中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《梯形問題》專項(xiàng)測(cè)試卷(帶答案)

第頁中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《梯形問題》專項(xiàng)測(cè)試卷(帶答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒．（1）求過點(diǎn)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）求AB的長；若動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過程中，設(shè)△APD的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（3）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．2．已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求直線BC的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動(dòng)過程中，設(shè)△OPD的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）試探究：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，能否在線段OA上找到一點(diǎn)Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．如圖，以Rt△ABO的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=4，OB=3，一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個(gè)單位長度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速沿AO返回；點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）試求出△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在某一時(shí)刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)D處，如圖①．求出此時(shí)△APQ的面積．（3）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，在y軸上是否存在著點(diǎn)E使得四邊形PQBE為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（4）伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D，交折線QB﹣BO﹣OP于點(diǎn)F．當(dāng)DF經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．4．如圖，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且OB=4OC．若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為P，求四邊形OAPB的面積；（3）有兩動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線OAB按O→A→B的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒4個(gè)單位長度的速度沿折線按O→B→A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M、N兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OMN的面積為S．①請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；②判斷在①的過程中，t為何值時(shí)，△OMN的面積最大？5．如圖（1），以梯形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，底邊OA所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系．梯形其它三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（14，0），B（11，4），C（3，4），點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F以每秒3個(gè)單位的速度，從O點(diǎn)出發(fā)沿折線OCB向B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）當(dāng)t=4秒時(shí)，判斷四邊形COEB是什么樣的四邊形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形COEF是直角梯形？（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形COEF能否成為一個(gè)菱形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由，并改變E、F兩點(diǎn)中任一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，使E、F運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)，四邊形COEF是菱形，并寫出改變后的速度及t的值6．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，4），動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，三點(diǎn)C、E、F在同一直線上；（2）設(shè)順次連接OCFE，設(shè)這個(gè)封閉圖形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系及自變量t的取值范圍；（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，以O(shè)、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？7．如圖，已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28），動(dòng)點(diǎn)P從A開始在線段AO上以每秒3個(gè)單位長度的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)單位長度的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積；（2）t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（3）當(dāng)梯形OPFE的面積等于△APF的面積時(shí)，求線段PF的長．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線AB：y=﹣x+3分別與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、A同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒1個(gè)點(diǎn)位長度的速度沿OA方向向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速度沿AO返向；點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A﹣B﹣O方向向O點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖1，在某一時(shí)刻將△APQ沿PQ翻折，使點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)C處，求此時(shí)△APQ的面積；（3）若D為y軸上一點(diǎn)，在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）如圖2，在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點(diǎn)E，交折線QB﹣BO﹣OP于點(diǎn)F．問：是否存在某一時(shí)刻t，使EF恰好經(jīng)過原點(diǎn)O？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（30，0），B（24，6），C（8，6）．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位．當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)達(dá)到自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（用t表示）（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)；①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPQC為等腰梯形？②是否存在實(shí)數(shù)t，使得四邊形PABQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，對(duì)角線BD平分∠ABC，且tan∠DBO=（1）求直線AB的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長的速度沿著線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長的速度沿著線段DA終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一的也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)線段朋的長度為y，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（請(qǐng)直接寫出自變量t的取值范圍）（3）在（2）的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對(duì)應(yīng)線段為A’P，當(dāng)t為何值時(shí)，A’P∥CD，并通過計(jì)算說明，此時(shí)以為半徑的ΘP與直線QH的位置關(guān)系．11．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)．（1）求等腰梯形DEFG的面積；（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向向右運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，運(yùn)動(dòng)后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）．探究1：在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)x的值；若不能，請(qǐng)說明理由；探究2：設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．12．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動(dòng)，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動(dòng)，直到點(diǎn)N與點(diǎn)B重合為止．（1）等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由_________形變化為_________形；（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動(dòng)x（s）時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)①x=4（s），②x=8（s）時(shí)，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積．13．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)且AP=AQ，在等腰梯形ABCD內(nèi)以PQ為一邊作矩形PQMN，點(diǎn)N在CD上．設(shè)AQ=x，矩形PQMN的面積為y．（1）求等腰梯形ABCD的面積；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面積最大時(shí)，將△PQN沿NQ翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P’，請(qǐng)判斷此時(shí)△BMP’的形狀．14．如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x軸，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，5）．（1）直接寫出下列各點(diǎn)坐標(biāo)．A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積（保留π）；（3）直接寫出拋物線y=x2左右平移后，經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)關(guān)系式；（4）若拋物線y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四點(diǎn)都在拋物線上？若能，請(qǐng)說理由；若不能，將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=mx2”，試確定m的值，使得拋物線y=mx2經(jīng)過上下左右平移后能同時(shí)經(jīng)過A，B，C，D四點(diǎn)．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、C、D的坐標(biāo)分別是（1，2）、（4，0）、（3，2），點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形AOCD是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC和MC上運(yùn)動(dòng)，且保持∠MPQ=60°不變．設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）中：試探究當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O首次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E（3，0）時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長．16．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A、B在第一象限內(nèi)．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，連接PN．設(shè)PE=x．△PMN的面積為S．①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．若存在，求出面積的最大值；（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′；探究：在運(yùn)動(dòng)過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．17．如圖，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，將△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限的點(diǎn)C處，已知B點(diǎn)坐標(biāo)是；一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、C、A三個(gè)點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直線OC上是否存在點(diǎn)Q，使得△AQB的周長最小？若存在請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由；（3）若拋物線的對(duì)稱軸交OB于點(diǎn)D，設(shè)P為線段DB上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PM∥y軸交拋物線于點(diǎn)M，問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．18．如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直線為x軸，過點(diǎn)B且垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與BC交于點(diǎn)E，P是該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（如圖2）：①若直線PC把四邊形AOEB的面積分成相等的兩部分，求直線PC的函數(shù)表達(dá)式；②連接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出相應(yīng)的△PAB的外接圓的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將等腰梯形ABCD饒A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（圖1）（1）寫出C﹑F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式；（3）線段DC上是否存在點(diǎn)P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）求梯形OABC的高BG的長；（2）連接E、F并延長交OA于點(diǎn)D，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到幾秒時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形；（3）動(dòng)點(diǎn)E、F是否會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？如果會(huì)，請(qǐng)直接寫出這時(shí)動(dòng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值；如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由．21．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB為⊙O的直徑，動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開始向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）求⊙O的直徑；（2）求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，四邊形PQCD的面積；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．22．如圖1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C的路線移動(dòng)，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S．（1）分別求出點(diǎn)Q位于AB、BC上時(shí)，S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，x的值是多少？（3）在（2）的條件下，設(shè)線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點(diǎn)，那么OE與OF的長度有什么關(guān)系？借助備用圖2說明理由；并進(jìn)一步探究：對(duì)任何一個(gè)梯形，當(dāng)一直線l經(jīng)過梯形中位線的中點(diǎn)并滿足什么條件時(shí)，其一定平分梯形的面積？（只要求說出條件，不需證明）23．現(xiàn)有邊長為180厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個(gè)開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．某校九年級(jí)（2）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對(duì)水槽的橫截面，進(jìn)行了如下探索：（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖．若∠ABC=90°，設(shè)BC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2，請(qǐng)你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖．若∠ABC=120°，請(qǐng)你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大?。?）假如你是該興趣小組中的成員，請(qǐng)你再提供一種方案，使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大．畫出你設(shè)計(jì)的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．24．某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一種高為60cm的簡(jiǎn)易廢紙箱．如圖1，廢紙箱的一面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一張邊長為60cm的正方形硬紙板圍成．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：由于廢紙箱的高是確定的，所以廢紙箱的橫截面圖形面積越大，則它的容積越大．（1）該小組通過多次嘗試，最終選定下表中的簡(jiǎn)便且易操作的三種橫截面圖形，如圖2，是根據(jù)這三種橫截面圖形的面積y（cm2）與x（cm）（見表中橫截面圖形所示）的函數(shù)關(guān)系式而繪制出的圖象．請(qǐng)你根據(jù)有信息，在表中空白處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，并完成y取最大值時(shí)的設(shè)計(jì)示意圖；（2）在研究性學(xué)習(xí)小組展示研究成果時(shí)，小華同學(xué)指出：圖2中“底角為60°的等腰梯形”的圖象與其他兩個(gè)圖象比較，還缺少一部分，應(yīng)該補(bǔ)畫．你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．25．如圖（1），四邊形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，使得S△APD+S△BPC=S△PAB+S△PCD，那么這樣的點(diǎn)P叫做四邊形ABCD的等積點(diǎn)．（1）如果四邊形ABCD內(nèi)部所有的點(diǎn)都是等積點(diǎn)，那么這樣的四邊形叫做等積四邊形．①請(qǐng)寫出你知道的等積四邊形：_________，_________，_________，_________，（四例）②如圖（2），若四邊形ABCD是平行四邊形且S△ABP=8，S△APD=7，S△BPC=15，則S△PCD=_________．（2）如圖（3），等腰梯形ABCD，AD=4，BC=10，AB=5，直線l為等腰梯形的對(duì)稱軸，分別交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．①請(qǐng)?jiān)谥本€l上找到等腰梯形的等積點(diǎn)，并求出PE的長度．②請(qǐng)找出等腰梯形ABCD內(nèi)部所有的等積點(diǎn)，并畫圖表示．26．如圖，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC、CG在同一條直線上，AD∥BC，AB⊥BC于點(diǎn)B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面積與正方形EFGC的面積相等，將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)G重合時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)梯形與正方形重疊部分的面積為S．（1）求正方形的邊長；（2）設(shè)直角梯形ABCD的頂點(diǎn)C向右移動(dòng)的距離為x，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)直角梯形ABCD向右移動(dòng)時(shí)，它與正方形EFGC的重疊部分面積S能否等于直角梯形ABCD面積的一半？若能，請(qǐng)求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．27．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上（如圖示）（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩端點(diǎn)除外），過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求出l與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．28．如圖1所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，AB∥OC，∠ABC為直角，過點(diǎn)A、O作直線l，將直線l向右平移，設(shè)平移距離為t（t≥0），直角梯形OABC被直線l掃過的面積（圖中陰影部分）為s，s關(guān)t的函數(shù)圖象如圖2所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線．（1）求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積；（2）如圖3，矩形ODEF的兩邊OD、OF分別落在坐標(biāo)軸上，且OD=4，OF=3，將矩形ODEF沿x軸的正半軸平行移動(dòng)，設(shè)矩形ODEF的頂點(diǎn)O向右平移的距離為x（0＜x＜7），求矩形ODEF與梯形OABC重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)平移距離x=_________時(shí)，重疊部分面積S取最大值_________．29．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3（1）延長HF交AB于G，求△AHG的面積．（2）操作：固定△ABC，將直角梯形DEFH以每秒1個(gè)單位的速度沿CB方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為DEFH′（如圖）．探究1：在運(yùn)動(dòng)中，四邊形CDH′H能否為正方形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．探究2：在運(yùn)動(dòng)過程中，△ABC與直角梯形DEFH′重疊部分的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系．參考答案1．已知，如圖，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A、B、C的坐標(biāo)分別為A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D為OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間記為t秒．（1）求過點(diǎn)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）求AB的長；若動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過程中，設(shè)△APD的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（3）動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1：3兩部分？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）依題意，得，解得，故所求拋物線的解析式為y=﹣x2+x；（2）作BE⊥OA與E，OE=BC=4，∵在Rt△ABE中，AE=OA﹣OE=6，BE=OC=8，∴AB==10．解法一：作OF⊥AB于F，DH⊥AB于H，∵OA?BE=AB?OF，∴OF==8，DH=OF=4，∴S=AP?DH=t×4=2t（0≤t≤10）；解法二：∵=，S△ABD=AD?BE=×5×8=20．∴=，∴S=2t（0≤t≤10）；（3）點(diǎn)P只能在AB或OC上才能滿足題意，S梯形COAB=（BC+OA）?OC=×（4+10）×8=56，（?。┊?dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由S△APD=S梯形COAB，得OD?y=×56，解得y=，由S△APD=AP?DH=t×4=14，得t=7．此時(shí)，作BG⊥OA于G，由勾股定理得（AO﹣x）2+y2=AP2，即（10﹣x）2+（）2=72，解得x=，即在7秒時(shí)有點(diǎn)P1（，）滿足題意；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y）．由S△APD=S梯形COAB，得AD?y=×56，解得y=，此時(shí)t=10+4+（8﹣）=16．即在t=16秒時(shí)，有點(diǎn)P2（0，）滿足題意；綜上，在7秒時(shí)有點(diǎn)P1（，），在16秒時(shí)有點(diǎn)P2（0，）使PD將梯形COAB的面積分成1：3的兩部分．2．已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求直線BC的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動(dòng)過程中，設(shè)△OPD的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；（4）試探究：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，能否在線段OA上找到一點(diǎn)Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b，因?yàn)橹本€BC過B（8，10），C（0，4）兩點(diǎn)，可得：，解得k=，b=4，因此BC所在直線的解析式是y=x+4；（2）過D作DE⊥OA，則DE為梯形OABC的中位線，OC=4，AB=10，則DE=7，又OA=8，得S梯形OABC=56，則四邊形OPDC的面積為16，S△COD=8，∴S△POD=8，即?t×7=8，得t=；（3）分三種情況①0＜t≤8，（P在OA上）S三角形OPD=t②8＜t≤18，（P在AB上）S三角形OPD=S梯形OCBA﹣S三角形OCD﹣S三角形OAP﹣S三角形PBD=56﹣8﹣4（t﹣8）﹣2（18﹣t）=44﹣2t（此時(shí)AP=t﹣8，BP=18﹣t）③過D點(diǎn)作DM垂直y軸與M點(diǎn)∴CM=3，DM=4，CD=5，∴∠BCH的正弦值為CP長為28﹣t∴PH=22.4﹣0.8tS三角形OPD=S三角形OPC﹣S三角形ODC=×4（22.4﹣0.8t）﹣8=﹣t；（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，則CM=OA=8，AM=OC=4，∴MB=6．∴在Rt△BCM中，BC=10，∴CD=5，若四邊形CQPD為矩形，則PQ=CD=5，且PQ∥CD，∴Rt△PAQ∽R(shí)t△BDP，設(shè)BP=x，則PA=10﹣x，∴，化簡(jiǎn)得x2﹣10x+25=0，x=5，即PB=5，∴PB=BD，這與△PBD是直角三角形不相符因此四邊形CQPD不可能是矩形．3．如圖，以Rt△ABO的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=4，OB=3，一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)沿OA方向，以每秒1個(gè)單位長度的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速沿AO返回；點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）試求出△APQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在某一時(shí)刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)D處，如圖①．求出此時(shí)△APQ的面積．（3）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，在y軸上是否存在著點(diǎn)E使得四邊形PQBE為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（4）伴隨著P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點(diǎn)D，交折線QB﹣BO﹣OP于點(diǎn)F．當(dāng)DF經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3∴AB=①P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP=AQ=t，AP=4﹣t過Q作QH⊥AP于H點(diǎn)．由QH∥BO，得∴即（0＜t＜4）②當(dāng)4＜t≤5時(shí)，即P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=t﹣4AQ=tsin∠BAO=QH=，∴=；綜上所述，S△APQ=；（2）由題意知，此時(shí)△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，∴cosA===，當(dāng)0＜t＜4∴即當(dāng)4＜t≤5時(shí)，=，t=﹣16（舍去）∴；（3）存在，有以下兩種情況①若PE∥BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE過E、P分分別作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．則有BM=QN，由PE∥BQ，得，∴；又∵AP=4﹣t，∴AN=，∴，由BM=QN，得∴，∴；②若PQ∥BE，則等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQ⊥OA于P點(diǎn)由題意知∵OP+AP=OA，∴∴t=，∴OE=，∴點(diǎn)E（0，﹣）由①②得E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）．（4）①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t．可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=AE∴；②當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8﹣tBQ=5﹣t，在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2即（8﹣t）2=∴t=54．如圖，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=．若以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且OB=4OC．若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為P，求四邊形OAPB的面積；（3）有兩動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，其中點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線OAB按O→A→B的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒4個(gè)單位長度的速度沿折線按O→B→A的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M、N兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M、N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)t秒時(shí)，△OMN的面積為S．①請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；②判斷在①的過程中，t為何值時(shí)，△OMN的面積最大？解答：解：（1）∵tan∠OBA==，∴OA=OB?tan∠OBA=8×=6，則A的坐標(biāo)是（6，0）．∵OB=4OC，∴OC=OB=2，則C的坐標(biāo)是（﹣2，0）．∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，則解得：，則拋物線的解析式是：y=x2﹣x﹣8；（2）拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=﹣=2，縱坐標(biāo)是：y=×22﹣×2﹣8=﹣．則P的坐標(biāo)是：（2，﹣）．S四邊形OAPB=S梯形ODPB+S△APD=（8+）×+×（6﹣2）×=40；（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S△OMN=×4t×2t=4t2；當(dāng)t=2時(shí)，S最大，最大值為16；當(dāng)2＜t＜3時(shí)，BN=4t﹣8，AN=10﹣（4t﹣8）=18﹣4t．作NQ⊥x軸于Q點(diǎn)，則=，∴NQ=．∴S△OMN=×2t×=﹣t2+t；當(dāng)t=時(shí)S最大，最大值為；當(dāng)3≤t＜4時(shí)，MN=△OAB的周長﹣4t﹣2t=24﹣6t．作OQ⊥AB于Q點(diǎn)．∵S△OAB=OA×OB=AB×OQ，∴OQ==．∴S△OMN=××（24﹣6t）=﹣t+；當(dāng)t=3時(shí)S最大，最大值為．綜上所述，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t=時(shí)S△OMN最大，最大值為．5．如圖（1），以梯形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，底邊OA所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系．梯形其它三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（14，0），B（11，4），C（3，4），點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F以每秒3個(gè)單位的速度，從O點(diǎn)出發(fā)沿折線OCB向B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）當(dāng)t=4秒時(shí)，判斷四邊形COEB是什么樣的四邊形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形COEF是直角梯形？（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形COEF能否成為一個(gè)菱形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由，并改變E、F兩點(diǎn)中任一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，使E、F運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)，四邊形COEF是菱形，并寫出改變后的速度及t的值解答：解：（1）作CG⊥OA于G，BH⊥OA于H，且B（11，4），C（3，4），∴∠CGO=∠BHA=90°，OG=3，CG=4，AH=3，BH=4，BC=8，∴△CGO≌△BHA，∴OC=AB，在Rt△OGC中由勾股定理，得OC2=OG2+CG2，∴OC2=32+42，∴OC=5，∴AB=5，∵點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4時(shí)，OE=8，∴OE=BC，∵BC∥OA，∴四邊形COEB是平行四邊形．（2）如圖2，設(shè)t秒時(shí)四邊形COEF是直角梯形，∴OC+CF=3t，OE=2t，CF=GE，∴3t﹣OC=2t﹣OG，∴3t﹣5=2t﹣3，解得：t=2．（3）假設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒后，四邊形COEF是菱形，∴CF=OE=CO=5，∵OC+CF=3t=10，0E=2t=5，∴t=而t=，∵∴不存在符合條件的t．當(dāng)F的速度每秒4個(gè)單位的速度，從O點(diǎn)出發(fā)沿折線OCB向B運(yùn)動(dòng)，而E點(diǎn)的速度不變，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻時(shí)，四邊形COEF是菱形．∴由題意，得4t﹣5=5，∴t=，∴OE=2×=5，∴CF=CO=EO=5，∴當(dāng)t=時(shí)，四邊形COEF是菱形．改變后F的速度為：10÷=46．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（12，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，4），動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)D移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，三點(diǎn)C、E、F在同一直線上；（2）設(shè)順次連接OCFE，設(shè)這個(gè)封閉圖形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系及自變量t的取值范圍；（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，以O(shè)、E、F為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？解答：解：（1）當(dāng)三點(diǎn)C、E、F在同一直線上時(shí)，△EAF∽△EOC，則可得：解得t=2即當(dāng)t=2時(shí)，三點(diǎn)C、E、F在同一直線上（2）由已知得S=S△EAF+S梯形AOCF=+=+4t+24自變量t的取值范圍為0＜t≤4；（3）分3種情況：當(dāng)OF=EF時(shí)，AO=EA，則t=4當(dāng)OF=OE時(shí)，OF2=OE2，則（4+t）2=42+4t2解得t=當(dāng)EF=OE時(shí)，EF2=OE2，則（4+t）2=t2+4t2解得t=所以t的值為：4或或．7．如圖，已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28），動(dòng)點(diǎn)P從A開始在線段AO上以每秒3個(gè)單位長度的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)單位長度的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積；（2）t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（3）當(dāng)梯形OPFE的面積等于△APF的面積時(shí)，求線段PF的長．解答：解：（1）由題意，當(dāng)t=1s時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（25，0），E（0，1），根據(jù)A，B坐標(biāo)已知可求出直線AB的方程l：x+y=28，由圖形可知點(diǎn)F與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)都為1，把y=1代入x+y=28中，解得x=27，所以F（27，1），梯形OPFE的面積S=（EF+OP）×OE=26，∴當(dāng)t=1時(shí)，梯形面積是26；（2）設(shè)t=t0時(shí)，由圖可知P（28﹣3t0，0），E（0，t0），F(xiàn)（28﹣t0，t），則梯形OPFE的面積s=×（EF+OP）×OE=×（28﹣t0+28﹣3t0）×t0=﹣2（t0﹣7）2+98，當(dāng)t0=7時(shí)s有最大值，則最大值為98，當(dāng)t=7時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大為98；（3）由題梯形OPFE的面積等于△APF的面積，則有S△APF=×AP×h=×（3t）×t，由（2）知道梯形OPFE的面積的表達(dá)式，可得：﹣2（t﹣7）2+98=×（3t）×t，即t=8，t=0（舍），此時(shí)P（4，0），F(xiàn)（20，8），∴PF=8．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線AB：y=﹣x+3分別與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、A同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒1個(gè)點(diǎn)位長度的速度沿OA方向向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立即以原速度沿AO返向；點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿A﹣B﹣O方向向O點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖1，在某一時(shí)刻將△APQ沿PQ翻折，使點(diǎn)A恰好落在AB邊的點(diǎn)C處，求此時(shí)△APQ的面積；（3）若D為y軸上一點(diǎn)，在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得四邊形PQBD為等腰梯形？若存在，求出t的值與D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）如圖2，在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的垂直平分線EF交PQ于點(diǎn)E，交折線QB﹣BO﹣OP于點(diǎn)F．問：是否存在某一時(shí)刻t，使EF恰好經(jīng)過原點(diǎn)O？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解答：解：（1）令y=﹣x+3=0，解得x=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）；令x=0，得y=﹣×0+3=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，3）；（2）由題意知，此時(shí)△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，此時(shí)△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4﹣t∴即：解得：AQ=t=，QP=，∴S△APQ=AQ?PQ=××=；（3）存在，有以下兩種情況①若PE∥BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE過E、P分分別作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．（4）連接OQ，并過點(diǎn)Q作QG⊥y軸y于G．①當(dāng)P由O向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=AQ=t．可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=AB∴t=當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)B向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，即5＜t＜8時(shí)，△OPQ始終是等腰直角三角形，那么線段PQ的垂直平分線EF必定都經(jīng)過原點(diǎn)O，所以5＜t＜8時(shí)也符合條件．綜上①、②、③所述，所有符合條件的t的值是t=5≤t＜8；②連接OQ，并過點(diǎn)Q作QG⊥y軸y于G．當(dāng)P由A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，OQ=OP=8﹣tBQ=5﹣t，QG=（5﹣t），OG=3﹣（5﹣t）在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2即（8﹣t）2=[（5﹣t）]2+[3﹣（5﹣t）]2∴t=59．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（30，0），B（24，6），C（8，6）．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位．當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)達(dá)到自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）當(dāng)點(diǎn)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（用t表示）（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)；①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPQC為等腰梯形？②是否存在實(shí)數(shù)t，使得四邊形PABQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．解答：解：（1）設(shè)直線OC的方程為y=kx，把C（8，6）代入方程得：k=，所以直線OC的方程為y=x，設(shè)Q（m，m），∵OQ=2t，根據(jù)勾股定理得m2+（m）2=4t2，∵m＞0，t＞0，∴m=t，m=t，則Q坐標(biāo)為（t，t）；（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CQ=2t﹣10，從而點(diǎn)Q（2t﹣2，6），P（3t，0），當(dāng)四邊形OPQC為等腰梯形時(shí)，OD=EP=8，∴8+2t﹣10+8=3t，解得t=6（秒），則當(dāng)t=6秒時(shí)，四邊形OPQC為等腰梯形；②若存在實(shí)數(shù)t，使得四邊形PABQ是平行四邊形，則EP=FA=6，∴3t﹣（2t﹣2）=6，解得t=4（秒），而，解得5≤t≤10，t=4不屬于此范圍，所以假設(shè)錯(cuò)誤，則不存在實(shí)數(shù)t，使得四邊形PABQ是平行四邊形．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x、y軸的正半軸上，頂點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，對(duì)角線BD平分∠ABC，且tan∠DBO=（1）求直線AB的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長的速度沿著線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長的速度沿著線段DA終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一的也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)線段朋的長度為y，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（請(qǐng)直接寫出自變量t的取值范圍）（3）在（2）的條件下，將△APQ沿直線PQ折疊后，AP對(duì)應(yīng)線段為A’P，當(dāng)t為何值時(shí)，A’P∥CD，并通過計(jì)算說明，此時(shí)以為半徑的ΘP與直線QH的位置關(guān)系．解答：解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠C=∠CDB，∴BC∥AD，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∴AD=AB=10，在△BDO中，設(shè)OD=a，則OB=3a，在Rt△ABO中，（10﹣a）2+（3a）2=102，∴a=2，a=0（舍去），∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（8，0），（0，6），設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=﹣，b=6，∴直線AB的解析式是y=﹣x+6．（2）由題意得：DQ=4t，AQ=10﹣4t，AP=5t，cos∠PAO===，在Rt△AQH中，=，∴AH=（10﹣4t），當(dāng)P與H重合時(shí)，cos∠QAH=cos∠QAP===，解得：t=，①0≤t＜，y=PH=AH﹣AP=（10﹣4t）﹣5t=t+8；②＜t≤2，y=AP﹣AQ=T﹣8；綜合上述：求得的解析式是．（3）如圖1，當(dāng)0≤t＜時(shí)，延長A′P與x軸交于點(diǎn)K，∵A′P∥CD，∴∠AKP=90°，在Rt△APK中，AK=4t，PK=3t，QK=AQ﹣AK=10﹣4t﹣4t=10﹣8t，在Rt△A′KQ中，∠A′=∠AA′P，∴AP=5t，tan∠QA′K===，∴t=，此時(shí)，y=﹣×+8=，此時(shí)等于⊙P的半徑，所以⊙P和直線相切；當(dāng)＜t≤2時(shí)，點(diǎn)A′在x軸的下方，A′P與x軸交于點(diǎn)K，同理可求得：KQ=8t﹣10，sin∠A′=sin∠BAC==，∴t=，此時(shí)y=×﹣8=＞，所以⊙P與直線相離．11．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)．（1）求等腰梯形DEFG的面積；（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向向右運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，運(yùn)動(dòng)后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）．探究1：在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)x的值；若不能，請(qǐng)說明理由；探究2：設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．解答：解：如圖，（1）過G點(diǎn)作GM⊥BC于M，∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，G為AB中點(diǎn)∴GM=（1分）又∵G，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)∴GF=BC=2（2分）∴S梯形DEFG=（2）×=6∴等腰梯形DEFG的面積為6（3分）（2）①能為菱形（4分）如圖由BG∥DG′，GG′∥BC∴四邊形BDG′G是平行四邊形（6分）當(dāng)BD=BG=AB=2時(shí)，四邊形BDG′G為菱形此時(shí)可求得x=2，∴當(dāng)x=2秒時(shí)，四邊形BDG′G為菱形（8分）②分兩種情況1、當(dāng)0≤x＜時(shí)，方法一：∵GM=，∴S?BDG′G=∴重疊部分的面積為y=6﹣∴當(dāng)0≤x＜時(shí)，y與x的關(guān)系式為y=6﹣（10分）方法二：當(dāng)0≤x＜時(shí)，∵FG′=2﹣x，DC=4﹣x，GM=∴重疊部分的面積為y=（10分）2、當(dāng)2時(shí)，設(shè)FC與DG′交于點(diǎn)P，則∠PDC=∠PCD=45°∴∠CPD=90°，PC=PD作PQ⊥DC于Q，則PQ=DQ=QC=∴重疊部分的面積為y=××（4﹣x）=x2﹣2x+8（12分）12．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動(dòng)，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動(dòng)，直到點(diǎn)N與點(diǎn)B重合為止．（1）等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由等腰直角三角形變化為等腰梯形；（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動(dòng)x（s）時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)①x=4（s），②x=8（s）時(shí)，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積．解答：解：（1）等腰直角△PMN，∠DAB=45°，∴∠PNM=∠DAB=45°，∴∠AEN=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△AEN是等腰直角三角形，如圖②DC∥AB，∠DAB=∠PNM=45°，∴四邊形DENA是等腰梯形，故答案為：等腰直角三角，等腰梯．（2）可分為以下兩種情況：①當(dāng)0＜x≤6時(shí)，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN（如圖①），此時(shí)AN=x（cm），過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，則EH平分AN，∴EH=x，∴y=S△ANE=AN?EH=x?x=x2，②當(dāng)6＜x≤10時(shí)，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED（如圖②），此時(shí)，AN=x（cm），可求得CE=BN=10﹣x，DE=4﹣（10﹣x）=x﹣6，過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，則AF=BG，DF=AF=（10﹣4）=3，∴y=S梯形ANED=（x﹣6+x）×3=3x﹣9．答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=x2（0＜x≤6）或y=3x﹣9（6＜x≤10）．（3）①當(dāng)x=4（s）時(shí)，y==4，②當(dāng)x=8（s）時(shí)，y=3x﹣9=3×8﹣9=15，答：①當(dāng)x=4（s）時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是4cm2，②當(dāng)x=8（s）時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是15cm2．13．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)且AP=AQ，在等腰梯形ABCD內(nèi)以PQ為一邊作矩形PQMN，點(diǎn)N在CD上．設(shè)AQ=x，矩形PQMN的面積為y．（1）求等腰梯形ABCD的面積；（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形PQMN是正方形；（4）矩形PQMN面積最大時(shí)，將△PQN沿NQ翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P’，請(qǐng)判斷此時(shí)△BMP’的形狀．解答：解：（1）過C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，∵DC∥AB，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AE=CD=2，AD=CE=BC，∠A=∠CEB=60°，∴△CEB是等邊三角形，∴BE=CE=2，∴AB=4，BF=EF=1，由勾股定理得：CF=，．（2）如圖（2）：由題知，AP=AQ=x，∠A=60°，△APQ為等邊三角形，則PQ=x，∵∠NPQ=90°，∠APQ=60°，∴∠DPN=30°，又∠D=120°，∴∠DNP=30°，則DP=DN=2﹣x，作DE⊥PN于點(diǎn)E，在Rt△DPE中，DP=2﹣x，∠DPE=30°，則，∵DP=DN，DE⊥PN，則PN=，，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣x2+2x．（3）由題意得，PQ=PN，∴，，∴當(dāng)x=3﹣時(shí)，矩形PQMN是正方形．（4），當(dāng)x=1時(shí)，，∠AQP=60°，∠PQN=60°，∠NQB=60°，∴P′在AB上，又QP=QP′=1，∴AP′=2，MP′=P′Q=1，BP′=2，過M作MH⊥AB于H，連接QN，∵M(jìn)N=2，MQ=，∴由勾股定理得：QN=2，∠NQM=30°，∴∠MQB=60°﹣30°=30°，∴MH=，QH=，∴BH=4﹣1﹣=，由勾股定理得：BM=，在Rt△BMQ中，，∴△BMP′為直角三角形．14．如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x軸，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，5）．（1）直接寫出下列各點(diǎn)坐標(biāo)．A（，）C（，）D（，）；（2）等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積（保留π）；（3）直接寫出拋物線y=x2左右平移后，經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)關(guān)系式；（4）若拋物線y=x2可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四點(diǎn)都在拋物線上？若能，請(qǐng)說理由；若不能，將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=mx2”，試確定m的值，使得拋物線y=mx2經(jīng)過上下左右平移后能同時(shí)經(jīng)過A，B，C，D四點(diǎn)．解答：解：（1）A（﹣4，1）；C（﹣9，5）；D（﹣6，1）；（2）形成的幾何體的表面積為：2π×4×5+2π×4×2=56π；（3）設(shè)所求的函數(shù)解析式為y=（x﹣h）2，∴（﹣4﹣h）2=1，h=﹣5或﹣3，∴y=（x+5）2，y=（x+3）2；（4）把等腰梯形以y軸為對(duì)稱軸放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為1，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，5），不在y=x2上，所以無論如何平移，都不能使得A，B，C，D四點(diǎn)都在拋物線上；設(shè)y=mx2，點(diǎn)A（1，a），點(diǎn)B（4，a+4），∴m=a，16m=a+4，解得m=，∴y=x2．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、C、D的坐標(biāo)分別是（1，2）、（4，0）、（3，2），點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形AOCD是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC和MC上運(yùn)動(dòng)，且保持∠MPQ=60°不變．設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）中：試探究當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O首次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E（3，0）時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長．解答：解：（1）∵A（1，2）、D（3，2），∴AD∥OC，由兩點(diǎn)間的距離公式可以求出OA=，DC=，∴OA=DC．∵AD=2，OC=4，∴AD≠OC∴梯形AOCD是等腰梯形；（2）∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM=1，∴M（2，2），由兩點(diǎn)間的距離公式可以求出MO=MC=4．∵OC=4，∴OM=OC=MC=4∴△OMC是等邊三角形，∴∠MOP=∠QCP=60°．∵∠MPQ=60°，∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°∴∠2=∠3，∴△OMP∽△CPQ∴∴（0≤x≤4）；（3）∵，∴，∴x=2時(shí)，y最大=3即MQ=3．當(dāng)OP=3時(shí)，x=1，y=即，MQ=，∴當(dāng)0≤x≤2時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長為4﹣3=1當(dāng)2＜x≤3時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長為∴當(dāng)P點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E（3，0）時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為個(gè)單位．16．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A、B在第一象限內(nèi)．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，連接PN．設(shè)PE=x．△PMN的面積為S．①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．若存在，求出面積的最大值；（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′；探究：在運(yùn)動(dòng)過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．解答：解：（1）如圖1，ED⊥OD與D點(diǎn)，∵AO=4，E為AO的中點(diǎn)，∴AE=2，∵∠AOC=60°∴ED=1，OD=∴E（1，）；（2）①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，在梯形ABCD中，由AB∥OC，MN∥OA，得MN=AB=4，過點(diǎn)P作PH⊥MN，垂足為H，由MN∥AO得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°由E、F是AB、DC邊的中點(diǎn)得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM，∴PM=EG=在Rt△PMH中，sin∠PMH=，所以PH=PM?sin30°=∴S△PMN=PH?MN=×4×=，當(dāng)1＜x≤4時(shí)，S=﹣，②若0≤x≤1時(shí)，S=，若1＜x≤4時(shí)，S=﹣∵﹣＜0，∴S隨X的增大而減小，∴S不存在最大值，∴綜上所述，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，S存在最大值，最大值為；（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內(nèi)部，這時(shí)重疊部分的面積即為直角梯形面積，y=×（2+3）×=（如圖1），當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=（E′H′+D′G′）?D′E′=×（4﹣t+5﹣t）×=﹣t+，當(dāng)4＜x≤5時(shí)，DC=5﹣t，DE=∴y=DC?DE?DC=（5﹣t）××（5﹣t）=（5﹣t）2．17．如圖，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，將△OAB沿OB折疊后，點(diǎn)A落在第一象限的點(diǎn)C處，已知B點(diǎn)坐標(biāo)是；一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過O、C、A三個(gè)點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）直線OC上是否存在點(diǎn)Q，使得△AQB的周長最??？若存在請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由；（3）若拋物線的對(duì)稱軸交OB于點(diǎn)D，設(shè)P為線段DB上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作PM∥y軸交拋物線于點(diǎn)M，問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．解答：解：（1）過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H；∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OB=4，OA=2；由折疊的性質(zhì)知：∠COB=30°，OC=AO=2，∴∠COH=60°，OH=，CH=3；∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）．∵拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過C（，3）、A（2，0）兩點(diǎn)，∴，解得；∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+2x．（2）作A關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)A′，BA′交OC于點(diǎn)Q．∵B點(diǎn)坐標(biāo)是∴tan∠BOA==∴∠BOA=30°∴∠BOC=30°，∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，∴OA′與y軸的夾角是30°．又∵OA=OA′=2，∴A′的坐標(biāo)是：（﹣，3）設(shè)直線A′B的解析式是y=kx+b根據(jù)題意得：則直線A′B的解析式是y=﹣x+．直線OC的解析式是：y=x．解方程組：解得：故Q的坐標(biāo)是：（，）．（3）存在．因?yàn)閥=﹣x2+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），即為點(diǎn)C，MP⊥x軸，垂足為N，設(shè)PN=t；因?yàn)椤螧OA=30°，所以O(shè)N=t，∴P（t，t）；作PF⊥CD，垂足為F，ME⊥CD，垂足為E；把x=t代入y=﹣x2+2x，得y=﹣3t2+6t，∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t），同理：F（，t），D（，1）；要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=FD，即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，解得t=，t=1（舍），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∴存在滿足條件的P點(diǎn)，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．18．如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=5，BC=3．以AD所在的直線為x軸，過點(diǎn)B且垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與BC交于點(diǎn)E，P是該拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（如圖2）：①若直線PC把四邊形AOEB的面積分成相等的兩部分，求直線PC的函數(shù)表達(dá)式；②連接PB、PA，是否存在△PAB是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出相應(yīng)的△PAB的外接圓的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．解答：解：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，由已知得：Rt△AOB≌Rt△CFD，OF=BC=3，∴AO=DF=1，OD=OF+DF=4，∴CF=，∴C（3，3），D（4，0），∴，解得：a=﹣1，b=4，c=0，∴所求的拋物線為y=﹣x2+4x；（2）①連接AE交OB于點(diǎn)G，把y=3代入y=﹣x2+4x，得：﹣x2+4x=3，解得：x1=1，x2=3，∴E（1，3），∴BE=1=OA，∵BE∥OA，∴四邊形AOEB是平行四邊形，∴當(dāng)PC過點(diǎn)G（G為AOEB兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）時(shí)，PC把四邊形AOEB的面積平分，∵OG=OB=，∴G（0，），∴C（3，3），∴直線CG為：，∴即直線PC為：；②存在滿足條件的點(diǎn)P，由（1）知拋物線的對(duì)稱軸為x=2，設(shè)P（2，y），對(duì)稱軸交BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則M（2，3），N（2，0），∴PB2=PM2+BM2=（y﹣3）2+4，PA2=PM2+AM2=y2+9，AB2=10，有三種可能，若∠PBA=90°，則PA2=PB2+AB2，∴y2+9=（y﹣3）2+4+10，解得y=，∴P（2，），∴AP==，此時(shí)△PAB外接圓的面積是：π×（×）2=π，若∠PAB=90°，則PB2=PA2+AB2，∴（y﹣3）2+4=y2+9+10，解得：y=﹣1，∴P（2，﹣1），∴BP=2，此時(shí)△PAB外接圓的面積是：5π，若∠APB=90°，則PB2+PA2=AB2，∴（y﹣3）2+4+y2+9=10，此方程無實(shí)數(shù)根，∴此時(shí)滿足條件的點(diǎn)P不存在，綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P（2，）時(shí)，△PAB外接圓的面積是π，當(dāng)點(diǎn)P（2，﹣1）時(shí)，△PAB外接圓的面積是5π．19．在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將等腰梯形ABCD饒A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（圖1）（1）寫出C﹑F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式；（3）線段DC上是否存在點(diǎn)P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解答：解：（1）C的坐標(biāo)是（4，2），F(xiàn)的坐標(biāo)是（﹣2，4）（2）過D作DM⊥AB于M，過C作CN⊥AB于N，圖（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，因此DM=AM=2．因此D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，2）．圖（2），當(dāng)OA=x時(shí)，設(shè)DC交y軸于H，AD交GO于Q，那么DH=x﹣2．所以梯形AODH的面積=×（DH+OA）×DM=2x﹣2．△AQO中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角度為90度．可得：∠AQO=90°，又因?yàn)椤螿AM=45°，因此AQ=QO=x，所以△AQO的面積=×AQ×OQ=x2因此重合部分的面積y=S梯形AODH﹣S△AQO=2x﹣2﹣x2即：y=﹣x2+2x﹣2（2＜x＜4）（3）由于P點(diǎn)在DC線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2）．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖（1）中，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知：E點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，6），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，4）．①當(dāng)以E為頂點(diǎn)，EF、EP為腰時(shí)，EF=EP=2，因此（2）2=m2+（2﹣6）2，即m2+16=8，此方程無解，因此不存在這種情況．②當(dāng)以F為頂點(diǎn)，EF、FP為腰時(shí)，EF=FP=2，因此（2）2=（m+2）2+（2﹣4）2，即m（m+4）=0，m=﹣4，m=0．當(dāng)m=﹣4時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，2）．PE==4=2EF，因此P、E、F在一條直線上構(gòu)不成三角形，因此此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（0，2）．③當(dāng)以P為頂點(diǎn)，F(xiàn)P、EP為腰，EP=PF，因此m2+（2﹣6）2=（m+2）2+（2﹣4）2，即m=2．那么此時(shí)P的坐標(biāo)為（2，2）．綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)且坐標(biāo)為（2，2）或（0，2）．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）求梯形OABC的高BG的長；（2）連接E、F并延長交OA于點(diǎn)D，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到幾秒時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形；（3）動(dòng)點(diǎn)E、F是否會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？如果會(huì)，請(qǐng)直接寫出這時(shí)動(dòng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值；如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由．解答：解：（1）根據(jù)題意，AB===6，∵2S△AOB=AB?OB=AO?BG，∴BG===4.8；（2）設(shè)當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x秒時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形，則BE=x，OF=2x，∵BC∥OA，∴，即，解得OD=，過E作EH⊥OA于H，∵四邊形ABED是等腰梯形，∴DH=AG===3.6，HG=BE=x，∴DH=10﹣﹣x﹣3.6=3.6，解得x=；（3）會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上．根據(jù)題意，OG=AO﹣AG=10﹣3.6=6.4，∴點(diǎn)E（6.4﹣t，4.8），∵OF=2t，∴2tcos∠AOB=2t×=t，2tsin∠AOB=2t×=t，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，t）假設(shè)能在同一反比例函數(shù)圖象上，則t×t=（6.4﹣t）×4.8，整理得：2t2+5t﹣32=0，△=25﹣4×2×（﹣32）=281＞0，∴方程有解，即E、F會(huì)同時(shí)在某一反比例函數(shù)圖象上，此時(shí)，t=，因此E、F會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，t=．21．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB為⊙O的直徑，動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開始向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）求⊙O的直徑；（2）求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，四邊形PQCD的面積；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解答：解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，BE=AD=13，∵BC=16，∴EC=3，在Rt△DCE中，由于DC=5，則DE=，所以圓的直徑為4厘米；（2）當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，由點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度為1厘米/秒和2厘米/秒，所以PD=（13﹣t）厘米，CQ=2t厘米，所以四邊形PQCD的面積為y=，即y=2t+26（0≤t≤8）；當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，CQ﹣PD=2CE，所以2t﹣（13﹣t）=6，解得t=，這時(shí)y四邊形PQCD=厘米2．（3）存在．若PQ與圓相切，切點(diǎn)G，作PH⊥BC于H，所以PA=PG=t，QG=QB=16﹣2t，又得到QH=QB﹣HB=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t，PQ=BQ+AP=16﹣t，根據(jù)勾股定理得PQ2=PH2+QH2，所以（16﹣t）2=16+（16﹣3t）2，解得t1=4+，t2=4﹣，因?yàn)?+和4﹣都在0≤t≤8內(nèi)，所以在t=（4+）秒或t=（4﹣）秒時(shí)，直線PQ與圓相切．22．如圖1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C的路線移動(dòng)，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S．（1）分別求出點(diǎn)Q位于AB、BC上時(shí)，S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，x的值是多少？（3）在（2）的條件下，設(shè)線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點(diǎn)，那么OE與OF的長度有什么關(guān)系？借助備用圖2說明理由；并進(jìn)一步探究：對(duì)任何一個(gè)梯形，當(dāng)一直線l經(jīng)過梯形中位線的中點(diǎn)并滿足什么條件時(shí)，其一定平分梯形的面積？（只要求說出條件，不需證明）解答：解：（1）等腰梯形中，∠A=∠D，因?yàn)镻Q∥DC，所以QP=AQ，當(dāng)x≤12時(shí)，SAQP=x×x=x2，當(dāng)x＞12時(shí)，S梯形=SABP+S平行四邊形=48+（x﹣12）×8，所以；（2）過C作CT⊥AD于T，過B作BH⊥AD于H，即∠CTD=∠BHA=90°，CT∥BH，∵BC∥AD，∴四邊形CBHT是平行四邊形，∴BC=TH=8，∵等腰梯形ABCD，∴CD=AB，BC∥AD，∠D=∠A，在△CTD和△BHA中，∴△CTD≌△BHA，∴CT=BH，DT=AH=（20﹣8）=6，由勾股定理得：CT=BH=8，S梯形=×（BC+AD）×CT=（8+20）×8=112，當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，即48+（x﹣12）?8=56，解之得，x=13．（3）如圖所示，①過點(diǎn)B作BM∥PQ，由（2）得，PD=7=OE，在△ABM中，F(xiàn)N=AM=6，ON=PM=1，所以O(shè)F=7=OE．研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線L經(jīng)過梯形中位線的中點(diǎn)且與較短的底（上底）相交時(shí)，它一定平分梯形的面積．23．現(xiàn)有邊長為180厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個(gè)開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．某校九年級(jí)（2）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對(duì)水槽的橫截面，進(jìn)行了如下探索：（1）方案①：把它折成橫截面為矩形的水槽，如圖．若∠ABC=90°，設(shè)BC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米2，請(qǐng)你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值又是多少？方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽，如圖．若∠ABC=120°，請(qǐng)你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大?。?）假如你是該興趣小組中的成員，請(qǐng)你再提供一種方案，使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大．畫出你設(shè)計(jì)的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．解答：解：（1）①當(dāng)BC=x時(shí)，AB=CD=，y=x，即y=﹣x2+90x，當(dāng)x=90時(shí)，ymax=4050答：當(dāng)x=90cm時(shí)，y值最大，最大值是4050cm2．②過B、C點(diǎn)分別作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．設(shè)BC=x，y=（x2+360x+32400）=當(dāng)x=60時(shí)，y=2700≈4676.5．答：當(dāng)x=60cm時(shí)，y值最大，最大值是4676.5cm24676.5＞4050（8分）（2）正確方案：例解：當(dāng)截面為半圓時(shí)，因?yàn)?80=πr，所以其半徑為r=，其面積為S=π（）2≈5156.6＞4676.5，面積更大．①正八邊形一半，②正十邊形一半，③半圓等．24．某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一種高為60cm的簡(jiǎn)易廢紙箱．如圖1，廢紙箱的一面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一張邊長為60cm的正方形硬紙板圍成．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：由于廢紙箱的高是確定的，所以廢紙箱的橫截面圖形面積越大，則它的容積越大．（1）該小組通過多次嘗試，最終選定下表中的簡(jiǎn)便且易操作的三種橫截面圖形