2023-2024學年浙江省寧波市江北實驗中學九年級（上）開學數學試卷（含解析）

2023-2024學年浙江省寧波市江北實驗中學九年級第一學期開學

數學試卷

一.選擇題（每題3分，共30分）

1.下列函數是二次函數的是（）

A.y=x2B.y=x+1C.y——D.y=2x

.x

2.若4m=5〃（加#0）,則下列等式成立的是（）

Am_n口m_5rm_4nm_5

454nn5n4

3.己知△ABCs^OEF,AB：DE=\：2,則AABC與的周長比等于（）

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1

4.將拋物線y=3/先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（）

A.y=3（x-1）2+2B.y=3（x+1）2-2

C.y=3（x+1）2+2D.y=3（x-1）2-2

5.如圖，點C是線段AB的黃金分割點（4CVBC）,AB=8,則8c的長度是（）

ACB

A.2B.475-4C.12-4而D.4+475

6.下列關于二次函數y=2x2+3,下列說法正確的是（）

A.它的開口方向向下

B.它的頂點坐標是（2,3）

C.當xV-1時，y隨x的增大而增大

D.當x=0時，y有最小值是3

7.下列圖象中，函數（〃#0）與丁=以+”的圖象大致是（）

厘

8.如圖，點P是△ABC的重心，若△ABC的面積為12,則△BPC的面積為（）

9.設一元二次方程(x-1)(x-2)—m(nz>0)的兩實根分別為a,B，且a〈B，則a,

B滿足()

A.l<a<p<2B.l<a<2<pC.a<l<p<2D.a<l且0>2

av+bx+c(Y0)

10.對于二次函數y=ar2+fer+c,規(guī)定函數丫=2是它的相關函數.已

-ax^-bx-c(x<0)

知點何，N的坐標分別為（-￡,1）,（"I，1），連接MN,若線段MN與二次函數y

=-9+4Y+〃的相關函數的圖象有兩個公共點，則〃的取值范圍為（）

A.-3<〃W-1或l<n<?c

B.-3<n<-1或l<n4：

44

C.-1或1<D.-3<〃<-1或心1

4

二.填空題(每題3分，共18分)

11.已知線段a=2,8=18,則a,6的比例中項為.

12.如圖，已知AB//CD//EF,AD=6,DF=3,BC=7,那么線段CE的長度等

于____________________

13.如圖，在△ABC中，點。為邊AC上的一點，選擇下列條件：①N2=NA；②N1=N

CBA-,③器=黒；④器=黑=當中的一個，不能得出△ABC和△BCD相似的是:

ACABACBCAB

（填序號）.

14.已知點A(-1,yi),B(-0.5,”)，C(4,p)都在二次函數y=-ax2+2ax-1(a

>0)的圖象上，則)2,的大小關系是.

15.如圖所示矩形ABC。中，AB=4,BC=3,P是線段8c上一點(P不與8重合)，M

是08上一點，且設BP=x,△MBP的面積為y,則)，與x之間的函數關系式

16.如圖，在直角△ABC中，NC=90°,AC=6,BC=8,P、。分別為邊BC、AB上的兩

個動點，若要使△APQ是等腰三角形且△是直角三角形，則AQ

三、簡答題(第17,18,19,題各6分，第20,21,22題8分，第，23題10分，共52

分)

17.已知線段“、b、。，且

345

(1)求史？的值；

b

(2)若線段〃、b、。滿足。+8+。=60,求a、b、c的值.

18.如圖所示，△A8C的各頂點都在8義8網格的格點上，每個小正方形的邊長都為1,△

48C繞點A順時針旋轉90°后得到△A3G.

r-n~~r-n—r-n—r-n—ir-n—r-n-T-n—r~n

圖l圖2

（1）在圖1中畫出△ABG；

（2）在圖2中畫一個格點△力EF,使△OE/S/VIBC,且相似比為泥：1.

19.已知二次函數y=/-2x-3.

（1）求圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；

（2）求圖象與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標；

（3）當x為何值時，y隨x的增大而增大？

20.如圖，在Rt^ABC中，/C=90°，點。是AB上一點，DE//BC,BE丄AB.

（1）求證：XDEBsXBAC：

（2）若BE=2,AC=3,厶臺力后的面積為1,求△ABC的面積.

21.某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且

獲利不得高于45%,經試銷發(fā)現，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數，所

調查的部分數據如表：

銷售單價X（元）657080

銷售量y（件）555040

（1）求出y與尤之間的函數表達式；

（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關系式；銷售單價

定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？

（3）銷售單價定為多少元時，該商場獲得的利潤恰為500元？

22.如圖，拋物線y=-N+bx+c交x軸于4,B兩點，交），軸于點C,直線BC的表達式為

(1)求拋物線的表達式；

(2)動點。在直線BC上方的二次函數圖象上，連接。C,設△BCO的面積為5,

求S的最大值；

(3)當點E為拋物線的頂點時，在x軸上是否存在一點Q,使得以A,C,。為頂點的

三角形與aBCE相似？若存在，請求出點。的坐標.

23.如圖，在菱形ABCD中，點E在BC邊上(不與點8、C重合)，連接AE、8。交于點

G.

(1)若AG=8G,A8=4,BD=6,求線段OG的長；

(2)設BC=kBE,ASGE的面積為S,AAGO和四邊形COGE的面積分別為Si和

把5,和52分別用k、S的代數式表示：

s

(3)求三■2的最大值.

S1

備用圖

參考答案

一.選擇題（每題3分，共30分）

1.下列函數是二次函數的是（）

A.y=x1B.y=x+lC.>?=—D.y=2x

x

【分析】根據二次函數的定義：一般地，形如），="2+灰+。（“、b、C是常數，"W0）的

函數，叫做二次函數可得答案.

解：A、y=N是二次函數，故此選項符合題意；

B、>'=x+l是一次函數，故此選項不符合題意；

C、）=丄是反比例函數，故此選項不符合題意；

x

D、y=2x是正比例函數，故此選項不符合題意；

故選：A.

【點評】此題主要考查了二次函數定義，關鍵是掌握判斷函數是否是二次函數，首先是

要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數

的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件.

2.若4機=5”（mWO）,則下列等式成立的是（）

*m_nRm_5rm_4nm_5

454nn5n4

【分析】根據比例的基本性質，把每一個選項中的比例式轉化成等積式即可解答.

解：A.因嵋愛，所以5〃.〃，故此選項不符合題意;

B.因為號=9，所以mn=20故此選項不符合題意；

4n9

C.因為典=看,

所以5m=4n故此選項不符合題意；

n59

D.因為典=今,

所以4m=5n,故此選項符合題意.

n4

故選：D.

【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵.

3.已知△ABCs4DE凡AB：DE=l：2,則△ABC與△￡>￡：尸的周長比等于（）

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1

【分析】直接根據相似三角形的性質即可得出結論.

解：,:△ABCs/\DEF,AB：DE=1：2,

.二△ABC與尸的周長比=1：2.

故選：A.

【點評】本題考查的是相似三角形的性質，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，對應

中線、對應角平分線、對應邊上的高的比也等于相似比是解答此題的關鍵.

4.將拋物線y=3/先向左平移|個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為()

A.y=3(x-1)2+2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x+1)2+2D.y=3(x-1)2-2

【分析】直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

解：將拋物線y=3N先向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的表達式

為：y=3(x+1)2-2.

故選：B.

【點評】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此

題的關鍵.

5.如圖，點C是線段AB的黃金分割點(AC<BC),AB=8,則8C的長度是()

ACB

A.2B.4-75-4C.12-4西D.4+4V5

【分析】根據黃金分割的定義，利用黃金比計算即可.

解：：C是線段AB的黃金分割點，AC<BC,

.BC_V5-1

??_1-------,

AB2

VAB=8,

.?.BC=2^^zlx8=4后-4,

故選：B.

【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金比=專3是解題關鍵.

6.下列關于二次函數y=2F+3,下列說法正確的是()

A.它的開口方向向下

B.它的頂點坐標是(2,3)

C.當X<-1時，y隨X的增大而增大

D.當x=0時，y有最小值是3

【分析】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否

正確.

解：?.?二次函數），=2N+3,

,該函數的圖象開口向上，對稱軸是y軸，它的頂點坐標為（0,3）,

.?.當x=0時，函數有最小值3,當x>0時，y隨x的增大而增大，

故選項A、B、C錯誤，選項。正確；

故選：D.

【點評】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利

用二次函數的性質解答.

7.下列圖象中，函數〉=以2-“（〃/0）與y=nx+a的圖象大致是（）

【分析】可先根據a的符號判斷一次函數與二次函數的圖象所經過的象限，然后作出選

擇.

解：當〃>0時，由二次函數y=ax2-a可知開，口向上，頂點在y軸負半軸上，與x軸

的交點為（7,0）,（1,0）,

由一次函數y=ax+a可知過一，二，三象限，交x軸于（-1,0）；

當a<0時，由二次函數y=ar2-a可知，開口向下，頂點在y軸正半軸上，與x軸的交

點為（-1,0）,（1,0）,由一次函數y=ar+4可知過二，三，四象限，交x軸于（-

\,0）；

故選：c.

【點評】本題主要考查了二次函數的圖象及一次函數的圖象，解題的關鍵是熟記二次函

數的圖象及一次函數的圖象的特征.

8.如圖，點P是△ABC的重心，若aABC的面積為12,則△BPC的面積為（)

C.5D.6

【分析】根據三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍，再結合三角形

的面積公式即可求解.

解：如圖所示，連接AP并延長交8c于力,

:點P是aABC的重心，

：.AP：PD=2：1,

SAABP=2SAB/>O,SACAP=2SACPD，

.?.△BPC的面積的面積==X12=4,

33

故選：B.

【點評】本題考查了三角形的重心的性質，結合重心性質得出三角形的面積公式找到三

角形的面積比是解題的關鍵.

9.設一元二次方程（x-1）（%-2）=m（n?>0）的兩實根分別為a,0,且a<B，則a,

B滿足（）

A.l<a<p<2B.l<a<2<pC.a<l<p<2D.aVl且0>2

【分析】先令根=0求出函數卜=a-1）（x-2）的圖象與x軸的交點，畫出函數圖象,

利用數形結合即可求出a,B的取值范圍.

解：令機=0,

則函數尸（尤-1）（X-2）的圖象與x軸的交點分別為（1,0）,（2,0）,

故此函數的圖象為：

'：m>0,

???原頂點沿拋物線對稱軸向下移動，兩個根沿對稱軸向兩邊逐步增大，

：.a<\,p>2.

故選D.

代數法：（x-1）（x-2）—m,m>0,兩者乘積>0,只能同正或同負，即x-l>0且

x-2>0或x-lVO,x-2<0,同大取大，同小取小.

解得x<l或x>2,即a<l,p>2.

故選：D.

【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，能根據x軸上點的坐標特點求出函數），=（X

-1）（x-2）與x軸的交點，畫出函數圖象，利用數形結合解答是解答此題的關鍵.

3Y丫nJ

10.對于二次函數y=〃x2+bx+c,規(guī)定函數丁='k'是它的相關函數.已

-ax'-bx-c（x<0）

知點M,N的坐標分別為（-￡,1）,弓，1），連接MN,若線段與二次函數y

=-N+4x+〃的相關函數的圖象有兩個公共點，則〃的取值范圍為（）

A.-3<〃W-1或l<n（=B.-3<〃<-1或l<n（片

44

C.”忘-1或1<1^<9D.-3<〃<-1或〃）1

4

【分析】首先確定出二次函數y=-X2+4X+”的相關函數與線段MN恰好有1個交點、2

個交點、3個交點時〃的值，然后結合函數圖象可確定出〃的取值范圍.

解：如圖1所示：線段MN與二次函數），=-。+4/〃的相關函數的圖象恰有1個公共點.

所以當x=2時，y=l,即-4+8+"=l,解得"=-3.

如圖2所示：線段MN與二次函數y=-x2+4x+〃的相關函數的圖象恰有3個公共點.

,拋物線y=N-4x-〃與y軸交點縱坐標為1,

?*.-n=1>解得：n=-1.

...當-3<"<-1時，線段與二次函數y=-尤2+?+”的相關函數的圖象恰有2個公

共點.

'.n=1.

如圖4所示：線段A/N與二次函數y=-x2+4x+〃的相關函數的圖象恰有2個公共點.

,拋物線y—x2-4x-?經過點Af（-1）,

.,.—+2-n=1,解得：n——.

44

Al金時，線段MN與二次函數y=-N+4X+〃的相關函數的圖象恰有2個公共點.

4

綜上所述，”的取值范圍是-3<〃W-1或1<n^—,

4

故選：A.

【點評】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數的圖象

和性質、函數圖象上點的坐標與函數解析式的關系，求得二次函數y=-x2+4x+〃的相關

函數與線段恰好有1個交點、2個交點、3個交點時〃的值是解題的關鍵.

二.填空題（每題3分，共18分）

11.已知線段“=2,b=18,則a,I的比例中項為6.

【分析】設線段a,b的比例中項為c,根據比例中項的定義可知，小=〃從代入數據可

直接求得c的值，注意兩條線段的比例中項為正數.

解：設線段”，。的比例中項為c,

Vc是長度分別為2、8的兩條線段的比例中項，

.\c2=ab=2X18,

即/=36,

，c=6（負數舍去）.

故答案為：6.

【點評】本題主要考查了線段的比，根據比例的性質列方程求解即可.解題的關鍵是掌

握比例中項的定義，如果。：h=h：c,即Z?2=〃c,那么h叫做。與c的比例中項.

7

12.如圖，己知AD=6,DF=3,BC=1,那么線段CE的長度等于3.

-2-

AB,

%\

【分析】根據平行線分線段所得線段對應成比例解答即可.

解：'：AB//CD//EF,AD=(>,DF=3,BC=7,

.ADBC

??_—J

DFCE

解得:CE=三,

故答案為：

【點評】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應成比例是

解題的關鍵.

13.如圖，在AABC中，點。為邊AC上的一點，選擇下列條件：①N2=NA；②N1=N

CBA-,③器=黒；④器=祟=11"中的一個，不能得岀和△BCD相似的是：

ACABACBCAB

【分析】根據相似三角形的判定定理可得出答案.

解：①當/2=NA,NC=NC時，△ABCs/\BOC,故①不符合題意；

②當/1=NCBA,NC=/C時，XABCsMBDC,故②不符合題意；

③當地0,/c=NC時，不能推出△ABCSABDC,故③符合題意：

ACAB

④當區(qū)=型=理，/C=/C時，XABCSXBDC、故④不符合題意；

ACBCAB

故答案為：③.

【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三

角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

14.已知點A(-1,yi),B(-0.5,”)，C(4,”)都在二次函數y=-a^+lax-1(a

>0)的圖象上，則V，>2,V3的大小關系是Y3<yi<y2

【分析】根據二次函數的解析式得出圖象的開口向下，對稱軸是直線x=l,根據x<l

時，y隨x的增大而增大，即可得出答案.

解：*.*y=-ax2+2ax-1(?>0),

.??圖象的開口向下，對稱軸是直線x=-2x?_a)=l'

/?A(4,ya)關于直線x=l的對稱點是(-2,>3),

V-2<-1<-0.5,

.,.y3<yi<y2,

故答案為y3<yi

【點評】本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質等知識點的理

解和掌握，能熟練地運用二次函數的性質進行推理是解此題的關鍵.

15.如圖所示矩形ABC。中，A8=4,8c=3,P是線段BC上一點(P不與8重合)，M

是DB上一點,且BP=QM,設的面積為y,則y與x之間的函數關系式

9

為y=-三聲〃(0<XW3).

—5-

【分析】過點M作ME丄AO,垂足為點E,延長交BC于點F,由矩形的性質可得

出AO=BC=3,NA=90°,在RlZVlB。中，利用勾股定理可求岀8。的長，由ME丄

AD,可得出N￡>EM=NA=90°,結合可得出利用

相似三角形的性質可用含x的代數式表示出EM,進而可得岀MF的長，再利用三角形的

面積公式即可得出y關于x的函數關系式.

解：過點M作MELA。，垂足為點E,延長EM交BC于點F,如圖所示.

???四邊形A8CD為矩形，

：.AD=BC^3,ZA=90".

在RtZVLBO中，AB=4,AD=3,

ABD=VAB2+AD2=5-

MEA.AD,

：.ZDEM=ZA=90°.

又；NEDM=NADB，

:.△DEMS[\DAB,

?EM=DM

"AB-DB'

4

\MF=AB-EM=(4-—x)，

5

1o

,.y=±BP，MF=--x2+2x.

-25

【點評】本題考查了矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、由實際問題抽

象出二次函數關系式以及三角形的面積，利用矩形的性質及相似三角形的性質找出MF

是解題的關鍵.

16.如圖，在直角aABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,P、。分別為邊8C、A8上的兩

個動點"若要使△APQ是等腰三角形且aBPO是直角三角形'則AQ=—竽或平—.

【分析】分兩種情形分別求解：①如圖1中，當AQ=PQ,/QP8=90°時，②當AQ=

PQ,NPQB=90°時；

解：①如圖1中，當4。=。。，ZQPB=90Q時，設AQ=PQ=x,

?.,PQ〃AC,

:?△BPQS^BCA,

.BQ=PQ

**BAAC'

.10~xx

106

?.?冗-_--1-5-,

4

?MQ時

②當AQ=PQ,NPQB=90°時，設AQ=PQ=y.

?:△BQPS^BCA,

.PQ=BQ

,,ACBC‘

.y_i°-y

?退一_8~

...y=30.

7

綜上所述，滿足條件的AQ的值為華或平

圖1圖2

【點評】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解

題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程解決問題.

三、簡答題(第17,18,19,題各6分，第20,21,22題8分，第，23題10分，共52

分)

17.已知線段a、b、c,且且

345

(1)求史込的值；

b

(2)若線段〃、b、c滿足〃+〃+c=60,求a、b、c的值.

【分析】設〃=3匕b=4k,c=5k.

(1)代入計算即可；

(2)構建方程求出％即可.

解：設則a=3k,b=4k,c=5k

345f

(/［八丿a+b._.3.k.+..4.k.._—7；

b4k4

(2)Va+b+c=60,

，3k+4k+5仁60,

'.a—15,b=20,c—25.

【點評】此題主要考查了比例的性質，根據已知得出a=3k,b=4k,c=5k進而得出k

的值是解題關鍵.

18.如圖所示，△4BC的各頂點都在8X8網格的格點上，每個小正方形的邊長都為1,△

ABC繞點A順時針旋轉90°后得到△A5G.

(1)在圖1中畫出△A3G；

(2)在圖2中畫一個格點△力EF,使△OEFS/VIBC,且相似比為正：1.

【分析】(1)根據旋轉的性質可得圖形；

(2)根據相似三角形的性質可得圖形.

解：(1)如圖，△A5G即為所求；

圖I圖2

(2)如圖，△OEF即為所求.

【點評】本題主要考查了作圖-旋轉變換，相似變換，熟練掌握相似三角形的性質是解

題的關鍵.

19.已知二次函數y=/-2x-3.

(1)求圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；

(2)求圖象與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標；

(3)當x為何值時，y隨x的增大而增大？

【分析】(1)把一般式化成頂點式即可確定二次函數y=N-2x-3的圖象的開口方向、

對稱軸、頂點坐標；

(2)根據圖象與y軸和x軸的相交的特點可求岀坐標；

(3)根據二次函數的增減性，當。>0時，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大.

解：(1)：a=l>0,

...圖象開口向上，

'."y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

對稱軸是直線x=l,頂點坐標是(1,-4)；

(2)由圖象與y軸相交則x=0,代入得：y=-3,

...與y軸交點坐標是(0,-3)；

由圖象與x軸相交則y=0,代入得：X2-2x-3=0,

解得XI=3,X2--1

二與x軸的交點為(3,0)和(-1,0)；

(3)?對稱軸x=l,圖象開口向上，

.?.當x>l時，y隨x增大而增大.

【點評】此題考查了二次函數的性質與圖象，考查了通過配方法求頂點式，求頂點坐標,

對稱軸，開口方向；還考查了根據對稱軸了解二次函數的增減性及觀察圖象回答問題的

能力.

20.如圖，在RtZXABC中，/C=90°,點。是AB上一點，DE//BC,BELAB.

(1)求證：△QEBs^SAC；

(2)若BE=2,AC=3,的面積為1,求AABC的面積.

A

【分析】（1）根據。石〃8c可得NEO8=NC8A,即可求證絲△8AC；

（2）先求出相似比，再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解.

【解答】（1）證明：???QE〃8C,

:?/EDB=/CBA,

VZC=90°,BE丄AB,

：.4C=/EBD,

（2）解：由（1）可得△OE8絲△BAG

，，（）-（）

SAABC'AC3一9'

?SABDE=1f

1二4

'S^ABCa'

解得：SAABC^4'

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握：有兩個角相等

的兩個三角形相似，相似三角形的面積比等于相似比的平方.

21.某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且

獲利不得高于45%,經試銷發(fā)現，銷售量y（件）與銷售單價x（元）符合一次函數，所

調查的部分數據如表：

銷售單價X（元）657080

銷售量y（件）555040

（1）求出y與x之間的函數表達式；

（2）若該商場獲得利潤為W元，試寫岀利潤W與銷售單價x之間的關系式；銷售單價

定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？

（3）銷售單價定為多少元時，該商場獲得的利潤恰為500元？

【分析】（1）用待定系數法求解即可：

(2)依題意求出W與x的函數表達式.將二次函數的解析式配方后即可確定最值：

(3)由叩=500推出/-60x-7200=0,解出x的值即可.

解：(1)設一次函數的解析式為了=履+方，

根據題意可得：［65k+b=55,

I70k+b=50

解得：4二T,

lb=120

，解析式為：y=-JC+120,

(2)由題意知:

W=(x-60)?(-x+120)

=-x2+180x-7200

=-(x-90)2+900,

?.?拋物線的開口向下，

.?.當xV90時，W隨x的增大而增大，而銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于45%,

即x-60W60X45%,

；.60?87,

.?.當x=87時，屮=-(87-90)2+900=891.

答：當銷售單價定為87元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是891元；

(2)如果在試銷期間該服裝部想要獲得500元的利潤，.丿。。二-x2+180x-7200,

解為xi=70,X2=110(不合題意舍去).

.?.銷售單價應定為70元.

答：銷售單價定為70元時，該商場獲得的利潤恰為500元.

【點評】此題主要考查了二次函數的應用，利用二次函數解決實際問題是初中階段重點

題型，同學們應重點掌握.

22.如圖，拋物線y=-N+bx+c交x軸于A,8兩點，交)，軸于點C,直線8c的表達式為

備用圖1備用圖2

(1)求拋物線的表達式：

(2)動點。在直線BC上方的二次函數圖象上，連接。C,DB,設△BCD的面積為S,

求S的最大值；

(3)當點E為拋物線的頂點時，在x軸上是否存在一點Q,使得以A,C,。為頂點的

三角形與ABCE相似？若存在，請求出點。的坐標.

【分析】(1)用待定系數法即可求解；

(2)由S=S松般COFO+SAOFB+SAAOC,口卩可求解；

(3)分△AQCSAECB、XQACSXECB、△ACQ's^ECB三種情況，分別求解即可.

解：(1)扌巴x=0代入y=-x+3得：y=3,

：.C(0,3).

把y=0代入y=-x+3得：x—3,

：.B(3,0),

將C(0,3),B(3,0)代入y=-N+6x+c得：

-+=

f93b+c04sfb=2

拋物線的表達式為y=-/+2x+3；

(2)過點。作。/丄x軸于點凡如圖1,

圖1

設。(x,-X2+2JC+3),則F(x,0),OF=x,BF=3-x,

貝!]DF=-N+2x+3,

S=SCOFD+S^DFB+S&AOC

Xx(3-/+2_^+3)+—(3-x)(-/+2x+3)+—X1X3=-—(x——,)^+—―■,

222228

...當x=^時，S有最大值，最大值為之.

28

(3)存在，理由:

y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

：.E(1,4).

又,：C(0,3),B(3,0),

：.CE=y[2<BC=3&,EB=2遙,

r.CE^+CB^BE2,

:.NECB=90°.

.,.OA—1,CO—3.

.AQ_CE_1

**C0"BC

又：N