專(zhuān)題22 橢圓（解答題壓軸題）試題含解析

專(zhuān)題22橢圓（解答題壓軸題）①橢圓的弦長(zhǎng)（焦點(diǎn)弦）問(wèn)題 1②橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題 4③橢圓中的面積問(wèn)題 5④橢圓中的參數(shù)和范圍問(wèn)題 7⑤橢圓中的最值問(wèn)題 9⑥橢圓中定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題 11⑦橢圓中向量問(wèn)題 13 14①橢圓的弦長(zhǎng)（焦點(diǎn)弦）問(wèn)題12023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:+=1，左右焦點(diǎn)分別為()F，F(xiàn)2，直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，弦AB被點(diǎn)|（3,()(1)求直線l的方程；(2)求弦AB的長(zhǎng).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l:y=x+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線l的方程.32023春·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M(0,橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形.(1)求橢圓C的方程；(2)寫(xiě)出橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；短軸長(zhǎng)；焦距；離心率(3)求直線y=x+1被橢圓C截得的弦長(zhǎng).42023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn).(1)求橢圓的C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1.k2=_，求PQ的最小值.52023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)O上，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和等于：(1)求橢圓的方程；(2)若直線x+y+m=0交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且OA」OB，求m的值；(3)在（2）的結(jié)論下，求AB的長(zhǎng).(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=x+對(duì)稱，求AB.72023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓E：+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓(1)求橢圓E的方程；(2)若直線x-y-1=0與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，C、D為橢圓E上兩點(diǎn)，且CD」AB，求CD的最大值.82023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:+=1過(guò)點(diǎn)M,N,P，記線段MN的中點(diǎn)為Q.(1)若直線MN的斜率為3，求直線OQ的斜率;(2)若四邊形OMPN為平行四邊形，求|MN|的取值范圍.②橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題12023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓C:+=1，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓交于A，B兩()()(1)求直線l的方程；(2)求‘F1AB的面積.C上一點(diǎn).(1)求C的方程；(2)設(shè)M，N是C上兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(|（-1,，求直線MN的方程.橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,，求直線l的方程. 軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)P(2,1)作弦且弦被P平分，則此弦所在的直線方程.52023秋·遼寧遼陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：+=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P(1)求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo).(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為P(一2,1)，求直線l的斜率.在圓F2上運(yùn)動(dòng)，QF1的垂直平分線交QF2于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，且MN中點(diǎn)為(1,1)，求直線l的方程.③橢圓中的面積問(wèn)題12023秋·廣東江門(mén)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線x=4的距離是它到點(diǎn)M(1,0)的距離的2倍，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)直線l:x=my1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求ΔMAB面積的最大值.22023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(一2,1的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求三角形OMN的面積.點(diǎn)M在C上，且點(diǎn)M到右焦點(diǎn)距離的最大值為3，過(guò)點(diǎn)P(0,2)且不與x軸垂直的直線l與C交于A,B兩點(diǎn).(1)求C的方程；(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求‘AOB面積的最大值.橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過(guò)原點(diǎn)O的弦AC,BD相互垂直，求四邊形ABCD面積的最大值.52023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，PF1+PF2=4，橢圓C的離心率為，直線l過(guò)不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓C的方程： 4(2)若三角形F1AB的面積為21，求直線l的方程.462023秋·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)(-2,0)在橢圓C：+=1(a>b>0)上，點(diǎn)(m牛0)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為-.(1)求橢圓C的方程；(2)記S△BME，SΔAMF分別為ΔBME，ΔAMF的面積，若④橢圓中的參數(shù)和范圍問(wèn)題12023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離與動(dòng)點(diǎn)M到定直線x=2的距離之比(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)對(duì)vkeR，曲線C上是否始終存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=kx+b對(duì)稱？若存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F2，M為橢圓的上頂點(diǎn)，△MF1F2的面積為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，且=(λ>0)，若橢圓C上存在一點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求λ的取值范圍.PFPFPFPF32023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知P(2,0)是橢圓C:+=1(a>b>且斜率為k(k<0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的上方），直線PA,PB分別與直線x=1相交于M,N兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，k=一1.(1)求橢圓C的方程；(2)若MN=λ,且λe[2,3]，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.42023春·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)連接成的四邊形為正方形.(1)求橢圓C的方程；32(2)設(shè)點(diǎn)A,B為橢圓C上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，k32------------x2252023·江西九江·瑞昌市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2為橢圓x22橢圓C上一點(diǎn)．若△PF1F2為直角三角形，且PF1之PF2.=1的左右焦點(diǎn)，P為1212的取值范圍.12023秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一F(2,0)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l:y=x+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，求‘ABO面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.22023秋·湖南岳陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且P(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，求AM.AN的最大值. 左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，‘PAB面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，△APQ和VBPQ的面積分別為S1，S2.若k1=3k2，求S1一S2的最大值.42023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓E與橢圓+=1有共同的焦點(diǎn)，且橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(|（1,-.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F為橢圓E的左焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M為橢圓E上任意一點(diǎn)，求.的最大值.52023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓C:+=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，若PF的最大值和最小值分別為3+和3-.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M(0,m)是y軸正半軸上的一點(diǎn)，求PM的最大值.右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是以AB為直徑的圓上除去A，B的任意一點(diǎn)，直線AM交橢圓C于另一點(diǎn)N.(1)當(dāng)點(diǎn)N為橢圓C的短軸端點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)O到直線NF2的距離為1，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求.的最小值. 2 2的周長(zhǎng)為8..點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線PF1、PF2分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，Δ(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；------------(2)若PF1=λ1F1A，PF2=λ2F2B，求證：λ------------22023秋·北京豐臺(tái)·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F(-,0),F2(,0)，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若MA」MB，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn).32023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，若橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2)，(1)求橢圓C的方程；(2)若A,B是橢圓上不同于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，證明：直線AB的斜率為定值.42023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B為橢圓+=1左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-,-1)時(shí)，DF=3.(1)求橢圓的方程.(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 52023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，(1)求橢圓C的方程；(2)直線l與橢圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OMPN為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.62023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，折線(2)直線AM與BN交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上.⑦橢圓中向量問(wèn)題 12023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃E圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，過(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于M(0,m)點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)m，使得+3=4，求m的取值范圍. 22023秋·北京海淀·高三清華附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A,B，右頂點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為P，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP交BC于M，直線AQ交BC于點(diǎn)N，點(diǎn)T(6,-2)，求證：AM=TN.點(diǎn)分別為F1，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k牛0)的直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P為AD的中點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q(m,0)，對(duì)于任意的k(k牛0)都有OP」EQ？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.橢圓C上，且PF1」F1F2.(1)求橢圓C的方程；(2)已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,2)，(一1,0)，若過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B，求出直線l的所有方程.52023·天津和平·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:+=1(a>b>0)的上，下焦點(diǎn)分別為F2,F1，橢圓上的任意一點(diǎn)到下焦點(diǎn)F1的最大距離為3，最小距離為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)B，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q,.=0，(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為k(k子0)的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使AF.BT=BF.AT恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.22023春·河南開(kāi)封·高三通許縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)()()(1)求C的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C交于不同的P,Q兩點(diǎn)，且直線OP,PQ,OQ的斜率成等比數(shù)列．在C上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形OPMQ為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.32023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知A,B是橢圓C上的兩點(diǎn)，A(2,1),A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，M是橢圓C上異于A,B的一點(diǎn)，直線MA和MB的斜率滿足kMA.kMB=-.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率存在且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于橢圓C的上、下頂點(diǎn)），當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求kOP.kOQ的值.離心率為.點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線PF1,PF2分別與橢圓C交于點(diǎn)A,B，ΔPF1B的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)△PF1F2，ΔPF1B，‘PAB的面積分別為S1,S2,S3.求證：SS SSS S-S+S為定值.52023秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）定義：若橢圓C:+=1(a>b>0)上的兩個(gè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)滿足xx xx2a+y1y2b2=0，則稱A,B為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作[A,B].已知橢圓C的一(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求“共軛點(diǎn)對(duì)”[A,B]中點(diǎn)B所在直線l的方程；(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P,Q在橢圓C上，且PQ//OA2）中的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)B1,B2，且B1點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，設(shè)四點(diǎn)B1,P,B2,Q在橢圓C上逆時(shí)針排列.證明：四邊形B1PB2Q的面積小于8.專(zhuān)題22橢圓（解答題壓軸題）①橢圓的弦長(zhǎng)（焦點(diǎn)弦）問(wèn)題 1②橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題 10③橢圓中的面積問(wèn)題 15④橢圓中的參數(shù)和范圍問(wèn)題 22⑤橢圓中的最值問(wèn)題 28⑥橢圓中定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題 35⑦橢圓中向量問(wèn)題 42 48①橢圓的弦長(zhǎng)（焦點(diǎn)弦）問(wèn)題12023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:+=1，左右焦點(diǎn)分別為()F，F(xiàn)2，直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，弦AB被點(diǎn)|（3,()(1)求直線l的方程；(2)求弦AB的長(zhǎng).【答案】(1)x+2y-2=0(2)5【詳解】（1）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)A(x1,y1),B(x2,y2)，2(x|16|16|x2兩式相減得：(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2所以直線l的斜率k= x1-x24y1+y22，故直線l的方程為y-=-x-)牽x+2y-2=0. 2 所以y1+y2=,y1y2=-， 2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l:y=x+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度最大時(shí)，求直線l的方程.x22x22(2)x-y=0【詳解】（1）解法一：因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上．所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).(a2x22所以，橢圓Cx22..a-cx22所以，橢圓Cx222因?yàn)橹本€y=x+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，所以Δ=16m2-42-8m-82424-8m23當(dāng)m=0時(shí)，AB取最大值，此時(shí)直線l的方程為x-y=032023春·上海·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M(0,橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形.(1)求橢圓C的方程；(2)寫(xiě)出橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；短軸長(zhǎng)；焦距；離心率(3)求直線y=x+1被橢圓C截得的弦長(zhǎng).(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)4，短軸長(zhǎng)4，焦距4，離心率23【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M(0,2)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形，故橢圓C的方程為+=1.故長(zhǎng)軸長(zhǎng)4，短軸長(zhǎng)4，焦距4，離心率.（3）設(shè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)，2242023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，左頂點(diǎn)為A(-2,0)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn).(1)求橢圓的C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1.k2=-，求PQ的最小值.(2)32c|a2=b2+2cl因?yàn)橹本€l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，2)22)22所以直線l的斜率不為0，所以設(shè)直線l:x=my+n,P(x1,y1),Q(x2,y2)，y1+y2=所以k1k22-n36m2n2-48n2+192-36m2n2+144m2=482-n y1y2y1y222)， y1y223n2-12 =3n2-1222m.3n2-1222m.所以直線l的方程為直線x=my-1，直線l過(guò)定點(diǎn)(-1,0)，所以|PQ|=222-4y1y2=222當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)，所以PQ的最小值為3.52023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)O上，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和等于：(1)求橢圓的方程；(2)若直線x+y+m=0交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且OALOB，求m的值；(3)在（2）的結(jié)論下，求AB的長(zhǎng).|25|25(6)2-(3)2【詳解】（1）因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓的方程為：+=1，e==，又橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為，所以2a=，a=，a-c ,2x2（2）由（1）知，橢圓的方程為：33，即：2x2+4y2=3，2即：y1y2+x1x2=0，又：x=-y-m，所以：y1y2+(-y1-m)(-y2-m)=0，2m2-362m31+y22m2-362m31+y2所以m=所以m=22y1-y2（3）AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(-y1-m)-(-y2-m)2+(y1-y22y1-y2由對(duì)稱性可知：當(dāng)m=-1時(shí)，也有AB=，(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=x+對(duì)稱，求AB.3a2a22()2||（2)a2()2||2a22a21x222=2，所以橢圓x22（2）法一設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)及AB中點(diǎn)M(x0,y0)，由題意知kAB=-12x x22xx2x-2 AB x03y=-x-2又∵M(jìn)x03y=-x-2|y=|y=-x-222x2法二設(shè)直線AB:y=-x+m，2=2，整理得：3x2-4mx+2mx12=，則中點(diǎn)M,，滿足直線方程y=x+，解得m=-2424 根所以AB：y=-x-|y=|y=-x-222x2由弦長(zhǎng)公式得：AB=x-x272023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓E：+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓(1)求橢圓E的方程；(2)若直線x-y-1=0與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，C、D為橢圓E上兩點(diǎn)，且CDLAB，求CD的最大值.5【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的半焦距為cF1F2=2c=，（2）由題知CDLAB，設(shè)直線CD的方程為y=-x+m，C(x1,y1)，D(x2,y2)，2∴Δ=(-8m)2-42由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：555-m2,-,0)上單調(diào)遞增，在(0,)單調(diào)遞減，max5max582023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:+=1過(guò)點(diǎn)M,N,P，記線段MN的中點(diǎn)為Q.(1)若直線MN的斜率為3，求直線OQ的斜率;(2)若四邊形OMPN為平行四邊形，求|MN|的取值范圍.【答案】(1)-；則有+=0，又直線MN斜率kMN=所以直線OQ的斜率kOQ==-.=3，因此y010=-x04（2）當(dāng)直線MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線MN:y=kx+m(m豐0)，M(x3,y3),N(x4,y4)，因四邊形OMPN為平行四邊形，即=+，則點(diǎn)P(x3+x4,y3+y4)，2于是得x3+x4=8km-88km3x4=4m2-484m2-482m2>3，x4(448)當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí)，得點(diǎn)P(4,0)或P(一4,0)，若點(diǎn)P(4,0)，點(diǎn)M，N必在直線x=2上，22得y=土3，則|MN|=6，若點(diǎn)P(綜上，|MN|的取值范圍為[6,4].②橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題12023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓C:+=1，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓交于A，B兩()()(1)求直線l的方程；(2)求‘F1AB的面積.()【詳解】（1）因?yàn)橄褹B被點(diǎn)|（3,()(x|16|16|x22所以直線l的斜率k=y1y21x1 x1x24y12,0，22y1lyly所以y1+y2=,y1y2=-，所以y1-y2=，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)F2(2,0)，C上一點(diǎn).(1)求C的方程；(2)設(shè)M，N是C上兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(|（-1,，求直線MN的方程.(2)x-2y+2=0222,（2)因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(|-1,1)|，所以x1+x2=-2，y1+y2=（2)故直線MN的方程為y-=x+1)，即x-2y+2=0.橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,，求直線l的方程.【詳解】（1）設(shè)C的焦距為2c(c>0)，2c=6牽c=3，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2a，而橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，兩式相減可得=-，由點(diǎn),為線段AB的中點(diǎn)，2所以l的方程為y-=-x-， 軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)P(2,1)作弦且弦被P平分，則此弦所在的直線方程.又橢圓中a2=b2+c2③,（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P(2,1)作直線l，l與橢圓C的交點(diǎn)為D(x1,y1)，E(x2,y2)，22-y2)由橢圓的對(duì)稱性可得直線l的斜率一定存在，|x|xy所以此弦所在的直線方程為y-1=-x-2)，整理得x+2y-4=0.52023秋·遼寧遼陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：+=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P(1)求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo).(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為P(-2,1)，求直線l的斜率.【答案】(1)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(-2,0)，(2,0)所以a=3，所以c2=a2-b2=4，c=2，（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，2222因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)P(-2,1)在橢圓內(nèi)，所以〈所以直線l的斜率kAB==.62023秋·吉林·高二梅河口市第五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)F1(-1,0)，圓F2：(x-1)2+y2=16，點(diǎn)Q在圓F2上運(yùn)動(dòng)，QF1的垂直平分線交QF2于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，且MN中點(diǎn)為(1,1)，求直線l的方程.【詳解】（1）由題可知，PF1=PQF2由橢圓定義知P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，22-c2=3（2）設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2),∵M(jìn)，N都在橢圓+=1上，2∴=-，即直線l的斜率為-，∴直線l的方程為y-1=-(x-1)，即3x+4y-7=0,因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)，所以直線3x+4y-7=0與橢圓相交于兩點(diǎn)，滿足條件.故直線l的方程為3x+4y-7=0.③橢圓中的面積問(wèn)題12023秋·廣東江門(mén)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線x=4的距離是它到點(diǎn)M(1,0)的距離的2倍，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)直線l:x=my-1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求ΔMAB面積的最大值.(2)3【詳解】（1）設(shè)P(x,y)，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線x=4的距離是它到點(diǎn)M(1,0)的距離的2倍，所以x-4=2(x-1)2+y2，則x2-8x+16=4x2-8x（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，l(3m2+4)y2-6my-9=0，ly12因?yàn)閘:x=my-1過(guò)點(diǎn)(-1,0)，-y2=3m2 則當(dāng)t=1時(shí)，f(t)min=f(1)=4，則S‘MAB的最大值為3.故ΔMAB面積的最大值為3.22023秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,1的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求三角形OMN的面積.5 2y32y32（2）直線l的方程為：y-1=x+2，即y=x+設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，22-4x12 MN=x1-x2==點(diǎn)M在C上，且點(diǎn)M到右焦點(diǎn)距離的最大值為3，過(guò)點(diǎn)P(0,2)且不與x軸垂直的直線l與C交于A,B兩點(diǎn).(1)求C的方程；(2)記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求‘AOB面積的最大值.lyly2x223，：點(diǎn)O到直線l的距離d=， t故ΔAOB面積的最大值為.橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過(guò)原點(diǎn)O的弦AC,BD相互垂直，求四邊形ABCD面積的最大值.【詳解】（1）由=，得a2=2c2，則b2=c2，故橢圓方程可化為x2+2y2=2c2，將,1)代入上式得c2=2，.(11)x22)2222.(11)x22)2222k22x+xk2+k25k22.2k+1.<故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為由題意得，四邊形ABCD為菱形，則菱形ABCD的面積=2AC.SABCD由題意得，四邊形ABCD為菱形，則菱形ABCD的面積=2AC.SABCD 當(dāng)直線AC的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，易得 當(dāng)直線AC的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，易得當(dāng)直線AC的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AC的方程為y=kx，則BD設(shè)直線AC的方程為y=kx，則BD的方程為將y1,y2將得得2k22))4k2k2(則則k2綜上，SABCD的最大值為綜上，SABCD的最大值為5別為F1、F2，P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，PF1+PF2=4，橢圓C的離心率為，直線l過(guò)點(diǎn)Q(一3,0)交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓C的方程：(2)若三角形【答案】(1)FAB的面積為，求直線l的方程.2a41【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由已知有〈e==|a222a41（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l的方程為x=ty-則y1+y2=2，所以‘F1AB的面積為S△FAB=QF1.y1-y2=根22-4解得n=或n=， 1S‘AMF2=AM.MF.sin經(jīng) 1S‘AMF2=AM.MF.sin經(jīng)AMFMFME則 1SBM.ME.sin經(jīng)BME‘BME62023秋·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)(-2,0)在橢圓C：+=1(a>b>0)上，點(diǎn)(m子0)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為-.(1)求橢圓C的方程；(2)記S△BME，S‘AMF分別為‘BME，‘AMF的面積，若【詳解】（1）設(shè)E(x,y)，依題意A(0,b)，B(0,-b)，x24又橢圓C過(guò)點(diǎn)(-2,0)，所以b2=1，故橢圓Cx24（2）依題意，可知AM：y=-x+1x24x24又BM：y=x-1x24x24從而得到F,，=從而得到F,，=m4m -mmm4m -mm23-m2MAME所以4-m2-1 -m3-m212 -m3-m212-m2-9MFMBm2+9m2+9m2+9AM.BM.2m2+13-m2m2+18m2+13-m2m2+183-m2m2+9m2+9m2+9, ④橢圓中的參數(shù)和范圍問(wèn)題12023·遼寧撫順·?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F(1,0)的距離與動(dòng)點(diǎn)M到定直線x=2的距離之比(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)對(duì)vkeR，曲線C上是否始終存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=kx+b對(duì)稱？若存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)+y2=1x22所以點(diǎn)M的軌跡x22（2）假設(shè)曲線C上始終存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=kx+b對(duì)稱，當(dāng)k士0時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=-x+t，A(xl2-x+2t2-2=0，l2-4設(shè)AB的中點(diǎn)為(x0,y0)，0將(x0,y0)代入y=kx+b，則b=y0-kx0=-=-，k2k2易知當(dāng)k=0時(shí)，曲線C上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線y=0對(duì)稱.所以b的取值范圍為{0}.22023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F2，M為橢圓的上頂點(diǎn)，△MF1F2的面積為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，且=(λ>0)，若橢圓C上存在一點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求λ的取值范圍.【詳解】（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F2(,0)，222顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l:y=kx+1，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則D(λx2,λy2)，：四邊形OAED為平行四邊形，:=，E(x1+λx2,y1+λy2)，：點(diǎn)A，B，E均在橢圓C上，+λx2)2:λ>0，:4x1x2+9y1y2+18λ=0，222:λ=2-，:λe[1,2).且斜率為k(k<0)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的上方），直線PA,PB分別與直線x=1相交于M,N兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，k=-1.(1)求橢圓C的方程；(2)若MN=λ,且λe[2,3]，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知，a=2，當(dāng)點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，k==-1，解得b=1.x24故橢圓x24（2）如圖，llx2直線AP的方程為y=(x-2)，令x=1得yM=-，同理可得yN=-，則|MN|=yM-yN=-=y2(2即實(shí)數(shù)k的取值范圍為-1,-.42023春·四川南充·高二四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)連接成的四邊形為正方形.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A,B為橢圓C上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，kOA.kOB=-，求.的取值范圍.（2）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB方程為y=kx+m，PFPFPFPFPF因?yàn)閗.k=y1y2=3PFPFPFPFPF+2k2，2222.22，+2k22k2+1283+2k22k2+1nm所以kOA.kOBnm所以kOA.kOB又因?yàn)锳在橢圓上，則m2+2n2=8，------------52023·江西九江·瑞昌市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：橢圓C上一點(diǎn)．若△PF1F2為直角三角形，且PF1>PF2.x221212=1的左右焦點(diǎn)，P為的取值范圍.PF12PF12+2因?yàn)镻F1+2若經(jīng)F1PF2FFFF2=PF1PF2+PF2PF2=PFPF2PFPFPFPF1212=1.PFPFPFPFPFPFPFPF22則x1+x22.另一個(gè)方面，直線PM的方程是y=-x故=---，整理得，1.22故實(shí)數(shù)m的取值范圍是,2.12023秋·陜西西安·高二陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一F(2,0)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l:y=x+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，求‘ABO面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.【詳解】（1）由已知得c=2，又離心率e==（2）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，2又原點(diǎn)到直線的距離為d=，所以S‘ABO=.d.AB=根22)所以，‘ABO面積的最大值為，此時(shí)直線l的方程為y=x土2.22023秋·湖南岳陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且P(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，求AM.AN的最大值.4（2）1，得(m2+4)y2+2mty+t2y1=-，y1y2=,222x1x22(y122，因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，故AM」AN，所以.=0，解得t=或t=2(舍去)，當(dāng)t=時(shí)，Δ>0，且MN=y1-y2，點(diǎn)A到MN的距離為d=1，所以SΔAMN=AM.AN=2-t.y1-y2=2-t.，222:AM.AN=1根s2=1由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知y=s+，在,+偽上單調(diào)遞增，365AM.AN25s取得最小值365AM.AN2 左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，‘PAB面積的最大值為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，△APQ和VBPQ的面積分別為S1，S2.若k1=3k2，求S1一S2的最大值.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸頂點(diǎn)時(shí)，‘PAB的面積取最大值ab=2，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)，y1011 y111,ky202x22 y1一11k2，不合題意.設(shè)直線PQ的方程為x=ty+n，由于直線PQ不過(guò)橢圓C的左、右頂點(diǎn)，則n子土22y12y1y2=，ty1y2=42(y1+y2) (y12)24y1y2y1一y2t2+4 (y12)24y1y2y1一y2t2+4解得n=1由平面幾何知識(shí)S1所以|S1設(shè)f(x)=x+4+t2+3 t2+t2+3,則f/(x)=1=x1，當(dāng)xE[,+偽)時(shí)，f/(x)>0，因此，|S1S2|的最大值為.42023秋·高二單元測(cè)試）已知橢圓E與橢圓+=1有共同的焦點(diǎn)，且橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(|（1,一.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F為橢圓E的左焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M為橢圓E上任意一點(diǎn)，求.的最大值.【答案】(1)(2)6【詳解】（1）2=3或b2=（舍）.（2）由（1）可得F(一1,0)，設(shè)M(x0,y0)，0002225<2，:當(dāng)x0=2時(shí)，.取最大值6.52023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓C:+=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，若PF的最大值和最小值分別為3+和3-.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M(0,m)是y軸正半軸上的一點(diǎn)，求PM的最大值.（2）設(shè)P(x,y)，則|PM|2=x2+(y-m)2=x2+y2-2my+m22右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是以AB為直徑的圓上除去A，B的任意一點(diǎn)，直線AM交橢圓C于另一點(diǎn)N.(1)當(dāng)點(diǎn)N為橢圓C的短軸端點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)O到直線NF2的距離為1，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；-------(2)求OM.ON-------【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)N為橢圓C的短軸端點(diǎn)時(shí)，（2）由題設(shè)直線AM的方程為y=k(x+2)，(k2)x2(k22+1,k2解得2(1k22+1,k222，所以2當(dāng)且僅當(dāng)2k2=，即k2-------所以O(shè)M.ON-------時(shí)等號(hào)成立. 時(shí)等號(hào)成立.2 2 2的周長(zhǎng)為8..點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線PF1、PF2分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，Δ(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；------------(2)若PF1=λ1F1A，PF2=λ2F2B，求證：λ------------(2)證明見(jiàn)解析 21，化簡(jiǎn)得(3m2+4)y26my9=0，y0y1=則-9-9y0y2= y0y2=-932-------------------------y0020020-12所以λ1+λ2是定值.22023秋·北京豐臺(tái)·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F(-,0),F2(,0)，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若MAlMB，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn).(2)證明見(jiàn)解析.橢圓方程為：+y2=1.M為橢圓C的左頂點(diǎn)，ly又由（1）可知：M(-2,0)，設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2,ylylx22lx22+y1y22)2=0，(t222或m=2，當(dāng)m=2時(shí)，AB的方程為：x=ty2，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，不滿足題意，舍去，當(dāng)m=時(shí)，AB的方程為：x=ty，恒過(guò)定點(diǎn)(,0).所以直線AB過(guò)定點(diǎn).32023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，若橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,2)，(1)求橢圓C的方程；(2)若A,B是橢圓上不同于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA,PB與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，證明：直線AB的斜率為定值.(2)證明見(jiàn)解析22故所求橢圓方程為x+y=1205（2）如下圖所示：2|4m2-20x22由直線PA,PB能與x軸共同圍成底邊在x軸上的等腰三角形，可得kPA+kPB=0，y-2y-2(y1-2)(x2-2)+(y2-2)(x1-2)-2)(x2-2)=0整理得2x2(-2)，即2k.-(m-2k-2).-4(m-2)=0所以當(dāng)k=時(shí)，不論m為何值時(shí)(4k-1)m+8k2-10k+2=0都成立，所以直線PA,PB與x軸共同圍成底邊在x軸上的等腰三角形時(shí)直線AB的斜率為定值42023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知A，B為橢圓+=1左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-,-1)時(shí)，DF=3.(1)求橢圓的方程.(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0)，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線x=1上【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0)，左焦點(diǎn)為F1(-c,0)，c>0，22DF=2（2）由題設(shè)，直線DE斜率一定存在，設(shè)DE的直線方程為y=k(x-4).聯(lián)立橢圓方程，消去y得(2k2+1)x2-16k2x+32k2-4=0.又A(-2,0)，B(2,0)，1x2=32k2-42k2+1.∴直線AD的方程為y=x+2)，直線BE的方程為y=x-2).2xx-63x-x--2x2=-∴直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線x=1上.252023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，2(1)求橢圓C的方程；(2)直線l與橢圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列．橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OMPN為平行四邊形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)+y2=1c 【詳解】（1）c a11-b22ax22b2=，可得a2=2b2x22b2 將點(diǎn)A(，)代入橢圓的方程可得：+=1，所以橢圓的方程為+y2=1；（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：x=my+t，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，,2,22t2-4(2+m2)(t2-2)2,因?yàn)樗倪呅蜲MPN為平行四邊，OP與MN互相平分，所以P,，又因?yàn)橹本€OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，即=.，222t2222，可得2t2=m2t2，②62023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：+=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，折線(2)直線AM與BN交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在定直線上.【答案】(1)MF+NF=(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）折線為my=x一1，不妨設(shè)M在F的右側(cè)，N在F的左側(cè)，3m26m9,y1+y2 +4y1y23m23m22y1 12m2(m23m2+4,則直線AM的方程為=，又因?yàn)镸在F的右側(cè)，所以M(x1,y1)滿足my1=x1一1，所以直線AM的方程為=①,又因?yàn)閤2=my2+1，所以直線BN的方程為=m1②,2，x23m223m22x21解得x＝1，所以定點(diǎn)P在直線x＝1上.⑦橢圓中向量問(wèn)題 12023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考一模）橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為，過(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于M(0,m)點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)m，使得+3=4，求m的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)樵摍E圓的離心率為，所以有 =牽=牽= =牽=牽=牽因?yàn)檫^(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.所以橢圓的方程為+y2=1；（2）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，由題意可知直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，與縱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)不符合題意；當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)為k，所以直線l的方程設(shè)為y=kx+m，2因?yàn)樵撝本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以一定有Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0，化簡(jiǎn)，得4k2-m2+1>0，,y2=-3x2，代入x+x于是有(-3x2).x2=牽-32=，化簡(jiǎn)，得k2=4m-2，代入4k2-m2+1>0中，得2 322023秋·北京海淀·高三清華附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓E:+=1(a>b>0)，其離心率 3(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A,B，右頂點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為P，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP交BC于M，直線AQ交BC于點(diǎn)N，點(diǎn)T(6,-2)，求證：AM=TN.(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）根據(jù)題意可知2a=6，可得a=3；又e==，解得c=，所以b2=易知直線BC的方程為+=1，即y=x-2；顯然過(guò)點(diǎn)A的直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，設(shè)P(xP,yP)，易知xP和0是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得xP=，又yP=kxP+2，所以yP=，即P,；因此點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q,，所以直線AQ的斜率kAQ==，可得直線AQ方程為y=x+2，由直線AP交BC于M，聯(lián)立兩直線方程〈，解得M,；顯然=-，所以AM=TN，也即AM=TN.點(diǎn)分別為F1，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k產(chǎn)0)的直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P為AD的中點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q(m,0)，對(duì)于任意的k(k產(chǎn)0)都有OP」EQ？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)存在定點(diǎn)Q,0滿足題意.【詳解】（1）由題意得a=2,b=c，又：a2=b2+c2，:a2=4,b:橢圓C的方程為+=1.（2）設(shè)直線AD的方程為：y=k(x-2)(k產(chǎn)0)，令x=0得y=-2k，即E(0,-2k)，聯(lián)立3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0，聯(lián)立所以16k216k2-12所以22，若在x軸上存在定點(diǎn)Q(m,0)，對(duì)于任意的k(k豐0)都有OP」EQ，3解得m=，2所以存在定點(diǎn)Q,0.(1)求橢圓C的方程；(2)已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,2)，(-1,0)，若過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B，求出直線l的所有方程.【詳解】（1）解：因?yàn)镻F1」F1F2，所以橢圓C的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)是(-,0)，2-b=2,2(a22x23所以橢圓x23（2）若直線l與x軸垂直，則直線l與橢圓C的交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別是(0,-1)，(0,1)，以MN為直徑的圓顯然過(guò)點(diǎn)B，此時(shí)直線l的方程是x=0；若直線l與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程是y=kx+2，與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y并整理，得(1+3k2)x2+12kx+9=0.x12x1x22因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B(一1,0)，y22222+15k27.6所以直線l與x軸不垂直時(shí)，直線l的方程是y=x+2，即7x一6y+12=0.綜上所述，當(dāng)以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線l的方程是x=0或7x一6y+12=0.52023·天津和平·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:+=1(a>b>0)的上，下焦點(diǎn)分別為F2,F1，橢圓上的任意一點(diǎn)到下焦點(diǎn)F1的最大距離為3，最小距離為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)B，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q,.=0，（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，B(x1,y1)，(3k2+4)x2+12kx=0，解得x1=，則y1=2，2因?yàn)榻?jīng)POA=經(jīng)PAO，則P為OA的垂直平分線與l的交點(diǎn)，又直線PQ」l，所以直線PQ的方程為y-1=-x+，令y=0，解得x=k-，(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為k(k子0)的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使AF.BT=BF.AT恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.(2)存在；點(diǎn)T(4,0)【詳解】（1）解：由橢圓C的焦距為2，故c=1，則b2=a2-1，所以橢圓C的方程為所以橢圓C的方程為1（2）解：根據(jù)題意，直線l的斜率顯然不為零，令（2）解：根據(jù)題意，直線l的斜率顯然不為零，令由橢圓右焦點(diǎn)F(1,0)，故可設(shè)直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組2-42-9-6my1+y2=,y1y2=-9-6my1+y2=,y1y2=ATBTAFBFAFBT=BFAT，可得設(shè)存在點(diǎn)T，設(shè)T點(diǎn)坐標(biāo)為(t,0ATBTAFBFAFBT=BFAT，可得ATBTAFBF又因?yàn)镾‘TFAFTATsinATBTAFBF又因?yàn)镾 12FTBT‘S 12FTBT‘TFB y2 y2+則2x-t2所以y1(my2+1-t)+y2(my1+1-t)=0，整理得2my1y2+(1-t)(y1+y2)=-93m23m2-93m23m2m3m2-6m3m2解得t=4，符合題意，即存在點(diǎn)T(4,0)滿足題意.()()