用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

關(guān)于用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型一、正交變換法定義.定理.使得-2-第2頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天-3-用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟則為正交矩陣,且第3頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天-4-第4頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.求一個(gè)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求正交變換矩陣.解：把二次型二次型的矩陣為：其特征多項(xiàng)式為：-5-(1)求的特征值：第5頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天把第2,3,4列都加到第1列上,有把第2,3,4行分別減去第1行,有-6-第6頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天按第1列展開(kāi)按最后1行展開(kāi),得于是，的特征值為：-7-(2)求的特征向量：解方程組第7頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：解方程組將Schmidt正交化得正交向量組：-8-第8頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天將單位化得：-9-第9頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是，正交矩陣為所以，原二次型在正交變換下可化為標(biāo)準(zhǔn)形：-10-第10頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求正交變換矩陣.解：二次型的矩陣為：對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為-11-第11頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天將單位化得：于是，正交矩陣為：所以，原二次型在正交變換下可化為標(biāo)準(zhǔn)形：-12-第12頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(主軸定理),它起源于對(duì)二次曲線和二次曲面的分類問(wèn)題的討論。即將二次曲線和二次曲面的方程變形(化為標(biāo)準(zhǔn)形方程),選有主軸(正交矩陣的列向量)方向的軸作為坐標(biāo)軸以簡(jiǎn)化方程的形狀。例如,畫圖步驟：(1)令特征值和對(duì)應(yīng)的正交單位特征向量為二次型的矩陣為：

用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用-13-第13頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以，正交矩陣為：且在正交變換x=Ty下,原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：因此雙曲線的圖形為以方向?yàn)橹鬏S方向的雙曲線,即標(biāo)準(zhǔn)位置雙曲線的旋轉(zhuǎn)-14-第14頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天-15-圖形(如下圖所示)。第15頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天-16-用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟：為正交矩陣。第16頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.求一正交變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,并求正交變換矩陣.解：二次型的矩陣為：-17-第17頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于特征向量為：對(duì)于特征向量為：將單位正交化得：-18-第18頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是，正交矩陣為：所以，原二次型在正交變換下可化為標(biāo)準(zhǔn)形：-19