2023-2024學(xué)年佛山市順德區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年佛山市順德區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

2023-11

（試卷滿分150分；考試時(shí)間120分鐘）

第I卷（選擇題部分，共60分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

y=-

1.直線2的傾斜角為（）

A.18。B.0C.90D.不存在

2.點(diǎn)”（3,—2』）關(guān)于*軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.g（3,2,-1）c.（—3,2,1）口,（一

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)出現(xiàn)9次正面向上，則第10次出現(xiàn)正面向上的概率為（）

￡121

A.2B.9C.10D.10

4.已知向量，，J,女是一組單位向量，且兩兩垂直.若m=8j+3k,n=+則底”的值為

（）.

A.7B.-20c.28D.11

5.已知隨機(jī)事件A和5互斥，且尸（&。8）=°6,尸⑻=0.3,則尸（可等于（）

A.。8B.0.7C.0$D.0.2

6.己知直線/的斜率則該直線的傾斜角口的取值范圍為（）

A.[34」B.L3」14J-4」D.L6」[4J

7.如圖，在正三棱柱AB。-中，若AB=BBI=2,則點(diǎn)C到直線44的距離為（）

A/14714V14

4

A.據(jù)B.2C.3D.

8.饕餐紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代

至西周早期.將青銅器中饕餐紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長為一個(gè)單位長度，

1

有一點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點(diǎn)P經(jīng)過3

次跳動(dòng)后恰好沿著饕餐紋的路線到達(dá)點(diǎn)B的概率為（）

_L113

A.16B.§C.4D.8

二、多項(xiàng)選擇題，本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知。=（一2,-3,1）,b=（2,0,4）,。=（一4,-6,2）,則（）

A.a!!cB.aVbQallbD.bLC

10.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“至少1名女生”與事件“全

是男生”（）

A.是互斥事件B.不是互斥事件C.是對(duì)立事件D.不是對(duì)立事件

11.已知直線2》+>+3=°,則下列說法正確的是（）

A.直線過點(diǎn)（T/）B.直線的斜率為-2C.直線在無上的截距為-3D.直線在'上的截距為-3

12.如圖，在棱長為2的正方體A'。一A4G2中，p為線段4c的中點(diǎn)，Q為線段8G上的動(dòng)點(diǎn)，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)Q,使得B.存在點(diǎn)Q,使得產(chǎn)。工平面的50

兀

C.三棱錐Q-APO的體積是定值D.存在點(diǎn)Q,使得PQ與AD所成的角為7

第II卷（非選擇題部分，共90分）

三、填空跟.本題共4小題，每小題5分，共20分

13.從長度為2,4,6,8,10的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為

14.無論實(shí)數(shù)九取何值，直線3一1卜+（2+3）k（彳-11）=°恒過定點(diǎn)

2

15.己知是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，則4=6+02與人=。-令的夾角是

16.如圖，某正方體的頂點(diǎn)A在平面a內(nèi)，三條棱AB,AC,AD都在平面a的同側(cè).若頂點(diǎn)8,C,D

到平面a的距離分別為血，上,2,則該正方體的表面積為

四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,n,令平面向量“=（〃"），＞=（1，-3）.

（1）求使得事件“〃，萬”發(fā)生的概率；

（2）求使得事件」“KW，，發(fā)生的概率.

18.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，°），3（6,7）,C（0,3）,

（1）求邊AC所在的直線方程；

（2）求邊AB上的高所在直線的方程.

19.已知A,B兩個(gè)盒子中分別裝有僅顏色不同的4個(gè)紅球2個(gè)白球和2個(gè)紅球2個(gè)白球.

（1）若甲從A盒中抽取2個(gè)球，求兩個(gè)球顏色不同的概率；

（2）若甲從A盒中，乙從B盒中分別有放回地抽取兩次，每次每人抽取1球，求甲、乙共抽到3個(gè)紅球

的概率.

20.如圖，在正四棱柱AB%A4GA中，M=2AB=2BC=2,M是棱上任意一點(diǎn).

BC

（1）求證：AM±BD.（2）若M是棱CG的中點(diǎn)，求異面直線AM與BC所成角的余弦值.

3

21.如圖，已知四棱錐尸-MCO的底面是菱形，對(duì)角線AC,80交于點(diǎn)°,Q4=3,OB=4OP=3,OP1.

PM^-MC

底面ABCD,設(shè)點(diǎn)M滿足2

(1)求直線PA與平面BDM所成角的正弦值;

⑵求點(diǎn)P到平面BDM的距離.

22.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.薨，屋

蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻蔓是茅草屋頂.”現(xiàn)有一個(gè)芻薨如

圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE,CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，形=4,EF//AB,

AB=2EF,EA=ED=FB=FC=3

(1)當(dāng)點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面EFN；

(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)(包含端點(diǎn))，求平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍.

4

1.B

【分析】由直線方程得出斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可解題.

71

y——

【詳解】直線2的斜率為0,所以傾斜角為°.

故選:B.

2.B

【分析】數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】點(diǎn).3—2,1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是32,T）.

故選：B

3.A

【分析】由正面向上或正面向下可能性相同，即可得出答案.

【詳解】第10次拋硬幣結(jié)果不受前9次結(jié)果的影響，由于硬幣正面向上或正面向下可能性相同，

則第10次出現(xiàn)正面向上的概率為萬，

故選：A.

4.C

【分析】由向量,，j,無是一組單位向量，且兩兩垂直，得，1=5=閑=1且3）=*=，/=。，然后利

用向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解機(jī)

【詳解】向量；，人上是一組單位向量，且兩兩垂直，

所以『月/=%=1且，/=/*=>%=0.

因?yàn)闄C(jī)=8/+3Zn=—i+5j—4k

所以加?〃=（8）+3Q?（—i+5/—44）=40—12=28

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

5.B

【分析】因?yàn)锳和8互斥，由尸（&3）=尸（4）+尸（3）=°6求出尸⑷,再由尸W可=尸⑷+尸（可=1即

可得到答案.

【詳解】因?yàn)锳和8互斥，

所以「（AB）=P（A）+P（B）=0.6

又產(chǎn)⑻=0.3,

所以*4）=03,

5

因?yàn)槭?AR=P(A)+P?=I,

所以尸0)=1-尸⑷=1-03=0.7

故選:B.

6.B

【分析】運(yùn)用斜率公式將轉(zhuǎn)化為TWtanawg(ce［0,7r)),解不等式即可.

【詳解】直線傾斜角為。，則￡注0,兀)，

由一1W左工有可得一1Wtana<G,

rrx兀i「3兀、

a€

所以34.

故選：B.

7.B

【分析】取AC的中點(diǎn)°,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

［詳解］取AC的中點(diǎn)O,則BO,AC,80=石，

以。為原點(diǎn)，°員℃的方向分別為x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(OTO)聞后0,2),C(0,l,0)

所以4月=(6,1,2),C4=(O,—2,O)

2_A/2

刀T萬

所以14在AB'上的投影的長度為

_V14

d=

故點(diǎn)C到直線4耳的距離2

故選：B.

8.B

【分析】先利用列舉法得到共8種不同的跳法，再利用概率公式求解即可.

【詳解】點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長度，

6

則有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），

（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8種不同的跳法（線路），

符合題意的只有（下，下，右）這1種，

P=-

所以3次跳動(dòng)后，恰好是沿著饕餐紋的路線到達(dá)點(diǎn)8的概率為8.

故選：B.

9.ABD

【分析】A選項(xiàng)，由。=2。得到A正確；BD選項(xiàng)，計(jì)算數(shù)量積為0得到垂直關(guān)系；C選項(xiàng)，設(shè)。=的，

得到方程，方程無解，C錯(cuò)誤.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椤?2",所以Z/無，A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)镚A=-2X2+（-3）X0+1X4=0,所以心久B正確；

'2=-2k

＜0=-3左

C選項(xiàng)，設(shè)^=入，則,無解，故。*不平行，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，小。=（2,0,4）-（-4,-6,2）=-8+0+8=0,故D正確.

故選：ABD

10.AC

【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義即可求解.

【詳解】從3男2女中人選2名同學(xué)，一共會(huì)出現(xiàn)的抽取情況為：2男，或者2女，或者1男1女，

至少一名女生包括一名或兩名女生，全是男生相當(dāng)于女生數(shù)為零，兩者間是互斥事件也是對(duì)立事件.

故選：AC

11.BD

【分析】根據(jù)直線2x+y+3=。，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.

【詳解】選項(xiàng)A,因?yàn)?X（-1）+1+3=2*0,即直線不過點(diǎn)（T』），所以選項(xiàng)A不正確；

又由2x+y+3=0,得到＞=-2龍-3,所以直線斜率為-2,在＞上的截距為-3,所以選項(xiàng)BD正確，

JQ—3__

又由直線2x+y+3=°,令y=0,得到一2,所以選項(xiàng)c錯(cuò)誤，

故選：BD.

12.B

【分析】A由如/42、BR尸°=尸即可判斷；B若。為貽中點(diǎn)，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定

即可判斷；C只需求證BG與面APD是否平行；D利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.

【詳解】A：正方體中8D//BQ,而P為線段AG的中點(diǎn)，即為用2的中點(diǎn),

7

所以即丁尸。=尸，故附,PQ不可能平行，錯(cuò);

B：若。為明中點(diǎn),則加〃”,而城…,故尸?！?

又4￡>_1面48耳4,45u面ABgA,則A3_LAO,故PQ_LA￡),

AB^AD=A^44,4。匚面4月。1。則PQ1面AqG。

所以存在Q使得PQ1平面AB'C'D,對(duì)；

C：由正方體性質(zhì)知：BCJ曲,而AR面APD=A,故與面人也不平行,

所以Q在線段8G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到面APD的距離不一定相等,

故三棱錐°-APO的體積不是定值，錯(cuò)；

D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系刀一孫z,則A(2,0,0),尸(U,2),Q(2-a,2,a)且owaw2,

所以D4=(2,0,0),PQ=(l-a,l,a-2)若它們夾角為

_______2(1—〃)

cos0=||zH-ol

2x7(l-tz)2+l+(a-2)2■\/2,Ja~-3a+3

則

\t\]

cos6=

萬

令/=1-Q￡[-1,1],則

8

,znnC0s6e

當(dāng)貝卜L，),

「1n\-E(-00,-11COS0G(0,——]

當(dāng),=()則cos6=0；當(dāng)，￡[一1,0),則/'」，2

71G

cos————

所以62不在上述范圍內(nèi)，錯(cuò).

故選：B

3

13.10##0-3

【分析】采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】從5條線段中任取3條,則有Id&},{2,4,8},{2,4,10},{2,6,8},{2,6,10},{2,8,10},{4,6,8},

{4,6,10},{4,8,10},{6,8,10},共10個(gè)基本事件；

_2_

其中三條線段能夠成三角形的基本事件有：{4,6,8},{4,8,10},{6,8,10},共3個(gè)；.?.所求概率'一歷

3

故答案為：io.

14.（2廠3）

【分析】將直線方程化為“（2x+yT）—（尸3k11）=°,進(jìn)而分析求解.

【詳解】由（2"T九+（"+3），一（"一11）一°,可得4（2%+,一1）一（1-3y-11）=0,

j2x+y-l=0卜=2

令1x-3y-ll=0,解得jy=-3,所以直線（2九-1）%+（兄+3），-（九-11）=。恒過定點(diǎn)（2,-3）,

故答案為：（2廠3）.

71

15.3##90

【分析】分別求出"=9+02與6=芻-%的數(shù)量積與各自的模，利用數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】由題4例2是夾角為60。的兩個(gè)單位向量,

9

所以a力=H+e)(e/eJ=卜卜同二。

COSe=MM=0A_兀

設(shè)a,。夾角大小為a，且。，兀],則\a[\b\,所以一了

兀

故答案為：2

16.54

【分析】取空間的一個(gè)基底｛"''ACA"｝,設(shè)正方體的棱長為a,"是平面a的一個(gè)方向向上的單位法

向量.由題得AB，ACAO在〃方向上的投影向量的長度分別為6，2,得

n=\(42AB+^[3AC+2AD\]；|=1

。',，由門，得。=3,即可求得正方體的表面積.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為〃，取空間的一個(gè)基底｛A'‘"'''"),設(shè)〃是平面&的一個(gè)方向向上的單位

法向量.

由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(龍/"),使得"=xA3+yAC+zAO.

由題意，AB，AC43在“方向上的投影向量的長度分別為0,6，2.

(\L

十口AD-FfnnI+zAD]-AB=y/2_2_Wx--T

于是"?A3—>/2,即I/，即nAZZ=。2,o即na.

A/32

z=~

同理，a,a

n=^(y/2AB+y/3AC+2AD]|H|=1二也/+3/+4<?=1

從而。一',，由門，得

\y[2AB+yl3AC+

其中

=72AB2+3AC2+4A/2A￡>-AB+4AD2+2s/6AC-AB+4^AC-AD

I-----.JCIX

二,2/+3/+4/,即/-,解得“=3,所以正方體的表面積5=66=54.

故答案為：54

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：考慮到可以利用空間向量表示條件中的點(diǎn)到平面的距離，所以選擇基底，設(shè)單位法

72

向量解決問題，得mAB=亞，gp(xAB+yAC+zAD)-AB=y/2；求得a：即可得到

n=-^(y[2AB+^AC+2AD)

。'),再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

10

1￡

17.(1)18.(2)6.

【分析】（1）由題意，得到m、n的取值集合，可得點(diǎn)（m,n）的總?cè)》ㄓ?6種，當(dāng)"，"時(shí)，解得m與

n的關(guān)系，即可得滿足條件的（m,n）的個(gè)數(shù)，代入概率公式，即可得答案.

（2）當(dāng)卜卜W時(shí)，解得m與n的關(guān)系，即可得滿足條件的（m,n）的個(gè)數(shù)，代入概率公式，即可得答案.

【詳解】（1）由題意知，{1,2,3,4,5,6}、"€{123,4,5,6},故⑺，n）所有可能的取法共36種.

當(dāng)皿時(shí),得m-3n=0,即m=3n,滿足條件共有2種：（3,1）,（6,2）,

所以事件的概率3618.

LI<1^1

(2)當(dāng)?「I?時(shí)，可得m2+n2W10,共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6種情況,

其概率366.

【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率求法，解題的關(guān)鍵是列出基本事件的個(gè)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

32

y=——兀+3y=——x+3

18.（1）4（2）-7

【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解斜率，進(jìn)而由斜截式即可求解方程，

（2）根據(jù)斜率公式以及垂直關(guān)系得高所在直線斜率，即可求解.

3-03

【詳解】（1）由題意可得*一雇每一一司

,7-072

KAR=---——..

（2）6-42,所以AB邊上的高所在直線的斜率為7,

-二尤+3

由點(diǎn)C（0,3）,所以AB邊上的高所在直線方程為、一一7苫十.

19.（1）15（2）3

【分析】（1）運(yùn)用列舉法計(jì)算古典概型的概率即可.

（2）由甲、乙共抽到3個(gè)紅球的情況有：①甲第一次抽到紅球，第二次抽到白球，乙兩次都抽到紅球,

②甲第一次抽到白球，第二次抽到紅球，乙兩次都抽到紅球，③甲兩次都抽到紅球，乙第一次抽到紅球,

第二次抽到白球，④甲兩次都抽到紅球，乙第一次抽到白球，第二次抽到紅球，分別計(jì)算即可求得結(jié)果.

【詳解】⑴設(shè)A盒中的4個(gè)紅球分別為外,%，?3,%,2個(gè)白球分別為％%

則甲從A盒中抽取2個(gè)球的基本事件有（仆出），（％，%）,（4,4）,（4力），（4也），（的，%）,（%,%）,（外力），

（%也），（/”），（。34），（生也），（〃4，4），（〃4也），（仇也）共15個(gè)，

兩個(gè)球顏色不同的基本事件有（％力），（%也），（出4）,（〃2也），（%，伉），（生也），（包，耳）,（%也）共8個(gè),

11

所以甲從A盒中抽取2個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同的概率為15.

(2)由題意知，甲、乙共抽到3個(gè)紅球的情況有：

?42221

1——X-X-X——-----

①甲第一次抽到紅球，第二次抽到白球，乙兩次都抽到紅球的概率為664418,

“24221

1——X-X-X——-----

②甲第一次抽到白球，第二次抽到紅球，乙兩次都抽到紅球的概率為664418,

n44221

P——X—X-X———

③甲兩次都抽到紅球，乙第一次抽到紅球，第二次抽到白球的概率為66449,

n44221

p__x_x_x___

④甲兩次都抽到紅球，乙第一次抽到白球，第二次抽到紅球的概率為一6644-9,

n11111

P---1---1--1-——

所以甲、乙共抽到3個(gè)紅球的概率為1818993.

如

20.(1)證明過程見解析(2)3

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線線垂直；

(2)在第一問的基礎(chǔ)上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值.

【詳解】(1)證明：以A為原點(diǎn)，AB,AD,A4所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

因?yàn)檎?2AB=2BC=2,所以4(0,0,0),3(1,0,0),。(0,1,0),“(1,1,冽),0<m<2,

==AM-BD=(1,1,/M).(-1,1,0)=-1+1=0>所以WB6

⑵M是棱CG的中點(diǎn),故C(L1，O)MU，1),則AM=(1,L1)取=(。,1,。),

設(shè)異面直線AM與BC所成角的大小為0,

回明|(1,1,1).(0,1,0)|_遭

|AM|.|BC|A/33

故異面直線AM與BC所成角的余弦值為3.

12

Vio375

21.（1）1°（2）5

【分析】（1）以°為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量"=（2°」）和向量

上4=（3,0,-3）,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解;

LUU

（2）求得8=（°。3）,結(jié)合向量的距離公式，即可求解.

【詳解】（1）解：因?yàn)槠矫鍭BCD是菱形，可得AC13D,

又因?yàn)镺P,底面ABC。，ACBDU平面ABCD,所以。PLAC,OPLBD,

所以AC,3D,°尸兩兩垂直,

以°為坐標(biāo)原點(diǎn)，以04°民°尸為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系O-W,如圖所示;

則A（3,0,0）,3（0,4,0）,C（—3,0,0）,D（0,T,0）,P（0,0,3）；

所以刈=（3,0,-3）,=（0,8,0）,PC=（-3,0,-3）,BP=（0,-4,3）

因?yàn)槭?3"：所以9=^^=（一1，°，一1）,BM=BP+PM=（-1,-4,2）

DB?n=8y=0

<

設(shè)平面BDM的法向量n=（蒼%z）,則BM-n=-x-4y+2z=0

令x=2,可得y=°，z=l,所以平面的一個(gè)法向量"=（2，°，1）,

PA"i3M

cos<PA,n>=

網(wǎng),「30x百一10

則

\/10

所以直線9與平面3n做所成角的正弦值為io.

,\pP-r\33A/5

uuua=--i—i-L=—7==-----

（2）解：由8=（°，°，3）,所以點(diǎn)p到平面3nM的距離川V55

13

Vio叵

in'3

22.（1）證明見解析（2）L」

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間角的向量求法求出平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的表達(dá)式,

進(jìn)行合理變形，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得余弦的最值，即可求得答案.

【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)，且E4=￡D,

所以

因?yàn)镋F//AB,且四邊形ABCD為正方形，故ADSAfi,

所以AD_LER,而ENiEF=E,EN,EFu平面EFN,

故AD,平面EFN；

（2）設(shè)正方形ABCD的中心為O,分別取回ICE尸的中點(diǎn)為P，Q，S,

設(shè)點(diǎn)H為線段AD的中點(diǎn)，由（1）知瓦廠，〃，。四點(diǎn)共面，且平面EFH,

連接°S,0Su平面屏舊，故

又A￡>u平面A5CD,故平面ABCD1平面跳HQ,

且平面ABCDc平面EFHQ=HQ,

由題意