截面的幾何性質(zhì)-組合截面的慣性矩（建筑力學(xué)）

截面的幾何性質(zhì)一、慣性矩的平行移軸公式由上任務(wù)已知，同一截面圖形對不同坐標軸的慣性矩一般是不同的。但在坐標軸滿足一定條件時，圖形對它們的慣性矩之間存在著一定的關(guān)系。下面來討論這種關(guān)系。

組合截面的慣性矩截面的幾何性質(zhì)

任意平面圖形如圖5-8所示。ｚ、ｙ為一對正交的形心軸，ｚ1、ｙ1為與形心軸平行的另一對正交軸，平行軸間的距離分別為a和b。已知圖形對形心軸的慣性矩Ｉｚ、Ｉｙ，現(xiàn)求圖形對ｚ1、ｙ1軸的慣性矩Ｉｚ1、Ｉｙ1。由圖5-8可知ｙ1＝ｙ＋aｚ1＝ｚ＋b根據(jù)慣性矩的定義可得因ｚ軸為形心軸，故Sｚ＝0，因此可得同理Ｉｚ1＝Ｉｚ＋a2ＡＩｙ1＝Ｉｙ＋b2Ａ（5-9）式（5-9）稱為慣性矩的平行移軸公式。公式表明：平面圖形對任一軸的慣性矩，等于圖形對平行于該軸的形心軸的慣性矩，加上圖形面積與兩軸間距離平方的乘積。在式（5-9）中，由于乘積a2Ａ、b2Ａ恒為正，因此圖形對于形心軸的慣性矩是對所有平行軸的慣性矩中最小的一個。在應(yīng)用平行移軸公式（5-9）時，要注意應(yīng)用條件，即ｙ、ｚ軸必須是通過形心的軸，且ｚ1、ｙ1軸必須分別與ｚ、ｙ軸平行?！纠?-5】三角形截面如圖5-9所示。圖中ｚ、ｚ1、ｚ2三軸互相平行，且ｚ軸為形心軸。已知Ｉｚ1＝bh3/12，求截面對ｚ2軸的慣性矩。解：由平行移軸公式（5-9）可得Ｉｚ1＝Ｉｚ＋（h/3）2·ＡＩｚ2＝Ｉｚ＋（2h/3）2·Ａ由以上兩式得Ｉｚ2＝Ｉｚ1＋［（2h/3）2－（h/3）2］·Ａ＝bh3/12＋h2/3·bh/2＝1/4·bh3

截面的幾何性質(zhì)三、形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念任意截面圖形如圖5-13所示，通過圖形內(nèi)任一點O，可以作出無窮多對正交坐標軸，一般情況下，圖形對過O點的不同正交坐標軸的慣性積不同，但是在通過任意點O的所有正交坐標軸中，總可以找到一對特殊的正交坐標軸z0、y0,圖形對該正交坐標軸的慣性積等于零。這對正交坐標軸z0、y0稱為圖形過O點的主慣性軸，簡稱主軸。截面對主軸的慣性矩稱為主慣性矩。過圖形上任一點都可得到一對主軸，通過截面圖形形心的主慣性軸，稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。在對構(gòu)件進行強度、剛度和穩(wěn)定計算中，常常需要確定形心主軸和計算形心主慣性矩。因此，確定形心主軸的位置是十分重要的。由于圖形對包括其對

稱軸在內(nèi)的一對正交坐標軸的慣性積等于零，所以對于圖5-14所示具有對稱軸的截面圖形，可根據(jù)圖形具有對稱軸的情況，觀察確定形心主軸的位置：（1）如果圖形有一根對稱軸，則此軸必定是形心主軸，而另一根形心主軸通過形心，并與對稱軸垂直（見圖5-14（b）、（d））。（2）如果圖形有兩根對稱軸，則該兩軸都為形心主軸（見圖5-14（a）、（ｃ））。（3）如果圖形具有三根或更多根對稱軸，可以證明，過圖形形心的任何軸都是形心主軸，且圖形對其任一形心主軸的慣性矩都相等（見圖5-14（ｅ）、（ｆ））。

截面的幾何性質(zhì)二、組合截面慣性矩計算根據(jù)慣性矩的定義可知，組合圖形對某一軸的慣性矩，等于其各組成部分簡單圖形對該軸慣性矩之和，即Ｉｚ＝∑ＩｚiＩｙ＝∑Ｉｙi在計算組合圖形對ｚ、ｙ軸的慣性矩時，應(yīng)先將組合圖形分成若干個簡單圖形，并計算出每一簡單圖形對平行于ｙ、ｚ軸的自身形心軸的慣性矩，然后利用平行移軸公式（5-9）計算出各簡單圖形對ｙ、ｚ軸的慣性矩，最后利用式（5-10）求總和。（5-10）【例5-6】試計算如圖5-10所示T形截面對形心軸ｚ、ｙ的慣性矩。圖中尺寸單位為m。解：（1）確定形心位置。由于ｙ軸為截面的對稱軸，形心必在ｙ軸上，故ｚｃ＝0。為確定ｙｃ，選參考坐標系yOｚ1。將T形分割為兩個矩形，它們的面積和形心坐標分別為Ａ1＝0.5×0.12＝0.06（m2）ｙ1＝0.58＋0.06＝0.64（m）Ａ2＝0.25×0.58＝0.145（m2）ｙ2＝0.582＝0.29（m）由式（4-9）可得ｙｃ＝∑Ａiｙi/Ａ＝(Ａ1ｙ1＋Ａ2ｙ2)/(Ａ1＋Ａ2)＝(0.06×0.64＋0.145×0.29)/(0.06＋0.145)＝0.392（m）（2）計算截面對形心軸的慣性矩。整個截面對ｙ、ｚ軸的慣性矩應(yīng)分別等于組成它的兩個矩形對ｙ、ｚ軸慣性矩之和。而兩矩形對ｚ軸的慣性矩應(yīng)根據(jù)平行移軸公式計算