2022-2023學(xué)年河北省張家口市高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省張家口市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.數(shù)據(jù)68,70,80,88,89,90,96,98的第30百分位數(shù)為（）.

A.70B.75C.80D.88

【答案】C

【分析】把給定的由小到大排列的數(shù)據(jù)，根據(jù)第P百分位數(shù)的定義求解作答.

【詳解】依題意，8x30%=2.4,所以所求第30百分位數(shù)為80.

故選：C

2.已知向量”，6滿足冋=2,忖=3,=1,則〃在d上的投影向量為（）.

A.—aB.—ciC.—bD.-b

4293

【答案】A

【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)投影向量的定義可得，b在。上的投影向量為普?告==

\a\同224

故選：A

3.已知圓錐的體積為友兀，底面面積為2兀，則該圓錐的側(cè)面積為（）.

3

A.2亞無B.VlOjtC.37tD.2石7t

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐的體積公式可求得高人=6,根據(jù)圓錐的底面積公式可求得半徑r=應(yīng)，從而可

求得圓錐的母線長(zhǎng)/=石，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積公式即可求解.

【詳解】令圓錐的高為厶，底面半徑為「，母線為/,

由圓錐的體積公式丫=2S〃，可得厶回兀=、2//7,解得厶=6，

333

由圓錐的底面積公式S=兀/，可得“2=2兀，解得r=6,

所以圓錐的母線長(zhǎng)/=病對(duì)戸=石，

所以S側(cè)=兀/7=兀乂=J15兀.

故選：B.

4.某校為了讓學(xué)生度過一個(gè)充實(shí)的假期生活，要求每名學(xué)生都制定一份假期學(xué)習(xí)的計(jì)劃.已知該校

高一年級(jí)有400人，占全校人數(shù)的《，高三年級(jí)占丄，為調(diào)查學(xué)生計(jì)劃完成情況，用按比例分配的

36

分層隨機(jī)抽樣的方法從全校的學(xué)生中抽取1()%作為樣本，將結(jié)果繪制成如圖所示統(tǒng)計(jì)圖，則樣本中

【答案】D

【分析】首先計(jì)算出計(jì)算出樣本容量為120人，則高三年級(jí)有20人，根據(jù)高三完成率即可得到答案.

【詳解】竿=1200,1200x10%=120,故樣本容量為KO,其中高三年級(jí)有120x；=20人，

36

由圖可知，樣本中高三年級(jí)假期學(xué)習(xí)計(jì)劃的完成率為4()%,

故樣本中高三年級(jí)完成計(jì)劃的人數(shù)為20x40%=8,

故選：D.

5.在AABC中，G為AABC的重心，M為AC上一點(diǎn)，且滿足MC=34M，則

A.GM=-AB+—ACB.GM=--AB--AC

312312

17....1.7——

C.GM=——AB+—ACD.GM=—AB——AC

312312

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法和減法即可判斷結(jié)論.

【詳解】由題意，畫出幾何圖形如下圖所示：

根據(jù)向量加法運(yùn)算可得GM=G4+AM

因?yàn)镚為AABC的重心，M滿足MC=3AM

?11)

所以4G=(g(AB+AC)=：(AB+AC),AM=-AC

所以GM=-(；A8+gAC)+；AC

=~-AB--AC

312

所以選B

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.在三棱錐A-B8中，NB4C=NC4￡)=mW=40。，AB=AC=AZ>=2,一只蝸牛從8點(diǎn)出發(fā),

繞三棱錐三個(gè)側(cè)面爬行一周后，到棱A3的中點(diǎn)E,則蝸牛爬行的最短距離是().

A.gB.石C.V6D.V7

【答案】D

【分析】將三棱錐的側(cè)面展開，從而可知線段BE為所求，再利用余弦定理即可得解.

【詳解】如圖所示，將三棱錐的側(cè)面展開，則線段8E為所求，

由題意得，ZEAB=\20°,AB=2,AE=\,

由余弦定理可得—fcos"但4+心2可-升7.

則BE=近,即蝸牛爬行的最短距離是近.

故選：D.

7.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AMG。中，P,。是GA，4G的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作平面a,使得平

面a〃平面BAP。，則平面a截正方體所得截面的面積是()

A.—B.2C.-D.並

222

【答案】C

【分析】取4。中點(diǎn)〃，A4中點(diǎn)N,利用面面平行的判定定理確定平面a,利用余弦定理及三角

形面積公式求解即可.

【詳解】如圖，取4。中點(diǎn)M,厶蜴中點(diǎn)N,連接MN,AM,AN,

因?yàn)镻Q//MV,MV<Z平面BOPQ,PQu平面8OP。，所以M/V//平面BDPQ,

又PD//AN,ANcz平面BOP。，P￡>u平面BOPQ,所以AN〃平面BOPQ,又AMcAN=A,

AA7u平面AMN,AVu平面AAYN,所以平面PQB。〃平面AMN,

即三角形40N為所得截面a,

在」AMV中，4M=AN=小猛+AN2=亞,MN=也，

AM?+AN。-MN?5+5-24

由余弦定理得cosNM4N=

2AMAN2x>/5x>/55

i2

所以sin乙MAN=Vl-cos2ZMAN=

所以S=，AM.AjVsinNM4W=1x>/^x^x3=3.

2252

故選：C.

V3(c2-a2)

8.在銳角三角形48c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足sin8-GcosC=

2ab

則&的取值范圍為().

c

【答案】A

【分析】利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可得sin4=3.,進(jìn)而求得人=弓，再把纟化為

23c

甄g=sin(A+C)=sinAc°sC+cosAsinC=有J,結(jié)合cJ工工］即可求解.

sinCsinCsinC2tanC2162丿

6(/一叫

【詳解】sin8-GcosC=labsinB-2yj3abcosC=品:?-6a?

2ab

2"sinB=\/3c2-下+2G"cosC=0{c1-a2+2而cosC)=A/3(C2-a2+tz2+Z?2-c2),

即2abs\nB=y/3b2,.,.2sinAsin2B=V3sin2B,

e—j,/.sinsinA=

V,

bsinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinCv31

Ael0,—j,.\A=—,:.cosA=—-=------=--------------=-------------------------------=---------—

(2丿32csinCsinCsinC2tanC2

兀^-Cel0.17j1,,-.Ce

Be0,1,CG0,

2

故選：A.

二、多選題

9.實(shí)數(shù)x,y滿足（l+i）x+（i—l）y=2,設(shè)z=x+yi,則（）.

A.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.忖二夜

C.z的虛部是-1D.—=—i

z

【答案】BCD

【分析】利用復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)z,再逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.

Ix—v=2

［詳解］由（l+i）x+（i—l）y=2,得（x-y）+（x+y）i=2,而x/wR,則|工+；=0，解得了=一＞=1,

即z=l—i，

對(duì)于A,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,|z|=）乃+（一1）2=正,B正確;

對(duì)于C,z的虛部是-1,C正確;

-z1-i(l-i)(l-i)-2i

=

對(duì)于D，?T7?(l+i)(l-i)-VD正確.

故選：BCD

10.已知函數(shù)/（X）=4cos（2x-］）,則（）

A.〃x）圖象的對(duì)稱中心為［普+￡,0）,kwZ

B./（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為1-g+2E弓+2E）,kwZ

C.為了得到函數(shù)y=4cos2x的圖象，可將/（X）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度

D.為了得到函數(shù)y=4sin2x的圖象，可將/（X）的圖象上所有的點(diǎn)向右平移￡個(gè)單位長(zhǎng)度

0

【答案】AC

【分析】用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，采用整體代入的思想判斷A、B,利用圖象左右平移法則判斷選

項(xiàng)C、D.

【詳解】令2X-?E,解得力凈母，keZ,所以函數(shù)/(x)圖象的對(duì)稱中心為僧+勺,。),

keZ,

故A正確；

TTTT27r

令2EK2x——<7I4-2ATT,解得一+—+E,

363

7T27r

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+kK,—+kn,keZ,故B錯(cuò)誤；

將〃x)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度得y=4cos=4cos2x,故C正確；

6v673_

將/(X)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得

兀］“(c2兀、”.?

_H3j13丿

故D錯(cuò)誤；

故選：AC

11.一個(gè)裝有6個(gè)小球的口袋中，有編號(hào)為1,3的兩個(gè)紅球，編號(hào)為2,4的兩個(gè)藍(lán)球，編號(hào)為5,

6的兩個(gè)黑球.現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球，設(shè)事件A="取出的兩球顏色相同"，8="取出的兩球編號(hào)之

差的絕對(duì)值為1"，C=”取出的兩球編號(hào)之和為6或7”，。="取出的兩球編號(hào)乘積為5”，則下列說

法正確的是().

A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.事件A與事件C相互獨(dú)立

C.事件8與事件C相互獨(dú)立D.事件8與事件?；コ?/p>

【答案】ABD

【分析】列出6個(gè)小球任意取出兩個(gè)球的全部結(jié)果，從而可以求解事件A3,CRAB,AC,8c的概率,

再結(jié)合互斥事件與獨(dú)立事件的定義即可判斷.

【詳解】根據(jù)題意可知，6個(gè)小球任意取出兩個(gè)球，共有15種可能，分別為

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6).

31

事件A包含3種可能,即(1,3),(2,4),(5,6),;.P(A)=-^=-；

事件B包含5種可能，即(l,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),:.P(B)=V=g；

事件C包含5種可能，即(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(3,4),P(C)=

事件。包含1種可能，即(1,5),.?.「(1))=《.

事件A8,AC,分別為(5,6),(2,4),(3,4)各1種可能，

對(duì)于A,P(A3)=S=P(A)尸(8),A對(duì)；

對(duì)于B,P(AC)4=P(A)P(C),B對(duì)；

對(duì)于CP(BC)=S*P(B)P(C),C錯(cuò);

對(duì)于D,事件B與事件。不能同時(shí)發(fā)生，故事件5與事件。互斥，D對(duì).

故選：ABD.

12.如圖，已知正方體ABCD-AMG。的棱長(zhǎng)為1,M是DC中點(diǎn)，E是線段AG(包含端點(diǎn))上

任意一點(diǎn)，則().

A.三棱錐3-4WE的體積為定值

B.存在點(diǎn)E,使得直線8E與平面A5CD所成角為30。

C.在平面8CC円內(nèi)一定存在直線/，使得”/平面AEM

D.存在點(diǎn)E,使得82丄平面

【答案】AC

【分析】利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)結(jié)合棱錐體積公式即可判斷A,對(duì)B,過E作EF丄AC,垂足

為F,求出B尸的范圍，則得到tanNEB尸的范圍，即可判斷B,對(duì)C,利用線面平行的判定即可，

對(duì)D,首先證明8。丄平面AC4,再利用反證法即可判斷.

【詳解】^B-AME=^EABM=TX=-=—>故A正確；

3320

過E作所丄AC,垂足為F,連接班,,則ZEBF為直線BE與平面ABC。所成角，則tanNEBF=轉(zhuǎn)，

BF

又因?yàn)锳4,//3g,44,=3%BBJICC、,BB、=eg,

則四邊形AACC1為平行四邊形，因?yàn)槊鱽A平面ABCQ,ACu平面438,

則AA丄AC,則四邊形AACG為矩形，則EF//CG，M=CC1,二所=1,

當(dāng)尸與A或C重合時(shí)，（師）儂=1,當(dāng)反丄AC時(shí)，（B7%n=乎，所以BFe［等」］,故

tanZ￡BFs［1,V2］,tan30故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,顯然直線40與3c在底面內(nèi)相交，故平面Afi”與平面8CG4相交，在平面8CG片內(nèi)一定

存在直線/與交線平行，貝IJ///平面故C正確；

對(duì)D,因?yàn)閬A底面A8CD,厶。匚平面厶8?！辏?，。4丄厶匸，

又因?yàn)锳C丄比>,且8。DD、=D,BD,DRu平面BDD、,

所以AC丄平面BDR,因?yàn)锽Ru平面8。。，所以AC丄8。，

延長(zhǎng)CG使得C、N=1,再分別連接DRBN,

因?yàn)锳￡>//BC,AO=BC,BC"BG，BC=B￡,

所以4O//8Ci，AD=qG，所以四邊形A。4c為平行四邊形，

所以4片//力6，因?yàn)镈D、"C、N,DD、=GN,所以四邊形。QG2為平行四邊形，

所以。G//RN,所以ABJ/D、N,則異面直線RB與AB1的夾角即為NB^N或其補(bǔ)角，

因?yàn)镽B=Jv+F+T=6D1N=-Ji,BN=JF+22=石,

所以DE+DN=BM,所以B。丄RN,所以BA丄AB-

又因?yàn)锳C丄BQ,AC\Ng=AAC,A81u平面ACq,

所以BD］丄平面ACg,假設(shè)BD1丄平面AME,

則平面43與平面AC4重合，顯然假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題B選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過作過E作EFIAC,從而計(jì)算出tanNEBE的范圍即

可，對(duì)D選項(xiàng)，首先證明8。丄平面AC8,,然后再利用反證法即可.

三、填空題

13.一枚質(zhì)地均勻的骰子，拋擲三次，事件A為“三次拋擲的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)”，事件8為“恰有一次點(diǎn)

數(shù)為偶數(shù)”，事件C為“至少有兩次點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)“，則P（A）+P（B）+P（C）=.

【答案】1

【分析】判斷試驗(yàn)的空間與事件AB,C的關(guān)系，即可求解作答.

【詳解】依題意，一枚骰子拋擲三次的試驗(yàn)的所有基本事件構(gòu)造的空間C=而事件A民C

兩兩互斥，

所以「（A）+P（B）+P（C）=P（Q）=1.

故答案為：1

14.已知|z-2+i|=2,則忖的取值范圍是.

【答案】[君-2,6+2]

【分析】|z-2+i|表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)（2,-1）的距離，利用圓的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)閨z-2+i|表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)（2,-1）的距離，

故z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以C（2,-l）為圓心，半徑r=2的圓上，如下圖所示，

則|z|的最小值為|。4卜|0。-「=6-2,最大值為|0叫=|0。+r=后+2,

故忖的取值范圍是［百-2,6+2］.

故答案為：［百-2,石+2］

15.已知函數(shù)””=2疝（8+2（。>0）在區(qū)間［0,可上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則0的取值范圍是.

…「1115、

【答案】~T9~T

［44丿

7T7TJT

【分析】由X￡［0,7l］可得的+:￡-,^+-，再由函數(shù)在區(qū)間KU1上恰有三個(gè)零點(diǎn)可得則

4|_44

7T

3兀K37C+—<4兀，求解即可.

4

TT）1JJ

【詳解】因?yàn)樨＃?則。X+-,^+-,

4144

又因?yàn)楹瘮?shù)，（幻在區(qū)間［0,n］上恰有三個(gè)零點(diǎn)，

則3兀4+'V4兀，解得—<69<—,

444

所以"的取值范圍為

_44丿

厶「U15、

故答案為：-

［44丿

16.己知正四面體A-3CO,。是底面8c。的中心，以Q4為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體旋轉(zhuǎn)180。后，與

原四面體的公共部分的體積為逑，則正四面體A-8CD外接球的體積為.

2

【答案】生但兀

8

【分析】根據(jù)給定條件，作出變換后的公共部分圖形，由其體積求出原正四面體的棱長(zhǎng)，再求出外

接球半徑作答.

【詳解】以04為旋轉(zhuǎn)軸，將正四面體A-88旋轉(zhuǎn)180。后，公共部分為正六棱錐A-￡FG〃〃，如

圖，

A

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為。，而B0=旦,則A0=〃B?-B02=回,

33

22

正六邊形EFGHIJ的邊長(zhǎng)EF=；BD=VSEFCHIJ=6x^-EF=^-a,

因此公共部分的體積匕n-tZErFUGtHilUJ=、3StErFOG/Hi/HJ.A。='3xB6a2x旦3a=包]8f2，解得。=3

（￥。）2+（當(dāng)〃-/?）2,

顯然正四面體的外接球球心。'在40上，設(shè)此球半徑為R,由六=得

□瓜3瓜

R=--ci=----，

44

所以正四面體A-8CO外接球的體積丫=如內(nèi)=如.(亞)3=紅區(qū)兀

3348

故答案為：生也

8

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心

位置是解題的關(guān)鍵.

四、解答題

17.已知向量值=(-1,2),6=(2,2).

⑴若〃〃人求忖的值；

(2)若卜叫=k+可，求實(shí)數(shù)2的值；

(3)若“與6的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

【答案】⑴2石

(2)1

⑶-5T,D

【分析】(1)根據(jù)向量共線解出/1=-4,則6=(2,Y),則得到〃的模;

(2)根據(jù)題意推出〃丄6,則得到關(guān)于幾的方程，解出即可；

(3)由題意得“包＜0,且“與6不反向共線，解出2的范圍即可.

【詳解】(1)allb?=(-1,2),b=(2,A)91)x2-4=0,.,.2=-4,

:?b=(2,-4),b|=匯+㈠了=2A/5.

(2)：\a-b\=\a+b\,兩邊同平方得|2=|a+b/，則化簡(jiǎn)得￡?b=0,

a丄。，:.a-b=-2+2A=0＜A=1.

(3)a與人的夾角是鈍角，.?2.力＜0，且a與6不反向共線，

即a/=-2+2/l＜0，由(1)可知4工-4,

則九＜1,且；1工-4,故實(shí)數(shù)4的取值范圍為(roT)5TD.

18.為了了解全校學(xué)生計(jì)算能力的情況，某校組織了一次數(shù)學(xué)計(jì)算能力測(cè)驗(yàn).現(xiàn)對(duì)全校學(xué)生的測(cè)驗(yàn)

成績(jī)做統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求此次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)；

(2)為了更加深入了解學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的情況，從成績(jī)?cè)冢?0,100］之間的學(xué)生中，采用按比例分配

的分層隨機(jī)抽樣方法，選取7名學(xué)生進(jìn)行訪談，再?gòu)倪@7名學(xué)生中任選2名學(xué)生在總結(jié)大會(huì)上發(fā)言,

求抽到的兩人中至少一人的成績(jī)?cè)冢?0,100］的概率.

【答案】(1)76

⑵u

21

【分析】(1)先根據(jù)頻率之和為1求得。=0025,再根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可

求解；

(2)由圖可知成績(jī)?cè)冢?0,90)與［90/00］的樣本比例為5:2,從而可求得7名學(xué)生中有5名成績(jī)?cè)?/p>

［80,90),2名成績(jī)?cè)冢?0,100］,再利用列舉法可求得概率.

【詳解】(1)由題意得(0.005+加+0.035+0.01)x10=1,可得“=0.025,

所以［0.005x55+0.025x(65+85)+0.035x75+0.01x95］xl0=76,

所以此次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)為76分.

(2)由(1)知，成績(jī)?cè)冢?0,90)與［90,100］的樣本比例為5:2,

所以7名學(xué)生中有5名成績(jī)?cè)冢?0,90),2名成績(jī)?cè)冢?0,100］,

若［80,90)中5人分別為“力,。,必，［90/00］中2人分別為蒼兒

則從中抽取2人的所有組合為

{ah,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,ax,ay,bx,by,ex,cy,dx,dy,ex,ey,,有21種情況，

兩人中至少一人的成績(jī)?cè)冢?0,100］的有{xy,ax,ay,hx,by,ex,cy,dx,dy,ex,ey},H種情況，

所以抽到的兩人中至少一人的成績(jī)?cè)冢?0,100］的概率為巧.

19.如圖，在直三棱柱ABC-A中，D,M,N,P分別是A8,44-BB,,CG的中點(diǎn).

(1)求證：8P〃平面MDC；

(2)設(shè)45=AC=CB=2,BBt=4,求異面直線GN與CM所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【分析】Q)連接AP,設(shè)APMC=O,連接。。，利用線面平行的判定推理作答.

(2)利用定義法求出異面直線夾角的余弦作答.

【詳解】(1)在直三棱柱ABC-ABC中，連接設(shè)APMC=O,連接。O,如圖,

由用，尸分別是矩形A4,GC對(duì)邊44-CG的中點(diǎn)，得四邊形MACP是矩形，即。是小的中點(diǎn),

而。是A8的中點(diǎn)，于是8〃8P,又即0平面MDGODu平面M￡>C,

所以6P//平面MEC

（2）因?yàn)镸P分別是矩形B8CC對(duì)邊陰,CG的中點(diǎn)，則C///N8，GP=NB,

因此四邊形8PGN是平行四邊形，則NCJIBPIIOD,

于是NM8或其補(bǔ)角是異面直線CtN與CM所成角,

由4B=4C=CB=2,BB1=4,得BP=CM=2四,DM=布,

在，中，OD=OM=&DM=逐,則cos乙MOD=簽［h=T

所以異面直線GN與CM所成角的余弦值為「

71

20.如圖，在_謖C中，4AC為鈍角,。在8c上,且滿足%,AB=3,8c=36

⑵若M是BC的中點(diǎn)，cosZBAC=--,求AM的長(zhǎng)度.

【答案】⑴,

⑵返

2

【分析】（1）利用正弦定理即可得解:

（2）利用余弦定理求得AC,再利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可得解.

ABBC

【詳解】（1）在43c中，由正弦定理可得

sinCsinABAC'

../”BCsinC3&26

...sinZ.BAC=----------=--------=——,

A832

???/84。為鈍角，，/氏4。=當(dāng)，

兀

ZBAD=ZBAC-ZCAD=

2

(2)在.ABC中，由余弦定理可得BC=A/^+AC,-ZA/rACcosNBAC,

即27=9+AC2-2x3xACx[一卷)，解得厶。=4(負(fù)值舍去)，

〃為BC中點(diǎn)，則AM=；(AB+AC),

91/22\I

:.AM'=#8~+AC+2|A8||AC|cosNB4C)=-9+16+2x3x4x1-—|=—,

12丿4

.[AM|=叵，即AM的長(zhǎng)度為叵.

22

21.已知函數(shù)/(x)=4sinHcos(3+1)+

⑴若/(a)=g,求cos(a+'，；

⑵若不等式|尸(同-華"M+2對(duì)任意的xe-昔恒成立，求2的取值范圍.

【答案】⑴一。

0

(2)[0,4]

【分析】(1)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)/(x),從而得到sin(a+方J的值，再利用三角函數(shù)的誘

導(dǎo)公式即可得解.

(2)先利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得了(x)的值域，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再利用二次函數(shù)的

性質(zhì)即可得解.

rxn

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=4sin5cos—i—+百=2sin—cos--2>/3sin2—+\/3

23222

=sinx-V3(l-cosx)+6=sinx+Gcosx=2sin[x+]J,

若.f(a)=2sin(a+mj=5，則sin(an

+

336

所以cos(a+7兀卜cos(a+gJ+T=_sin(a+二]=一丄

I3丿6

(2)令f=/(x),xe，

63

「、r兀兀兀兀2?！保?、，?/7t|1.「I-

因?yàn)閤w，所以工+不￡7H,所以sinx+彳￡，則/￡r[1,2],

_63」J|_b3」I3丿l_2_

由|尸(x)—14/(x)+2,得卜2T國(guó)+2,即T-24/一力士+2對(duì)任意的pl,2]恒成立,

2</2