2022-2023學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試題及答案解析

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6小題，共12.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知。。的半徑為2cm,點(diǎn)P到圓心。的距離為2cm,則點(diǎn)P在。0（）

A.外B.內(nèi)C.±D.無(wú)法確定

2.下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2=xB.x2+1=0C.x2+2x+1=0D.%2+2x-1=0

3.20名同學(xué)參加某比賽的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表，則成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)（單位：分）分別為（）

成績(jī)/分80859095

人數(shù)/人2864

A.85,85B,85,87.5C.85,90D.90,90

已知關(guān)于的一元二次方程（）有一根為則的值是（）

4.xm-1/-2x+Hi?—7n=o0,m

A.0B.1C.0或1D.0或一1

5.如圖，正方形ABCD、等邊三角形4EF內(nèi)接于同一個(gè)圓，則廢的度數(shù)為（）

A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

6.如圖，在一張RtAABC紙片中，乙4cB=90。，BC=3,AC=4,0。是它的內(nèi)切圓.小

明用剪刀沿著。。的切線OE剪下一塊三角形4OE,則AAOE的周長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.8

二、填空題（本大題共10小題，共20.0分）

7.方程#2=1的解是.

8.已知O。的半徑為10“n,圓心。到直線/的距離為12cm,則直線l與O。的位置關(guān)系是

9.書(shū)香相伴，香滿校園，某校9月份借閱圖書(shū)500本，11月借閱圖書(shū)845本，設(shè)該校這兩個(gè)

月借閱圖書(shū)的月均增長(zhǎng)率為％,根據(jù)題意可列方程為,x=.

10.設(shè)是一元二次方程-3x-2=0的兩個(gè)根，則％62-與一萬(wàn)2=.

11.正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。。，。。的半徑為1,則由半徑CM,0C和念圍成的扇形的面

積為?

xX

12.若一組數(shù)據(jù)％i，%2-3<4>%5的平均數(shù)是源另一組數(shù)據(jù)Xi+2,%2+3,x3-5,x4-2,

x5+1的平均數(shù)是b,則afa(填寫(xiě)“>”、或“=").

13.將半徑為3cm面積為3兀cm?的扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐(接縫處忽略不計(jì))，該圓

錐的底面半徑為cm.

14.如圖，圓的內(nèi)接五邊形4BCDE滿足CD=ED,CD//AE,/.ABC=140°,則N。=.

15.己知?n是方程/一3x—1=0的一個(gè)根，則小3—10根=

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑是1.過(guò)。0上一點(diǎn)P作等邊三角形PDE,使

點(diǎn)。，E分別落在%軸、y軸上，貝UP。的取值范圍是.

三、解答題(本大題共U小題，共88.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題8.0分)

解下列方程：

(l)4x(2x-1)=3(2x-1)；

(2)x2+6%+3=0.

18.（本小題8.0分）

如圖，四邊形ZBCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長(zhǎng)線.

⑴求證=乙DCE；

（2）若ND4B=60。，乙4cB=70。，求乙4BD的度數(shù).

19.（本小題7.0分）

一部電影的評(píng)分越高，說(shuō)明這部電影越受歡迎，電影的評(píng)分是由這部電影的“星級(jí)”評(píng)價(jià)（5星、

4星、3星、2星、1星）計(jì)算得來(lái).已知電影4B的星級(jí)評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)如下:

約定5星為10分，4星為8分，3星為6分，2星為4分，1星為2分.通過(guò)計(jì)算電影的評(píng)分，比較

電影4B哪部更受歡迎.

20.（本小題8.0分）

如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時(shí)刻測(cè)得水面4B寬度為6米，拱高CD（弧的中點(diǎn)到水面

的距離）為1米.

（1）求主橋拱所在圓的半徑；

（2）若水面下降1米，求此時(shí)水面的寬度.

D

21.(本小題8.0分)

如圖，已知乙4。8=45。，M是射線OB上一點(diǎn)，OM=V1以點(diǎn)M為圓心、r為半徑畫(huà)G)M.

(1)當(dāng)。M與射線04相切時(shí)，求r的值;

(2)寫(xiě)出。M與射線。4的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的r的取值范圍.

22.(本小題8.0分)

如圖，4B是。。的直徑，射線4c交。。于點(diǎn)C.

(1)尺規(guī)作圖：求作詫的中點(diǎn)。.(保留作圖痕跡)

(2)過(guò)點(diǎn)。畫(huà)DE1AC垂足為E.求證：DE是。。的切線.

23.(本小題8.0分)

某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每天可賣(mài)出300件.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，

在一定范圍內(nèi)調(diào)整售價(jià)：①每漲價(jià)1元，每天要少賣(mài)出10件；②每降價(jià)1元，每天可多賣(mài)出20

件.如果只能調(diào)整一次售價(jià)，如何調(diào)整使每天的利潤(rùn)為6250元？

24.(本小題8.0分)

解新類型的方程(組)時(shí)，可以通過(guò)去分母、換元等方法轉(zhuǎn)化求解.

2

原方程x--=1%4—X2—2=0

X

設(shè)/=t,則

①轉(zhuǎn)化x2—x—2=0

t=

②求解=2,小=-1

③檢驗(yàn)-1,2都是原方程的解

④結(jié)論%!=2,%2=—1—

(1)請(qǐng)按要求填寫(xiě)如表.

(2)解方程組：［^tfy+y2=16-

25.(本小題8.0分)

已知關(guān)于％的方程(x-2)(%-3)-/c2=0.

(1)證明：無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程的兩根分別為x2,且巧>工2,證明：X1+2X2<7.

26.(本小題8.0分)

構(gòu)造合適的圖形，可以用線段的長(zhǎng)表示一元二次方程的正根.

⑴如圖，RM48C的兩直角邊分別為三和n,在斜邊4B上截取8。=與，請(qǐng)說(shuō)明ZD的長(zhǎng)為關(guān)

于x的方程產(chǎn)+mx=/的一個(gè)根.

(2)己知關(guān)于x的方程公一mx-彥=Q(m>2n>0),請(qǐng)構(gòu)造合適的圖形表示該方程的正根.(

要求有必要的文字說(shuō)明，并在圖中作必要標(biāo)注)

27.(本小題9.0分)

以下是“四點(diǎn)共圓”的幾個(gè)結(jié)論，你能證明并運(yùn)用它們嗎？

I.若兩個(gè)直角三角形有公共斜邊，則這兩個(gè)三角形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖1、2）；

II.若四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)共圓（圖3）；

HL若線段同側(cè)兩點(diǎn)與線段兩端，點(diǎn)連線的夾角相等，則這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)共圓（圖4）.

圖1圖2圖3圖4

圖5圖6圖7

（1）在圖1、2中，取4c的中點(diǎn)。，根據(jù)得。4=OB=0C=。。，即A,B,C,0共圓;

（2）在圖3中，畫(huà)。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)力，B,。（圖5）.假設(shè)點(diǎn)C落在。。外，BC交。。于點(diǎn)E,連接DE,

可得=180°,所以NBEC=,得出矛盾；同理點(diǎn)C也不會(huì)落在。。內(nèi)，即4,B,

C,。共圓.結(jié)論III同理可證.

（3）利用四點(diǎn)共圓證明銳角三角形的三條高交于一點(diǎn).

已知：如圖6,銳角三角形4BC的高BD,CE相交于點(diǎn)射線交BC于點(diǎn)F.

求證：AF是△ABC的高.（補(bǔ)全以下證明框圖，并在圖上作必要標(biāo)注）

（4）如圖7,點(diǎn)P是△力BC外部一點(diǎn)，過(guò)P作直線AB,BC,C4的垂線，垂足分別為E,F,D,

且點(diǎn)。，E,尸在同一條直線上.求證：點(diǎn)P在△ABC的外接圓上.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：:。。的半徑為2cm，點(diǎn)P與圓心。的距離為2cm,2cm=4cm,

.,?點(diǎn)P在圓上.

故選：C.

直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可.

本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,當(dāng)d<r時(shí)，

點(diǎn)P在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵.

2.【答案】B

【解析】解：4、方程整理得/一％=0,

則4=b2-4ac=（-l）2-4xlxO=1>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以4選項(xiàng)不合題意;

B、x2+1=0,

則4=-4ac=。2-4X1x1=-4<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以B選項(xiàng)符合題意；

C、x2+2x+1=0,

則4=〃-4ac=22-4x1x1=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以C選項(xiàng)不合題意；

￡）、%2+2x-1=0,

則4=fa2-4ac=22-4x1x（-1）=8>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以。選項(xiàng)不合題意.

故選:B.

分別計(jì)算四個(gè)方程的判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義進(jìn)行判斷.

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=0（a二0）的根與d=b2-4ac有如下關(guān)系：

當(dāng)/=匕2一4">0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4=/一4川=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的

實(shí)數(shù)根；當(dāng)/=人2-4四<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

3.【答案】B

【解析】解：在這一組數(shù)據(jù)中85是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是85；

在這20個(gè)數(shù)中，處于中間位置的第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是兩數(shù)的平均數(shù)：（85+90）+

2=87.5.

故選:B.

利用眾數(shù)的定義和中位數(shù)的定義分別分析得出答案.

本題考查了眾數(shù)與中位數(shù).中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那

個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)

據(jù)按要求重新排列，就會(huì)錯(cuò)誤地將這組數(shù)據(jù)最中間的那個(gè)數(shù)當(dāng)作中位數(shù).

4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意得：

m2—m=0且m—1不0,

解得m=0.

故選：A.

根據(jù)題意，把x=0代入方程，即可得出關(guān)于m的方程，又根據(jù)一元二次方程的定義得到m-1二0,

即可求出m的值.

本題主要考查了一元二次方程的解和定義，注意求出?n的值應(yīng)同時(shí)使方程有意義.

5.【答案】D

【解析】解：???四邊形48CD是正方形，AAEF是等邊三角形，

乙BAD=90°,/.EAF=60°,

???已知圖形是以正方形4BCD的對(duì)角線4c所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，

/.BAE=Z.DAF=1x（90°-60°）=15°,

??1NBAE是泥?所對(duì)的圓周角，

命所對(duì)的圓心角等于2X15。=30°,

翁的度數(shù)為30。，

故選：D.

由NB4D=90。，AEAF=60°,已知圖形是以正方形4BCD的對(duì)角線4c所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)

稱圖形，求得ZB4E=15。，則配所對(duì)的圓心角等于30。，所以配的度數(shù)為30。.

此題重點(diǎn)考查正多邊形與圓、正方形及等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理、弧的度數(shù)等知識(shí)，根據(jù)

圓周角定理求出前所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【解析】解：如圖，設(shè)△力BC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F,H,G,連接OF,OH,OG,

二四邊形OHCG是正方形，

由切線長(zhǎng)定理可知：AF=AG,

「DE是。。的切線，

MD=MF,EM=EG,

AB=y/AC2+BC2=5，

「0。是△ABC的內(nèi)切圓，

二內(nèi)切圓的半徑=；（4。+8。-48）=1,

???CG=1,

■■■AG=AC-CG=4-1=3,

ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=2AG=6.

故選：C.

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F,H,G,連接。F,OH,OG,得四邊形。"CG是正方形，由切線

長(zhǎng)定理可知：AF=AG,根據(jù)OE是。。的切線，可得MO=MF,EM=EG,根據(jù)勾股定理可得

48=5,再求出內(nèi)切圓的半徑=*力。+8。一月8）=1,進(jìn)而可得AAOE的周長(zhǎng).

本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì).

7.【答案】±1

【解析】解：%2=1

X=±1.

因?yàn)閐=1,從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求1的平方根.

解決本題的關(guān)鍵是理解平方根的定義，注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

8.【答案】相離

【解析】解：：。。的半徑為10cm,圓心。到直線/的距離為12cm,

12cm>lOczn.

???圓心0到直線/的距離大于O。的半徑，

二直線1與。。相離，

故答案為：相離.

由O。的半徑為10cm,圓心0到直線I的距離為12cm,可知圓心。到直線I的距離大于。。的半徑，

可判斷直線1與。0相離.

此題重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)已知條件判斷出圓心到直線1的距離與O。的半徑之間的

大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】500(1+x)2=84530%

【解析】解：設(shè)該校這兩個(gè)月借閱圖書(shū)的月均增長(zhǎng)率是X,

依題意，得：500(1+x)2=845,

解得：xr=0.3=30%,乂2=—2.3(不合題意，舍去).

故答案為：500(1+x)2=845；30%.

該校這兩個(gè)月借閱圖書(shū)的月均增長(zhǎng)率是X,根據(jù)該校9月份及11月份借閱圖書(shū)數(shù)量，即可得出關(guān)于

x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】-5

【解析】解：?.?/、必是一元二次方程/一3%-2=0的兩個(gè)根，

%]+%2=3,=12,

???—Xi—%2

=不九2-(%1+%2)

=-2-3

=-5.

故答案為：—5.

利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得與+%2和與小的值，代入求值即可.

本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程a%2+bx+C=0（a力0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：與+

bc

X2=~a'X1,X2=?

1L【答案】I

【解析】解：???正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。0,

N40C=嗒=60°,

6

_2

???由半徑。40C和部圍成的扇形的面積為嗡1-屋，

故答案為：

根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

本題考查了正多邊形與圓，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】>

【解析】解：?.?數(shù)據(jù)與、%2、%3、％4、盯的平均數(shù)為

,數(shù)據(jù)/+不+%3+%4+%5=5。，

???與+2,上+3，%3-5，%4-2，&+1的平均數(shù)是從

?,?+2+不+3+%3—5+駕一2+益+1=5b,

?,?+%2+%3+%4+%5=5b+1，

???5a=5b+1,

a—b=1>0,

???a>b.

故答案為：>.

根據(jù)平均數(shù)的定義得%1+%2+%3+%4+%5=5a,工1+2+x2+3+%3-5+%4-2+%5+1=

5b,所以5Q=5/7+1,即a—即可求出答案.

本題考查的是算術(shù)平均數(shù).解決本題的關(guān)鍵是用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

13.【答案】1

【解析】解：設(shè)該圓錐的底面半徑為rem,

根據(jù)題意得gx2nrx3=3n,

解得r=1,

即該圓錐的底面半徑為1cm.

故答案為：L

設(shè)該圓錐的底面半徑為rc/n,由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的

周長(zhǎng)，則根據(jù)扇形的面積公式得到Tx27rrx3=3兀，然后解方程即可.

本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇

形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).

14.【答案】100°

【解析】解：如圖，連接CE,/一'

???四邊形4BCE是圓內(nèi)接四邊形，￥TT/f

d

又???Z.ABC=140°,

???Z,AEC=180°-140°=40°,

CD//AE,

/.Z.AEC=Z-DCE=40°,

???CD=ED,

???/.CDE=MED=40°,

???Z.D=180°-40°-40°

=100°,

故答案為：100°.

利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出N4EC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和

定理進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的

性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是正確解答的前提.

15.【答案】3

【解析】解：???山是方程%2-3%-1=0的一個(gè)根,

：?m2—3m—1=0,

???m2—3m=1,

:.m3-10m

=m(m2-3m)+3m2-10m

=m4-3m2—10m

=3m2—9m

=3(m2—3m)

=3x1

=3.

故答案為：3.

根據(jù)一元二次方程的解的定義，將％=小代入已知方程求得加2—3徵=1；然后將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)

化為含有巾2-3m的代數(shù)式，并代入求值即可.

本題考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.

16.【答案］|V7<PZ)<2

【解析】解：如圖，當(dāng)。P_Lx軸時(shí)，DP的長(zhǎng)最小，連接。P,

設(shè)DP=DE=a,

???△PDE為等邊三角形,

???乙PDE=60°,

???OPlx軸，即4PDO=90。,

乙EDO=30°,

???OE==；a,

根據(jù)勾股定理得。?！獃jDE2-0E2-a2--a2=~^-a>

\42

在Rt三角形PO。中，PD=a,OP=1,。。=苧a，

???OD2+PD2=OP2,

即怎以+a2=12>

解得：a=5位或一￡近（舍去），

PD的長(zhǎng)最小為5位；

如圖，由于直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，當(dāng)PD時(shí)直徑時(shí)，PD的長(zhǎng)最大,

此時(shí)，PD=2；

綜上，PD的取值范圍為：j>/7<PD<2.

故答案為：^<7<PD<2.

找到最大值與最小值的位置，分別求出取值范圍的臨界值即可解答.

本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理，找準(zhǔn)臨界點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

17.【答案】解：(l)4x(2x-1)=3(2x—1),

4x(2x-l)-3(2x-l)=0,

(2%-1)(4%-3)=0,

2x-1=0或4%-3=0,

所以=1%2=I；

(2)%2+6%+3=0,

%2+6%=—3,

/+6%+9=6,

(%+3)2=6,

x+3=±V6>

所以Xi=-3+V6，x2=-3—V6.

【解析】(1)先移項(xiàng)得到4x(2x-1)-3(2x-1)=0,再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為2x-1=0

或4x-3=0,然后解一次方程即可；

(2)利用配方法得到(％+3)2=6,然后利用直接開(kāi)平方法解方程.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.

18.【答案】(1)證明：???四邊形力BCD內(nèi)接于圓，

^DAB+乙DCB=180°,

???乙DCE+乙DCB=180°,

???Z.DAB=Z.DCE；

(2)解：???Z.ACB=70°,

乙ADB=4ACB=70°,

乙ABD=180°-60°-70°=50°.

【解析】(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到NDAB+NOCB=180°,根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明結(jié)論;

(2)根據(jù)圓周角定理得到乙4DB=乙4cB=70°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：電影力的平均得分為10x15%+8x35%+6x45%+4x5%+2x0%=7.2(分

)，

電影B的平均得分為10x20%+8x30%+6x40%+4x5%+2x5%=7.1(分)，

v7.2>7.1,

???電影4更受歡迎.

【解析】分別計(jì)算兩部電影的平均得分即可比較出答案.

本題考查了加權(quán)平均數(shù)，正確計(jì)算和理解加權(quán)平均數(shù)的意義是關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)???點(diǎn)。是卷的中點(diǎn)，DCLAB,

.-.AC=BC==3,OC經(jīng)過(guò)圓心，

設(shè)拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為0,連接。力，0C,

聯(lián)結(jié)04設(shè)半徑。4=0。=R,0C=0D-DC=R-1,

在RtAAC。中，???0A2=AC2+0C2,

R2=(R-+32,

解得R=5.

答：主橋拱所在圓的半徑長(zhǎng)為5米；

(2)設(shè)。。與E尸相交于點(diǎn)G,連接。F,

vEF//AB,0D1AB,

???0D1EF,

???Z,0GF=90°,

在RM0GF中，OG=5-1-1=3,OF=5,

???FG=V52-32=4，

???EF=2FG=8,

答：此時(shí)水面的寬度為8米.

【解析】(1)連接。40C,設(shè)半徑04=0D=R,0C=0D-DC=R-1,在RtZiaCO中，利用

勾股定理構(gòu)建方程求解即可；

(2)根據(jù)勾股定理列式可得FG的長(zhǎng)，最后由垂徑定理可得結(jié)論.

本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解

決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

21.【答案】解：(1)作MN104于N,如圖所示:

vZ.AOB=45°,

M/V=yOM=1，

???當(dāng)。M與射線04相切時(shí)，求r的值為1；

(2)由(1)可知，根據(jù)直線與圓的關(guān)系得到：

當(dāng)r=l時(shí)，OM與射線。4相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)：

當(dāng)0<r<l時(shí)，OM與射線。4相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)l<rS或時(shí)，OM與射線。4相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)r>近時(shí)，OM與射線。4只有一個(gè)公共點(diǎn).

【解析】(1)作MN1。4于N,根據(jù)等腰直角三角形三邊的關(guān)系得到MN=當(dāng)0M=1.然后根據(jù)

直線與圓的關(guān)系得到當(dāng)r=1時(shí)，。M與射線04相切；

(2)根據(jù)直線與圓的關(guān)系得到當(dāng)r=l時(shí)，。仞與射線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)0<r<l時(shí),

O”與射線。4相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)1<rS迎時(shí)，。M與射線。4有兩個(gè)公共點(diǎn)，而當(dāng)r>四時(shí)，

OM與射線04只有一個(gè)公共點(diǎn).

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、含45。角的直角三角形的性質(zhì)；設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線

1的距離為d.若直線I和。。相交=d<r；直線，和。。相切=d=r；直線I和。。相離Qd>r.

22.【答案】(1)解：如圖，點(diǎn)。為所作.

(2)證明:連接。。交8c于F,如圖，

???點(diǎn)。為我的中點(diǎn)，

0D1BC,

???4B是。。的直徑，

Z.ACB=90°,

BC1AD,

.-.AD//OD,

???DE1AD,

??DE1OD,

■■■。。為。。的半徑，

OE是O。的切線.

【解析】(1)作的垂直平分線交0。于點(diǎn)D,則點(diǎn)。為余的中點(diǎn)；

(2)連接。。交BC于尸，如圖，先利用垂徑定理的推論得到。。1BC,再根據(jù)圓周角定理得到N4CB=

90°,則40〃。0,接著證明。E1。。，然后根據(jù)切線的性質(zhì)得到結(jié)論.

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的

基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了垂徑定理、圓周角定理和切線的判定.

23.【答案】解：設(shè)漲價(jià)a元，每天的利潤(rùn)為6250元，

根據(jù)題意得(60-40+a)(300-10a)=6250,

解得a=5；

②設(shè)降價(jià)b元，每天的利潤(rùn)為皿2元，

則(60-40-6)(300+20b)=6250,

整理得，2b2-10b+25=0,

v21=100-200<0,

此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

；?漲價(jià)5元，使每天的利潤(rùn)為6250元.

【解析】分兩種情況探討：漲價(jià)和降價(jià)，列出方程，解方程即可得到結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確地列出方程是解題的關(guān)鍵.

2—

24.【答案】t—t—2=02或—1=V2,%2=V2

【解析】解：(1)——%2—2=0,

設(shè)/=3則方程變形得：t2-t-2=0,

分解因式得：(?2)(-1)=0,

所以￡-2=0或t+l=0,

解得：t=2或￡=—1,

所以產(chǎn)=2或/=一1(無(wú)解)，

解得：/=y/2rx2=—\[2-

填表如下：

2

原方程x----=1%4—%2-2=0

X

①轉(zhuǎn)化%2—x—2=0設(shè)/=3貝1]r—t—2=0

②求解=2,乃=一1t=2或一1

③檢驗(yàn)-1,2都是原方程的解—

④結(jié)論

X]=2,%2=—1x1=V2,x2=—y[2

2

故答案為：t—t—2=0,2或—1,xr=V2?血=—魚(yú)；

cJ—+2xy+y2=16(1)

⑵(孫=3②'

由①，得(x+y)2=16,

??.％+y=+4.

I)當(dāng)％+y=4時(shí)，

vxy=3,

???x、y是一元二次方程/一4t+3=0的兩個(gè)根,

解得t—3或t—1,

..i=1.2=3

:

"(yi=3)(y2=1

II)當(dāng)*+y=—4時(shí),

xy=3,

x,y是一元二次方程t2+4t+3=0的兩個(gè)根，

解得t-—3或t——1,

.尸3=-1(x4=-3

"ly3=-3'ly4=-I，

綜上所述，這個(gè)方程組的解?。?,卷二；譙：二;,｛；：=

(1)利用換元法解方程即可；

(2)利用完全平方公式將第一個(gè)方程變形為(x+y)2=16,則x+y=±4,分別與第二個(gè)方程結(jié)合,

再利用根與系數(shù)的關(guān)系解方程即可.

本題考查了轉(zhuǎn)化思想在高次方程、分式方程和二元二次方程組中的應(yīng)用，明確如何轉(zhuǎn)化及一元二

次方程的基本解法，是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】證明：(l)(x-3)(%-2)-fc2=0,

即/-5x+6-fc2=0,

A=(-5)2-4X1x(6-1)=25—24+41=1+4fc2,

?.?無(wú)論k取何值時(shí)，總有4k2NO,

l+4/cz>0,

???無(wú)論k取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)%i+x2=5,

,*?X]+2%2=XI+%2+彳2=5+%2，

"X1>必，

,?x2—2

V4/c2+1>1,

V4/c2+1>1，

即％2W2,

???5+小工7

BP%X+2X2<7.

【解析】(1)化成一般形式，求根的判別式，當(dāng)4>0時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)根據(jù)根與系的關(guān)系求出兩根和，再把與+2物化為5+小，再根據(jù)求根公式求出不，并判斷出

%2工2即可.

本題考查了拋物線與％軸的關(guān)系，根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系.

26.【答案】解：⑴解關(guān)于%的方程%2+大%=層,

但—m—Vm2+4n2—m+Vm2+4n2

何與=----2----，&=-----2----，

"AC=n,BC=與^ACB=90°,

力B=卜+6)2=總產(chǎn),

???BD=BC=y,

AD=AB-BC==-+年2+-=X?

???的長(zhǎng)為關(guān)于x的方程/+mx=彥的一個(gè)根；

(2)如圖，在Rt