2022-2023學年四川省眉山市冠城七中實驗學校高二（下）期中數(shù)學試卷（理科）（含解析）

2022-2023學年四川省眉山市冠城七中實驗學校高二(下)期中

數(shù)學試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若復數(shù)z=>二則|z|=()

1—1

A.1B.6C.色D.<10

24

2.從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不對立的兩個事

件是()

A.至少有一本政治與都是數(shù)學B.至少有一本政治與都是政治

C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學D.恰有1本政治與恰有2本政治

3.已知復數(shù)2=。+6，且z(l+2i)=1-i,則Q—b=()

A.|2B.l1C,-|7D.-l1

4.從甲、乙等6名專家中任選2人前往某地進行考察，則甲、乙2人中至少有1人被選中的概

率為()

A.B.|C.|D.|

5.命題p：aVxeR,x2-mx+l>0,',命題q：um<2n,則p是勺的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

6.命題“三。W[0,+8),sbia>Q”的否定形式是()

A.VaG[0,+8),sina<aB.3aG[0,+8),sina<a

C.Va6(—8,0),sina<aD.BaG(—8,0),sina>a

7.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,1,2,3,5,

…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}

稱為“斐波那契數(shù)列"，則即=()

A.8B.13C.18D.23

8.設函數(shù)/(%)=x2/'(%)是/(%)的導數(shù)，則函數(shù)g(%)=尸(x)cos%的部分圖象可以為()

9.地鐵讓市民不再為公交車的擁擠而煩惱，地下交通的容量大、速度快、準點率高等特點彌

補了單一地面交通的不足,成都地鐵9號線每5分鐘一次，某乘客到乘車點的時刻是隨機的，則

他候車時間不超過3分鐘的概率是（）

A.0.6B.0.8C.0.4D.0.2

10.已知命題p：VxG/?,sinx>—1；命題q：3x,y&R,sin（x+y）=sinx+siny,則下

列命題是真命題的是（）

A.pAqB.pA（-q）C.pV（「q）D.（~p）Aq

H.已知x喪_0=o在％6（0,+8）上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）

1111

A.（0,五］（02）C.Q,e珂D.（1,詼）

12.函數(shù)f（x）=仇2%的圖象與函數(shù)g（x）=e*-e~x+%-a的圖象交點的橫坐標為x（）,貝U

x

e°ln2xQ=（）

11

A.一InZB.——C.—D.Zn2

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某學校三個興趣小組的學生人數(shù)分布如下表（每名同學只參加一個小組）（單位：人）

籃球組書畫組樂器組

高一4530a

高二151020

學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個興趣

小組的學生中抽取30人，結果籃球組被抽出12人，則a的值為.

14.已知p：x>a,q：x2-x-2>0,若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(%)=e"+3在(0,+8)上單調遞增，則a的最大值是.

16.已知定義在R上的偶函數(shù)/(%)滿足/(x)=/(-x+4),/(2024)=去,若/。)一f(x)>0,

則不等式f(x+2)>］的解集為一.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知命題p：方程貯+￡=1表示焦點在X軸上的橢圓；命題q：方程二一二=1表示焦

m4—mm—1m—3

點在x軸上的雙曲線.若命題“pvq”為真命題，“p/\q"為假命題，求實數(shù)m的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.

(1)將6名學生做適當編號，把選中3人的所有可能情況列舉出來;

(2)求所選3人中恰有一名女生的概率；

(3)求所選3人中至少有一名女生的概率.

19.(本小題12.0分)

某電腦公司有6名產品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據如下表:

推銷員編號12345

工作年限%/年35679

(1)求年推銷金額y關于工作年限x的線性回歸方程;

(2)若第6名推銷員的工作年限為11年，試估計他的年推銷金額.

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為b=叼i-t)紇2a=y-bt-

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=^x2-(a+l)x+alnx.(其中a為常數(shù))

(1)若a=-2,求曲線y=/(x)在點(2/(2))處的切線方程；

(2)當0Wa<l時，試討論函數(shù)y=/(x)的零點個數(shù)，并說明理由.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=Inx—ax+l(ae/?).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調性；

(2)若對任意的*>0,f(x)W0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=a(x2—%)—Inx(aGR).

(1)若/(x)在％=1處取到極值，求a的值；

(2)求證：當nN2時’焉+焉+…+點》

答案和解析

1.【答案】B

2+t_(2+i)(l+i)_l+3i

【解析】解：因為z

1-i(l-i)(l+i)

l"+3"E.

故選：B.

結合復數(shù)的四則運算進行化簡，然后結合復數(shù)的模長公式即可求解.

本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的模長公式，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：從數(shù)學必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，

對于4,至少有一本政治和都是數(shù)學是對立事件，故A錯誤；

對于B,至少有一本是政治與都是政治，能同時發(fā)生，不是互斥事件，故B錯誤；

對于C,至少有一本政治與至少有一本數(shù)學，能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；

對于D，恰有1本政治與恰有2本政治，不能同時發(fā)生，能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事

件，故。正確.

故選：D.

利用對立事件、互斥事件的定義直接求解.

本題考查對立事件、互斥事件的定義等基礎知識，是基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：z(l+2i)=1-1,

則z=U=(lT)(-2i)=■.工_入,

1+2/(l+2i)(l-2t)55'

'?z—a+bi,

■■a=-b=-I，

故a—b=|.

故選：A.

根據已知條件，結合復數(shù)的四則運算，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：6名專家隨機選取2人的情況有德=15種，

其中甲、乙兩人都未被選中的情況有C；=6種，

由甲、乙2人中至少有1人被選中的概率為P=1—卷=|.

故選：D.

先計算出甲、乙2人都未被選中的情況，再通過對立事件關系即可得出甲、乙2人中至少有1人被

選中的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

5.【答案】A

【解析】解：對于命題p：uVxeR,x2—mx+1>0",

■.A=m2—4<0,得一2<m<2,

v—2<m<2可以推出m<2,但是m<2不能推出一2<nt<2,

???p是q的充分不必要條件.

故選:A.

先根據命題p求出m的范圍，再根據充分性和必要性的定義得答案.

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了二次函數(shù)的性質，屬于基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題“mae[0,+8),sina>a”的否定形

式是VaG[0,4-co),sina<a,

故選:A.

利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：根據題意，由“斐波那契數(shù)列”的定義，從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的

和，

nna1=1,a2=1,

貝U有=2,CI4=a2+。3—3a5—Q3+=5,CZg—CI4+=8,CLy—Qg+CL^—13.

故選:B.

根據題意，由“斐波那契數(shù)列”的定義，利用從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，逐項

進行計算，進而計算出。7.

本題考查歸納推理的應用，注意理解“斐波那契數(shù)列”的定義，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?函數(shù)/(X)=/一看

?1?fix')=7.x,

則gQ)—2xcosx,

由g(一x)——2xcos(—x)——2xcosx——g(x),

得g(x)是奇函數(shù)，

故選項B,C排除，

由xe(O4)時，g(x)>0,

故選:A.

求出/(x)的導數(shù)，求出g(x)的解析式，根據函數(shù)的奇偶性排除B,C,取xG(0,今時，得g(x)>0,

求出答案即可.

本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，是一道基礎題.

9.【答案】4

【解析】解：如圖，設上次車于時刻A到達，而下次車于時刻跳到達，線段AR的長度為5，

T1,T1tT1t

設T是線段7i72上的點，且TR的長度為3.記等車時間不超過3分鐘為事件4

則4發(fā)生即點，落在線段772上.

由上可知，D=7生=5,d=TT2=3,

故P(4)=^=|=0.6.

故選:A.

利用幾何概型的概率計算公式即可求解.

本題主要考查了幾何概型的概率計算公式，屬于基礎題.

10.【答案】D

【解析】解：因為sin(-今=-1>-1不成立，所以p為假命題；

因為當x=0,yWR時，sin(0+y)=sinO+siny成立，故q為真命題.

所以pAq,pA(-iq),pV(1q)為假命題，(「p)Aq為真命題.

故選：D.

利用命題的真假判定，真值表的應用求解.

本題主要考查復合命題及其真假，屬于基礎題.

11.【答案】D

【解析】解：x>0,且=

,,支表=a>0,兩邊取對數(shù)可得翳=Ina,

???根據題意可得y=器與y=仇a在(0,+8)上有兩個交點，

設式乃=整,則八%)=與匕乂>0，

???當xe(0,，Z)時，/'(%)>0,/(?單調遞增；當xe(，下,+8)時，f(x)<0,f(x)單調遞減，

???f(x)max=8且xe(0,1)時，/(x)<0；xG(1,+8)時，/(%)>0,

二要使y=臀與y=bia在(0,+8)上有兩個交點，

11

則0VIna<—,1<a<e安，

故選：D.

根據題意可得親=a，兩邊取對數(shù)可得整=Ina,從而根據題意可得y=等與y="a在(0,+oo)±

有兩個交點，設fQ)=整,再利用導數(shù)研究f(x)的單調性及最值，從而建立不等式，即可求解.

本題考查方程的解的個數(shù)問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，數(shù)形轉化思想，屬中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：令/(x)=g(x)，則，n2x=e*-L+x-/(刀>0),

所以蜻—e~x—x=ln2x—2x+^-=e~ln2x—eln2x+ln2x,

2x

設h(%)=e*—e~x—x(x>0),則"(%)=ex+e~x—l>14-0-1=0,

所以/l(X)在(0,+8)上單調遞增，

所以&=-/n2x0,即e"。=57-,

所以短。"2%0="?(-q)=一1

故選：B.

xln2xLn2xx

令/(x)=g(Xb變形整理可得e"—e~—x=e~—e+ln2xt從而構造新函數(shù)/i(x)=e—

e-*-x(x>0),再利用導數(shù)研究其單調性，即可得解.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，構造新函數(shù)，理解函數(shù)與方程的思想是解題的關鍵，考查

邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

13.【答案】30

【解析】解：根據分層抽樣的定義和方法可得，

12_30

45+15=120+a'

解得a=30,

故答案為30.

根據每個個體被抽到的概率都相等可得：備=/，從而求得a的值.

45+15120+a

本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用了每個個體被抽到的概率都相等，屬于基礎題.

14.【答案】(2,+8)

【解析】解：由/一尢一2>0,知(x-2)(x+1)>0,解得x<-l或x>2,

所以q：%<-1或%>2,

若p是q的充分不必要條件，貝(la>2,

所以a的取值范圍是(2,+8).

故答案為：(2,+8).

解一元二次不等式，可得q：%<-1或%>2,再結合充分必要條件與集合的關系，得解.

本題考查充分必要條件的應用，理解充分必要條件與集合的關系是解題的關鍵，考查邏輯推理能

力和運算能力，屬于基礎題.

15.【答案】e

【解析】解：由已知可得/''(>)=e*-ax,

因/(x)在(0,+8)上單調遞增，

則對任意的xe(0,+8),f'(x)20成立，

即a<§對設任意的x6(0,+8)恒成立，

所以只需aW(9)而”即可.

令9。)=7>則g'O)=

由“(%)<0,得。<x<1,所以g(%)在(0,1)上單調遞減;

由g'(%)>。，得％>1，所以g(x)在(1,+8)上單調遞增，

所以，g(x)在x=1處有極小值，也是最小值g(l)=e.

因此a<e,

所以a的最大值是e.

故答案為：e.

求出導函數(shù)，根據函數(shù)的單調性建立不等式，再分離參數(shù)構造函數(shù)g(x)=y.求出g(x)的最小值,

即可得出答案.

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】(—8,—2)

【解析】解：因為/Q)為偶函數(shù)，

所以J(T)=f(X),

因為函數(shù)/'(X)滿足/"(X)=/(-X+4),

所以/(-X)=/(-x+4),

所以f(x)的周期為T=4,

所以f(2024)=/(0+4x506)=f(0),

因為f(2024)=,

所以/(2024)=f(0)=《，

令9(x)=等

9⑺一~~-~'

因為/(%)—1(x)>o,

所以9'(乃=好膂<0,

所以g(x)在R上單調遞減，

所以g(x+2)=隼祟，5(0)=菖=/(0)=盤,

不等式/(x+2)>1可轉化為隼祟>或，即g(x+2)>g(0),

所以％+2V0,

所以%<—2,

所以不等式的解集為(一8,—2).

故答案為：(—8,-2).

由f。）為偶函數(shù)，滿足f（x）=f（-x+4）,可得/（x）的周期為T=4,進而可得/（2024）=/（0）=1

令9（無）=借，求導分析g（x）的單調性，不等式/（久+2）＞二可轉化為華祟＞E，即g（x+2）＞

g（0）,進而可得答案.

本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

17.【答案】解：若p為真命題，則?。?一6＞0,解得2＜M＜4.

若q為真命題，則解得小＞3,

因為pvq為真命題，pAq為假命題，所以p、q一真一假，

若p真q假，貝總:1（4,解得2＜加43,

若p假q真，則[小式2或m24,解得7nz明

綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為：（2,3]U[4,+8）.

【解析】首先求出命題p、q為真時參數(shù)的取值范圍，依題意p、q一真一假，分類討論，分別得到

不等式組，即可求出參數(shù)的取值范圍.

本題主要考查復合命題真假關系的應用，結合條件求出命題為真命題的等價條件是解決本題的關

鍵，是基礎題.

18.【答案】解：（1）設4名男生為4、B、C、D,2名女生為E、F；

從中選出3人，其情況有（4、B、C）,（4、B、D）,（4、B、E）,（4、B、F）,（4、C、D）,

（4、C、E）,（4、C、F）,（4、。、E）,（力、0、F）,（A、E、F）,

（B、C、。），（8、C、F）,（8、C、F）,（B、0、E）,（8、D、F）,

（B、E、F）,（C、。、E）,（C、D、F）,（C、E,F）,（D、E,F）,共20種情況；

（2）記所選3人中恰有一名女生為事件4,則4包含（4、B、E）,（4、B、F）,（4、C、E）,（4、C、

F）,（4、。、E）,（4、D、F）,（B、C、E）,（B、C、F）,（B、0、E）,（B、D、F）,（C、D、E）,

（C、D、F）,共12種情況，

則其概率「（4）=m；

（3）記所選3人中2名女生為事件B,則B包含（4、E、F）,（B、E、F）,（C、E、F）,（D、E、F）,

共4種情況，

而所選3人中至少有一名女生包含事件4、B,則所選3人中至少有一名女生共有12+4=16種情

況；

則其概率p=苗

【解析】(1)根據題意，設4名男生為A、B、C、D,2名女生為E、F：進而用列舉法依次列舉從6人

中選出3人的情況即可；

(2)記所選3人中恰有一名女生為事件4從(1)查找只有一個女生的基本事件，可得其情況數(shù)目，

由等可能事件的概率，計算可得答案；

(3)記所選3人中2名女生為事件B,用列舉法易得8包含的情況數(shù)目，而所選3人中至少有一名女生

包含事件力、B,將4、8的基本事件數(shù)目相加可得可得所選3人中至少有一名女生的情況數(shù)目，進

而由等可能事件的概率公式，計算可得答案.

本題考查列舉法求事件的個數(shù)以及事件的概率，注意列舉時按一定的順序，做到不重不漏.

19.【答案】解：(1)設所求的線性回歸方程為y=bx+a，

[(3+5+6+7+9)=6,

亍="(2+3+3+4+5)=3.4,

…隆善遜受=累=0.5,

%I?-120

a=y—bx=0.4，

???年銷售金額y產于工作年限工的線性回歸方程為y=0.5x4-0.4.

(2)當x=11時，y=o.5x+0.4=0.5x11+0.4=5.9(萬元)，

???可以估計第6名推銷員的年推銷金額為5.9萬元.

【解析】(1)根據表中的數(shù)據，求出3y，再利用公式求出仇利從而可求出推銷金額y關于工作年

限x的線性回歸方程；

(2)將x=11代入回歸直線方程能估計他的年推銷金額.

本題考查線性回歸方程、年推銷金額等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：(1)當。=-2時,f(x)=jx2+x-2lnx,

f(x)=x+l--=(x+2)("D,

7V7XX

f(2)=2且f(2)=4-2m2,

所以切線方程為y—(4一2，n2)=2(x-2),即2#-y—21n2=0.

(2)當a=0時，/(x)=1x2—x,

令/(x)=0得久=2或0(舍去)，

所以y=f(x)在(0,+8)上有一個零點，

當0<a<1時，「(%)=x—(a+1)+?==^￡21),

在(0,a)上f'(x)>0,/(無)單調遞增，

在(a,l)上/'(X)<0,f(x)單調遞減,

在(1,+8)上/(x)>0,f(x)單調遞增，

所以/'(x)的極大值為/(a)=-|a2-a+alna<0,

所以/(x)在(0,1)上沒有零點，

又/(I)=-|-a<0且函數(shù)/(x)在(1,+8)上單調遞增，

當XT+8時，/(X)-+4-CO,

所以/(X)在(1,+8)上只有一個零點，

綜上所述，當04a<1時,f(x)在(0,+8)上有一個零點.

【解析】(1)當。=一2時，/(x)=1x2+x-2/nx,求導得尸(乃，由導數(shù)的幾何意義可得切線斜

率為尸(2),計算/(2),由點斜式,可得答案.

(2)當a=0時，/(x)=^x2-x,令f(x)=0得x,可得函數(shù)/'(x)零點個數(shù)；當0<a<l時，求導

分析單調性，極值，零點，即可得出答案.

本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)依題意，f(x)=i-a(x>0),

當aW0時，顯然f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調遞增；

當a>0時，令((x)>0,得0cx<；；令((x)<0,x>；；

即/Q)在(0、)上單調遞增，在?,+8)上單調遞減.

(2)由題意得/'(x)=Inx-ax+1<0(x>0)恒成立，等價于a>空口(x>0)恒成立，

令