平面力系的合成與平衡-平面力系的平衡（建筑力學）

平面力系的合成與平衡二、幾種特殊平面力系的平衡方程平面匯交力系、平面平行力系和平面力偶系可以看作平面力系的特殊情況。它們的平衡方程均可由式（2-7）導(dǎo)出。(一）平面匯交力系若取匯交點為矩心，則式（2-7）中的力矩式方程自動滿足，故其平衡方程為∑Fx=0∑Fy=0由于只有兩個方程，所以最多可以求解兩個未知量。(2-10)（二）平面平行力系對于如圖2-15所示的平面平行力F1,F2,…,Fn，取OX軸與各力垂直，則式(2-7)中∑Ｆｘ＝０恒滿足，于是獨立的平衡方程就只有兩個，即:∑Fy=0∑mＯ(F)=0(2-11)

當荷載連續(xù)地作用在整個構(gòu)件或構(gòu)件的一部分上時，稱為分布荷載，如水壓力、土壓力和構(gòu)件的自重等。如果荷載是分布在一個狹長范圍內(nèi)，則可以把它簡化為沿狹長面的中心線分布的荷載，稱為線荷載。例如，梁的自重就可以簡化為沿梁的軸線分布的線荷載。當各點線荷載的大小都相同時，稱為均布線荷載;當線荷載各點大小不相同時，稱為非均布線荷載。各點荷載的大小用荷載集度q表示，某點的荷載集度表示線荷載在該點的密集程度。其常用單位為N／m或kN／m?？梢宰C明：按任一平面曲線分布的線荷載，其合力的大小等于分布荷載圖的面積，作用線通過荷載圖形的形心，合力的指向與分布力的指向相同?！纠?-6】如圖2-16(a)所示水平梁受荷載F=20kN、q=10kN／m作用，梁的自重不計，試求A、B處的支座反力。解：(1)選取研究對象。取梁AB為研究對象。(2)畫受力圖。如圖2-16（b）所示。(3)列平衡方程并求解。建立坐標系，如圖2-16(b)所示，由∑mA(F)=0FB×4-F×1-q×2×3=0得FB=q×3／2＋F／4=10×1.5+20／4=20（kN）(↑)由∑Fy=0FA+FB-F－q×2=0得FA=q×2+F-FB=10×2+20-20=20（kN）(↑)（三）平面力偶系由平面力偶系的合成結(jié)果只有一個合力偶可知，若力偶系平衡，其合力偶矩必等于零；反之，若合力偶矩等于零，則原力偶系必定平衡。平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零，即:∑m＝m1＋m2＋…＋mn＝0（2-12）【例2-8】如圖2-18（a）所示，梁AB上作用有兩個力偶，它們的力偶矩分別為m1=15kN·m，m2=24kN·m，l=6m。若梁重不計，試求支座A、B的約束反力。解：由支座B的性質(zhì)知，F(xiàn)B的作用線通過鉸心B且與支承面垂直。支座A的反力FA作用線通過鉸心A但方位不能確定。梁上只有兩個外力偶的作用，而力偶只能與力偶平衡，因此FA與FB必組成一個力偶。因而，F(xiàn)A的作用線必與FB的作用線平行，并且大小相等、方向相反。梁AB的受力圖如圖2-18(b)所示，圖中FA與FB的指向是假設(shè)的。由平衡方程∑m=0m1－m2＋FB·l=0得FB＝(m2－m1)／l＝1.5kN(↑)所以FA＝1.5kN(↓)平面力系的合成與平衡

平面一般力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零,即FＲ′＝０ｍＯ＝０由于于是平面一般力系的平衡方程為:平面一般力系的平衡(2-7)平面力系的合成與平衡

式（2-7）為平面一般力系平衡方程的基本形式。它表明：平面一般力系平衡的必要與充分條件是：力系所有各力在兩個任選的坐標軸上投影的代數(shù)和等于零，以及力系的各力對其作用平面內(nèi)任一點力矩的代數(shù)和也等于零。平面力系的平衡方程除式（2-7）的基本形式外，還有二力矩式方程：(2-8)

附加條件：A、B連線不能垂直于投影軸。否則，式（2-8）就只是平面任意力系平衡的必要條件，而不是充分條件。

若將式（2-7）中的兩個投影方程都用力矩式方程代替，則可得三力矩式平衡方程，即:附加條件：A、B、C三點不共線。否則，式(2-9)只是平面任意力系平衡的必要條件，而不是充分條件。上述三組平衡方程中，投影軸和矩心都是可以任意選取的，所以可寫出無數(shù)個平衡方程，但只要滿足其中一組，其余方程就都自動滿足，故獨立的平衡方程只有三個，最多可求解三個未知量。(2-9)【例2-4】梁AB上受力如圖2-13所示，已知荷載集度q=100N/m，力偶矩m=500N·m。求活動鉸支D和固定鉸支A的反力。解:（1）取梁AB為研究對象，其受力如圖2-13（b）所示。（2）列平衡方程，求解得：∑Fx=0,FAx=0;∑Fy=0,FAy-qLAB+FD=0;∑mA(F)=0,-qLAB