人教A數(shù)學(xué)必修二教案第三課時(shí) 球的表面積與體積

第三課時(shí)球的表面積與體積

(-)教學(xué)目標(biāo)

.1.知識(shí)與技能

.(1)了解球的表面積與體積公式(不要求記憶公式).

.(2)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.

.2.過(guò)程與方法

通過(guò)作軸截面，尋找旋轉(zhuǎn)體類組合體中量與量之間的關(guān)系.

.3.情感、態(tài)度與價(jià)值

,讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

.(-)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

,重點(diǎn)：球的表面積與體積的計(jì)算

,難點(diǎn)：簡(jiǎn)單組合體的體積計(jì)算

.(三)教學(xué)方法

.講練結(jié)合

.教學(xué)過(guò)

教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

程

復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體的表面師生共同復(fù)習(xí)，教師點(diǎn)出

新課引入復(fù)習(xí)鞏固

積和體積，點(diǎn)出主題.點(diǎn)題(板書)

師：設(shè)球的半徑為R,那

1.球的體積：V=

3

么它的體積：V=-^R\它的

2.球的表面積：S=4乃居3

面積S=4萬(wàn)正現(xiàn)在請(qǐng)大家觀

察這兩個(gè)公式，思考它們都有

什么特點(diǎn)？

加強(qiáng)對(duì)公

,生：這兩個(gè)公式說(shuō)明球的

式的認(rèn)識(shí)

探索新知體積和表面積都由球的半徑R

培養(yǎng)學(xué)生

惟一確定.其中球的體積是半

理解能力

徑R的三次函數(shù)，球的表面積

是半徑R的二次函數(shù).

,師(肯定)：球的體積公

式和球的表面積公式以后可

以證明.這節(jié)課主要學(xué)習(xí)它們

的應(yīng)用.

例1如圖，教師投影例1并讀題，學(xué)本題較易，

圓柱的底面直徑與生先獨(dú)立完成.教師投影答案學(xué)生獨(dú)立

高都等于球的直并點(diǎn)評(píng)(本題聯(lián)系各有關(guān)量的完成，有利

徑.求證：【

關(guān)鍵性要素是球的半徑)于培養(yǎng)學(xué)

典例分析..(1)球的體生問(wèn)題解

積等于圓柱體積的2；決的能力.

3

..(2)球的表面積等于圓)柱的

側(cè)面積.

2

，證明：（1）設(shè)球的半徑為R,

則圓柱的底面半徑為R，高為2R.

,因?yàn)椋?%R'，

Vm=7tR--2R=2^R\

2

“所以，%=4%柱?

..（2）因?yàn)镾球=4^/?2,

.教師投影例2并讀題，通過(guò)師生

，師：請(qǐng)大家思考一下這道討論，突破

?'S圓柱側(cè)=2萬(wàn)R,2/?=4乃R~，

題中組合體的結(jié)構(gòu)特征.問(wèn)題解決

，所以，S球二S圈柱側(cè).生：球內(nèi)切于圓臺(tái).的關(guān)鍵，培

.例2球與圓臺(tái)的上、下底面師：你準(zhǔn)備怎樣研究這個(gè)養(yǎng)學(xué)生空

及側(cè)面都相切，且球面面積與圓臺(tái)組合體？間想象能

的側(cè)面積之比為3:4,則球的體積生：畫出球和圓臺(tái)的軸截力和問(wèn)題

與圓臺(tái)的體積之比為（）面.解決的能

A.6:13B.5:14師：圓臺(tái)的高與球的哪一力.

C.3:4D.7:15個(gè)量相等？

.【解析】如圖所示，作圓臺(tái)的生：球的直徑.

師：根據(jù)球和圓臺(tái)的體積

軸截面等腰梯形ABC。，球的大圓

公式，你認(rèn)為本題解題關(guān)鍵是

o內(nèi)切于梯丘77什么？

生：求出球的半徑與圓臺(tái)

ABCD.T-:\\\

的上、下底面半徑間的關(guān)系.

設(shè)球師投影軸截面圖，邊分析

邊板書有關(guān)過(guò)程.

的半徑為B（h

師：簡(jiǎn)單幾何體的切接問(wèn)

R，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為

題，包括簡(jiǎn)單幾何體的內(nèi)外切

廠|、廠2，由平面幾何知識(shí)知，圓臺(tái)的

和內(nèi)外接，在解決這類問(wèn)題時(shí)

高為2R,母線長(zhǎng)為n+冷

要準(zhǔn)確地畫出它們的圖形，一

VZAOB=90°,OE1.AB（E

般要通過(guò)一些特殊點(diǎn)，如切

為切點(diǎn)），

點(diǎn)，某些頂點(diǎn)，或一些特殊的

：.R2=OE2=AEBE=n?r.

2線，如軸線或高線等，作幾何

由已知5年：SHI臺(tái)?j=4萬(wàn)/?2：

體的截面，在截面上運(yùn)用平面

"S+〃）2=3:4

幾何的知識(shí)，研究有關(guān)元素的

.萬(wàn)⑺+ri）2=—R2.

3位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而把

問(wèn)題解決.

3

乜R'

:V網(wǎng)6-----3---------

31化2+化+昌-2R教師投影例3并讀題，學(xué)

生先思考、討論，教師視情況

=2N_2R29控制時(shí)間，給予引導(dǎo)，最后由

儲(chǔ)+為尸-化g2_R213'學(xué)生分析，教師板書有關(guān)過(guò)程.本題有兩

3師：計(jì)算球的體積，首先必須種解題方

故選A.先求出球的半徑.由于PA、PB、法,此處采

PC是兩兩垂直的而且相等的用構(gòu)造法

.例3在球面上有四個(gè)點(diǎn)尸、

三條棱，所以尸-42C可以看解題，目標(biāo)

A、B、C,如果PA、PB、PC兩兩

成一個(gè)正方體的一角，四點(diǎn)P、培養(yǎng)學(xué)生

垂直且PA=P8=PC=a,求這個(gè)

A、B、C在球上，所以此球可聯(lián)想，轉(zhuǎn)化

球的體積.

視為PA、PB、PC為相鄰三條化歸的能

解：；PA、PB、PC兩兩垂直,

棱的正方體的外接球，其直徑力.另一種

PA=PB=PC=a.

為正方體的對(duì)角線.方法，因要

：.以PA.PB、PC為相鄰三條

應(yīng)用球的

棱可以構(gòu)造正方體.

性質(zhì)，可在

又?：P、A、B、C四點(diǎn)是球面

以后討論.

上四點(diǎn)，

球是正方體的外接球，正

方體的對(duì)角線是球的直徑.

A2R=y[3a,R=—a.

2

.V=3乃7?3=3不(30)3

石3

=——Tea

2

1.(1)將一個(gè)氣球的半徑擴(kuò)

大1倍，它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的幾

倍？

(2)一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在

球面上，它的棱長(zhǎng)是acm,求球的

體積.

鞏固

隨堂練習(xí)(3)一個(gè)球的體積是100cm2,學(xué)生獨(dú)立完成

所學(xué)知識(shí)

試計(jì)算它的表面積(乃取3.14,結(jié)果

精確到Icm?,可用計(jì)算器).

參考答案：

1.(1)8倍；(2)—nacm3

6

(3)104.

歸納

1.球的體積和表面積知識(shí)，提高

學(xué)生獨(dú)立思考、歸納，然

歸納總結(jié)2.等積變換學(xué)生自我

后師生共同交流、完善

3.軸截面的應(yīng)用整合知識(shí)

的能力.

4

固化練習(xí)

課后作業(yè)1.3第三課時(shí)習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成

提升能力

備用例題

例1.已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑

的一半，且AC=BC=6,AB=4,求球面面積與球的體積.

【分析】可以用球的截面性質(zhì)。即截面小圓的圓心到球心的線段垂

直于截面小圓平面.

【解析】如圖，設(shè)球心為0,球半徑為/?,作00|，平面ABC于

01，由于。4=08=0C=R,則0i是△4BC的外心.

設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由于AC=BC,則。

22

設(shè)0iM=x,易知0|M_LA8,則。A=五+股，0\C=CM-0tM=V6-2-x

又0\A=0\C

：.>/2777=>/6^2r-x.解得*=述

4

則0|4=0iB=0iC=—.

4

在RtZ\00p4中，0i0=/00|A=90°,0A=R,

2

由勾股定理得（?尸+（竽）2=RL解得R=蜉.

故S球而=4/R2=54乃，%=27#萬(wàn).

例2.如圖所示棱錐P-A8CD中，底面A8C。是正方形，邊長(zhǎng)為a,PD=

a,PA=PC=?,且P。是四棱錐的高.缸

（1）在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，求球的最大半徑；

（2）求四棱錐外接球的半徑./\,

A1-------------Vl

【分析】（1）當(dāng)所放的球與四棱錐各面都相切時(shí)球的半徑最大，即球心圖4一3一9

到各個(gè)面的距離均相等，聯(lián)想到用體積分割法求解.（2）四棱錐的外接球的球心到P、A、

8、C、。五點(diǎn)的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可.球心0在過(guò)底面中心E且垂直

于底面的垂線上.

【解析】（1）設(shè)此球半徑為R,最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，設(shè)球心為S,連結(jié)

SA、SB、SC、SP,則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，設(shè)它們的高均為R.

VP-ABCDABCDPD=Yaaa=^a''

5

q—q—ci'\[2a=a2

JPAB~°PBC