2022-2023學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試題1（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.已知集合/={-U,2},5={X|X2+X=0},則4口8=.

【正確答案】{-1}

【分析】可求出集合8,然后進行交集的運算即可.

【詳解】解：??，={T,1,2},B=0},

不|8={-1}.

故{T}.

2.函數(shù)y=、2x+l+log2(2-x)的定義域為.

【正確答案】-吳)

【分析】分別求出岳力和bg2(2-x)的定義域，再求交集.

f2x+l>01「1、

【詳解】由題意、八，解得-：Vx<2,即xe--,2；

[2-x>02[_2)

故-；'2).

3.若幕函數(shù)歹=x"的圖像經(jīng)過點(3,6),則此幕函數(shù)的表達式為>=.

【正確答案】x%#五

【分析】由幕函數(shù)所過的點求參數(shù)。，即可得函數(shù)表達式.

【詳解】由題設(shè)，3"=6=3“可得。=5，

.?.募函數(shù)表達式為

故答案為

4.已知函數(shù)/(x)=3、+a的反函數(shù)為y=/T(x),若函數(shù)y=/㈠)的圖像過點(3,2),則實

數(shù)a的值為.

【正確答案】-6

【分析】由歹=/人萬)的圖象過點(3,2)得函數(shù)^=/(幻的圖象過點(2,3),把點(2,3)代入

V=/(x)的解析式求得。的值.

【詳解】解：?.?看/4)的圖象過點(3,2),

?.?函數(shù)歹=/。)的圖象過點(2,3),

又/(x)=3*+a,

3。+a=3,即a=-6.

故-6.

5.設(shè)一元二次方程x2-6x-3=0的兩個實根為巧、々，則x；+x；=.

【正確答案】42

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合完全平方和公式進行求解即可.

【詳解】一元二次方程x?-6x-3=0的兩個實根為X]、巧，所以有芭+Z=6,王馬=-3,

2

因此X；+x；=(*+x2)-2X,X2=36-2X(-3)=42,

故42

6.若關(guān)于x的方程(1]=.有負根，則實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(LM)

【分析】關(guān)于x的方程((1=a有負根可轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)y=與V=。在第二象限有交

點，結(jié)合圖象即可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】關(guān)于x的方程(：),=。有負根等價于指數(shù)函數(shù)y=與卜=。在第二象限有交點,

則當(dāng)”>1時，y=(￡|與在第二象限有交點，

所以實數(shù)a的取值范圍(1,+8).

故(l,+°o).

7.若關(guān)于x的不等式/+化-l)x+4>0對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)4的取值范圍是

【正確答案】(一3,5)

【分析】根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，可知只需判別式△<(),利用所得不等式

求得結(jié)果.

【詳解】???不等式x2+(%-l)x+4>0對一切實數(shù)x恒成立，

^=(*-1)2-16<0=>-4<*-1<4,解得：-3<k<5

故答案為.(-3,5)

8.已知lg2=a,10*=3,試用a、b表示logj25=,

，十諾依心.2(l-a)

【正確答案】一一十

【分析】根據(jù)對數(shù)式指數(shù)式互化公式，結(jié)合對數(shù)換底公式、對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】因為10:3,所以lg3=b,因此有：

小”」g25_lg52_21g5_21g(10^2)_2(l-lg2)_2(l-a)

12lg!2lg(3x22)Ig3+21g2Ig3+21g2Ig3+21g22a+b

故生心

2a+h

9.已知函數(shù)y=f+2aMxe[0,l])的最小值為-2,則實數(shù)折.

3

【正確答案】一,

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的相對位置進行分類討論求解即可.

【詳解】y=/(x)=d+2or=(x+4)2-/，所以該二次函數(shù)的對稱軸為：％=—〃，

當(dāng)1K一〃時，即Q4-1,函數(shù)f(x)=x2+2亦在x￡[0,1]時單調(diào)遞減，

3

因此,(X)min=./X1)=1+2Q=_2=〃=_Q,顯然符合QKT；

當(dāng)0<—4<1時，即一1<4<0時，/(x)min==—2=>Q=±-x/2,顯然不符合-1<67<0;

當(dāng)一440時，即Q20時，函數(shù)/(x)=f+2"在XG[0,1]時單調(diào)遞增，

3

因此/(x)mm=/(0)=0~2，不符合題意，綜上所述：a=-1,

乂3

故一不

10.已知函數(shù)歹=/(均是定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)，若/(外在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，

且"2)=0,則不等式Z@vo的解集為

X

【正確答案】(-8,-2]2(0,2]

【分析】/(x)在區(qū)間(0,+?)上是嚴(yán)格增函數(shù)，且八2)=0,得到在(0,2)內(nèi)/(》)<0,在(2,+8)

內(nèi)f(x)>0,進一步利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到在x<0時函數(shù)的正負區(qū)間，然后根據(jù)不等式的基

本性質(zhì)將要求解的不等式分情況討論求得解集.

【詳解】；/(x)在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，且洋解=0,

二在(0,2)內(nèi)/(x)<0，在(2,+oo)內(nèi)/(x)>0,

又；/(x)為偶函數(shù)，，在(-2,0)上,又力<0,在(心，-2)內(nèi)/(力>0,

且/(-2)=〃2)=0,

不等式—40等價于x>0時/")40,即xe(0,2]；

當(dāng)x<0時，/(-v)>0,gpxe(-oo,-2],

故答案為.(-8,-2]u(0,2]

二、單選題

11.是“指數(shù)函數(shù)y="在R上是嚴(yán)格減函數(shù)”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)定義，分充分性和必要性分別判斷即可.

【詳解】充分性：“時，y在R上是嚴(yán)格減函數(shù)成立，故充分性滿足;

必要性：由“指數(shù)函數(shù)y="在R上是嚴(yán)格減函數(shù)”可得：所以a=g不一定成立,

故必要性不滿足.

故"〃=；”是“指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)”的充分非必要條件.

故選:A.

12.任意xeR,下列式子中最小值為2的是()

A.x+-B.2X+2-X

x

【正確答案】B

【分析】A.通過舉例排除；BCD通過基本不等式及等號的成立條件來判斷.

【詳解】A.當(dāng)x=-l時，x+-=-2,排除；

X

B.T+>2>j2x-2~x=2>當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立，符合；

2+叁2護仔=26,當(dāng)且僅當(dāng)/=夜時等號成立，排除;

D.VX2+2+.1>2VX2+2-1

R=2,當(dāng)且僅當(dāng)/+2=1時等號成立，故等號不能

4+2V4+2

成立，則E+->2,排除.

故選：B.

l,x>0

13.已知函數(shù)〃x)=，0,x=0,若F(x)=d.〃x),則尸(x)是()

-1,x<0

A.奇函數(shù)，在(-叫+8)上為嚴(yán)格減函數(shù)

B.奇函數(shù)，在(-8,+8)上為嚴(yán)格增函數(shù)

C.偶函數(shù)，在(-8,0)上嚴(yán)格減，在(0,+8)上嚴(yán)格增

D.偶函數(shù)，在(YO,0)上嚴(yán)格增，在(0,+8)上嚴(yán)格減

【正確答案】B

【分析】由/(-x)=-/(.V)可知/(X)為奇函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的概念即可判斷設(shè)F(x)=x2.f(x)

的奇偶性，從而得到答案.

-1,x>0>0

【詳解】v/(-x)=.O,x=O—<0,x=0=-/(x)

l,x<0—1,x<0

??.f(x)為奇函數(shù),

又尸(x)=x2-/(x)

尸(-x)=(-x)2-f(-x)=-x2-f(x)=-F(x)

???尸(x)是奇函數(shù),可排除C,D.

x2,x>0

又尸(x)=X??/(■￥)=<0,x=0

—x~,x<0

F(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增.

故選：B

三、解答題

14.已知全集為R,集合N={x||3x-4|>2}.

⑴求彳；

(2)己知集合5={X|04X4〃?+1},且jU8=R,求實數(shù)加的取值范圍.

【正確答案】(1)1=卜||〃421

⑵{加|m±l}

【分析】(1)根據(jù)補集的運算可得答案:

(2)利用《UB=R結(jié)合圖形可得實數(shù)機的取值范圍.

【詳解】⑴因為力={x||3x-4|>2}={x|x>2^x<|

所以彳=卜|洛臼.

(2)因為NUB=R,所以加+122,解得，“2/.

實數(shù)〃?的取值范圍是{間機21}.

N4

B

—-----A--------------------A.----------

022加+1X

3

15.已知函數(shù)/(x)=l+j~~ZT.

(x+2)

(1)請說明該函數(shù)圖象是由函數(shù)y=x②的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到的；

(2)已知函數(shù)g(x)=/(x)-機的一個零點為3,求函數(shù)g(x)的另一個零點.

【正確答案】(1)答案見解析

(2)-7

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)平移變換即可得到答案.

(2)首先根據(jù)題設(shè)得到g(3)=0得到團=||,再求函數(shù)另一個零點即可.

【詳解】(1)y=g向左平移2個單位得到了=訴『，

再向上平移1個單位得到/(x)=i+7~中.

(X+2)

(2)g(x)=/(x)-，〃=(,y+1”

因為函數(shù)g(x)的一個零點為3,所以"+1-機=0,解得機=||.

所以g(x)=小一.

令g(x)=C，)2V=0,解得i7.

所以函數(shù)g(x)的另一個零點為-7.

16.將長為12米的鋼筋截成12段，做成底面為正方形的長方體水箱骨架，問水箱的高力及

底面邊長x分別為多少時，這個水箱的表面積為最大？并求出這個水箱最大的表面積.

【正確答案】x=l,%=l時，水箱的表面積為最大，最大值為6

【分析】根據(jù)題意列出表面積關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式以及定義域,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得

結(jié)果.

3

【詳解】依題意可得8x+4〃=12,即〃=3-2x,所以0<x<；,

水箱的表面積S=2—+=2x?+4(3-2x)x=-6x2+12x=-6(A--1)2+6,

3

因為0。<去所以》=1時,52=6.

所以x=l,〃=l時，水箱的表面積為最大，最大值為6.

本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.

17.已知關(guān)于x的不等式加-3x+2〉0的解集為何％<1或x>b}

(1)求實數(shù)的值；

(2)解關(guān)于x的不等式三>0(c為常數(shù))

ax-b

【正確答案】(1)"1,6=2；(2)答案見解析.

(1)結(jié)合一元二次不等式的解集，利用韋達定理列方程，由此求得。,氏

(2)對c分成c=2,c>2,c<2進行分類討論，利用分式不等式的解法，求得不等式二4>0

ax-b

的解集.

3

【詳解】(1)由題意可得，1和人是依2一31+2=0的兩個實數(shù)根，由韋達定理可得1+6=一，

a

2

且lxb=-,

a

解得。=1]=2

(2)關(guān)于x的不等式一■>()等價于(x-c)(x-2)>0,

當(dāng)c=2時，不等式的解集為卜打工2}：

當(dāng)c>2時，不等式的解集為何x>c,或x<2}；

當(dāng)c<2時，不等式的解集為何x<c,或x>2}.

本小題主要考查一元二次不等式解集與根的關(guān)系，考查分式不等式的解法，屬于中檔題.

?Y-1

⑻設(shè)/(工尸西?

(1)判斷函數(shù)夕=/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)求證：函數(shù)y=/(x)在K上是嚴(yán)格增函數(shù)：

(3)若/(1一。+/(1-*)<0,求r的取值范圍.

【正確答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2