結構的內力、位移及影響線計算-影響線（建筑力學）

20.4間接荷載作用下的影響線20.4間接荷載作用下的影響線在前幾節(jié)的討論中,我們都假定荷載直接作用在結構上，但在實際工程中,不少結構是通過結點間接地承受荷載的作用的。例如在圖(a)所示的橋面支承體系中,橋面荷載通過縱梁下的橫梁傳遞到主梁。縱梁是一系列簡支梁,橫梁是縱梁的支座,而它們本身又是由主梁AB支承的。20.4間接荷載作用下的影響線對主梁而言，橫梁相當于結點。不管縱梁上的荷載如何變化，主梁所受的荷載的位置（結點）是不變的。在房屋結構中，作用于樓面上的荷載通過樓板下的次梁傳遞給主梁，也屬于這種情況。主梁所受的這種荷載稱為間接荷載，或結點荷載。下面根據(jù)機動法的原理，以主梁上面F截面的內力為例，研究間接荷載作用下的影響線的作法。20.4間接荷載作用下的影響線為了清楚地表示機構位移的幾何關系,我們將圖(a)所示的結構體系用圖(b)的計算簡圖來代替。先看MF的影響線。將主梁在截面處截斷后加上一個鉸,使所得機構在MF的方向上發(fā)生單位虛位移,如圖(b)中的虛線所示。20.4間接荷載作用下的影響線由機動法的原理可知,如果荷載直接作用于主梁,則MF的影響線（直接荷載）就是以AB為基線的折線AF

B；而現(xiàn)在荷載作用于縱梁，所以MF的影響線（結點荷載）是以ab為基線的折線ac

d

e

b。20.4間接荷載作用下的影響線由圖示幾何關系可知，間接荷載作用下的影響線有以下兩個特點：（1）間接荷載作用下的影響線在相鄰結點之間為直線。（2）間接荷載作用下的影響線和直接荷載作用下的影響線在結點處的縱標相等。20.4間接荷載作用下的影響線根據(jù)上述兩個特點，可按以下方法作間接荷載作用下的影響線：（l）作直接荷載作用下的影響線。（2）將各結點投影到所得的影響線上，再在相鄰的投影點之間連以直線，就得到間接荷載作用下的影響線。上述第(2)步可以看成是對直接荷載作用下的影響線的一種“修飾”：如果在相鄰結點之間影響線不是直線，就將它“修飾”成直線。20.4間接荷載作用下的影響線按照以上方法，作結點荷載作用下MF的影響線，如圖(c)所示。其中虛線代表“修飾”后被取代的部分。同理可作結點荷載作用下FSF的影響線，如圖(d)所示。20.4間接荷載作用下的影響線由圖(d)可以看出，無論F在結點D和E之間的什么位置，F(xiàn)SF的影響線都是相同的。兩個相鄰結點之間的梁段稱為一個節(jié)間。在間接荷載的情況下，同一節(jié)間各個截面的剪力相同，稱為節(jié)間剪力。因此FSF也可以用FSDE表示，F(xiàn)SF的影響線就是FSDE的影響線。20.4間接荷載作用下的影響線20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖一、簡支梁的絕對最大彎矩1．簡支梁的絕對最大彎矩的概念

在給定的移動荷載作用下，簡支梁每個截面的彎矩都會有一個最大值。這些最大值是截面位置的函數(shù)，將每個截面彎矩的最大值再進行比較，其中的最大值(“即最大值中的最大值”)稱為簡支梁的絕對最大彎矩。絕對最大彎矩就是梁在給定移動荷載下所可能發(fā)生的最大彎矩，它對簡支梁的設計是十分重要的。20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖2．簡支梁的絕對最大彎矩的計算

從簡支梁的絕對最大彎矩的概念可知，簡支梁的絕對最大彎矩是簡支梁每個截面的彎矩最大值中的某一個，因此，該值首先必須是某截面的彎矩最大值。根據(jù)上節(jié)的結論，不難判斷，當移動荷載是一個集中力時，必須將該荷載移動到簡支梁的中點，使簡支梁產(chǎn)生

當移動荷載是分布長度不定、可在結構上任意布置的均布荷載時，則當將均布荷載布滿簡支梁時，使簡支梁產(chǎn)生

如果移動荷載是一組大小和間距都不變的平行集中力，則絕對最大彎矩必然發(fā)生在某個集中力作用下的截面。問題是這個集中力是哪一個？將該力移動到什么位置會產(chǎn)生簡支梁的絕對最大彎矩？通過大量分析計算表明，簡支梁的絕對最大彎矩總是發(fā)生于梁的中點附近，因此只有那些在梁的中點引起最大彎矩的荷載，在其作用下的截面才會產(chǎn)生絕對最大彎矩。20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖如圖所示，設移動荷載為一組大小和間距都不變的平行集中力，力系中的某個力FK能使梁的中點引起最大彎矩。求出力系的合力FR，F(xiàn)R距離FK為a，移動荷載使FK距離支座A為x，由平衡方程∑MB=0，得支座A處的反力為：FK作用點處的彎矩為：式中∑M左為

FK以左的梁上荷載對FK作用點之矩的代數(shù)和。由于荷載間距保持不變，故∑M左是與x無關的常數(shù)。為求M的極值，可令

（20—6）20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖上式表明，當所確定的臨界荷載FK與梁上荷載的合力FR對稱于梁跨中點的位置時，F(xiàn)K作用截面上的彎矩達到最大值。最大值為

（20—7）

對每個能使梁中點產(chǎn)生最大彎矩移動集中荷載，都按以上的方法進行考察，即先求出梁上各力的合力FR，再計算出合力FR與所考察的力FK之間的距離a，由式(20—7)計算相應的Mmax

，從中選出最大的值即為絕對最大彎矩。20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖因此，計算簡支梁的絕對最大彎矩可按如下的步驟進行：（1）用上一節(jié)所述臨界荷載的判定方法，求出使梁跨中截面產(chǎn)生最大彎矩的臨界荷載FK。（2）使FK與梁上全部荷載的合力FR對稱于梁的中點布置。（3）計算該荷載位置時FK作用截面上的彎矩，即為絕對最大彎矩。

還應當注意，F(xiàn)R是梁上實有荷載的合力。在安排FR與FK的位置對荷載進移動時，可能會有荷載離開梁，此時需要重新計算合力FR的數(shù)值和位置。而移動荷載的合力FR作用線的位置，可根據(jù)合力矩定理來確定。例20-4簡支梁受吊車荷載作用如圖(a)所示，試求其絕對最大彎矩。20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖解：（1）判斷使梁跨中截面

C上產(chǎn)生最大彎矩的臨界荷載。按臨界荷載判別式（20-4），試算輪2上F=30kN的荷載，有20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖（2）求移動荷載的合力及其作用位置

FR

=30+30+20+10+10=100kN設合力FR距臨界荷載FK（即F2）之距離為a，根據(jù)合力矩定理，將各力對輪2壓力F2作用點取矩，可得：

－FR·a＝－20×2－10×４－10×6＋30×2＝－80kN

m∴

a=0.8m合力FR在臨界荷載FK（即F2）的右側，如圖（b）。（3）將荷載移動到圖（b）所示位置，使臨界荷載FK（即F2）與合力FR對稱地放置在梁中點的兩側。此時輪2作用力F2離支座A的距離為20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖絕對最大彎矩發(fā)生在輪2作用下的截面上。根據(jù)公式(20-7)，絕對最大彎矩為20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖二、簡支梁的內力包絡圖1．簡支梁的內力包絡圖的概念

在設計承受移動荷載的結構時，必須求出每一截面上內力的最大值（最大正值和最大負值）,連接各截面上內力最大值的曲線稱為內力包絡圖，可以分為彎矩包絡圖和剪力包絡圖。內力包絡圖反映了各個截面上內力的上下極限，是結構設計中重要的資料，在吊車梁、樓蓋的連續(xù)梁和橋梁的設計中都要用到。20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖2．簡支梁的內力包絡圖的求作

在某些較簡單的情況下，可以求得量值Smax(x)和Smin(x)的數(shù)學表達式，因而不難作出

S

的包絡圖。如圖(a)所示，如果梁的自重恒荷載不計，活荷載為單個移動集中力F時，不難得出簡支梁與左支座距離為

x

的截面C，當F作用于C點時，得最大彎矩為

，而最大剪力為

；當F作用于支座結點時，最小彎矩為Mmin=0；當F作用于C點左側時，最小剪力為

。因此梁的彎矩包絡圖為一條直線（等于0）和一條二次拋物線，剪力包絡圖為兩條平行直線，如圖(b)、(c)所示。如圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖

但是在大多數(shù)情況下，要求得

Smax(x)和

Smin(x)的數(shù)學表達式是比較困難的，通常的做法是將梁按跨度等分為若干段，對每一個等分點求出量值

S

的最大值和最小值，再用描點法用光滑的曲線得到量值

S的包絡圖。例20-5簡支梁受移動的吊車荷載作用如圖(a)所示，已知F1=

F2=

F3=

F4=82kN，作其內力包絡圖。解：先作彎矩包絡圖（1）將梁按跨度分成十等分，每等分的長度為1.2m；（2）依次繪出這些分點截面上的彎矩影響線并確定相應的最不利荷載位置，利用影響線求出各自的最大彎矩（過程略）；（3）按照上節(jié)的內容介紹，求出梁的絕對最大彎矩（臨界荷載F2）FR

=82×4=328kN，a=0.75m，20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖（4）將上面各等分點的最大彎矩以及絕對最大彎矩都用豎標表示，并連成光滑曲線，就得到該梁的彎矩包絡圖，如圖(b)所示。20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖

其次作剪力包絡圖，仍將梁按跨度分成10等分，依次繪出這些等分點截面上的剪力影響線并確定相應的最不利荷載位置，利用影響線求出各自的最大正剪力和最大負剪力（過程略）。將它們都用豎標表示，并連成光滑曲線，就得到該梁的剪力包絡圖，如圖(c)所示。20.6簡支梁的絕對最大彎矩與內力包絡圖

在工程上，考慮到剪力為次要內力，所以其包絡圖可以近似畫出，即只求出兩個端截面的最大正剪力與最大負剪力，直接用直線相連，得到近似剪力包絡圖，如圖（d）所示。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖一、連續(xù)梁的影響線

前面各節(jié)在靜定結構的范圍內介紹了影響線的概念、作法及其應用，本節(jié)簡單討論連續(xù)梁的影響線和內力包絡圖的作法問題。連續(xù)梁屬于超靜定結構，其內力或反力的影響線與靜定結構的影響線相比有明顯的不同，靜定結構的影響線一般為直線或折線，而連續(xù)梁的影響線一般為曲線。因此，要定量地作出連續(xù)梁的影響線是比較困難的，但有時我們并不需要準確地知道連續(xù)梁影響線各點的縱標，而只需要定性地掌握影響線的大致形狀，用來確定最不利荷載位置，所以不必求出影響線豎標的數(shù)值。因此，對于連續(xù)梁的影響線，通常采用機動法繪制影響線的輪廓。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖

以圖(a)所示的連續(xù)梁為例。如果要作反力FRB的影響線，首先撤除與FRB相應的約束，得到圖(b)所示的超靜定次數(shù)降低一次的梁；其次，使該梁在FRB的正方向上發(fā)生單位虛位移。

分別設圖(a)和圖(b)分別為“狀態(tài)1”和“狀態(tài)2”，則根據(jù)功的互等定理，狀態(tài)l的荷載和反力在狀態(tài)2的相應虛位移上所做的外力虛功，等于狀態(tài)2的荷載和反力在狀態(tài)1的相應虛位移上所做的外力虛功，所以有：－1×y+FBy×1=0，即：FBy=y。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖其中

y

是狀態(tài)2中與單位荷載相應的位移。當單位荷載F=1在梁上移動時，F(xiàn)By和y都是荷載位置

x

的函數(shù)，它們的圖形分別是FBy的影響線和圖（b）所示的變形曲線，所以所得的梁的變形曲線就是FRB的影響線。（FBy=y）20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖【注】：連續(xù)梁是超靜定結構，撤除一個多余約束后只是將梁的超靜定次數(shù)降低了一次，但并沒有變?yōu)闄C構，所以上述方法稱為“機動法”并不妥當，可以稱為“撓曲線類比法”。連續(xù)梁內力（彎矩和剪力）的影響線也可以用撓曲線類比法來作，只要將反力與位移互等定理中“反力”演變?yōu)椤凹s束力”，即可得出相應的結論。因此，同理可以得到連續(xù)梁的其他影響線。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖如圖所示20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖二、連續(xù)梁的影響線的應用

作出了連續(xù)梁的影響線，就可以根據(jù)影響線的正負確定活荷載的最不利布置情況，從而計算連續(xù)梁在活載作用下需求量值的最大正值與最大負值。

分析上面繪制的連續(xù)梁的影響線，連續(xù)梁最不利活載的布置規(guī)律如下：20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖（1）求某支座反力時（圖b），應在該支座相鄰兩跨布滿活載，其余每隔一跨布滿活載。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖（2）求某跨跨中截面上的最大正彎矩時（圖b），應在該跨布滿活載，其余每隔一跨布滿活載。（3）求某支座截面上的最大負彎矩時（圖a），應在該支座相鄰兩跨布滿活載，其余每隔一跨布滿活載。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖（4）求某支座截面上的最大剪力時，活載布置與求該截面上的最大負彎矩時相同。

總之，在量值影響線的正值部分布滿活載，可使該量值得到最大正值；在量值影響線的負值部分布滿活載，可使該量值得到最大負值。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖三、連續(xù)梁的內力包絡圖

連續(xù)梁的內力包絡圖的概念與前面討論過的簡支梁的內力包絡圖相同：內力包絡圖上任一點的縱標表示在給定荷載（包括恒荷載和活荷載）作用下該截面可能發(fā)生的內力的最大值或最小值。以如圖（a）所示受均布恒載及均布活載作用的連續(xù)梁（三跨等截面連續(xù)梁，各跨跨度均為6m，梁上承受的恒載為q＝20kN/m，均布活載為p＝40kN/m）說明如何求作。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖1．彎矩包絡圖

當連續(xù)梁受均布活載作用時，各截面上彎矩的最不利荷載位置是在若干跨內布滿荷載。若對于連續(xù)梁的每一跨單獨布滿活載的情況逐一繪出其彎矩圖，然后就任一截面，將這些彎矩圖中的對應的所有正彎矩值相加，則可得在活載作用下該截面上的最大正彎矩值；同樣，將對應的所有的負彎矩值相加，則可得在活載作用下該截面上的最大負彎矩值。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖

因此，對于均布活載作用下的連續(xù)梁，繪制其彎矩包絡圖的步驟如下：（1）繪出恒載作用下的彎矩圖，如圖（b）所示。（2）依次按每一跨上單獨布滿活載的情況，逐一繪出其彎矩圖，如圖（c、d、e）所示。（3）將各跨分為若干等分，對每一分點處的截面，將恒載彎矩圖中各截面的豎標值與所有各個活載彎矩圖中對應的正（負）豎標值疊加，便得到各截面的最大（?。澗刂?。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖如第一跨中點的最大彎矩與最小彎矩：支座2的最大彎矩與最小彎矩20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖（4）將上述各最大（?。澗刂蛋赐槐壤秘Q標表示，并以曲線相連，即得到彎矩包絡圖，如圖（f）所示。

連續(xù)梁的彎矩包絡圖有兩條曲線組成，其中一條為各截面上的最大正彎矩，另一條為各截面上的最大負彎矩。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖2．剪力包絡圖連續(xù)梁的剪力包絡圖繪制步驟與彎矩包絡圖相同，其過程為：（1）繪出恒載作用下的剪力圖，如圖（a）所示。（2）依次按每一跨上單獨布滿活載的情況，逐一繪出其剪力圖，如圖（b、c、d）所示。（3）將各跨分為若干等分，對每一分點處的截面，將恒載剪力圖中各截面的豎標值與所有各個活載剪力圖中對應的正（負）豎標值疊加，便得到各截面的最大（小）剪力值20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖如支座1左側截面上的剪力值為在支座2右側截面上的剪力值為20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖

由于在均布恒載與活載作用下剪力的最大值（包括正、負最大值）均發(fā)生在支座兩側截面上。因此，通常只將各跨兩端靠近支座處截面上的最大剪力值和最小剪力值求出，在跨中用直線相連，得到近似剪力包絡圖。

從剪力包絡圖可以看到，剪力包絡圖也應有兩條曲線組成。20.7連續(xù)梁的影響線與內力包絡圖1．影響線反映了結構中某一物理量與單位荷載位置之間的函數(shù)關系，因此它成為研究移動荷載的一個重要工具，同時也可用來計算各種固定荷載作用下結構的內力。要從影響線與內力圖的對比中理解兩者的區(qū)別，從而正確理解影響線的概念。小結2．掌握用靜力法和機動法繪制靜定梁的反力、內力的影響線。（1）靜力法是以單位移動荷載F＝１的作用位置x為變量，利用靜力平衡條件列出某量值與x之間的關系，即影響線方程，然后由影響線方程繪出該量值的影響線。（2）用機動法繪制結構某量值的影響線，只需將與該量值相對應的約束去掉，代之以該量值，并使該量值的作用點（面）沿該量值的正方向發(fā)生單位虛位移，則由此得到的虛位移圖就是該量值的影響線。要把這兩種方法結合起來，靈活運用，充分發(fā)揮它們各自的優(yōu)點。小結3．移動荷載最不利位置的確定和最大影響量的計算問題對于結構設計是十分重要的。首先要根據(jù)影響線的概念和疊加原理掌握最大影響量產(chǎn)生的條件以及確定荷載最不利位置的一般原則，其次要理解某些特殊情況（三角形影響線）下求荷載臨界位置的方法。4．內力包絡圖和簡支梁絕對最大彎矩對于梁的設計同樣是十分重要的。要著重理解它們的概念，了解作內力包絡圖和求簡支梁絕對最大彎矩的方法。小結20.1影響線的概念建筑力學移動荷載與影響線移動荷載與影響線【學習目標】1.了解移動荷載與影響線的概念；2.掌握用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線；3.理解用機動法作梁的影響線；4.掌握利用影響線求量值；5.理解移動荷載最不利荷載位置的概念；6.掌握量值在移動荷載作用下的極值的計算；7.理解簡支梁的絕對最大彎矩的概念及其計算；8.理解簡支梁的內力包絡圖的概念及其繪制；9.理解連續(xù)梁的內力包絡圖的概念及其繪制?！緦W習目標】20.1影響線的概念20.1影響線的概念一、移動荷載的概念在前面各章所討論的荷載，其大小、方向和作用點都是固定不變的，稱為固定荷載。在這種荷載作用下，結構的支座反力和內力都固定不變。但在實際工程中，許多結構還可能承受移動荷載的作用。所謂移動荷載，是指作用在結構上的荷載，其大小和方向是不變的，但是其作用位置隨時間的改變而改變。如圖所示，在橋梁上行駛的汽車（或火車和活動的人群），以及在吊車梁上行駛的吊車等，均為移動荷載。20.1影響線的概念二、由于移動荷載作用而引起的相關問題在移動荷載作用下，結構的量值（如支座反力和內力等）都將隨荷載作用位置的移動而變化。因此，必須研究這種變化規(guī)律，確定量值達到最大值時荷載的位置，并依此計算出量值的最大值，作為結構設計的依據(jù)。在工程實際中，所遇到的移動荷載通常是均布活載或一系列間距保持不變的平行集中荷載。但是在研究這些移動荷載對結構作用產(chǎn)生的影響時，不需要也不可能對所有的移動荷載進行研究。20.1影響線的概念三、如何研究移動荷載為了使研究的問題簡化，先研究一個單位集中荷載（F＝1）在結構上移動時，某一量值（某個支座反力或內力的值）的變化規(guī)律，再根據(jù)疊加原理，進一步確定在各種移動荷載作用下該量值的變化規(guī)律以及最不利的荷載位置。定義：在一個單位移動荷載作用下，表示結構某一量值（隨荷載位置的改變）變化規(guī)律的圖形，稱為該量值的影響線。下面先通過一簡支梁介紹影響線的概念。20.1影響線的概念如圖(a)所示為一簡支梁，其上作用一單位移動荷載F＝1。現(xiàn)討論支座反力FAy與FBy的變化規(guī)律。取A點為坐標原點，以x

表示荷載作用點的位置，y向坐標表示相應反力FAy或FBy的值，反力規(guī)定向上為正。基礎層教學教學20.1影響線的概念根據(jù)平衡方程∑MB＝0，得：（0≤x≤l）根據(jù)平衡方程∑MA＝0，得：（0≤x≤l）上式表示量值FAy(FBy)與荷載位置參數(shù)x之間的函數(shù)關系，我們稱之為量值FAy(FBy)的影響線方程。據(jù)此繪出的圖形就是量值FAy(FBy)的影響線。顯然,量值FAy(FBy)的影響線是一條直線。令x＝0，得FAy＝1,FBy＝0；再令x＝l，得FAy＝0,FBy＝1。由此定出兩點,再連成直線,即得支座反力FAy與FBy的影響線如圖(b)、（c）所示。影響線形象地表明了量值FAy與FBy隨荷載F＝1的移動而變化的規(guī)律。20.1影響線的概念四、影響線的意義：作出了FAy與FBy的影響線，就可以利用影響線求得具體荷載作用在任意位置時支座反力FAy與FBy的數(shù)值。如圖（a）所示，若梁受汽車荷載作用,在某一時刻汽車輪壓力F1和F2的作用位置如圖，則根據(jù)疊加原理，支座反力FAy為：

FAy=F1

y1+F2

y220.1影響線的概念式中：y1、y2——荷載F1和F2所對應的量值FAy影響線的豎標，在影響線圖中，是無量綱的量。20.5影響線的應用20.5影響線的應用

繪制影響線的目的是利用它求出結構在移動荷載作用下的最大反力和最大內力，為結構設計提供依據(jù)。為此，首先需要解決兩方面的問題：一是當已知實際荷載作用在結構上時，如何利用某量值的影響線計算該量值的數(shù)值；二是如何利用量值影響線確定實際移動荷載對該量值的最不利荷載位置。下面分別加以討論。一、計算實際荷載作用下量值的具體值

繪制影響線時，考慮的是單位移動荷載。根據(jù)疊加原理，可利用影響線求實際荷載作用下產(chǎn)生的總影響量。20.5影響線的應用1．集中力作用下量值的計算

如圖（a）所示，設有一組集中荷載F1、F2、F3作用于簡支梁上，剪力FSC影響線在各荷載作用點處對應的豎標分別為y1、y2、y3，如圖(b)所示。顯然，根據(jù)疊加原理，在這組荷載作用下的FSC的數(shù)值為FSC＝F1y1＋F2y2＋F3y320.5影響線的應用

一般地，若有一組集中荷載F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n同時作用于結構上，而結構的某量值

S的影響線在各荷載作用點對應處的豎標分別為y1，y2，…，yn，則根據(jù)疊加原理有FSC＝F1y1＋F2y2＋……+Fnyn＝∑Fiyi（12—1）20.5影響線的應用20.5影響線的應用2．均布荷載作用下量值的計算

如圖(a)所示，若簡支梁AB在梁上的DE段承受均布荷載

q

的作用，則可將微段

dx上的荷載

qdx看作集中荷載，它所引起的

S值為yqdx，如圖(b)所示。根據(jù)疊加原理，在AB段均布荷載作用下的引起的量值

S

值為（12—2）式中：

q——與承受均布荷載段DE對應的影響線圖形的面積。20.5影響線的應用

上式（12—2）表示均布荷載引起的量值

S

值等于荷載集度

q

乘以受載段的影響線面積

q

。應用此式時，規(guī)定

q

向下為正，

q的正負號與影響線的相同。

顯然，當結構上有若干集中力與均布荷載同時作用時，其影響量為：FSC＝∑Fiyi+∑qiωi（12—3）20.5影響線的應用

例20-1利用影響線求圖（a）所示簡支梁在圖示荷載作用下截面C上剪力FSC的數(shù)值。解：（1）作剪力FSC影響線，并按照幾何關系求出影響線上與荷載對應的相應的豎標值，如右圖（b）所示。設影響線正號部分的面積為ω1，負號部分的面積為ω2

。20.5影響線的應用如圖（2）根據(jù)公式計算截面C上剪力FSCFSC＝Fy+q（

1＋

2）

20.5影響線的應用

思考：本例若要求集中力作用下的D左截面（或右截面）的剪力，又該如何求？其中20kN的集中力，其對應影響線豎標應取哪個值？

應注意，若求D左截面的剪力，此時集中力F=20kN相對于所求的截面（

D左截面），處于其右邊，所以對應于集中力F=20kN的影響線豎標應取右邊的影響線豎標值（+1/2）。20.5影響線的應用二、量值的最不利荷載位置的確定與量值的極大值計算

對于確定的結構，在確定的移動荷載作用下，當荷載在結構上移動到某一位置時，結構中的某一物理量

S

取得最大值，則對于S而言，荷載的這一位置稱為最不利位置，相應的

S值就是該移動荷載作用下S的最大影響量。應當指出，當S的影響縱標可取負值時，S在給定移動荷載作用下的“最大負值”即絕對值最大的負值也是應該關心的，荷載相應于S的最大負影響量的位置也可以是一個最不利位置。

下面按移動荷載的形式分別討論如何利用影響線來確定最不利荷載位置。20.5影響線的應用

1．如果移動荷載只是一個集中力，它的最不利位置顯然就是影響線縱標絕對值最大的截面（即影響線的頂點對應的截面）；2．如圖所示，如果移動荷載是分布長度不定、可在結構上任意布置的均布荷載（這種荷載有時也稱為可移荷載），則它的最不利位置就是在影響縱標為正的部分布滿荷載或在影響縱標為負的部分布滿荷載（如右圖c、d），這兩種最不利位置分別對應于最大正影響量和最大負影響量。

3．如圖（a）所示，若移動荷載是長度固定的均布移動荷載，則在三角形影響線的情況下，根據(jù)式（20—2），最不利荷載位置是使均布荷載對應的面積

q為最大。如圖（b）所示，可以證明，只有當yC=yD時，

q才能最大。因此，最不利荷載位置是使均布荷載兩端點對應的影響線豎標相等的位置。20.5影響線的應用20.5影響線的應用

4．如圖（a）所示，移動荷載為一組大小和間距都不變的平行集中力，此時應先找出荷載的臨界位置，再從若干個臨界位置中確定最不利荷載位置。

所謂臨界位置，就是當量值

S

的影響量取得某一極值時移動荷載的作用位置。對于移動荷載為一組大小和間距都不變的平行集中力的情況，臨界位置一般是數(shù)值較大且其左右荷載排列緊密的荷載位于影響線最大豎標處的附近。20.5影響線的應用

當所求量值的影響線圖形為三角形時，研究表明，只有當移動的一組集中力中的某一個力FK移動到影響線的峰值（頂點）位置時，才可能使該量值達到極大值，該荷載FK稱為臨界荷載。FK應滿足以下條件：（20—4）式中：∑F左

、∑F右臨界荷

載FK以左、以右的荷載之和。

公式（20—4）的意義：如果一組移動荷載中的某一個荷載，當其向左移動計入左邊時，左邊的平均荷載比右邊大；當其向右移動計入右邊時，右邊的平均荷載比左邊大，則該荷載即為臨界荷載。顯然，公式（20—4）兩個不等式中的等號不會同時成立。

注：1.有時滿足式（20—4）的臨界荷載可能不止一個，此時必須將相應的極值分別算出，進行比較。產(chǎn)生最大值的那個荷載位置才是最不利荷載位置，相應的極值即為所求量值的最大值。2.要注意在荷載移動過程中是否發(fā)生有荷載從結構上被移動下來，若有，則用式（20—4）進行判別臨界荷載時需要重新計算：∑F左

或∑F右。20.5影響線的應用

所以，對移動荷載為一組大小和間距都不變的平行集中力，其確定最不利荷載位置以及計算量值最大值的過程為：（1）初步判定臨界荷載。臨界荷載一般是數(shù)值較大且其左右排列緊密的荷載。（2）將可能的臨界荷載放置于影響線的頂點。判定此荷載是否滿足式(20—4)，若滿足，則此荷載為臨界荷載FK，荷載位置為臨界位置，若不滿足，則此荷載位置就不是臨界位置。（3）將滿足式（20—4）的每個臨界荷載分別移動到影響線峰值，相應各自求出對應量值的一個極值，然后從各個極值中選出最大值。與此相對應的荷載位置即為最不利荷載位置。20.5影響線的應用20.5影響線的應用5．如圖所示，當移動荷載中既有集中力系又有均布荷載時，則如果臨界荷載為集中力(圖a)，則容易證明，在此情況下臨界荷載的判別式仍為式(20-4)；如果荷載的臨界位置是均布荷載跨越三角形影響線的頂點(圖b)，則臨界位置的判別式是（即左邊的平均荷載等于右邊的平均荷載）：20.5影響線的應用例20-2如圖(a、b)所示，靜定梁受吊車荷載的作用。已知F1＝F2＝450kN，F(xiàn)3＝F4＝350kN，求支座B處的最大反力。20.5影響線的應用解：（1）確定臨界荷載先試F2：如圖b所示，當將F2移動到B點時，F(xiàn)4將移出梁的C端，因此對照判別式（20—4）：滿足判別式，所以F2是臨界荷載再試F3：如圖d所示，當將F3移動到B點時，

F1還未能移上梁的A端，因此對照判別式（20—4）：也滿足，所以F3也是臨界荷載。20.5影響線的應用（2）作支座反力FBy的影響線，先將F2移動到B點，如圖（b），求出影響線相應的豎標值，如圖（c），根據(jù)公式（20—1）得：

再將F3移動到B點，如圖（d），求出影響線相應的豎標值，根如圖（c），據(jù)公式（20—1）得：（3）比較兩者可知，當F2作用于B點時為最不利荷載位置，此時有FBymax＝771.55kN。20.5影響線的應用例20-3如圖(a)所示，簡支梁受列車荷載作用，其中F1=F2=F3=F4=F5=220kN，均布荷載q的分布長度為30m，q=92kN/m，試利用影響線求截面C的最大彎矩。20.5影響線的應用解：（1）確定臨界荷載先試F4：將F4移動到C點，則

說明即使將F4計入左邊，左邊的平均荷載仍小于右邊，因此F4不是臨界荷載。再試F5：將F5移動到C點，則因此F5滿足判別式，所以F5是一個臨界荷載。（2）作MC的影響線，如圖(b)所示，將F5移動到C點，則根據(jù)公式（20—3），得：本例不存在其他臨界位置，因此MC的最大值就是7973.4kN

m。20.5影響線的應用20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線

【引言】用機動法繪制靜定梁的影響線，是以剛體虛功原理為依據(jù)，將繪制支座反力或內力影響線的問題，轉化為繪制機構位移圖的幾何問題。上面介紹的用靜力法繪制影響線的方法，在理論上可以繪制任何結構的影響線。但是，當結構形式比較復雜時，用靜力法繪制就比較繁瑣。在許多過程問題中，有時只需要定性地繪制出影響線的大致輪廓而不需要求出影響線的數(shù)值，此時用機動法繪制影響線就比較簡單。此外，用機動法還可以校核用靜力法繪制出的影響線是否正確。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線一、用機動法作簡支梁的影響線下面以繪制簡支梁支座反力的影響線為例，說明機動法的原理。如圖(a)所示的簡支梁為例，為了作反力FAy的影響線，將支座A處的豎向支桿去掉，用正向的FAy代替，得到圖(b)所示的機構，這個機構在單位荷載F=1和反力FAy的作用下處于平衡狀態(tài)。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線令該機構發(fā)生圖(c)所示的虛位移，其中對應于FAy的位移為單位位移“1”，方向與FAy相同；對應于單位荷載F=1作用點的位移為y(x)，方向與荷載相反。這里將對應于單位荷載作用點的位移用y(x)表示，是因為荷載的作用點x是變化的，與單位荷載作用點對應的位移是x的函數(shù)。規(guī)定荷載以向下為正，反力以向上為正，機構位移以向上為正。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線根據(jù)虛位移原理，荷載F=1和FAy在虛位移上所做的總功為零，即FAy

×1－1

×

y(x)=0所以：

FAy

=y(x)

上式表明,圖(c)所示的機構位移圖就是FAy的影響線。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線將上一節(jié)繪制的反力影響線圖與圖(c)比較可見，兩者是完全一致的。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線若需作MC的影響線，首先將簡支梁中對應于MC的約束去掉，即將截面C處的剛性連接換成一個鉸，再用正向的一對MC代替，得到一個機構，如圖(a)；然后，使該機構在MC的正向上發(fā)生單位虛位移，即使得鉸C

兩側的截面發(fā)生微小的單位相對轉角“1”，相應的機構位移如圖(b)所示。由圖中的幾何關系可知，左右兩個支座處用虛線表示的豎標分別為a

和b

，這與上一節(jié)繪制出的MC影響線是一致的。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線用機動法作FSC的影響線，首先撤除梁中對應于FSC的約束，即將截面C處的剛性連接換成如圖所示的定向（滑動）約束（需用正向的一對FSC代替），該約束允許C點兩側的截面發(fā)生豎向相對滑動但不允許它們發(fā)生相對轉動和軸向的相對位移；然后，使所得機構在FSC的方向上發(fā)生單位虛位移，即使得鉸C的左側向下、右側向上發(fā)生微小的相對單位豎向位移“1”，相應的機構位移如圖(d)所示。由于截面C處定向約束的關系，左右兩段梁在發(fā)生機構位移后應保持平行，這上一節(jié)繪制出的FSC影響線也是一致的。因此,用機動法繪制結構某量值的影響線,只需將與該量值相對應的約束去掉,代之以正向的該量值,并使該量值的作用點（面）沿該量值的正方向發(fā)生單位虛位移,則由此得到的虛位移圖就是該量值的影響線。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線二、用機動法作如圖（a）所示外伸梁的影響線1、Fby的影響線撤除支座處的支桿，使所得機構沿Fby的正方向發(fā)生單位位移，則相應的機構位移圖就是Fby的影響線，如圖(b)。該影響線為一直線，其縱標在支座A以左為負，在支座A

以右為正，在支座

A和B處分別等于0和1

。由幾何關系可得左端C

和右端D

的縱標分別為─c/l和（l+d)/l。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線2、MC的影響線與MC相應的機構及MC的影響線（機構位移圖）見圖(c)。MC的影響線由單位相對轉角“1”的兩段直線組成，它們相交于截面C處，交點的縱標可由圖示的幾何關系求得為ab/l。由幾何關系還可求得左端C

和右端D

的縱標分別為─bc/l和ad/l

。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線3、的影響線（B支座左截面的剪力）與相應的機構及的影響線（機構位移圖）見圖(d)。該影響線由相互平行且豎距為微小的相對單位豎向位移“1”的兩段直線組成，這里要注意的是，由于支座B

左側的定向約束的作用，梁的EB段和BF段只能在B點左側發(fā)生豎向相對位移，但兩段梁必須保持相互平行；另一方面，由于支座B的約束作用，BF段只能繞B點轉動而不能在B點發(fā)生豎向位移，因此要使EB段和BF段在B點左側發(fā)生單位豎向相對位移，只能使EB段在該處發(fā)生單位豎向位移。由幾何關系還可求得左端E和右端F的縱標分別為c/l和─d/l。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線4、MD的影響線將截面D處的剛性連接換成鉸接，梁在D左邊的部分仍然是幾何不變的，右邊可以繞鉸D作轉動。MD的影響線（機構位移圖）見圖(e)。該影響線由兩段直線組成，截面D左邊的線段與梁的軸線重合，縱標為零；截面D右邊的線段與梁軸線的夾角為微小的單位“1”，右端點F的縱標為─e。

20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線5、FSD的影響線將截面D處的剛性連接換成圖(f)所示的定向約束，梁在D左邊的部分仍然是幾何不變的，右邊可以相對于左邊作豎向滑動。FSD的影響線（機構位移圖）見圖(f)。該影響線由兩段直線組成，截面D左邊的線段與梁的軸線重合，縱標為零；截面D右邊的線段與梁的軸線平行，豎距為“l(fā)”。由MD和FSD的影響線可見，伸臂梁伸臂部分內力影響線的縱標只在有關截面到自由端之間不為零，其余部分均為零。如果將截面到自由端之間的梁段看成附屬部分，其余部分看成基本部分，則上述影響線表明，當荷載在基本部分移動時，附屬部分不產(chǎn)生內力。這與前面所述多跨靜定梁的結論一致。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線三、多跨靜定梁的影響線簡介多跨靜定梁的影響線一般是由多條線段組成折線形，如果用靜力法作影響線，需要將梁分為較多的段，再用隔離體平衡法逐段求出荷載作用于該段時的影響線方程，比較麻煩。因此通常是用機動法作多跨靜定梁的影響線。如圖20-10所示，即為多跨靜定梁的一些影響線。從圖中看出：（1）各影響線均為折線；（2）彎矩影響線的量綱為[長度]，反力和剪力影響線均無量綱，因此對彎矩影響線的縱標應給出長度單位，而對反力和剪力的影響線則不必注明單位；20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線（3）圖中繪出的影響線,FGy、MF和FSF屬于基本部分的反力或內力,它們的影響線的縱標除支座截面外均不為零。其影響線可由作為基本部分的伸臂梁DH的相應影響線,再根據(jù)多跨靜定梁的幾何約束條件下簡單擴充得到。（4）FBy、MC、FSC和FRSG屬于附屬部分的反力或內力，它們的影響線的縱標除有關附屬部分外均為零。這與前面外伸梁的情況相似。（5）除了反力影響線，在支座處，各影響線的豎標都等于零。在中間鉸位置，影響線圖形都發(fā)生轉折。而且在支座處不等于零的，只有該支座的反力影響線。20.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線圖20-1020.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線圖20-1020.3用機動法繪制單跨靜定梁的影響線用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線20.2用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線20.2用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線

【引言】

繪制影響線有兩種基本方法：靜力法和機動法。本節(jié)先介紹用靜力法繪制靜定梁的支座反力和內力的影響線。靜力法是以單位移動荷載F＝1的作用位置x

為變量，利用靜力平衡條件求出某一量值與x

之間的關系，即影響線方程，然后根據(jù)影響線方程繪出該量值的影響線。20.2用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線一、簡支梁的影響線

簡支梁的影響線，有反力影響線與內力影響線。

內力影響線又分為彎矩影響線與剪力影響線。1．反力影響線簡支梁支座反力FAy與FBy的影響線已在上一節(jié)中討論過，即當將單位移動荷載（F＝1）移動到距離支座A為x

處時，根據(jù)平衡條件，可以求得：，

（0≤x≤l）上面兩式即分別是支座反力FAy與FBy的的影響線方程。20.2用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線根據(jù)影響線方程，可以分別作出支座反力FAy與FBy的的影響線如圖(b)、（c）所示。在這里，要強調，繪制梁的反力影響線時，規(guī)定把正的影響線豎標繪在基線（梁軸線）上邊，負的豎標繪在基線下邊，并在圖中標明正負號。20.2用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線2．彎矩與剪力影響線用靜力法作簡支梁AB中某一截面C的彎矩MC和剪力FSC的影響線，分兩種情況考慮：1、單位荷載作用在截面C的左邊，如圖（a）所示。2、單位荷載作用在截面C的右邊，如圖（b）

所示。20.2用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線對于第一種情況,取截面C的右邊即梁的CB段為隔離體，由平衡條件可得對于第二種情況,取截面C的左邊即梁的AC段為隔離體，可得20.2用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線根據(jù)以上求得的MC和FSC的影響線方程,分別作MC和FSC的影響線，如圖(c)、(d)。其中,從MC的影響線由相交于截面C處的兩段直線組成,交點的縱標為ab/l；FSC的影響線在截面C處有一個間斷點，它由相互平行并且豎距為1的兩段直線組成，在截面C的左側和右側，影響線的縱標分別為─a/l和b/l。在上面作梁的彎矩影響線時，規(guī)定彎矩使梁的下側受拉為正；在作梁的剪力影響線時，規(guī)定剪力以順時針為正。同樣規(guī)定把正的影響線豎標繪在基線（梁軸線）上邊，負的豎標繪在基線下邊，并在圖中標明正負號。20.2用靜力法繪制單跨靜定梁的影響線20.2用靜力法繪制單跨