靜定結(jié)構(gòu)的位移計算-圖乘法（建筑力學(xué)）

靜定結(jié)構(gòu)的位移計算一、圖乘法公式推導(dǎo)利用式（11-3）計算梁和剛架的位移時，先要逐桿建立ＭＦ、方程，再分別積分。當(dāng)結(jié)構(gòu)的桿件較多且荷載較為復(fù)雜時，計算非常煩冗，但如果結(jié)構(gòu)中各桿件同時滿足下列三個條件：①桿軸為直線；②EI為常數(shù)（包括截面分段變化的桿件）；③、MF圖中至少有一個是直線圖形，則可利用圖乘法來代替積分運(yùn)算。設(shè)等截面直桿AB段的、MF圖如圖11-4所示。假設(shè)圖為直線圖形，ＭＦ圖為任意圖形，圖直線的傾角為α：

圖乘法靜定結(jié)構(gòu)的位移計算因為＝ｘtanα

tanα＝常數(shù)又因為ds＝dxEI＝常數(shù)所以上式中dωＦ＝MFdx，表示MF圖中dx微段的微面積；xdωＦ表示微面積dωＦ對y軸的靜矩；表示整個MF圖的面積對y軸的靜矩。若以ωＦ表示ＭＦ圖的面積，以ｘＣ表示面積ωＦ的形心Ｃ到ｙ軸的距離，則由合力矩定理得

所以，有（11-7）上式中的yＣ表示MF圖形心C處對應(yīng)于圖的縱坐標(biāo)。在滿足圖乘法的三個條件的前提下，可用代替的積分運(yùn)算，這種方法稱為圖乘法。二、圖乘法注意事項應(yīng)用圖乘法時需注意以下幾點：(1)必須符合圖乘法應(yīng)用條件。(2)yC必須取自直線圖形。若圖和MF圖均為直線圖形，也可用圖的面積乘以其形心所對應(yīng)的MF圖的縱坐標(biāo)來計算。(3)當(dāng)面積ωF與yC在桿件同一側(cè)時，圖乘結(jié)果為正號；反之為負(fù)號。靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

所以，有（11-7）上式中的yＣ表示MF圖形心C處對應(yīng)于圖的縱坐標(biāo)。在滿足圖乘法的三個條件的前提下，可用代替的積分運(yùn)算，這種方法稱為圖乘法。二、圖乘法注意事項應(yīng)用圖乘法時需注意以下幾點：(1)必須符合圖乘法應(yīng)用條件。(2)yC必須取自直線圖形。若圖和MF圖均為直線圖形，也可用圖的面積乘以其形心所對應(yīng)的MF圖的縱坐標(biāo)來計算。(3)當(dāng)面積ωF與yC在桿件同一側(cè)時，圖乘結(jié)果為正號；反之為負(fù)號。

注意：圖11-5給出了位移計算中幾種常見圖形的面積和形心的位置，以便圖乘時查用。圖11-5中頂點是指該點的切線平行于底邊的點（M圖中的極值點、剪力為零的點），圖中的拋物線是標(biāo)準(zhǔn)拋物線，它的頂點在圖形的中點或端點，頂點的切線與基線平行，即在頂點處剪力Q＝0。

在實際計算中，會遇到比圖11-5更為復(fù)雜的圖形，這時，可將復(fù)雜的圖形分解成幾個簡單的圖形，然后分別將簡單的圖形圖乘后再疊加。應(yīng)當(dāng)指出，圖乘法同樣適用于剪力和軸力兩項積分，即【例11-2】試求如圖11-6所示外伸梁C點的豎向位移ΔCｙ。已知EI為常數(shù)。解：在結(jié)點C加單位豎向力，分別作出ＭＦ圖和ＭＫ圖，如圖11-6（ｂ)、（ｃ）所示。由圖乘法，得ΔＣｙ＝∑ωＦｙＣ/ＥＩ＝１/ＥＩ（ω１ｙ１＋ω２ｙ２＋ω３ｙ３）＝１/ＥＩ[(１/３×ｑl２/８×l/２)×３l/