…，

由數(shù)列的前幾項觀察歸納，知被開方數(shù)是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列，

所以通項公式=j6+4（〃-l）=j4"+2,

令%=“+2=入伍解得”=12.

故選：B.

4.在直三棱柱/8C-4AG中，若就=Z，AB=b，AA,=c,則西=()

C

A.a+b-cB.a-j)-cC.a-b+cD.-a+b-c

【正確答案】C

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

［詳解］由已知得畫=石_赤=而_門萬_祝)=￡_否+2,

故選：c

5.在等差數(shù)列｛《,｝中，a2+?6+a10=120,則=()

A.70B.60C.50D.40

【正確答案】D

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得到3&=120,即可求解.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a2+aw=2a6,

因為"+6+%<>=120,即3%=120,可得％=40.

故選：D.

6.以點月(1,2)為圓心，兩平行線x-y+l=0與2x-2y+7=0之間的距離為半徑的圓的方程

為()

A.(x+爐+(y+2)2=gB.(x-l)2+(j^-2)2=y

C.(x+l)2+(j+2)2=yD.(x-iy+(y-2)2=3

oZ

【正確答案】B

【分析】利用平行直線間距離公式可求得圓的半徑，由圓心和半徑可得圓的方程.

7

【詳解】直線2x_2y+7=0方程可化為x_y+/=O,

2-1廠「

則兩條平行線之間距離d_丁2_5V2,即圓的半徑r=也，

"+（-?44

??.所求圓的方程為.（1）2+（尸2）2=與

O

故選：B.

7.已知數(shù)列血｝滿足乎q=3,則數(shù)列｛%｝的通項公式是（）

A.an=3z?B.an=n+2

2

C.an=2/?+lD.an-3n

【正確答案】A

【分析】由題意可得數(shù)列[子）為首項為3的常數(shù)列，從而可得出答案.

【詳解】由題意得巴4=%,即也=%=L=幺=幺=3

w+1n77+1n21

所以數(shù)列是以;=3首項為的常數(shù)列，

則”=3,得?！?3〃.

n

故選：A

8.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知圓Q：，+/=l,a：（x-4）2+/=4,動點P在直線

x+JB-b=O上，過P點分別作圓。2的切線，切點分別為A,B,若存在點尸滿足

尸8=2尸/,則實數(shù)6的取值范圍是（）

70

U[12,+oo）C.---,4

D.^-°°,--yj|U[4,+oo）

【正確答案】C

【分析】分別求出兩圓圓心和半徑，利用PA=JPO；-r；,PB=JPO；-麻,尸8=2尸/可求點P

軌跡方程為圓，又P在直線x+?-6=0上，結(jié)合圓心到直線的距離小于等于半徑可求6的

取值范圍.

【詳解】由題意?（0,0）,外=1,02（4,0）,々=2,設(shè)P（x,y）,若PB=2PA,

PA=qPO；T：,PB=dPO；T；,則加一盯+/-4=4￡+/

（x-4）2+^2=4（x2+.y2）,/.x2+/+|x-y=0,即（x+g）+/=苫，

圓心坐標(biāo)為（一1,o）,半徑為g,

:動點P在直線X+&-6=0上，存在點尸滿足=,

???直線與圓/+/+|》q=0有交點，

4

???圓心到直線的距、離,---3---h/8,.今20W6V4,

Vi+33

即實數(shù)b的取值范圍是一與,4.

故選：C.

二、多選題

9.已知｛q｝為等差數(shù)列，滿足2%-%=3,｛"｝為等比數(shù)列，滿足a=l,d=4,則下列

說法正確的是（）

A.數(shù)列｛《,｝的首項為1B.%=3

C.%=16D.數(shù)列｛4｝的公比為±2

【正確答案】BCD

【分析】由2a$=3可推得/+6d=3,即可判斷A、B；由H=1,，=4,可推得“=他=16,

丁=4,即可判斷C、D.

【詳解】設(shè)｛4｝的公差為d,也｝的公比為“

對于A,由2%_1=3,得2（q+4"）-（q+24）=3,

整理可得，al+6d=3,所以《不確定，故A錯誤；

對于B,因為q+6d=3,所以有%=3,故B正確；

對于C,因為3=3=4,所以4=44=16,故C正確；

4h2

,bi

對于D,由已知可得，如=,=4,所以令=±2,故D正確.

b2

故選：BCD.

v2v2r22

10.關(guān)于雙曲線二-匕=1與雙曲線上——v匕_=1（_4<,<6）,下列說法不正確的是（）

464+/6T

A.實軸長相等B.離心率相等

C.焦距相等D.焦點到漸近線的距離相等

【正確答案】ABD

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)對每個選項逐個判斷即可

fv2L

【詳解】雙曲線L-匕=1中，實軸長為的=4,虛軸長為24=2#,焦距長為

46

2c1=2歷1=2*7,右焦點為（汨,0）,

所以離心率。=合乎漸近線方程為…爭，不妨取二爭即向-2y=0,

所以焦點到漸近線的距離為4=屈：弧=痛,

V6+4

雙曲線三——匚=l（T<f<6）中實軸長為2a2=2〃77,虛軸長為2A=2^^二7,焦距長為

4+f6-t'-

2c2=2加，右焦點為（加,0）,

bi、l士、/C）J10J40+10Z%r-AK-J-tri,《6—t-r-?J^rf-6~~t

所以離心率/=—/—■,漸近或方程為y=±IX9不妨取N=/Xn即n

a2V4+Z4+/y/4+tV4+Z

J（6-少-y/4+ty=0,

所以焦點到漸近線的距離為出=A/6-7,

Vio

綜上，兩條雙曲線只有焦距相等,

故選：ABD

11.如圖，在棱長為2的正方體/8C。-44GA中，￡'為8巧的中點，尸為4R的中點,

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的有（）

A.DB、=3V2

uuui

B.向量荏與NG夾角的余弦值為號

C.平面4EF的一個法向量是(4,-1,2)

D.4。_1_叫

【正確答案】BCD

【分析】A選項，求得函的坐標(biāo)，進(jìn)而求出。4；B選項，利用空間向量夾角公式求解;

C選項，記7=(4,-1,2),驗證施工=0,簫4=0即可；D選項，驗證福?西=0即可.

【詳解】對于A,0(0,0,0),S,(2,2,2),西=(2,2,2),=|西|=2石，故A錯誤;

對于B,4(2,0,0),￡(2,2,1),C,(0,2,2),方=(0,2,1),花=(-2,2,2),

AE-AC6姮

則cos(/E,ZC1)=t

|瑪祠―岳26-5故B正確;

對于C,產(chǎn)(1,0,2),公=(0,2,1),萬=(-1,0,2),記7=(4,-1,2),

則方i=0x4+2x(-l)+l><2=0，亦/=(-l)x4+0x[1>3<2^(,

所以荏_1_7,萬_1；?,又力耳/Fu平面“EF,AEcAF=A,則］_L平面4EF,

故(4,-1,2)是平面/EF的一個法向量，故C正確；

對于D,4(2,0,2),￡>(0,0,0),以0,0,2),耳2,2,。，

麗=(-2,0,-2),西=(-2,-2,2)麗?西=0,故D正確.

故選：BCD.

12.已知拋物線C:f=2刀的焦點坐標(biāo)為凡過點尸的直線與拋物線相交于4,8兩點，點

在拋物線上.則（）

A.p=\B.當(dāng)軸時，|/8|=4

C.丁，+焉為定值1D.若萬=2而，則直線4B的斜率為士也

【正確答案】BCD

【分析】將點（立,代入可判斷A；求出焦點可判斷B；設(shè)直線48的方程為夕=丘+1,

將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可判斷C；由向量的坐標(biāo)表示以及韋達(dá)定理可判

斷D.

【詳解】對于選項A,將點（五,，代入拋物線方程，可得。=2,故選項A錯誤；

對于選項B,焦點F（O,D,點（2,1）在拋物線上，可得|力8|=4,故選項B正確；

對于選項C,設(shè)點/,8的坐標(biāo)分別為（為,%）,（々，％），

直線Z8的方程為夕=去+1,聯(lián)立方程f2=外，

^=0+1,

消去y后整理為/-4履-4=0，

可得

x,+x2=4左,七々=-4,必+%=Mx1+z）+2=4k2+2,

22

LAF

7i72=^7T=tl\=必+1,1BF\=y2+l,

10

仃+J=1,1=必+乃+2=必+%+2=1,

可\BF\月+1y2+\、%+丹+乃+1乂+為+2

故選項C正確：

對于選項D,有（-%,1-乂）=2（々,%-1），

X]+x=4k,

2.一二二解得』今

可得2工2=-占，由"x,x2=-4,有故選項D正確.

2X2=-x(,

故選：BCD

三、填空題

13.點（T3）關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點的坐標(biāo)為

【正確答案】(-5,7)

【分析】設(shè)點為(%,%)，根據(jù)條件可得制=1以及胃+江；+2=0,解出即可得至I」.

X。+122

【詳解】設(shè)點(-1,3)關(guān)于直線x+^+2=0對稱的點為(%,%).

因為直線x+y+2=0的斜率為一1,

由對稱關(guān)系，兩點連線與直線x+?+2=0垂直，所以二=1，

又因為兩點連線段的中點(為”,上聯(lián))在直線X+N+2=0上，

代入得筆駕均坦+2=0,

22

兩式聯(lián)立％X。=-5

+1即可解得，所以對稱點為(-5,-1).

%=T

Vzl+2Vtl+2=0

22

14.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后,

水面寬米.

【正確答案】2幾米

【詳解】

如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=my,

將A(2,-2)代入》2=西，

得m=-2,

x2=-2y,代入得為=后,

故水面寬為2遍米，故答案為2指米.

拋物線的應(yīng)用

15.設(shè)兩個等差數(shù)列｛凡｝和色｝的前〃項和分別為S,和乙，且尹向先，則去=.

【正確答案】|

（q+為＞5

I分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，將2寫為/八＜，即興，代入題中等式即可得出結(jié)果.

“他+與＞5T5

2

【詳解】解:由題意可得｛4｝和也｝均為等差數(shù)列，

(%+a5)x5

所以色=%=____2____=邑_=7義5=亙=1

以&2b3他+々)x5T59x5+4497

2

故答案為彳

已知點48是橢圓G:[+4

16.=1（a＞b＞0）上的兩點.且直線AB恰好平分圓

/+/=*（尺＞0）,2橢圓G上與點4,8不重合的一點，且直線M4,"8的斜率之積為,

則橢圓G的離心率為.

【正確答案】正

3

2_2?2

【分析】設(shè)“（X"J，〃&，兒），則平烏.由已知可推得），根據(jù)

玉一/Q

1L21

兒?腦=），可得出4=L然后即可求出離心率.

3a3

【詳解】設(shè)以士,必），〃（%,九）.

22

￡Z

11

+

--222

2622222

ayV

區(qū)y1-

1所以^

=1--

-一222

依題意有22=1,兩式相減得上

XZxa

001-o

+

---

262

a

因直線力8恰好平分圓x2+y2=R2,則8（-4-必）,

一必一%>

則kMAAMB=

~Xl_xo

由已知，kMA?kMB=——,

所以，4^4=-^I-即與總

%!-x0a

所以橢圓G的離心率為

故答案為.逅

3

四、解答題

17.已知數(shù)列｛an｝滿足=1,an+l=3an+2.

（1）證明：數(shù)列｛an+l｝是等比數(shù)列；

b=____________2____________

⑵設(shè)"-嚙'向+1＞求數(shù)列｛1｝的前n項和Sn.

【正確答案】（1）詳見解析；（2）S?=^-.

n+1

【分析】（1）對數(shù)列的遞推式兩邊加1,結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證;

（2）由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得

b=____________Z______________2_2r_i

nn+l

"10&「+1+1）b）「+2+1）log33-log33n（n+l）｛nn+D，再由裂項相消

求和，化簡可得所求和.

【詳解】解：（1）證明：數(shù)列｛a0｝滿足為=1,an+,=3a?+2,

可得2田+1=3a+1),

即有數(shù)列｛an+1｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列:

⑵由⑴可得an+l=2-3”,

Kb—_____________2____________—_______2______—____2__

-，0310+，-

即有""10gi^"-§33"n(n+1)

數(shù)列｛，｝的前n項和S"2（l_；+C+…+'看］=2（1-馬=2n

n+1

本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式和數(shù)列的裂項相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

18.已知圓C的方程為/+/-4》+6?-加=0.

(1)求實數(shù)〃?的取值范圍；

⑵若圓C與直線/：x+y+3=0交于M,N兩點，且|加訓(xùn)=2有，求加的值.

【正確答案】(1)機(jī)>-13

(2)m=-8

【分析】(1)將圓。的一般方程用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到13+〃?>0,解之即可；

(2)利用弦長公式|MN|=2jj-—求得進(jìn)而得到向百=百，易得加的值.

【詳解】(1)方程f+j?一4x+6y-〃?=0可化為(x-2)2+(y+3)2=13+〃？,

???此方程表示圓，

/.13+w>0,即〃？〉一13,即用￡(-13,+8).

(2)由(1)可得圓心C(2,—3),半徑.=』加+13，

則圓心C(2,—3)到直線/:x+y+3=0的距離為"=生耳=6，

Vl2+12

由弦長公式|肋V|=2護(hù)二T7及|AW|=2G,得26=2卜閭,解得“石，

**?r—y/m+13=y/5,得加二-8.

22

19.已知雙曲線C：>%_=i(b>0),直線/與雙曲線C交于P,。兩點.

(1)若點(4,0)是雙曲線C的一個焦點，求雙曲線C的漸近線方程；

(2)若點尸的坐標(biāo)為卜灰,0),直線/的斜率等于1,且歸。|=：,求雙曲線C的離心率.

【正確答案】(l)y=±4x

⑵當(dāng)

【分析】(1)利用雙曲線的焦點坐標(biāo)及標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線中。，瓦c三者的關(guān)系及雙曲線

的漸近線方程即可求解.

(2)根據(jù)已知條件及直線的點斜式方程，將聯(lián)立雙曲線方程與直線方程，利用韋達(dá)定理及

點在直線上，結(jié)合兩點間的距離公式及雙曲線的離心率公式即可求解.

【詳解】(1);點(4,0)是雙曲線C的一個焦點，二。=4,

又???，=/+/且/=2,解得〃=14,

v.22

...雙曲線C的方程為匕v=1,

214

，雙曲線C的漸近線方程為j=土近x；

(2)設(shè)直線/的方程為y=x+后且。

y=x+0

222

聯(lián)立x2y25R]-^(ft-2)x-4V2x-4-2Z)=0,

則-望,"器咨即f舞

二|尸。|=；b28

4e+xJ+y=4

從一23

414

解得/=1,即由/=/+〃可得。2=］，

V14

故雙曲線C的離心率為c五后.

e=—=廣=------

aV25

兀

20.如圖，在三棱錐產(chǎn)一Z8C中，4,底面力8C,4=卡，AB=2NABC=-,BC=\,

3

D,E分別是PC上的三等分點，尸是P8的中點.

(1)證明：/EJL平面「8C；

(2)求平面力。尸與平面BDF的夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵半

【分析】（1）用余弦定理求出NC=百，從而得至IJ//=HC2+8C2,CALCB,建立空間直

角坐標(biāo)系，利用空間向量證明出線面垂直；

（2）求出平面的法向量，進(jìn)而求出兩平面的夾角余弦值.

【詳解】(1)證明：???45=2,BC=\,ZABC=^,

根據(jù)余弦定理得AC=片+BC?-2/8?BCcos]=^4+1-2x2xg=6,

所以=/IC?+SC?,

所以C/J.C5,

以C點為坐標(biāo)原點，CB,C4所在直線為x,夕軸，經(jīng)過C點垂直于C4,C8的直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

則[0,6()),5(1,0,0),P(0,百，瓜)

.?.小(0,一￥，乎)，而=(0,6,旬，麗=(1,0,0),

?.■AE-CP=-^-xV3+—x^=0,AECB=0>

33

CPcCB=C,

4E_L平面P8C；

設(shè)平面廠的一個法向量為萬=（X，y，z）,

—^-y+—y[bz—0,

AD-n=033

由，所以

DFn=0'1V3V6.

—x----y-----z=0,

〔266

令Z=y/l，貝UX=4V3，y=4,

可得萬=(28,4,五),

設(shè)平面8〃廠的一個法向量加=(a，b,c),

1瓦痣「

—a———b---c=0,

DFm=O,,

由，一266令。=],得。=0，6=一④,

BDm=O—a+-2+—2^^6c=0,

33

可得而=(0,-應(yīng)J,

所以平面/。尸與平面8。尸夾角的余弦值為將.

21.在數(shù)列｛q｝中，％=1,且。向=2%+力+2向-1.

(1)證明：｛智斗是等差數(shù)列；

(2)求｛““｝的前”項和S,.

【正確答案】(1)證明見解析

(2電=2+(〃-1)-2用_七工

【分析】(1)利用構(gòu)造法證明該數(shù)列為等差數(shù)列；

(2)利用錯位相減法與分組求和法可得

【詳解】(1)由。向=2q+〃+2同-1,得見+|+〃+1=2%+2〃+2向,

等式左右同除2向，得%二=巴亨+1，

故數(shù)列｛與智｝是以竽=1為首項，1為公差的等差數(shù)列；

(2)由(1)得"Y〃=]+(〃_1)=“,

故%=〃-2"-〃，

設(shè)"=62”,其前〃項和為

則7；=1X2+2X22+3X23+-?.+(〃.1)?2"7+〃.2",

27；=1x2?+2x2,