2023-2024學年江蘇省南京市高一年級上冊期中數學試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省南京市高一上冊期中數學試題

一、單選題

1.設全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},則圖中陰影部分表示的集合為

A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}

【正確答案】B

【詳解】試題分析：由韋恩圖可知，圖中陰影部分可表示為?B）cA且G/={1,5,6}

,A={1,2}

所以（QB）cA={l}故選B.

1、集合的交集、并集、補集運算：2、韋恩圖表示集合.

【方法點晴】本題主要考查的是韋恩圖表示集合和集合的交集、并集、補集運算，屬于容易

題，首先要把韋恩圖中的陰影部分翻譯為集合語言（QB）CA,再進行集合的補集，交集

運算.本題也可以直接在韋恩圖中標出陰影部分的所以元素，從而直接得到答案.

2.下列函數中，在區(qū)間（0,2）是增函數的是（）

A.y=-x+lB.y=x2-4x+5C.y=4xD.>=-

【正確答案】C

【分析】直接判斷一次函數、二次函數、反比例函數、基函數在區(qū)間（0,2）上的單調性即可

得到結果.

【詳解】y=-x+l、y=xJ4x+5、y=g在區(qū)間（o,2）是減函數，

y=&在區(qū)間（0,2）是增函數.

故選C.

一次函數的單調性判斷：y=kx+b（k^0）,當k>0時在R上遞增，當々<0時在R上遞減；

二次函數的單調性判斷：y=cvc+bx+c{a^（S）,當a>0時在18,一5）上遞減，在

（一品+8）上遞增；當a<0時在卜8,-5）上遞增，在（一/+刃）上遞減.

3.已知集合厶={。+1,/+4a—9,2021},若-4eA,則實數。的值為（）.

A.-5B.1C.5或TD.-5或1

【正確答案】B

【分析】根據元素與集合之間的關系，及集合元素的互異性即可求出”的值.

【詳解】A=|?+l,a2+4?-9,20211,且TwA,.,.Y=a+1或7=巒+44-9

⑴、當-4=/+4a-9即。=一5或a=l,

①、當°=一5時，a+l=-4,巒+4“_9=-4,此時A={T,T,2021},不滿足集合元素的互

異性，故舍去；

②、當。=1時，a+1=2,a2+46/-9=-4,此時A={2,-4,2021},符合題意；

⑵、當a+i=_4即。=-5時，此時A={-4,-4,2021},不滿足集合元素的互異性，故舍去；

綜上所述：實數〃的值為1.

故選：B

4.《幾何原本》卷2的幾何代數法（用幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問

題的重要依據，通過這一原理，很多代數公理、定理都能夠通過圖形實現證明，并稱之為“無

字證明現有如下圖形：AB是半圓。的直徑，點O在半圓周上，CD丄居于點C,設AT>=a,

BD=b,直接通過比較線段。。與線段8的長度可以完成的“無字證明”為（）

〉a+b

A.cr+b2>2abB.

2ab

C.-a-<>[aba>0b>0D.>4ciba>0Z?>0

a+b2

【正確答案】A

【分析】易得828,再分別用AO,89的表達式表達28再化簡即可

【詳解】易得ODNCD,又。。=絲=魚土忙，又1心3。=丄4"8,故

2222

ADBDab故年"帰'化簡得巒+八2"

CD=

AB\la2+b2

故選：A

本題主要考查了幾何法證明基本不等式，屬于基礎題

5.已知函數f(x)=x，-2x+2,xe(-2,2),函數/(x)的值域為()

A.(2,10)B.[1,2)

C.[2,10]D.[1,10)

【正確答案】D

【分析】利用二次函數的基本性質可求得函數/(X)的值域.

【詳解】當xe(-2,2)時，-3<x-l<l,貝IJ/(x)=x2-2x+2=(x-l)2+le[l/0).

故選：D.

6.設集合"={R04xM2},N={Y04yM3}.下列四個圖象中能表示從集合M到集合N

的函數關系的有()

A.3個B.2個C.1個D.0個

【正確答案】B

【分析】根據函數的定義判斷.

【詳解】A中2中的x沒有對應的象，不符合；B符合函數定義，C也符合函數定

義，D中對于0<xW2的x有兩個象與之對應，不符合.所以有2個滿足.

故選：B.

7.已知命題p：Vxe/?,x'+x+awO,若命題p是假命題，則實數“的取值范圍是()

A.卜B.上依

C.或a>0}D.或”2:0}

【正確答案】A

【分析】根據題意，分析可得若命題p：VxeR,f+x+”0為假，則方程Y+x+a4有

解，結合二次方程的性質可得力為真命題時。的取值范圍，可得答案.

【詳解】根據題意，若命題p：VxeR,f+x+"0為假，則力為真命題

方程/+x+a=0有解，

，A=l-4?>0,

解得：

4

故選：A.

8.設函數則滿足/。+1)<〃2尤)的x的取值范圍是()

A.(—00>—~]B,(-(x>,—)

C.(—,0)D.(—>+00)

22

【正確答案】B

【分析】化簡函數解析式，分區(qū)間討論化簡不等式f(x+l)<〃2x)求其解.

【詳解】：/(x)

[1,X>1

(2-x,x<\

/(x)=,|,

[1,X>1

當x+141且2x41時，不等式F(x+l)</(2x)可化為2-x—l<2-2x,

二x<0,

當x+141且2x>l時，不等式f(x+l)<〃2x)可化為2-x-1<1,

滿足條件的x不存在，

當x+1>1且2x>1時，不等式/(x+1)</(2x)可化為|<1,

，滿足條件的x不存在，

當x+l>l且2xVl時，不等式f(x+l)</(2x)可化為l<2-2x,

...滿足/（X+D</（2x）的X的取值范圍是（F,g）,

故選：B.

二、多選題

9.已知a>6,c>d,則下列不等關系正確的是（）

A.ac2>be2B.a'〉//

C.—<7-D.a-d>b-c

ab

【正確答案】BD

【分析】根據不等式的性質，結合特例法進行判斷即可.

【詳解】A：當c=0時，顯然不成立，所以本選項不正確；

B：因為a>b,所以。*—/=（a+a。+）=（。一b）[（a4—by+—b~]>0,

24

即/>庁，所以本選項正確；

C：若。=0,顯然丄沒有意義，所以本選項不正確；

a

D：因為c>d,所以而“>〃，所以-c,因此本選項正確，

故選：BD

10.下面命題為真命題的是（）

A.設a,6e/?,則“a片0”是“必二0”的既不充分也不必要條件

B."ac<0"是"二次方程渡+/?x+c=o有一正根一負根”的充要條件

C.“加=2”是“屈=｛乂32+（加+2卜+2=0｝為單元素集”的充分而不必要條件

D.“a>1”是“丄<1”的充分不必要條件

a

【正確答案】BCD

【分析】A由必70,則0,6都不為0則可判斷命題；B結合韋達定理即可判斷命題；C根

據方程根的個數求出參數即可判斷；D結合不等式的性質以及解分式不等式即可判斷.

【詳解】A若awO,b=0,則"=0；若洋中0,則。泊都不為0,則“。/0”是“而*0”的

必要不充分條件；故A為假命題；

B若二次方程以2+法+c=o有一正根一負根，則兩根之積為負，即一＜0,從而及＜0,故

a

“的＜0”是“二次方程如2+瓜+0=0有一正根一負根”的必要條件，

若ac＜0,則?=〃-4ac＞0,￡＜0,即方程有兩根且兩根之積為負，所以二次方程

a

or?+fer+c=0有一正根一負根，故"or＜0"是"二次方程以2+fer+c=0有一正根一負根”的

充分條件，綜上“収＜0”是“二次方程62+"+c=0有一正根一負根”的充要條件，故B為真

命題；

C因為M={x|*+（利+2）x+2=0}為單元素集，若m=0,則”={-1}符合題意；若相片0,

則△=（機+2/-8/＞J=0，則〃?=2,則M={-1}符合題意；綜上：M=|x|/7ir2+（〃?+2）x+2=0}

為單元素集，則加=0或2,因此“加=2”是“知={力加+（加+2）N+2=0}為單元素集”的充

分而不必要條件，故C是真命題；

D因為。＞1,所以丄-1=匕纟＜0,但是若丄＜1,貝或。＜0,則“a＞l”是“丄＜1”的充

aaaa

分不必要條件，故D是真命題，

故選：BCD.

11.下列函數〃x）中，滿足對任意不，/?1,田），有＜0的是（）

"百X]）一：%"2々）

13

A../（X）=-2（X-1）2-2B./（%）=--

1-X

c./（x）=l+1D./（x）=|x-4|

【正確答案】AC

由題意可得只需滿足函數在區(qū)間（1，轉）上單調遞減即可.

【詳解】對任意王，々€（1，m），有一’⑷＜0,

x\~xi

則函數在區(qū)間（1，”）上為減函數，

對于A,/（X）=-2（X-1）2-2,由二次函數的圖像與性質可知滿足題意，故A可選；

,3

對于B,f{x}=—,根據幕函數的性質，函數在區(qū)間。,m）上為增函數，故B不可選；

I-X

對于c,〃x）=l+J,函數在區(qū)間（l,y）上為減函數，故C可選；

x—4x24

'一，顯然函數在區(qū)間（1,位）上不是單調函數，故D不可

{■-I,人?

選;

故選：AC.

關鍵點睛：熟記二次函數的圖像與性質、幕函數的單調性、分段函數的單調性是解題的關鍵.

12.已知a>0,b>0,且a+2b=1,則下列說法正確的是（）

A.標+戸的最小值為:B.M的最大值為:

58

1A11—

C.j"的最大值為7D.—7的最小值為4V5

a+b3ab

【正確答案】AB

【分析】利用基本不等式及函數的性質計算可得.

【詳解】解：對于A：由。>0,b>0,a+2Z?=l,則。=1一2人，

[1-2/?>01

所以厶A，解得0<人<彳，

仍>02

所以=(1_%)2+/=5從_46+]=5(6-|)+1,

2]

所以當〃=：時，片+從有最小值點，故A正確.

對于B：由。>0,Z?>0,\=a+2h>lyjlab,即。人工：，當且僅當。=2&,即。=彳，/?=—

824

時等號成立，

所以油的最大值是：，故B正確；

fl-2/?>01

對于C：由。>0,Z?>0,a+2b=\,貝lja=l—26,所以八，解得0<厶<一,

\h>02

11-1,11

所以---＞因為0＜b＜「，所以一1＜力一1＜一；,

a+b1一2"。b-\22

1-11

所以一2＜丁匚＜—1,所以1〈丁二＜2,ER1＜--＜2,故C錯誤；

h-\b-\a+b

NT、11a+2ba+2b,2b*a._12ba.、a

ababab\ab

當且僅當弓=￡,即方=三巨，〃=應_1時取等號，故D錯誤；

故選：AB

三、填空題

Jx—3

13.函數=的定義域為__________

|x+l|-5

【正確答案】［3,4）U（4,M）

利用被開方數為非負數、分式分母不為零列不等式組，解不等式組求得函數的定義域.

fx-3>0

【詳解】要使函數有意義，貝U解得x±3且xw4.

故［3,4）（4,+oo）

本小題主要考查函數定義域的求法，屬于基礎題.

14.若函數〃2X+1）=X2-2X,則〃3）=.

【正確答案】-1

【分析】利用換元法求出/（x）的解析式，代入數字即可求解.

【詳解】f（2x+1）=x2-2x,

..?令/=2x+1,則x=-----?

2

-2X3J-&+5

x-6x+5

即/(x)=

32-6X3+5

故答案為.-1

15.十六、十七世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿易及軍事的發(fā)展，改進數字計算方法成了

當務之急，數學家約翰?納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了

對數，后來數學家歐拉發(fā)現了對數與指數的關系，即a〃=N=6=log.N,現已知。=1唯36,

2〃=36貝丄+x3工=.

【正確答案】2后

i?-

由題b=log236=21og26,分別化簡丄+的值代入即可.

ab

【詳解】因為2'=36,所以〃=log236=21og26,

1212

+

所以一+工=1~~7Vi~~-=log63+log62=l,

ahlog3621og26

In6

a嗎62h^In2J^iL

21og61^2i^32°g3x32

3b=32=3=3=3=353呪=6x2=26

所以+^]x3^=1x26=2后.

故答案為.2有

本題考查對數的運算，熟練掌握換底公式、對數運算公式是解決問題的關鍵.

21

16.已知：X>},y>0,--+-=1,且恒成立，則。的取值范圍是_________.

x-1y

【正確答案】“<4+2竝

【分析】由x+y=(x-i+y)+i,結合已知等式及基本不等式“1”的代換求x+y的最小值，

注意等號成立條件是否滿足，進而由不等式恒成立確定。的取值范圍.

【詳解】由題設，x-l>o,y>0,

x+y=(x-l+y)+l=(x-l++—)+1=(3+~-)+1>4+2,±1

x-1yx-1y^x-1y

=4+2及，當且僅當0y=x-l時等號成立，

二要使x+y>”恒成立，只需a<4+2&.

故答案為.“<4+2&

四、解答題

17.計算：

丄1

⑴J；)+(L5廠

⑵lgg+1g20-/2+log.9Jog,8

47

【正確答案】(1)-2

(2)1

【分析】（1）利用分數指數‘僵化簡求值即可；（2）利用對數運算性質及換底公式進行化簡即

可.

丄1

閶--(-9.6)。-國3+(1.5尸

【詳解】（1）

3,94

=—1-----1—

249

_47

--36-

ln2

(2)lg^+lg20-e+log89-log,8

ln2

=lg2-'+lg(2xl0)-e+^|i|.log38

=-1g2+lg2+1-2+log39

=I—2+2=1.

18.解下列不等式：

(1)4X2-4X+1>0;

(2)X2-6X+9<0;

(3)—%2+2x—3>0;

(4)(x+2)(x-3)<6.

【正確答案】(i){xix*m

⑵{x|x=3}

⑶0

(4){X|-3<X<4)

【分析】（1）配方法求解即可；

（2）配方法求解即可；

（3）先看判別式正負，確定有沒有解;

（4）因式分解即可求解.

【詳解】(1)4/一4x+l>0,

(21『>0,

解得

所以解集為：｛x|xw；｝

(2)x2-6x+9<0,

(X-3)2<0,

解得.x=3

所以解集為：｛x|x=3｝

(3)—x2+2x-3>0,

A=22-4X(-1)X(-3)=-8<0,

所以方程無解，解集為0.

所以解集為：0

(4)(x+2)(x-3)<6,

(x+3)(x-4)<0,

解得.-3<x<4

所以解集為：｛x|-3<x<4｝

19.已知集合厶=｛吊^^<():,8=｛耳2_帆<》<，"+1｝

(1)當機=2時求AcB,(aA)u8;

(2)若AuB=A,求實數機的取值范圍.

【正確答案】(1乂“。<2｝：｛小4—1或X>0｝

(2)/M￡1

【分析】(1)把集合A8化簡再求解.

(2)根據題意得到B=然后根據3=0和BH0兩種情況討論.

【詳解】⑴=40=卜一2)小+1)40=_142

x+1x+lwO

A=1x|-1<x<2},當,〃=2時8={x[O<x<3},

所以ACB={M-1<X42}C{X[0<:X<3}={X[0<X42}

4厶={小4-1或x>2},

所以低A)u8={x|x4-1或x>2}u{x[0<x<3}

={小4-1或x>0}

(2)A<JB=A:.B^A

當5=0時滿足2-2,〃+145滿足B右A；

1f1

m>-m>—

221

當8x0時滿足《2-加2-1=>4%43=x>—<z?i<l

2

m+\<2m<\

綜上：，“￡1

20.現有三個條件：①對任意的xeR都有/(x+D-/(x)=2x-2；②不等式/(x)<0的解集

為{x[l<x<2}；③函數y=/(x)的圖象過點(3,2).請你在上述三個條件中任選兩個補充到下

面的問題中，并求解(請將所選條件的序號填寫在答題紙指定位置)

已知二次函數，(x)=or2+/>x+c,且滿足(填所選條件的序號).

⑴求函數〃x)的解析式；

(2)已知g(x)=x-l,若存在x使y=/(x)的圖象在y=g(x)圖象的上方，求滿足條件的實數

x的取值范圍.

【正確答案】(l)/(x)=d-3x+2

(2)(-00,1)1(3,+00)

【分析】(1)條件①：由/(》+1)-/(無)=2x—2可得“涉；條件②：由八幻<0的解集得aec

的關系：條件③：尸/⑶的圖象過點(3,2)得9a+3b+c=2.

選擇條件①②：由。為可得/(x);選擇條件①③：由。,加c關系可得/(幻；選擇條件②③：

由a,。,c關系可得/(x).

(2)由y=/(x)的圖象在y=g(x)圖象的上方得f-3x+2>x-l,解不等式可得答案.

【詳解】(1)條件①；H^3/(X)=ax2+bx+c(a*0),

22

所以/(x+1)-/(x)=a(x+1)+b(x+1)+c-(or+for+c)=2ax+a+h=2x-29

2(〃-1)=0a=1

即2(a-l)x+a+8+2=0對任意的x恒成立，所以a=-2，解?得

+bb=-3

a>0

a>0

條件②：因為不等式〃幻<0的解集為&|l<x<2},所以■--=3,B|J-b=-3a.

a

c=2a

-=2

a

條件③：函數了=/*)的圖象過點(3,2),所以9a+3b+c=2.

選擇條件①②:a-l,Z?=-3,c=2,此時f(x)=x2-3x+2；

a=1

選擇條件①③：,〃=一3,貝lJ〃=l,Z?=-3,c=2,止匕時/(x)=f—3x+2；

9。+3。+。=2

。>0

x-xb=-3a.

選擇條件②③：\。,則〃=1,〃=-3,c=2,此時/(x)=f-3x+2.

c=2a

9a+3b+c=2

(2)由題知因為存在x使y=fM的圖象在y=g(x)圖象的上方，

所以f_3x+2>x-l,

解得(3,叱).

21.首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位

在國家科研部門的支持下進行技術攻關，采取了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化

工產品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處

理量X(噸)之間的函數關系可近似的表示為y=:x2-200x+80000，且處理每噸二氧化碳

得到可利用的化工產品價值為100元.

(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多

少元才能使單位不虧損？

【正確答案】(1)400噸；

(2)不獲利，需要國家每個月至少補貼40000元才能不虧損.

【分析】(1)由題設平均每噸二氧化碳的處理成本為上，應用基本不等式求其最小值，注

X

意等號成立條件.

(2)根據獲利S=100x-y,結合二次函數的性質判斷是否獲利，由其值域確定最少的補貼

額度.

【詳解】(1)由題意知，平均每噸二氧化碳的處理成本為

y180000…H~~80000……

—=-xH-----------200>2j—x-------------200=200；

x2xV2x

當且僅當!吧，即x=400時等號成立，

故該當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低為200元.

(2)不獲利，設該單位每個月獲利為S元，則

22

S=100x-y=100x-QY_200%+80000)=-1x+300x-80000=-1(%-300)-35000,

因為xe[400,600],貝I]Se[-80000,Y0000],

故該當單位每月不獲利，需要國家每個月至少補貼4000()元才能不虧損.

22.對于