人教版六年級下冊數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十一講 表面積和體積一 （含答案）

第十一講表面積和體積(一)

第一部分：趣味數(shù)學(xué)

小希帕蒂婭巧算箱子體積

希帕蒂婭是歷史上有記載的第一位女?dāng)?shù)學(xué)家,她出生在埃及。希帕蒂婭小時候很聰明,有一

次,父親的朋友來拜訪,送給希帕蒂婭一件禮物,裝在一個用繩子捆起來的箱子里。小希帕蒂婭

高興地解開繩子,正要去打開箱子，父親對她說：

“別急，你先拿一把尺子量量繩子的長度?！?/p>

小希帕蒂婭用尺子量了量散落在地上的3根繩子,一根長210厘米,一根長250厘米,還有

一根長290厘米。父親說：“假設(shè)這些繩子打結(jié)的時候，都用去了10厘米，希帕蒂婭，請你算一

算,這個箱子的體積是多少？”

“沒問題,爸爸?！毙∠Ｅ恋賸I拿出一支筆,在地上列起式子來：

長+寬=(290-10)4-2=140厘米,長+高=(250-10)4-2=120厘米

寬十高=(210-10)4-2=100厘米。

怎么才能求出長、寬、高呢?小希帕蒂婭歪著頭想了想，低

頭算了起來。她用第2個式子減去第3個式子，得到:長一寬

=20厘米,再加上第1個式子,就能求出長=80厘米。知道了長，強

她很快就求出了寬=60厘米,高等于40厘米。所以箱子的體積V；：

\\_j-.

就T

長x寬x高=80X60X40=192000立方厘米。

算完了，父親笑著點點頭，說：“現(xiàn)在，你打開箱子拿出禮

物吧！”

父親的朋友一直在旁邊看著,不禁驚嘆道:好聰明的小丫頭,將來一定會成為有名的數(shù)學(xué)家!

第二部分：習(xí)題精講

小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立

體圖形是認(rèn)識上的一個飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖

形的特征和有關(guān)的計算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣，解題時

要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計算。

在解答立體圖形的表面積問題時，要注意以下幾點:

（1）充分利用正方體六個面的面積都相等，每個面都是正方形的特點。

（2）把一個立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個

立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。

（3）若把幾個長方體拼成一個表面積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把

幾個長方體拼成一個表面積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。

例題1：

從一個棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方

體，剩下部分的表面積是多少？

這是一道開放題，方?法有多種：

①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。

②按圖27-2所示，在某個面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。

③按圖27-3所示，挖通某兩個對面，剩下部分的表面積為672平方厘米。

圖27—3

練習(xí)1:

1、從一個長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個棱長2厘米的小正方

體，剩下部分的表面積是多少？

2、把一個長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個想同的小廠房體

木塊，這兩個小長方體的表面積之和，比原來長方體的表面積增加了多少平方分米?

3、在一個棱長是4厘米的立方體上挖一個棱長是1厘米的小正方體后，表面積會發(fā)生怎

樣的變化?

例題2：

把19個棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖27-4所示，拼成一個立體圖形，求這個立

體圖形的表面積。

要求這個復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個方向觀察，每個方向上

的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）。

從上往下看

圖27—5

而從另外三個方向上看到的面積與以上三個方向的面積是相等的。整個立體圖形的表面積

可采用（S上+S左+S前）X2來計算。

(3X3X9+3X3X8+3X3X10)X2

(81+72+90)X2

=243X2

=486（平方厘米）

答：這個立體圖形的表面積是486平方厘米。

練習(xí)2：

1、用棱長是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個立體圖形的表面積。

2、一堆積木（如圖27-7所示），是由16塊棱長是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面

積是多少平方厘米？

3、一個正方體的表面積是384平方厘米，把這個正方體平均分割成64個相等的小正方

體。每個小正方體的表面積是多少平方厘米？

例題3：

把兩個長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體，拼成一個大長方體，這

個大長方體的表面積最少是多少平方厘米？

把兩個相同的大長方體拼成一個大廠房體，需要把兩個相同面拼合，所得大廠房體的表面

積就減少了兩個拼合面的面積。要使大長方體的表面積最小，就必須使兩個拼合面的面積最大,

即減少兩個9X7的面。

（9X9+9X4+7X4）X2X2—9X7X2

=（63+36+28）X4—126

=508—126

=382（平方厘米）

答：這個大廠房體的表面積最少是382平方厘米。

練習(xí)3：

1、把底面積為20平方厘米的兩個相等的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是多

少？

2、將一個表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個長方體，再將這兩個長方體拼成一個

大長方體。求大長方體的表面積是多少。

3、用6塊（如圖27-8所示）長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種做法，其中表面積

最小的是多少平方厘米?

1厘米3厘米

2厘米

例題4：

一個長方體，如果長增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積

增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長方體的表面積。

我們知道：體積=長乂寬X高；由長增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬X高=40

+2=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長X高=90+3=30（平方

厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長X寬=96+4=24（平方厘米）。而長方

體的表面積=（長X寬+長X高+寬X高）X2=（20+30+24）X2=148（平方厘米）。即

404-2=20（平方厘米）

904-3=30（平方厘米）

964-4=24（平方厘米）

（30+20+24）X2

=74X2

=148（平方厘米）

答：原長方體的表面積是148平方厘米。

練習(xí)4：

1、一個長方體，如果長減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，則體

積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來廠房體的表面積是多

少平方厘米？

2、一個廠房體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一

個正方體，其表面積減少了120平方厘米。原來廠房體的體積是多少立方厘米？

3、有一個廠房體如下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長、寬、高都

是質(zhì)數(shù)，這個長方體的體積是多少？

例題5：

如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成

一個物體。求這個物體的表面積。

如果分別求出三個圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計算比較麻煩。實際上三

個向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個底面積。這樣，這個物體的表面積就等于一個大圓柱

的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。

3.14X1.5X1.5X2+2X3.14X1.5X1+2X3.14X1X1+2X3.14X0.5X1

=3.14X（4.5+3+2+1）

=3.14X10.5

=32.97（平方米）

答：這個物體的表面積是32.97平方米。

練習(xí)5：

1、一個棱長為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個面上，各有一個直

徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個零件的表面積。

2、用鐵皮做一個如圖27-12所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？

3、如圖27-13所示，在一個立方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個長方體的洞，在上、下

側(cè)面的中心打通一個圓柱形的洞。已知立方體棱長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米

的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的表面積和體積（II取3.14）o

第三部分：數(shù)學(xué)史

難解的立方倍積問題

傳說在公元前400多年，古希臘的第羅斯島上，暴發(fā)了瘟疫，大批大批的人被傳染，然

后在痛苦中死去。對于瘟疫，人們束手無策，于是只好到神廟去，祈求他們所信仰的太陽神

的保護。太陽神對大家說：這次瘟疫的流行是因為你們不夠虔誠。你們的正方體祭臺太小

了，不能顯示出太陽神的偉大和尊嚴(yán)。如果你們能只利用圓規(guī)和直尺，而不利用其他的測

量工具，把祭臺體積擴大為原來的兩倍，那么，太陽神就可以免除你們的災(zāi)難。

人們絞盡腦汁，怎樣才能只用圓規(guī)和直尺就把祭臺體積擴大一倍呢？人們試著把祭臺

的棱長擴大了一倍，結(jié)果非但祭臺的體積沒有變成原來的兩倍，反而擴大成了原來的8倍。

太陽神又發(fā)怒了！嫌祭臺造得太大了，說人們在欺騙他，于是降下了更加厲害的災(zāi)難。災(zāi)難

又籠罩了第羅斯島……

實際上，這只是一個傳說而已，但是它卻包含了一個著名的幾何問題：已知一個正方

體，只利用圓規(guī)和直尺，能不能做出一個新正方體，使它的體積等于已知正方體的兩倍呢？

這個問題被稱為“立方倍積問題”，是古希臘三大幾何作圖難題之一。這個問題幾千年來

困擾了無數(shù)的數(shù)學(xué)家。到100多年前，一位名叫克萊因的德國數(shù)學(xué)家證明了只用直尺和

圓規(guī)是不可能解決立方倍積問題的。

參考答案：

練習(xí)1：1.切下一塊后，切口處的表面減少了前、后、上面3個1X1的正

方形，新增加了左右下面三個1X1的正方形，所以表面積大小不變。

2.4X4X6-2X2X2=92平方厘米

3.中心挖去的洞的體積是：/X3X3—〃X2=7立方厘米，挖洞后木塊的

體積：3，—7=20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面積是/X4—12=3平方厘米，挖洞后木

塊的表面積：(3?+3)X6=72平方厘米。

練習(xí)2：1.(1X1X12+1X1X8+1X1X7)X2=54平方厘米

2.(2X2X9+2X2X9+2X2X7)X2=200平方厘米

3.因為64=4X4X4,所以大正方形的棱長等于小正方形棱長的4被，那么大正方體的表

面積是小正方體的4X4=16倍，小正方體的表面積是：384+16=24平方厘米

練習(xí)3：1.將正方體分為兩個長方體，表面積就增加了2個30+6=15平方厘米，拼成大

正方體，表面積將減少兩個拼合面的面積，正好是1個30+6=15平方厘米，所以大長方體的

表面積是30+30+6=35平方厘米。

2.要是表面積最小，就要盡可能地把大的面拼合在一起。表面積最小的拼法有如圖答27

—2兩種：表面積都是(3X3+3X4X2)X2=66平方厘米。

3.設(shè)大長方體的寬和高為x分米，長為2x分米，左面和右面的面積就是六平方分米。其

余的面積為2必平方分米，根據(jù)題意，大長方體的表面積是：8X2+8X2X2=600X=5

大長方體的體積是：5X5X2X5=250立方分米

練習(xí)4：1.(48+2+65+5+96+4)X2=122平方厘米

2.減少的表面積實質(zhì)是高度分別為2厘米和3厘米的前、后、左、右四個面的面積之和。

把兩個合并起來，用120+(2+3)=24厘米，求到正方體底面的周長，正方體的棱長就是24

?4=6厘米。圓長方體的體積是：6X6X(6+3+2)=396立