2022屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試高三數(shù)學(xué)模擬試題(三)理

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試摹擬試題

理科數(shù)學(xué)（三）

本試卷滿分150分，考試時(shí)間。120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)勢(shì)必自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題紙上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上，

寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

一、選擇題：本題共12小題。每小題5分。共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。惟獨(dú)一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，則下列運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)是

A.（1+i）i-|i|B,（1-i）i-i||c.（1+i）i+1—D.G-i）i+l^i

2.已知集合A=4，B=（x|ax-1=0},若B三A,則實(shí)數(shù)a的取值集合為

A.fol}B,{-1,0）C,{-1,1}D.{-1,0,1}

3.已知某科研小組的技術(shù)人員由7名男性和4名女性組成，其中3名年齡在50歲以上且均

為男性.現(xiàn)從中選出兩人完成一項(xiàng)工作，記事件A為選出的兩人均為男性，記事件B為選出

的兩人的年齡都在50歲以上，則PlB|A/的值為

1345

A.—B.—C.—D.—

7777

4.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的m=l時(shí)，輸出的m的結(jié)果為16,則判斷框中可以填

A.m<15?B.m<16?c.m>15?D.m>16?

5.已知雙曲線--1（a>0,b>0）,F,F是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A（a,0）,P為雙

a2b212

曲線上的任意一點(diǎn),若SPFA=2SPM,則該雙曲線的離心率為

12

A.「2B.2C.?3D.3

6.若a>l>b>0,-l<c<0,則下列不等式成立的是

A.2b<2-aB.logb<log(-C)c.a2<b2D.C2<loga

abb

7.已知等差數(shù)列!a!的前n項(xiàng)和為S,且a+a=io,若點(diǎn)p(a,S)在函數(shù)y=mxa的

nn2435

圖象上。則過(guò)點(diǎn)P（a,S）的切線方程為

35

A.x-y+20=0B.x+y-30=0c.10x-y-25=0D.10x+y-75=0

[x<t

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組<x+y22,其中t=2J-sinxdx，則X2+y2的最大值

x-2y+2>0°

是

20

A.5B.25C.20D.—

9

9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，題中描繪的器具的三視圖如圖

所示（單位：寸）.若在某天某地下雨天時(shí)利用該器具接的雨水的深度為6寸，則這天該地的

降雨量約為（精確到0.01寸）（注：平地降雨量等于器具中積水體積除以器具口面積.參考

公式：臺(tái)體的體積v=i/s+s+js6）,其中s,s分別表示上、下底面的面積，

3上下v上下上

h為高)

A.1.56寸B.1.66寸C.1.76寸D.1.86寸

10.如圖，在所有棱長(zhǎng)均為a的直三棱柱ABC-ABQ產(chǎn)，D,E分別為BB,A￡的中點(diǎn)，則異

面直線AD,CE所成角的余弦值為

V314

B.三D

2。5-5

11.如圖，由拋物線y2=8x與圓E：（x-21+y2=9的實(shí)線部份構(gòu)成圖形。，過(guò)點(diǎn)P（2,

0）的直線始終與圖形￡2中的拋物線部份及圓部份有交點(diǎn)，則|AB|的取值范圍為

A.[2,3]B.[3,4]C.[4,5]D.[5,6]

12.已知函數(shù)f(x)=sin(cox-Mp)(o>的圖象與X軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)分別為0,

1

0（其中0在（）的右邊），曲線f（X）上任意一點(diǎn)A（X,y）關(guān)于點(diǎn)（），（）的對(duì)稱點(diǎn)分別為

22i0012

A（x,y）,A（x,y）,且x|=幾，且當(dāng)x=-^時(shí)，有y」.記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函

111222210602

數(shù)為f,（x）,則當(dāng)3/Z以）一方（以）=1時(shí)，COS2以的值為

A.—B.-C.—D.1

432

二、填空題：本題共4小題.每小題5分.共20分.

13.在AABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，BD=2DC，若AD=入AB+ll|AC（A,LLJ仁R）,則

入+山=.

14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且a=1,a=4a,若對(duì)任意rd二N*,不等

nn153

式S+a—k之o（k仁Z）恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為.

nn

15.已知函數(shù)fG）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)X,都有

f（x）—f（2）=f（4—x）,且當(dāng)0共x<2時(shí)，f（x）=（x—2）2,則方程f（x）一嗎忸=0

的解的個(gè)數(shù)為.

16.甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行選擇題解題比賽，已知每一個(gè)選擇題選擇正確得5分，否則得

0分.其測(cè)試結(jié)果如下：甲解題正確的個(gè)數(shù)小于乙解題正確的個(gè)數(shù)，乙解題正確的個(gè)數(shù)小

于丙解題正確的個(gè)數(shù)，丙解題正確的個(gè)數(shù)小于丁解題正確的個(gè)數(shù)；且丁解題正確的個(gè)數(shù)的

2倍小于甲解題正確的個(gè)數(shù)的3倍，則這四人測(cè)試總得分的至少分?jǐn)?shù)為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或者演算步驟.第17~21題為必考題.

每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）

在△ABC中，角A,B,c所對(duì)的邊分別為a,b,c,m=（cosA+sinA,cosC）,n=（—sinC,

cosA—sinA）,m.n=-y/~2.

（1）求角B的大小；

幾，、

⑵若C=f,b=2,求。.

3SABC

18.（12分）

某科研單位在改進(jìn)某種材料配方的過(guò)程中，為了解其穩(wěn)定性，需監(jiān)控配制生產(chǎn)過(guò)程中的數(shù)據(jù)

變化，檢驗(yàn)員每天從實(shí)驗(yàn)記錄的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取10個(gè)數(shù)據(jù)，并認(rèn)為數(shù)據(jù)在正常狀態(tài)下服從

正態(tài)分布N（山，（2）

⑴假設(shè)實(shí)驗(yàn)狀態(tài)正常，記X為一天內(nèi)抽取的10個(gè)數(shù)據(jù)在(山一3(,L1I+3()外的實(shí)驗(yàn)次數(shù)，

求P(X>1)及x的數(shù)學(xué)期望.

⑵一天內(nèi)抽檢的數(shù)據(jù)中，如果浮現(xiàn)了數(shù)據(jù)在(山—3(,山+3()外的實(shí)驗(yàn)，就認(rèn)為該實(shí)驗(yàn)存

在問(wèn)題，需對(duì)當(dāng)天的實(shí)驗(yàn)配方進(jìn)行調(diào)整.

(i)試說(shuō)明上述監(jiān)控實(shí)驗(yàn)過(guò)程方法的合理性.

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的10個(gè)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)：

2.953.122.963.012.98

2.913.133.022.222.04

經(jīng)計(jì)算得X■三1X1°X=2.834,S=JJ靛；一叫I必36

,其中x.

10i

為抽取的第i次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，i=1,2,...,10.

用樣本平均數(shù)?作為山的估計(jì)值H,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為(的估計(jì)值。，利用估計(jì)值判斷

是否需對(duì)當(dāng)天的實(shí)驗(yàn)配方進(jìn)行調(diào)整(精確到0.01).

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(山,(2),則P(山一3(想Z想山+3()必0.9973,

0.9973。必0.973.

19.(12分)

如圖①，在四邊形PBCD中，PB〃CD,三PBC=45,點(diǎn)A在邊PB上，且滿足2PA=3AB,AB=2CD,

AB=J1C,0為AC的中點(diǎn).現(xiàn)將4PAD沿AD翻折，使平面PAD,平面ABCD,如圖②所示.

(1)證明：BC1P0.

9

(2)點(diǎn)E在線段BC上，則是否存在點(diǎn)E,使二面角G-P0-E的余弦值為一?若存在，求出

點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(12分)

已知橢圓C：*++'=也>b>0)-四點(diǎn)P」1,1),P(2,0),P(|(-1,|))|,P(|(h2))|中恰有

三點(diǎn)在橢圓c上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵己知?jiǎng)又本€1過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F,且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定

135

點(diǎn)Q,使得OA.QB=-一恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

64

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)=In(ax+1)+J_(a>0).

2x

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵設(shè)g(x)=x+_L若3x=[l,e],使得f(x)>g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2x00o

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1的參數(shù)方程為〈［(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)0

I_a±2

「a-2t

為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos9.

⑴寫出直線1的普通方程和圓C的參數(shù)方程；

⑵若直線1與圓C相切于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］（10分）

已知函數(shù)f（x）=|2x+1+|x_2|.

⑴當(dāng)x=［_2,3］時(shí)，求函數(shù)f（X）的值域M.

⑵若a>0,證明：|x+2&+x_」L之3.

a2

理科數(shù)學(xué)（三）

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（8分）

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lT+j"b-?IHox-hlKO.《9分）

所門款I(lǐng)kFLr）在區(qū)閭（0?+8）內(nèi)?■■■?RF（0）-0.

商7*+a--?xa■-MUiAftF（z）<OttRM[l.<]±W<Jl.（10分）

HWXi-，>+1?*1■，**1.四比，G）VO?從?梅■“，）-里號(hào)士11在x*

MUQA?曲，（q-：?A）□㈤上?0?!<,所以八外一

（11分）

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te（?4>l?l.9NIX.”?>?-1.

?<?+!）>y?--|-Mjn+”>+看*所求實(shí)效。的取值用/*C-l.+8）?。2分）

22.w：<nwfttt/方II中的參數(shù)，川去■■X?廣山-0.

?w+1）品+即傅a筑/的。通方程為上+，一〃?。.（2分）

又*L2M5?得d?2^0?，??丁?廠8仇》?〃!???

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