2022年普通高等學(xué)校高中數(shù)學(xué)（理科）招生全國統(tǒng)一考試模擬試題（三） （廣東卷）

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試摹擬試題(三)理科數(shù)學(xué)(必

修+選修II)

第I卷

注意事項：

1.答第?卷前，考生務(wù)勢必自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目涂寫在答題卡上。

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。不能答在試題卷上。

3.本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，惟獨一項是符

合題目要求的。

參考公式：

如果事件A、B互斥，那末球的表面積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)S=4nR2

如果事件A、B相互獨立，那末其中R表示球的半徑

P(AB)=P(A)P(B)球的體積公式

4

如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,那末V=—nR3

3

n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中R表示球的半徑

P(k)=Ckpk(1—p)n-k(k=0,1,2,...n)

nn

一.選擇題

1.已知集合的=|，"?4一4。＜0舊.2“機(jī)則實數(shù)@的取值范圍是()

A.(1,)B.(1,??)C.(-嗎1)D.(0,1)

2.(理科)設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x),g(x)都有反函數(shù)，且函數(shù)f(x+2)和gf(x—3)的

圖象關(guān)于直線y=x對稱，若g(3)=2022,則f(5)等于()

A.2022B.2022C.2022D.2022

（|y+x-1W0,

3.已知變量x,y滿足約束條件（y-3x-lWO,則z=2x+y的最大值為（）

h-x+12O,

A.4B.2C.1D.-4

4.等差數(shù)列|a|的前n項和為S,若〈。的〉。，則下列結(jié)論不正確的是（）

n1111H

.A.B.-5|，<°C.S“>S|,D.

5.不等式|x-2-|x+R>a有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A^a>-4B、a共-4C、a共4D>a>4

6.上海世博園區(qū)志愿者部要將5名志愿者分配到三個場館服務(wù)，每一個場館至少1名，至多

2名，則不同的分配方案有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

7.將函數(shù)y=3sin（2x+9）的圖象匕按向量上,-1）平移得到圖象F,若圖象F,關(guān)于直線

b

X二一對稱，則9的一個可能取值是

4

2.2"5"5"

A.--B.C.二—D.一

3366

8.在編ABC中，若AB」（AB-2AC）,ACJ（AC-2AB）,則編ABC的形狀為

（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

9.設(shè)地球是半徑為R的球，地球上A、B兩地都在北緯45°的緯線上，A在東經(jīng)20°、B在

東經(jīng)110°的經(jīng)線上，則A、B兩地的球面距離是（）

A—Ro—Rc—R□—R

A.3B.3c,3D.3

4

10.已知點p在曲線y=—；上，a為曲線在點p處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是

ex+1

()

-?????3”311

A.[0,—)B.[-,—)C.(-,——]D.[——)

442244

11.已知*+1/?+1+2)+…+2)”,帆?/等于()

A.9B.11C.-11D.12

12.過雙曲線合yl=1（a>0,b>0）的左焦點F的直線I與雙曲線的左支交于A、B兩點，且以

32b2

線段AB為直徑的圓被雙曲線C的左準(zhǔn)線截得的劣弧的弧度數(shù)為一，那末雙曲線的離心率為

3

(B)\/3(02(D)述

3

第n卷

注意事項:

1.用0.5毫米的黑色字跡簽字筆在答題卡上作答。

2.本卷共10小題，共90分。

填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖，函數(shù)1的圖象在點L處的切線方程是

y---2z/xf(-2)?/(-2)

,且也是可導(dǎo)函數(shù)，則,

14.若在(X+3y2)n的展開式中，各項系數(shù)的和與各項二項式系

數(shù)的和之比為512,那末3n展開式中的常數(shù)項等于。

X

%?匕aI(a>6>0)

15.已知橢圓"h'的左、右焦點分別為F1.F2,若橢圓上存在一點P

則該橢圓的離心率e的取值范圍是.

16.如圖，在正四面體S—ABC中，E為SA的中點,F為編ABC的中心，則異面直線EF與AB

所成的角是_______________

三.解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或者演算步驟.

(17)(本小題滿分10分)

v2sin(x+_)

已知向量a=(sin2x,1).向量b=(_________土」)，函數(shù)f(x)=入(a.b—1)

2cosx

3幾

(1)若x=［一下±0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

⑵當(dāng)入=2時，寫出由函數(shù)y=sin2x的圖象變換到函數(shù)y=f(x)的圖象的變換過程。

(18)(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛a｝中，a=2,a=3,其前n項和S滿足S+S=2S+1(n=N)；數(shù)

n12nn+2nn+1

列｛b｝中，b=a,b=4b+6(n=N*).

n11n+1n

(1)求數(shù)列｛a｝｛b｝的通項公式；

⑵設(shè)C=b+2+（—1）i入.2an（入為非零整數(shù)，n仁1N?），試確定入的值，使得對任意nCN-,

都有c>c成立.

n+1n

（19）（本小題滿分12分）

已知直四棱柱ABCD—AECR的底面是菱形，且NDAB=60。，AD=AA『F為棱BBI的中

點，M為線段Aq的中點。

（1）求證：直線MF〃平面ABCD；

（2）求證:平面AFC主平面ACCA；

（3）求平面AFC5平面ABCD所成二面角的大小。

（20）（本小題滿分12分）

在某校運動會中，甲、乙、丙三支足球隊進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩隊比賽一場）共賽三場,

每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局。在每一場比賽中，甲勝乙的概率為」，甲勝

3

丙的概率為」，乙勝丙的概率為」；

43

（1）求甲隊獲第一位且丙隊獲第二名的概率；

⑵設(shè)在該次比賽中，甲隊得分為飛，求飛的分布列和數(shù)學(xué)期望。

（21）（本小題滿分12分）

,J的直線I過點

和橢圓C—+--=1(a>b>0)的

己知方向向量為V=

a2b2

右焦點，且橢圓的離心率為w.

0

（1）求橢圓C的方程；

（2）若已知點D（3,0）,點M,N是橢圓C上不重合的兩點，且而=入示I,求實數(shù)入的

取值范圍.

（22）（本小題滿分12分）

己矢必幻^2.71828}

⑴求的單調(diào)區(qū)間;

⑵設(shè)”0逐⑴'若存在。04）使得％J跖）14去成的取值范圍.

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試摹擬試題（三）

理科數(shù)學(xué)（必修+選修II）參考答案

第I卷（選擇題，共60分）

三、解答題（本題共6小題，總分70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或者演算步驟）

17、(本小題滿分io分)解：a.b=(sin2x,1).(題三±￡2^4l)=sinx(sinx+cosx)+1

2cosx

13J?幾3

=—(sin2x—cos2x)+_=2_sin(2x-_)+_

22242

幾1

:f(x)=sin(2x—-)+-]

"幾n"幾

(1)x共一：一幾共2x~-

44

當(dāng)、入>0c時，由-n幾4+c共幾共4+幾京得單調(diào)遞減區(qū)間為［―3幾石幾魂

幾幾

同理，當(dāng)人想。時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［一,一］

84

⑵當(dāng)入=2,f（x）=<5sin（2x—1）+1,變換過程如下:

4

幾幾

1°將y=sin2x的圖象向右平移一個單位可得函數(shù)y=sin（2x—一）的圖象。

84

2。將所得函數(shù)圖象上每一個點的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，而橫坐標(biāo)保持不變，可得函

數(shù)y=sin（2x—L）的圖象。

4

3°再將所得圖象向上平移一個單位，可得f（x）=6in（2x—2）+1的圖象

4

18.（第⑴小題6分，第（2）小題6分）

⑴由已知，s—S—（S—S)=1

n+2n+1n+1n

:a—a=1(n>1)

n+2n+1

又a—a=12分

數(shù)A{a}是以

a=2為首項，公差為1的等差數(shù)列.

n1

a=n+13分

n

Xb+2=4(b+2)

n+1n

：｛b+2｝是以4為公比，4為首項的等比數(shù)列

n

：b=4n—26分

n

(2)va=n+1,:b=4n—2c=4+(—1)n入.2m，

要使c>(:恒成立，

C-C=4+1—4n+(―1)n入.2n+2—(—1)n-1入.2n+1>0

n+1n

恒成立，

.'.3.4—3人.(-1)i&+1>o恒成立，

(―1)1入想2n-1恒成立.

(i)當(dāng)n為奇數(shù)時,即入想2n-1恒成立,

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，2L1有最小值為1,

入想110分

(門)當(dāng)門為偶數(shù)時，即入>—2-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，一2n-i有最大值一2,

入>—211分

即一2想入想1,又人為非零整數(shù)，則入=-1.

綜上所述，存在入=—1,使得對任意n=N*,都有c>c.12分

19、(本小題滿分12分)解法一：

(1)延長CF工CB的延長線于點N,連接AN。因為F是BB1的中點，

所以F為QN的中點，B為CN的中點。。

又M是線段AQ的中點，故MF〃AN。

又MFf乙平面ABCD,AN堅平面ABCD?A|\

...MF〃平面ABCD。：wAt

⑵證明：連BD,由直四棱柱ABCD—A凡CR

可知AA_L平面ABCD,J運上14

又宣"二平面ABCD,Z.AjAlBD.,

四邊形ABCD為菱形，，AC，BD。人弋工多考

又：ACnAA=A,AC,仁平面ACq/\。

...BDL平面Acq/\。

在四邊形DANB中，DA〃BN且DA=BN,所以四邊形DANB為平行四邊形

故NA〃BD,...NA,平面ACCA，又因為NA仁平面AFJ

...平面AFQIACC：^

⑶由(2)知BDLACCA],1又AC仁ACC/i，

/.BDlACj,；.BD〃NA,AACjlNAo

又由BD_LAC可知NA±AC,

.?.NCiAC就是平面AFQ與平面ABCD所成二面角的平面角或者補角。

CC1

在Rtz2\C,AC中，tunC'AC=—?———=,

1?CA.n

故NGAC=30。

平面AFQ與平面ABCD所成二面角的大小為30°或者150°

解法二：

設(shè)ACnBD=0,因為M、0分別為QA、CA的中點，所以，MO〃qC,

又由直四棱柱知Cf平面ABCD,所以MOJ_平面ABCD。

在棱形ABCD中，BD±AC,所以，OB、OC、OM兩兩垂直。

故可以。為原點，OB、OC、0M所在直線分別為X軸、y軸、Z軸如圖建立空間直角坐

標(biāo)系A(chǔ)I

若設(shè)|OB|=1,貝B(1,0,0),B[(1,0,2),_烏_C,

A(0,_瓜o),c(o,<3,o),J(o,'3,2)。

(1)由F、M分別為B空的中點可知：F(1,0,1),

MJo,o,1),所以MF=(1,o,o)=OB.

又RE與OB’不共線，所以，MF〃OB。

：MF億平面ABCD,OB仁平面ABCD,

；.MF〃平面ABCDo

(2)OB=(1,0,0)為平面ACC/1的法向量。

設(shè)n(x,y,z)為平面AFC1的一個法向量

則nJAF,nJMF.

由不(1,^1),MT=(1,0,0),得(儀+、‘2y+z=°,

.lx=0

令y=l,得z=-\3,此時n(0,1,—v3)

由于n.OB=(0,1?3).(1,0,0)=0,所以，平面AFq_L平面AcqAj

(3)OM=(0,0,1)為平面ABCD的法向量，設(shè)平面AFq與平面ABCD所成的二面角

的大小為9,

則18s9|=|cos<OM*,n>|-1=|、31=—

|OM||n|1人22

所以9=30°或者150°。

即平面AFQ與平面ABCD所成二面角的大小為30°或者150°。

20.(本小題滿分12分)解：(D設(shè)甲隊獲第一且丙隊獲第二為事件A,則

P(A)=一［」人(1—1)=」；

34318

(2)飛可能的取值為0,3,6；則

=1,11

甲兩場皆輸：POS=0)=(1——)A(1——)=—,

342

甲兩場只勝一場：P(飛=3)=1人(~1)+1人(1=b=￡

344312

甲兩場皆勝：「(飛=6)=-\-=—

3412

:飛的分布列為

036

飛

P251

21212

E飛=04+3亡+6人」.Z

212124