2023-2024學年山東省濟南五中九年級（上）10月月考數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年山東省濟南五中九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）

一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.%+2y=1B.2x（x-1）=2x2+3

C.3x+；=4D-%2-2=0

2.關(guān)于x的一元二次方程k/+4x-2=0有實數(shù)根，貝必的取值范圍是（）

A.fc>-2B.fc>一2且kHOC.k>一2且k。0D.k<-2

3.把方程/一8%+3=0化成（％+m）2=ri的形式，則?n,九的值是（）

A.4,13B.-4,19C.-4,13D.4,19

4,如果捻=云=磊=匕那么上的值為（）

A.-1B.jC.2或一1D."或一1

5.用配方法解一元二次方程2/一3%-1=0,配方正確的是（）

A.（x—|）2=竽B.（x-1）2=3C.（x-|）2=liD.（X—|）2=?

6.如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）

c.N

7.在久2口2尤丁口丁2的空格口中，分別填上“+”或“一”，在所得的代數(shù)式中，能構(gòu)成完全平方式的概率是（）

31

A.4-D.4-

8.如圖（1）、（2）中各有兩個三角形，其邊長和角的度數(shù)如圖上標注，則對圖（1）、（2）中的兩個三角形，下列

說法正確的是

()

A

D

s4

3/

<0

6

8

B

⑵

A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似

9如圖,在口4BCD中,點E是邊4。的中點，EC交對角線BD于點F,則EF：FC

等于()

A.3：2B.3：1C.1：1D.1：2

10.使用墻的一邊，再用13nl的鐵絲網(wǎng)圍成三邊，圍成一個面積為207n2的長方形，求這個長方形的兩邊長.設(shè)

墻的對邊長為%可得方程()

13—Y113—2r

A.x(13-x)=20B.x?寧=20C.x(13-/)=20D.x?色烏=20

二、填空題(本大題共6小題，共24.0分)

11.若關(guān)于x的一元二次方程2%2—3x+c=0的一個根是1,則c的值是.

12.關(guān)于x的方程(m-l)x2+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是.

13.在一個不透明的布袋中，有紅球、黑球、白球共60個，它們除顏色外其他都相同.小明從中任意摸出一個

球，查看色后放回并搖勻，通過多次摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黑球的頻率分別穩(wěn)定在0.15和0.45,則他

估計布袋中白球的個數(shù)約是個.

14.如圖，點D、E分另I」在2B、AC上，S.AABC=^AED,若DE=4,AE=5,BC=8,

則4B的長為.

15.如圖，點。在AZIBC的邊4C上，若要使△4BD與AZCB相似，可添加的一個條件是(只需寫出一個

).

D

16.如圖，已知點C、。是線段4B的兩個黃金分割點，若線段48的長10厘米，則線段CD長厘米.

三、解答題(本大題共8小題，共86.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題20.0分)

解下列方程：

(I)%2=25；

(2)x2-4x+2=0；

(3)/+3x+2=0；

(4)(x-1)(%+3)=5(%-1).

18.(本小題8.0分)

已知關(guān)于x的一元二次方程/一2x+m-1=0有兩個實數(shù)根.

(1)求m的取值范圍；

(2)設(shè)p是方程的一個實數(shù)根，且滿足(pz-2p+3)(m+4)=7,求ni的值.

19.(本小題8.0分)

我校為了進行學雷鋒愛心義賣活動，決定在操場劃分一塊面積為480平方米的矩形場地.若矩形場地的一邊靠

墻(墻長31米)，另外三邊由總長為60米的圍繩圍成，并且在垂直于墻的邊上各設(shè)置了一個開口寬為1米的入

口和出口(如圖).請根據(jù)方案計算出矩形場地的邊長各是多少米？

出口

20.(本小題8.0分)

在一個口袋中有3個完全相同的小球，把它們分別標號為1,2,3,隨機地摸出一個小球記下標號后放回,

再隨機地摸出一個小球記下標號，求兩次摸出小球的標號之和等于4的概率.

21.（本小題8.0分）

百貨大樓服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了迎接“十?一”

國慶節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果

每件童裝降價1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝

應降價多少元？

22.（本小題10.0分）

如圖，正方形4BCD中，M為BC上一點，/；1是AM的中點，EFLAM,垂足為F,交4D的延長線于點E,交DC于

點N.

(1)求證：△ABMSAEFA；

(2)若4B=12,BM=5,求DE的長.

23.（本小題12.0分）

如圖，點B、D、E在一條直線上，BE與AC相交于點F,黑港啜

(1)求證：/.BAD=^CAE；

(2)若NB4)=21°,求NEBC的度數(shù):

(3)若連接EC,求證：/^ABD^&ACE.

24.（本小題12.0分）

△4BC中，48=90。，AB=5cm,BC=6czn,點P從點4開始沿邊48向終點8以Icm/s的速度移動，與此

同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從點4、8同時出發(fā)，當點Q運

動到點c時，兩點停止運動.設(shè)運動時間為t秒.

(1)填空：BQ=—,PB=—(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)是否存在t的值，使得APBQ的面積等于4cm2?若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4x+2y=1是二元一次方程，故錯誤；

8、方程去括號得：2/-2X=2/+3,

整理得：-2%=3,為一元一次方程，故錯誤；

C、3%+工=4是分式方程，故錯誤；

X

。、/-2=0,符合一元二次方程的形式，正確.

故選。.

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

一元二次方程有三個特點：

(1)只含有一個未知數(shù)；

(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

(3)是整式方程.

要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理.如果能整理為ax?+

bx+c=0(a￥0)的形式，則這個方程就為一元二次方程.

2.【答案】C

【解析】【分析】

2

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=0(a^0)的根與4=b-4ac有如下關(guān)系：當4>0時,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；當4=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0時，方程無實數(shù)根.

根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k*0且』=42-4/cx(-2)>0,然后求出兩個不等式的公共

部分即可.

【解答】

解：根據(jù)題意得k0。且A=42—4fcx(-2)>0.

解得k>一2且k大0.

故選C.

3.【答案】C

【解析】解：X2-8%+3=0

??-%2—8%=—3

x2-8x+16=-3+16

(%—4)2=13

???m=—4,n=13

故選：C.

此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用，把左邊配成完全平方式，右邊化

為常數(shù).

配方法的一般步驟：

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；

(2)把二次項的系數(shù)化為1；

(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).

4.【答案】D

【解析】解：當。+6+。H0時，根據(jù)比例的等比性質(zhì)得到：熱彘*=溫籍=3=生

當Q+b+c=0時，a+b=-c,k=—=—=—1.

Q+匕—C

因而k的值是:或-1.

故選D.

分兩種情況討論.①a+b+cRO,利用比例的等比性質(zhì)得出；(2)a+b+c=0,利用分式的性質(zhì)得出.

利用等比性質(zhì)時，注意運用的條件：各式分母的和不等于0.

5.【答案】C

【解析】解：2x2-3x-1=0,

2x2-3x=1,

故選：C.

移項，系數(shù)化成1,再配方，即可得出選項.

本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【解析】【分析】

此題考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出4B,AC,BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應成比例的兩三角形相似判斷即可.

【解答】

解：根據(jù)題意得：AB=V32+I2=V_10，AC=7I?+12=C，BC=2,

AC：BC：AB=V2：2：-\J_10=1：V2：V5>

4、三邊之比為1：<5：24，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；

B、三邊之比為小無：<5：3,圖中的三角形（陰影部分）與△4BC不相似；

C、三邊之比為1：，石，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似；

D、三邊之比為2：V-5：Q2，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似.

故選：C.

7.【答案】C

【解析】【分析】

讓填上“+”或“一”后成為完全平方公式的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.此題考查完全平方公式

與概率的綜合應用，注意完全平方公式的形式.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；a2±

2ab+爐能構(gòu)成完全平方式.

【解答】解:能夠湊成完全平方公式，則2町前可是“-"，也可以是“+”，但y2前面的符號一定是：“+”，

此題總共有（一,-）、（+,+）、（+,一）、（一,+）四種情況,

能構(gòu)成完全平方公式的有2種（+,+）、（-,+）,

所以概率是今

故選：C.

8.【答案】A

【解析】【分析】

在圖（1）中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC,根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似證明；在圖（2）中，根據(jù)

兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明.

本題考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解：

上

D

在圖(1)中，zC=180°一乙4一=180°-75°-35°=70°,

則乙4=乙D,Z.C—乙E,

ABC^L.DFE；

在圖(2)中，—-=-=

工同IOD3OB63

tOA_OC

???OD='OB'

又上AOC=CDOB,

???△/lOC^ADOB.

故選：A.

9.【答案】D

【解析】【分析】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△OEFsABCF是解題關(guān)鍵.

根據(jù)題意得出ACEF7B”,進而得出普=喋，利用點E是邊4。的中點得出答案即可.

BCFC

【解答】

解：???。480

??.AD//BC,

DEF~>BCF,

.絲_史

‘說=麗’

,??點E是邊4。的中點，

1

?-AE=DE=^AD,

.EF_1

FC2

故選D

10.【答案】B

【解析】解：設(shè)墻的對邊長為xm,可得方程：XX苫三=20.

故選：B.

根據(jù)鐵絲網(wǎng)的總長度為13m,長方形的面積為20nl2,來列出關(guān)于萬的方程，由題意可知，墻的對邊為xm,

則長方形的另一對邊為亨m,則可利用面積公式求出即可.

本題主要考查長方形的周長和長方形的面積公式，得出矩形兩邊長是解題關(guān)鍵.

11.【答案】1

【解析】解：把x=1代入2/—3x+c=0得2—3+c=0,

解得c=1.

故答案為：1.

把x=1代入原方程得到2—3+c=0,然后解一次方程即可.

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

12.【答案】m>0且m羊1

【解析】解：???方程(巾一1)x2+2X—1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

m-1#0且A=22-4(m-1)x(-1)>0,

解得m>0,

即m的取值范圍為m>0且m01.

故答案為：m>0且m豐1.

根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到m-1豐0且/=22-4(zn-1)x(-1)>0,然后求出兩

個不等式的公共部分即可.

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+匕尤+c=0(aK0)的根與4=b2—4ac有如下關(guān)系：當4>0時,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；當4=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0時，方程無實數(shù)根.

13.【答案】24

【解析】解：根據(jù)題意得：60x(1—0.15-0.45)=60x0.4=24(個).

故答案為：24.

由紅球與黑球的頻率確定出白球的頻率，用頻率估計概率，用摸到白球的概率乘以60即可估算出白球數(shù).

此題考查了利用頻率估計概率，解答此題的關(guān)鍵是要計算出口袋中白色球所占的比例，再計算其個數(shù).

14.【答案】10

【解析】解：在AABC和△4ED中，

???Z.ABC=Z-AED,Z.BAC=Z.EAD,

AED^^ABC9

.?.竺=更，

AEED

又???DE=4,AE=5,BC=8,

-.AB=10.

故答案為：10.

根據(jù)已知條件可知△ABC^^AED,再通過兩三角形的相似比可求出4B的長.

本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證出△ABCSAAED,是一道基礎(chǔ)題.

15.【答案】UBD="

【解析】解：要使△4BC與AABD相似，還需具備的一個條件是N4BD="或N4DB=N4BC等，

故答案為：4ABD=&

兩組對應角相等，兩三角形相似.在本題中，兩三角形共用一個角，因此再添一組對應角即可

此題考查了相似三角形的判定.注意掌握有兩角對應相等的三角形相似與兩組對應邊的比相等且夾角對應

相等的兩個三角形相似定理的應用.

16.【答案】（10口一20）

【解析】【分析】

本題考查了黃金分割：把線段4B分成兩條線段BC和4C（BC>AC）,且使BC是力B和4c的比例中項（即4B：

BC=BC：AC）,叫做把線段4B黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.其中BC=匚羅AB,0.618AB，

并且線段4B的黃金分割點有兩個.根據(jù)黃金分割的定義得到4。=BC=話匚4B=5仁-5,然后利用

CD=AD+BC-AB進行計算.

【解答】

解：?:點C、。是線段48的兩個黃金分割點，

AD=BC=x10=5V~5-5，

ACD=AD+BC-AB=10AT5-10-10=（10門-20）cm.

故答案為（10C—20）.

17.【答案】解：（I）/=25,

x=±5.

**,X]=5,%2=—5；

（2）%2-4%+2=0,

%2—4%=-2

%2-4%+4=2,

(%—2)2=2,

%—2=±V-~2?

解得%i=2+A/-2,右=2—2;

(3)%2+3x+2=0,

(x+2)(%4-1)=0

x+2=0或％+1=0,

解得％i=-2,x2=-1；

(4)(%-1)(%+3)=5(%-1),

(%-1)(x4-3)-5(%-1)=0,

(%-1)(%+3—5)=0,

%—1=0或%—2=0,

解得%1=1,x2=2.

【解析】(1)直接開平方法解方程；

(2)根據(jù)配方法，可得答案；

(3)根據(jù)因式分解法，可得答案；

(4)根據(jù)因式分解法，可得答案.

本題考查了一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不同的題目選擇不同的方法.

18.【答案】解：(1)根據(jù)題意得/=川一4ac=4-4x-1)Z0,解得m42；

(2)p是方程的一個實數(shù)根，則p?—2p+m—1=0,則p2—2p+3=4—m,

則(p2—2p+3)(m+4)=7即(4—m)(4+m)=7,

解得：m=3(舍去)或-3.

故m的值為一3.

【解析】(1)若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式4=^2-4QCN0,建立關(guān)于血的不等式，求出租的

取值范圍.

(2)p是方程的一個實數(shù)根，則p2-2p+m-l=0,則p2-2p+3=4-代入(p?-2p+3)(m+4)=7,

求得m的值.

本題考查了方程的根的定義以及根的判別式，(2)中注意求得的m要滿足(1)中M的范圍.

19.【答案】解：設(shè)矩形場地的長為久米，則寬為*60—%+"2)=(31-?迷，

由題意得：(31-^x)x=480,

2

A31x-|x=480,

???x2-62x+960=0,

/.(%-30)(%-32)=0,

解得：％=30或x=32(舍去)，

31-=16,

，矩形場地的長為30米，寬為16米.

【解析】設(shè)矩形場地的長為X米，則寬為*60-x+lx2)=(31-耳)米，根據(jù)題意列出相應的一元二次

方程即可求解.

本題主要考查了一元二次方程的實際應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的方程.

20.【答案】解：由題意畫樹形圖如下：

123

123123123

和234345456

從樹形圖看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9個,這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，標號之和等于4的結(jié)果共有3種.

所以P(標號之和等于4)=5，

【解析】用樹狀圖列舉出所有情況，看兩次摸出小球的標號之和等于4的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可.

考查概率的求法；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.得到所求的情況數(shù)是解決本題的關(guān)

鍵.

21.【答案】解：設(shè)每件童裝應降價x元，則

(40-x)(20+2x)=1200,

即：%2-30%+200=0,

解得：%i=10,%2=20,

???要擴大銷售量，減少庫存，

???舍去》1=10.

答：每件童裝應降價20元.

【解析】設(shè)每件童裝降價萬元，那么平均每天就可多售出2x元，根據(jù)平均每天銷售這種童裝盈利1200元，

即銷量x每件的利潤=1200元，列出方程求解即可.

本題主要考查一元二次方程的應用，要根據(jù)題意列出平均每天就可多售出的件數(shù)，再根據(jù)題意列出現(xiàn)在一

天可售出的件數(shù)及每件盈利的總錢數(shù)，找出題中的等量關(guān)系列出方程求解即可.

22.【答案】⑴證明：???四邊形力BCD是正方形，

AB=AD,NB=90°,AD/IBC,

Z.AMB=Z.EAF,

又

^AFE=90°,

=Z.AFE,

ABM~AEFA；

(2)解：???48=90。，AB=12,BM=5,

AM=7122+52=13，AD=12,

???F是AM的中點，

：.AF=^AM=6.5,

???△EFA,

，.理=也

AFAE

即_L=史,

16.5AE

：.AE=16.9,

???DE=AE-AD=16.9-12=4.9.