等差數(shù)列的求和公式

關(guān)于等差數(shù)列的求和公式我國數(shù)列求和的概念起源很早，在南北朝時(shí)，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法.他在《張丘建算經(jīng)》中給出等差數(shù)列求和問題.等差數(shù)列求和的歷史高斯(1777年-1855年)德國著名數(shù)學(xué)家觀察歸納1+2+3+…+50+51+…+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

……

50+51=101

(100+1)×100/2=5050第2頁,共15頁，2024年2月25日，星期天探究發(fā)現(xiàn)問題：12310010099981獲得算法：圖案中，第1層到第100層一共有多少顆寶石？第3頁,共15頁，2024年2月25日，星期天問題1：1+2+3+…+n=?

(倒序相加法）

解：第4頁,共15頁，2024年2月25日，星期天=a3+an-2=

a2+an-1

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,即：

a1+an=……

似乎與n的奇偶有關(guān)問題是一共有多少個(gè)

a1+an

1.公式推導(dǎo)a1+a2+a3+a4…+an-2+an-1+an=第5頁,共15頁，2024年2月25日，星期天設(shè)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn

,則

第6頁,共15頁，2024年2月25日，星期天設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,即：

Sn=a1+a2+…+anSn=

a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=

an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1兩式相加得:

2Sn=(a1+an)×n算法：倒序相加求和第7頁,共15頁，2024年2月25日，星期天等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的另一種推導(dǎo)第8頁,共15頁，2024年2月25日，星期天例2

等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和為54？解：設(shè)題中的等差數(shù)列是｛an｝，前n項(xiàng)和為Sn則a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4解得n1＝9，n2＝－3（舍去）因此,等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是54

方程思想知三求二令＝54，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得：(1)解:由已知得：整體思想認(rèn)識公式第9頁,共15頁，2024年2月25日，星期天例題解析例2：等差數(shù)列{an}中,d=4,an=18,Sn=48,求a1的值。解：由an=a1+(n-1)d得：18=a1+(n-1)4解得：n=4

n=6a1=6

a1=-2或第10頁,共15頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共15頁，2024年2月25日，星期天例2、已知一個(gè)等差數(shù)列｛an｝的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件能確定這等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？分析：方程思想和前n項(xiàng)和公式相結(jié)合分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后，可以得到兩個(gè)關(guān)于首項(xiàng)和公差的關(guān)系式，他們是關(guān)于首項(xiàng)和公差的二元一次方程，由此可以求得首項(xiàng)和公差，從而得到所求的前n項(xiàng)和的告訴.解：由題意知：S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式得到方程思想第12頁,共15頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)n>1時(shí)：

當(dāng)n=1時(shí)：也滿足①式.①第13頁,共15頁，2024年2月25日，星期天【解析】由題意知，等差數(shù)列的公差為

于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，取最大值答案:27練習(xí)1、練習(xí)2、等差數(shù)列－10，－6，－2，2，…的前_____項(xiàng)的和為54？答案