2024年九年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中檢測北師大版

Page1期中檢測得分________卷后分________評價________一、選擇題(每小題3分，共30分)1．在下列二次函數(shù)中，其圖象的對稱軸為直線x＝2的是(D)A．y＝(x＋2)2－3B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2D．y＝2(x－2)22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cosA＝eq\f(5,13)，則BC的長為(B)A．8B．12C．13D．183．對于二次函數(shù)y＝x2－mx＋1，當(dāng)x≤3時，y隨x的增大而減小，則常數(shù)m的取值范圍為(C)A．m＝6B．m＞6C．m≥6D．m≤64．△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖所示，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列選項(xiàng)中錯誤的是(C)A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝1eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))5．將拋物線C1：y＝x2－2x＋3向左平移1個單位長度后得到拋物線C2，拋物線C2與拋物線C3關(guān)于x軸對稱，則拋物線C3的表達(dá)式為(A)A．y＝－x2－2B．y＝－x2＋2C．y＝x2－2D．y＝x2＋26．如圖所示的是放置在水平地面上的落地式話筒架及其示意圖，主桿AB垂直于地面，斜桿CD固定在主桿的點(diǎn)A處，若∠BAC＝α，AB＝120cm，AD＝40cm，則話筒夾點(diǎn)D離地面的高度DE為(B)A．(120＋40sinα)cmB．(120＋40cosα)cmC．(120＋eq\f(40,sinα))cmD．(120＋eq\f(40,cosα))cm7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以A為圓心，AB的長為半徑作圓弧交CD于點(diǎn)E，連接AE，BE，則tan∠AEB的值為(B)A．2B．3C．4D．58．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝－eq\f(1,2)，且與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0).下列結(jié)論：①abc＞0；②a＝b；③2a＋c＝0；④關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－1＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的序號是(D)A．①③B．②④C．③④D．②③9．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為(B)A．5B．2eq\r(6)C．3D．eq\r(26)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))10．如圖，在四邊形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，F(xiàn)G＝3，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，另一個頂點(diǎn)B(在點(diǎn)C左側(cè))在射線FG上，且BC＝1，AC＝2.將△ABC沿GF方向平移，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時停止．設(shè)CG的長為x，△ABC在平移過程中與四邊形DEFG重疊部分的面積為y，則下列圖象能正確地反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))二、填空題(每小題3分，共15分)11．已知點(diǎn)P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函數(shù)y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是__y1＝y(tǒng)2＜y3__．12．一人乘雪橇沿坡度為1∶eq\r(3)的斜坡滑下，滑下的距離s(m)與時間t(s)的關(guān)系為s＝10t＋2t2，若滑到坡底的時間為4s，則這個人下降的高度為__36__m.13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OABC的頂點(diǎn)B在二次函數(shù)y＝ax2(a＜0)的圖象上，且∠1＝15°，則a的值為__－eq\f(\r(2),3)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))14．如圖是小明畫的卡通圖形，每個正六邊形的邊長都相等，相鄰兩正六邊形的邊重合，點(diǎn)A，B，C均為正六邊形的頂點(diǎn)，AB與地面BC所成的銳角為β，則tanβ的值是__eq\f(19\r(3),15)__．15．如圖，已知點(diǎn)A(4，3)，點(diǎn)B為直線y＝－2上的一動點(diǎn)，點(diǎn)C(0，n)，－2＜n＜3，AC⊥BC于點(diǎn)C，連接AB.若直線AB與x軸正半軸所夾的銳角為α，當(dāng)sinα的值最大時，n的值為__eq\f(1,2)__．【解析】過點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于點(diǎn)M，AN⊥BN于點(diǎn)N，∵直線y＝－2與x軸平行，∴∠ABN＝α，∴當(dāng)sinα的值最大時，即tanα＝eq\f(AN,BN)＝eq\f(5,BN)的值最大，即BN的長度最小，BG的長度最大．∵∠CAM＝90°－∠ACM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴eq\f(CM,AM)＝eq\f(BG,CG)，即eq\f(3－n,4)＝eq\f(BG,n＋2)，∴BG＝－eq\f(1,4)(n－3)(n＋2)＝－eq\f(1,4)(n－eq\f(1,2))2＋eq\f(25,16)，∴當(dāng)n＝eq\f(1,2)時，BG的長度最大，即sinα的值最大．三、解答題(共75分)16．(8分)如圖，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(\r(2),2)，AB＝3，求AC的長．解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵在Rt△ABD中，AD＝AB·sinB＝3×eq\f(1,3)＝1，∴在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tanC)＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(12＋（\r(2)）2)＝eq\r(3)17．(8分)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)與x軸交于A(－3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若C(m，y1)，D(n，y2)(m＜n)是拋物線y＝ax2＋bx＋3上的兩點(diǎn)，若拋物線上點(diǎn)C和點(diǎn)D之間(包含C，D兩點(diǎn))的一動點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍為－eq\f(9,4)≤yM≤3，求m＋n的值．解：(1)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(9a－3b＋3＝0，,a＋b＋3＝0，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，)))∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3(2)∵當(dāng)y＝－x2－2x＋3＝－eq\f(9,4)時，解得x1＝－eq\f(7,2)，x2＝eq\f(3,2)；當(dāng)y＝－x2－2x＋3＝3時，解得x3＝－2，x4＝0，∴該拋物線與直線y＝－eq\f(9,4)交于(－eq\f(7,2)，－eq\f(9,4))，(eq\f(3,2)，－eq\f(9,4))兩點(diǎn)，與直線y＝3交于(－2，3)，(0，3)兩點(diǎn)，∴點(diǎn)C，D的位置有如下2種情況：①如圖①，點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)D(eq\f(3,2)，－eq\f(9,4))，∴m＝0，n＝eq\f(3,2)，∴此時m＋n＝0＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)；②如圖②，點(diǎn)C(－eq\f(7,2)，－eq\f(9,4))，點(diǎn)D(－2，3)，∴m＝－eq\f(7,2)，n＝－2，∴m＋n＝－eq\f(7,2)－2＝－eq\f(11,2).綜上所述，m＋n的值為eq\f(3,2)或－eq\f(11,2)如圖，將邊長為40cm的正方形硬紙板的四個角各剪掉一個邊長為xcm的小正方形后折成一個無蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計)，設(shè)折成的盒子的側(cè)面積為Scm2.(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求折成的無蓋盒子的側(cè)面積的最大值．解：(1)根據(jù)題意可知S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝4(40－2x)x＝－8x2＋160x(0＜x＜20)(2)∵S＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，0＜x＜20，∴當(dāng)x＝10時，S最大值＝800，∴折成的無蓋盒子的側(cè)面積的最大值為800cm219．(8分)如圖，甲、乙兩座建筑物的距離BC為78m，從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為48°，測得底部C處的俯角為58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60).解：作AE⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)E，則四邊形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝78m，AB＝CE，∴在Rt△ACE中，EC＝AE·tan∠CAE＝78tan58°≈78×1.60≈125(m)，在Rt△AED中，DE＝AE·tan∠DAE＝78tan48°≈78×1.11≈87(m)，∴CD＝EC－DE≈125－87＝38(m)，∴甲建筑物的高度AB約為125m，乙建筑物的高度DC約為38m20．(9分)甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在O點(diǎn)正上方1m的P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y(m)與水平距離x(m)之間滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝a(x－4)2＋h，已知點(diǎn)O與球網(wǎng)的水平距離為5m，球網(wǎng)的高度為1.55m.(1)當(dāng)a＝－eq\f(1,24)時，①求h的值；②通過計算判斷此球能否過網(wǎng)；(2)若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到與點(diǎn)O的水平距離為7m，離地面的高度為eq\f(12,5)m的Q處時乙將扣球成功，求a的值．解：(1)①當(dāng)a＝－eq\f(1,24)時，y＝－eq\f(1,24)(x－4)2＋h，將點(diǎn)P(0，1)代入，得－eq\f(1,24)×16＋h＝1，解得h＝eq\f(5,3)②把x＝5代入y＝－eq\f(1,24)(x－4)2＋eq\f(5,3)，得y＝－eq\f(1,24)×(5－4)2＋eq\f(5,3)＝1.625.∵1.625＞1.55，∴此球能過網(wǎng)(2)把(0，1)，(7，eq\f(12,5))分別代入y＝a(x－4)2＋h，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a＋h＝1，,9a＋h＝\f(12,5)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,5)，,h＝\f(21,5)，))∴a的值為－eq\f(1,5)21．(10分)小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東30°方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走150m到達(dá)C處，再沿北偏東22.6°方向前往游樂場D處與小明會合(如圖所示)，兩人所走的路程相同，求公園北門A與南門B之間的距離(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin22.6°≈eq\f(5,13)，cos22.6°≈eq\f(12,13)，tan22.6°≈eq\f(5,12)，eq\r(3)≈1.732).解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，則四邊形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150m．設(shè)DF＝xm，則DE＝(x＋150)m.∵∠BAD＝30°，∠DCF＝22.6°，∴AD＝2DE＝2(x＋150)＝(2x＋300)m，CD＝eq\f(DF,sin∠DCF)＝eq\f(x,sin22.6°)≈eq\f(x,\f(5,13))＝eq\f(13,5)x(m).又∵AD＝BC＋CD，∴2x＋300≈150＋eq\f(13,5)x，解得x≈250，∴DF≈250m，DE≈400m，AD≈800m，CD≈650m，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)≈eq\r(8002－4002)＝400eq\r(3)(m)，BE＝CF＝eq\r(CD2－DF2)≈eq\r(6502－2502)＝600(m)，∴AB＝AE＋BE≈400eq\r(3)＋600≈1293(m)，∴公園北門A與南門B之間的距離約為1293m22．(10分)某種農(nóng)產(chǎn)品在某月(按30天計)的第x天(x為正整數(shù))的銷售價格p(元/kg)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為p＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)x＋4（0<x≤20），,－\f(1,5)x＋12（20<x≤30），)))銷售量y(kg)與x之間的關(guān)系如圖所示．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)月第幾天該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額最大？最大銷售額是多少？解：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－2x＋80（0<x≤20），,4x－40（20<x≤30）)))(2)設(shè)當(dāng)月第x天的銷售額為w元，①當(dāng)0＜x≤20時，w＝py＝(eq\f(2,5)x＋4)(－2x＋80)＝－eq\f(4,5)x2＋24x＋320＝－eq\f(4,5)(x－15)2＋500，∴當(dāng)x＝15時，w最大值＝500；②當(dāng)20＜x≤30時，w＝py＝(－eq\f(1,5)x＋12)(4x－40)＝－eq\f(4,5)x2＋56x－480＝－eq\f(4,5)(x－35)2＋500，∴當(dāng)x＝30時，w最大值＝480.∵500>480，∴當(dāng)月第15天該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額最大，最大銷售額是500元23．(14分)如圖，拋物線y＝ax2－3x＋c與x軸交于A(－4，0)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，點(diǎn)D為x軸上方拋物線上的動點(diǎn)，射線OD交直線AC于點(diǎn)E，將射線OD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點(diǎn)F，連接DF.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在第二象限且eq\f(DE,EO)＝eq\f(3,4)時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)△ODF為直角三角形時，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：(1)根據(jù)題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(（－4）2a－3×（－4）＋c＝0，,c＝4，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝4，)))∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2－3x＋4