有答案-直角三角形全等判定(基礎(chǔ))知識(shí)講解

直角三角形全等判定要點(diǎn)一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要點(diǎn)二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等〔可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”〕.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.要點(diǎn)詮釋：〔1〕“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.〔2〕判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.〔3〕應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、：如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求證：〔1〕AB＝CD：〔2〕AD∥BC．【思路點(diǎn)撥】先由“HL”證Rt△ABD≌Rt△CDB，再由內(nèi)錯(cuò)角相等證兩直線平行.【答案與解析】證明：〔1〕∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB〔HL〕∴AB＝CD〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等〕〔2〕由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC.【總結(jié)升華】證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.【變式】：如圖，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求證：ED⊥AC．【答案】證明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE與Rt△CBA中，∴Rt△DAE≌Rt△CBA〔HL〕∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判斷滿足以下條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：〔1〕一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；〔〕〔2〕一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等；〔〕〔3〕兩直角邊對(duì)應(yīng)相等；〔〕〔4〕一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等．〔〕【答案】〔1〕全等，“AAS”；〔2〕全等，“AAS”；〔3〕全等，“SAS”；〔4〕全等，“HL”.【解析】理解題意，畫出圖形，根據(jù)全等三角形的判定來(lái)判斷.【變式】以下說(shuō)法中，正確的畫“√”；錯(cuò)誤的畫“×”，并舉出反例畫出圖形.〔1〕一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．〔〕〔2〕有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．〔〕〔3〕有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．〔〕【答案】〔1〕√；〔2〕×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一邊上的高，AE＝DF〔3〕×.在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE為第三邊上的高，3、：如圖，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求證：AD＝BC；【答案與解析】證明：連接DC∵AD⊥AC，BC⊥BD∴∠DAC＝∠CBD＝90°在Rt△ADC與Rt△BCD中，∴Rt△ADC≌Rt△BCD〔HL〕∴AD＝BC.〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等〕【變式】，如圖，AC、BD相交于O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°.求證：OC＝OD.【答案】∵∠C＝∠D＝90°∴△ABD、△ACB為直角三角形

在Rt△ABD和Rt△BAC中

∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)

∴AD＝BC

在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC(AAS)∴OD＝OC．4、如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)置于直線上，且過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為D，E，請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^(guò)程.【答案與解析】解：全等三角形為：△ACD≌△CBE.證明：由題意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD與△CBE中，∴△ACD≌△CBE〔AAS〕.【總結(jié)升華】此題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，假設(shè)有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.【穩(wěn)固練習(xí)】一、選擇題1．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等B．斜邊相等的兩個(gè)直角三角形全等C．斜邊相等的兩個(gè)等腰直角三角形全等D．一邊長(zhǎng)相等的兩等腰直角三角形全等2．如圖，AB＝AC，AD⊥BC于D，E、F為AD上的點(diǎn)，那么圖中共有〔〕對(duì)全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是()A.斜邊相等B.一銳角對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等D.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等4.在Rt△ABC與Rt△中,∠C＝∠＝90,A＝∠,AB＝,那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()A.AC＝B.BC＝C.AC＝D.∠A＝∠5.直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成的兩個(gè)三角形的關(guān)系是〔〕A．形狀相同B．周長(zhǎng)相等C．面積相等D．全等6.在兩個(gè)直角三角形中，假設(shè)有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，那么兩個(gè)直角三角形〔〕A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空題7．如圖，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依據(jù)是“______”．8.，如圖，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，那么△ABC≌_______.9.如圖，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，那么AC＝_________.10.如圖，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，假設(shè)DE＝2，AB＝4，那么DB＝______.11．有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，即BC＝EF，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯的水平方向的長(zhǎng)度DF相等，那么∠ABC＋∠DFE＝________．12.如圖，AD是△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且BF＝AC，F(xiàn)D＝CD.那么∠BAD＝_______.三、解答題13.如圖，工人師傅要在墻壁的O處用鉆打孔，要使孔口從墻壁對(duì)面的B點(diǎn)處翻開，墻壁厚是35，B點(diǎn)與O點(diǎn)的鉛直距離AB長(zhǎng)是20，工人師傅在旁邊墻上與AO水平的線上截取OC＝35，畫CD⊥OC，使CD＝20，連接OD，然后沿著DO的方向打孔，結(jié)果鉆頭正好從B點(diǎn)處打出，這是什么道理呢？請(qǐng)你說(shuō)出理由．13.【解析】解：在Rt△AOB與Rt△COD中，∴Rt△AOB≌Rt△COD〔ASA〕∴AB＝CD＝2014.如圖，AB⊥BC于B，EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，BC＝DF.求證：AC＝EF.證明：由EF⊥AC于G，DF⊥BC于D，AC和DF相交，可得：

∠F＋∠FED＝∠C＋∠FED＝90°即∠C＝∠F〔同角或等角的余角相等〕，

在Rt△ABC與Rt△EDF中∴△ABC≌△EDF〔ASA〕，

∴AC＝EF〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕.15.如圖，AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分別是點(diǎn)E、F.求證：∠1＝∠2.證明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴△AEC、△AFB為直角三角形在Rt△AEC與Rt△AFB中∴Rt△AEC≌Rt△AFB〔HL〕∴∠EAC＝∠FAB∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C；【解析】等腰直角三角形確定了兩個(gè)銳角是45°，可由AAS定理證明全等.2.【答案】D；【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF≌△ECF；△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】注意看清對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，A對(duì)應(yīng)，B對(duì)應(yīng).5.【答案】C；【解析】等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.6.【答案】C；【解析】如果這對(duì)角不是直角，那么全等，如果這對(duì)角是直角，那么不全等.二、填空題