2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編13 不等式、推理與證明

專(zhuān)題13不等式、推理與證明

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1：推理問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)2:線性規(guī)劃問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)3:不等式大小判斷問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)4：利用基本不等式求最值

知識(shí)點(diǎn)5：解不等式

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：推理問(wèn)題

1.（2022?乙卷（理））嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行

的人造行星.為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列也,｝：4=1+‘，"=i+__L^,

%4+工

a2

4=1+-----—，…，依此類(lèi)推，其中=2,...）.則（）

?i+----j-

Q,H--

A.4<&B?b3VbsC.b6<b2D.bA<b-j

2.（2021?新高考I）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)?，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)

格為20而x12面的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10而,20如x6向兩種規(guī)格的圖形，它們的面

積之和，=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dmx12加7,10dmx6而z,20Q九三種規(guī)格的圖形，它們的

面積之和S?=180曲?2,以此類(lèi)推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為,那么

￡Sk=dm'

&=1

知識(shí)點(diǎn)2:線性規(guī)劃問(wèn)題

x—2..0,

3.（2022?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，民+y—7”0,貝ijz=3%+4y的最大值是（）

Jc-y-2,,o,

A.20B.18C.13D.6

x+y..2,

4.（2022?乙卷（文））若x,y滿足約束條件x+2為4,則z=2x-y的最大值是（）

y..O,

A.-2B.4C.8D.12

jc+1..0

5.（2021?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<r—y,,0,則2=%一,丫的最小值是（）

?x+3y-l,,0

3

A.-2B.--C.--D.—

2210

x+y..4,

6.（2021?乙卷（理））若x,y滿足約束條件<x-y,,2,則z=3x+y的最小值為（）

、以3,

A.18B.10C.6D.4

<3x-2y?3,

7.（2023?甲卷（文））若x,y滿足約束條件，-2x+3y,,3,貝1」2=3犬+2y的最大值為_(kāi)_________

x+y.J,

x-3%—1

8.（2023?乙卷（文））若x,y滿足約束條件，x+2%9,貝ijz=2x-y的最大值為_(kāi)_________.

3x+y..7

-2x+3y?3

9.（2023?甲卷（理））設(shè)x,y滿足約束條件3x-2y?3,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為_(kāi)__

x+y.A

10.（2022?上海）0,x+y-L.O,求z=A：+2y的最/卜值_________.

%,3

11.（2021?上海）已知（2x-y-2..O,z=x--y,則z的最大值為_(kāi)_________.

3x+y-8..0

知識(shí)點(diǎn)3：不等式大小判斷問(wèn)題

12.（2022?上海）若實(shí)數(shù)a、6滿足。>b>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.a+b<2\[abC.—+2h>2\[ahD.—+2/?<2\[ab

22

13.（2022?上海）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

14.（2021?上海）已知兩兩不相等的王，y,x2,y2,x3,%,同時(shí)滿足①x<y,x2<y2,x3<y3；②

x]+y]=x2+y2=x3+y3；③+七%=2工2%，以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立（）

A.2X2<X1+X3B.2X2>X1+X^C.X1<x,x3D.>xxxy

知識(shí)點(diǎn)4：利用基本不等式求最值

15.（2021?乙卷（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）

.4)

A.y=x2+2x4-4B.y=|sinx|+-----C.y=2A+22xD.y=lnx+—

|sinx|Inx

16.（多選題）（2022?新高考n）若x,y滿足f+y2一肛=],則（）

A.x+y,,lB.x+y.-2C.x2+y2?2D.x2+y2..1

17.（2023?上海）已知正實(shí)數(shù)〃、人滿足a+4b=1,則"的最大值為.

18.（2021?天津）已知a>0,Z?>0,則二+/?的最小值為.

ab2

19.（2021?上海）已知函數(shù)/（%）=3*+—^3>0）的最小值為5,則。=__________

3“+1

知識(shí)點(diǎn)5:解不等式

20.（2021?上海）不等式生至<1的解集為_(kāi)_________

x—2

21.（2022?上海）不等式的解集為

專(zhuān)題13不等式、推理與證明

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1：推理問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)2：線性規(guī)劃問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)3:不等式大小判斷問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)4：利用基本不等式求最值

知識(shí)點(diǎn)5：解不等式

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：推理問(wèn)題

1.（2022?乙卷（理））嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行

的人造行星.為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列仍,,}:4=1+',歷=1+」;，

a2

4=1+.....—，依此類(lèi)推，其中&eN.（k=l,2,...）.則（）

A.<b5B.b3cb$C.b6<b2D.bA<bn

【答案】D

【解析】■.4￡N,(Z=1,2,.?.可以取4=1,

則4=1+一=2,

4=1+—j-=

4=1+

]8

方4=1+

i+^r5

i+「

14--

1

々=1+------^-j---1-3

T

1+J

1+-

1

121

%=i+75

y

1

34

4=1+

21

1

155

+--------

34

1+-

1+

]

1+年

1

，白>么，故A錯(cuò)誤；故B錯(cuò)誤；bh>b2,故C錯(cuò)誤；b&vbj,故￡>正確.

故選：D.

2.（2021?新高考I）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)

格為20曲7X12而2的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10（。7?><12^歷2,20血2X&ZF77兩種規(guī)格的圖形，它們的面

積之和S、=240dM,對(duì)折2次共可以得到5dmx12dm,TOdmx6dm,2Gdmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的

面積之和$2=180而?2,以此類(lèi)推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為，那么

n

?k=dm2

k=\

【答案】5；240（3—展）.

3355

【解析】易知石20dmx—dm,10dmx—dm,5dmx3dm、一dmx6dm,—dmx12dm,共5種規(guī)格；

4224

由題可知，對(duì)折A次共有A+1種規(guī)格，且面積為竽，故耳=240,+1）

則為「24（這祟,記7；=之誓，貝日7>￡資，

hlk=\NJt=lzN*=1N

公（1-）〃+l3〃+3

=14--t--------上-----------=----------

12向22n+]

1—

2

.y=3-耍,

..羽=240（3-竽.

&=|2

故答案為：5；240（3-耍）.

知識(shí)點(diǎn)2：線性規(guī)劃問(wèn)題

X-2..0,

3.（2022?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，2x+y-7,,0,則z=3x+4y的最大值是（）

X—y—^,,0,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

x—2..0,

【解析】實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件，2x+），-7,,0,

x-y-2,,0,

則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，

由已知可得A（2,3）,

由圖可知：當(dāng)直線3x+4y-z=0過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，

貝Uz=3x+4），的最大值是3x2+4x3=18,

故選：B.

【答案】C

【解析】作出可行域如圖陰影部分所示,

由圖可知，當(dāng)(x,y)取點(diǎn)C(4,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y取得最大值，且最大為8.

故選：C.

X+1..0

5.(2021?浙江)若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x-y,,0，則z=x-'y的最小值是()

2x+3y-l,,0

311

A.-2B.--C.--D.—

2210

【答案】B

【解析】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立卜1=°,解得A(-l,l),

化目標(biāo)函數(shù)z=x-gy為y=2x-2z,由圖可知，當(dāng)直線y=2x-2z過(guò)A時(shí),

直線在y軸上的截距最大，z有最小值為

x+y.A,

6.（2021?乙卷（理））若x,y滿足約束條件「-%2,則z=3x+y的最小值為（

y?3,

A.18B.10C.6D.4

【答案】C

【解析】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立口=3,解得A（I,3）,

［尤+y=4

由z=3x+y,得y=-3x+z,由圖可知，當(dāng)直線y=-3x+z過(guò)A時(shí)，

直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3xl+3=6.

故選：C.

3x-2y?3,

7.（2023?甲卷（文））若x,y滿足約束條件2x+3y,,3,則z=3x+2y的最大值為

x+y..1,

【答案】15.

3工-2%3,

【解析】作出不等式組卜2冗+3%3表示的平面區(qū)域，如圖所示,

y..l,

由z=3x+2y^y=-^x+^,

則]表示直線在y軸截距，截距越大，z越大，

結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線y=-?x+三經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z最大，

22

聯(lián)立[3x-2y=3可得43,3),此時(shí)z取得最大值15.

[-2x+3y=3

卜一3%—1

8.(2023?乙卷(文))若x,y滿足約束條件卜+2%9,則z=2x-y的最大值為

[3x+y..7

【答案】8.

【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：

由z=2x-y可得y=2x-z,

則-z表示直線y=2x-z在y軸上的截距，截距越小，z越大，

結(jié)合圖形可知，當(dāng)y=2x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，Z最大，

由可得y=2,x=5,即A(5,2),

此時(shí)z取得最大值8.

故答案為：8.

—2x+3y,,3

9.（2023?甲卷（理））設(shè)x,y滿足約束條件3x-2y,,3,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為

x+y.A

【答案】15.

—2.x+3為3

【解析】由題意，作出X,y滿足約束條件3x-2y,,3表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,

x+y..1

目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y,可化為直線y=-|喈,

不一可得x=3

由

y=3'

即43,3),

當(dāng)直線丫=-^X+］過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值,

代入可得ztnax=3x3+2x3=15.

故答案為：15.

10.（2022?上海）x-y?0,x+y-\..O,求z=x+2y的最小值.

【答案】

2

【解析】如圖所示:

山x-y,,O,x+y-L.O,可知行域?yàn)橹本€x-y=0的左上方和x+y-l=0的右上方的公共部分,

、-，可得,

聯(lián)立y=°即圖中點(diǎn)A（g,；）,

x+y—1=0

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+2y沿著與正方向向量a=（1,2）的相反向量平移時(shí)，離開(kāi)區(qū)間時(shí)取最小值,

即目標(biāo)函數(shù)z=x+2y過(guò)點(diǎn)A（1，3時(shí)，取最小值：1+2x1=-.

22222

故答案為：--

2

蒼,3

11.（2021?上海）己知,2x-y-2..O,z=x—y,則z的最大值為

3x+y-8..0

【答案】4.

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

目標(biāo)函數(shù)即：y=x-z,其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距的相反數(shù),

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)8處取得最大值，

以"”/方程：「二3.點(diǎn)的坐標(biāo)為：8(3,7).

[3x+y-8=0

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：2“皿=3-(-1)=4.

故答案為：4.

知識(shí)點(diǎn)3:不等式大小判斷問(wèn)題

12.（2022?上海）若實(shí)數(shù)a、匕滿足〃>匕>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.a+h<2\[ahC.—+2b>2\labD.—+2b<2>/ab

22

【答案】A

【解析】因?yàn)閍>b>0，所以a+b..2\/^,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)，

又a>6>0,所以a+6>24^,故A正確，B錯(cuò)誤，

-+2b..2.-x2b=2^,當(dāng)且僅當(dāng)3=2"即a=46時(shí)取等號(hào)，故8錯(cuò)誤，

2V22

故選：A.

13.（2022?上海）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>be

【答案】B

【解析】對(duì)于A,令a=2,b=1,c=—1,d=—2?滿足a>Z?>c>d，但a+d=b+c，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于3，a>b>c>d,即a>Z?,c>d>

由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故3正確，

對(duì)于C,令。=2，b=l,c、=—1,4=—2,滿足a>Z?>c>4,（Sac=bd?故C錯(cuò)誤，

對(duì)于。，令a=2,b=1,c=—1>d=—2,滿足a>b>c>4,fJ\ad<be,故。借誤.

故選：B.

14.（2021?上海）已知兩兩不相等的七,其，x2,y2,x3,y3,同時(shí)滿足①為<y,x2<y2,&v%;②

x[+y[=x2+y2=x3+y3；③芭y+x3y3=，以下哪個(gè)選項(xiàng)恒成立（）

A.2X2<X1+X3B.2X2>X1+X^C.X1<x,x3D.x1>xxxy

【答案】A

【解析】設(shè)玉+x=々+%=W+%=，

f%1=m-a（x2=tn—b[x3=m—c

[y]=m+a[y2=m+b[y3=zn+c*

根據(jù)題意，應(yīng)該有I"：""，,

[a,b,c>0

且加2-cr+nv-c2=2(m2-Z?2)>0,

貝ij%+芻-2X2=(m-a)+(in-c)-2(m-b)=2b-(a+c),

因?yàn)?23)2~(a+c)2=2(/+/)-(〃+c)2>0,

所以玉+$一29=2)一(o+c)>0,

所以A項(xiàng)正確，3錯(cuò)誤.

x\x3-x2=(w-6z)(w-c)-(m-/?)2=(2b-a-c)m+ac-b2=(2b-a-c)m-^1,而上面已證

(2Z?—Q—c)>0,

因?yàn)椴恢罊C(jī)的正負(fù)，

所以該式子的正負(fù)無(wú)法恒定.

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)4：利用基本不等式求最值

15.(2021?乙卷(文))下列函數(shù)中最小值為4的是()

,4-,4

A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|H----------C.y=2X+2~~xD.y=InxH-------

Isinx|Inx

【答案】C

【解析】時(shí)于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3..3,

所以函數(shù)的最小值為3,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于3‘因?yàn)?<|sinx|1,所以y=|sinx|H--------..2/|sinx|--—=4，

|sinx|\|sinx|

4

當(dāng)且僅當(dāng)|sinx|=--------，即|sinx|=2時(shí)取等號(hào)，

|sinx|

因?yàn)閨sinx|,,l,所以等號(hào)取不到，

4

所以y=|sinx|+-------->4,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

Isinx|

對(duì)于C,因?yàn)?*>0,所以丁=2'+22-，=2，+巴..力2口巴=4,

2*V2*

當(dāng)且僅當(dāng)2V=2,即x=l時(shí)取等號(hào)，

所以函數(shù)的最小值為4,故選項(xiàng)C正確；

ii4

對(duì)于Z）,因?yàn)楫?dāng)x=—時(shí),，y=In—■i----=-1—4=—5<4,

ee

e

所以函數(shù)的最小值不是4,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：C.

16.（多選題）（2022?新高考II）若x,y滿足d+y2-孫=1,則（）

A.x+y”1B.x+y...-2C.x"+y：,2D.x"+y~..1

【答案】BC

【解析】方法一：由J+y2一旦=1可得，

G?ZJn

=COS0x=——sin夕+cos，

令，「2,貝IJ.3

2石.n

y=sin6y=----sin”

3

,\x+y=A/3sin04-cos0=2sin(^4--)e[—2,2],故A錯(cuò),5對(duì),

6

x2+y2=(—sin^+cosffy4-(^^-sin^)2=—sin20--cos2^+—=—sin(20-—)+—G[—,2],

333333633

故。對(duì)，。錯(cuò)，

方法二：對(duì)于A,B,由/+丁一孫=1可得，(*+丫)2=1+3秘,1+3(苫^)2,即:(x+y)2,,l,

:.(x+y)2?4,;.一2轟上+y2,故A錯(cuò)，8對(duì)，

22

對(duì)于C,D，由x?+y2-孫=1得，￡+(_]=xy”A：?',

x2+y2?2,故C對(duì)；

;一孫”%,二]=工2+y2f,,J+,2+x；丫=3(x；y),

x2+y2..^,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

17.(2023?上海)已知正實(shí)數(shù)a、6滿足