2015年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2015年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，在答題紙的相應(yīng)題號的選項(xiàng)上用2B鉛筆填涂]1．（4分）已知3x=2y，那么下列等式一定成立的是（）A．x=2，y=3 B．= C．= D．3x+2y=02．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．tanB=3．（4分）拋物線y=﹣x2的圖象向右平移2個(gè)單位長度后所得新的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（2，0）4．（4分）在直角坐標(biāo)平面中，M（2，0），圓M的半徑為4，那么點(diǎn)P（﹣2，3）與圓M的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．不能確定5．（4分）一斜坡長為米，高度為1米，那么坡比為（）A．1：3 B．1： C．1： D．1：6．（4分）在同圓或等圓中，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．相等弦所對的弧相等 B．相等弦所對的圓心角相等 C．相等圓心角所對的弧相等 D．相等圓心角所對的弦相等二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】7．（4分）若與方向相反且長度為3，那么=．8．（4分）若α為銳角，已知cosα=，那么tanα=．9．（4分）△ABC中，∠C=90°，G為其重心，若CG=2，那么AB=．10．（4分）一個(gè)矩形的周長為16，設(shè)其一邊的長為x，面積為S，則S關(guān)于x的函數(shù)解析式是．11．（4分）如果拋物線y=x2+mx﹣1的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，那么m的值為．12．（4分）正n邊形的邊長與半徑的夾角為75°，那么n=．13．（4分）相鄰兩邊長的比值是黃金分割數(shù)的矩形，叫做黃金矩形，從外形看，它最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果較長的一條邊長等于20厘米，那么相鄰一條邊的邊長等于厘米．14．（4分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（5，﹣3），其對稱軸為直線x=4，則拋物線一定經(jīng)過另一點(diǎn)的坐標(biāo)是．15．（4分）如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，若△PEF的面積為3，那么△PDC與△PAB的面積和等于．16．（4分）已知圓A與圓B內(nèi)切，AB=10，圓A半徑為4，那么圓B的半徑為．17．（4分）已知拋物線y=a（x+1）2+2過（0，y1）、（3，y2），若y1＞y2，那么a的取值范圍是．18．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．在平面內(nèi)將△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落到A′，點(diǎn)C落到C′，若旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′和點(diǎn)A、點(diǎn)B正好在同一直線上，那么∠A′AC′的正切值等于．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：﹣cos60°．20．（10分）一個(gè)弓形橋洞截面示意圖如圖所示，圓心為O，弦AB是水底線，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位線，DE∥AB．（1）當(dāng)水位線DE=4m時(shí)，求此時(shí)的水深；（2）若水位線以一定的速度下降，當(dāng)水深8m時(shí)，求此時(shí)∠ACD的余切值．21．（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，過點(diǎn)C作CE∥AB交BD的延長線于點(diǎn)E，=，=．（1）求（用向量、的式子表示）；（2）求作向量+（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．22．（10分）在中俄“海上聯(lián)合﹣2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）23．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，過D作AC∥DE交BC的延長線于點(diǎn)E，且CD2=AC?DE（1）求證：∠DAC=∠DCE；（2）若AD2=AB?AD+AC?DE，求證：∠ACD=90°．24．（12分）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=，D為OC中點(diǎn)，直線y=﹣2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D．（1）求此拋物線解析式和頂點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）求證：∠ODB=∠OAD；（3）設(shè)直線AD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在x軸上，若△AMP與△BND相似，求點(diǎn)N坐標(biāo)．25．（14分）已知：矩形ABCD中，過點(diǎn)B作BG⊥AC交AC于點(diǎn)E，分別交射線AD于F點(diǎn)、交射線CD于G點(diǎn)，BC=6．（1）當(dāng)點(diǎn)F為AD中點(diǎn)時(shí)，求AB的長；（2）聯(lián)結(jié)AG，設(shè)AB=x，S△AFG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（3）是否存在x的值，使以D為圓心的圓與BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

2015年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，在答題紙的相應(yīng)題號的選項(xiàng)上用2B鉛筆填涂]1．（4分）已知3x=2y，那么下列等式一定成立的是（）A．x=2，y=3 B．= C．= D．3x+2y=0【考點(diǎn)】S1：比例的性質(zhì)．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，代數(shù)式求值，可得答案．【解答】解：A、x=2，y=3時(shí)，3x=2y，故A正確；C、當(dāng)y=0時(shí)，=無意義，故C錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)的積等于兩外項(xiàng)的積，利用了代數(shù)式求值．2．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，則下列結(jié)論正確的是（）A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．tanB=【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】先利用勾股定理求出AB的長度，然后求出sinA、tanA、cosB、tanB的值，進(jìn)行判斷．【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，∴AB==，則sinA==，tanA==，cosB==，tanB==2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義．3．（4分）拋物線y=﹣x2的圖象向右平移2個(gè)單位長度后所得新的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（2，0）【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），再根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵拋物線y=﹣x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），∴向右平移2個(gè)單位得到新拋物線的解析式，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．4．（4分）在直角坐標(biāo)平面中，M（2，0），圓M的半徑為4，那么點(diǎn)P（﹣2，3）與圓M的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓上 C．點(diǎn)P在圓外 D．不能確定【考點(diǎn)】D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；M8：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【分析】求得線段MP的長后與圓M的半徑比較即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：∵M(jìn)（2，0），P（﹣2，3），∴MP==5，∵圓M的半徑為4，∴點(diǎn)P在圓外，故選：C．【點(diǎn)評】考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也就是比較點(diǎn)與圓心的距離和半徑的大小關(guān)系．5．（4分）一斜坡長為米，高度為1米，那么坡比為（）A．1：3 B．1： C．1： D．1：【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【分析】直接利用坡度的定義，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵一斜坡長為米，高度為1米，∴坡的水平寬度為：3m，∴坡比為：．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了破度的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．6．（4分）在同圓或等圓中，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．相等弦所對的弧相等 B．相等弦所對的圓心角相等 C．相等圓心角所對的弧相等 D．相等圓心角所對的弦相等【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】利用在同圓和等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，判斷出B、C、D三選項(xiàng)都正確；而同圓或等圓中，同一條弦（不是直徑）對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，所以可判斷出A選項(xiàng)錯(cuò)誤．【解答】解：A、相等弦所對的弧不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、相等弦所對的圓心角相等，故本選項(xiàng)正確；C、相等圓心角所對的弧相等，故本選項(xiàng)正確；D、相等圓心角所對的弦相等，故本選項(xiàng)正確．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．注意：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】7．（4分）若與方向相反且長度為3，那么=﹣3．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】由與方向相反且長度為3，根據(jù)向量的概念，即可得=﹣3．【解答】解：∵與方向相反且長度為3，∴=﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識．此題難度不大，注意理解平面向量的概念是解此題的關(guān)鍵．8．（4分）若α為銳角，已知cosα=，那么tanα=．【考點(diǎn)】T3：同角三角函數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)正弦的平方與余弦的平方和等于1，可得正弦函數(shù)值，根據(jù)正切函數(shù)等于正弦值與與余弦的比，可得答案．【解答】解：由α為銳角，已知cosα=，得sinα==，由正切函數(shù)等于正弦值與與余弦的比，得tanα===，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，正弦的平方與余弦的平方和等于1，正切函數(shù)等于正弦值與與余弦的比．9．（4分）△ABC中，∠C=90°，G為其重心，若CG=2，那么AB=6．【考點(diǎn)】K5：三角形的重心．【分析】如圖，運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)，求出DG=1，CD=3；運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可解決問題．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)G為△ABC的重心，且CG=2，∴CG=2DG=2，∴DG=1，CD=3；由直角三角形的性質(zhì)得：AB=2CD=6，故答案為6．【點(diǎn)評】該題主要考查了三角形重心的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握三角形重心的性質(zhì)，這是靈活運(yùn)用、解題的關(guān)鍵．10．（4分）一個(gè)矩形的周長為16，設(shè)其一邊的長為x，面積為S，則S關(guān)于x的函數(shù)解析式是8x﹣x2．【考點(diǎn)】HD：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．【分析】首先求得矩形的另一邊長，則面積=兩邊長的乘積，得出函數(shù)解析式．【解答】解：∵矩形的周長為16，其一邊的長為x，∴另一邊長為8﹣x，∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．故答案為：S=8x﹣x2．【點(diǎn)評】此題考查列二次函數(shù)關(guān)系式；得到矩形的另一邊長是解決本題的突破點(diǎn)．11．（4分）如果拋物線y=x2+mx﹣1的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，那么m的值為﹣2．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)公式列方程求解即可．【解答】解：由題意得，﹣=1，解得m=﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題的關(guān)鍵．12．（4分）正n邊形的邊長與半徑的夾角為75°，那么n=12．【考點(diǎn)】MM：正多邊形和圓．【分析】先根據(jù)正n邊形的邊長與半徑的夾角為75°求出一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的各角都相等可列出關(guān)于n的方程，求出n的值即可．【解答】解：∵正n邊形的邊長與半徑的夾角為75°，∴一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)=150°，即=150°．解得n=12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．13．（4分）相鄰兩邊長的比值是黃金分割數(shù)的矩形，叫做黃金矩形，從外形看，它最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果較長的一條邊長等于20厘米，那么相鄰一條邊的邊長等于（10﹣10）厘米．【考點(diǎn)】S3：黃金分割．【分析】由黃金矩形的定義，可知黃金矩形的寬與長之比為，設(shè)所求邊長為x，代入已知數(shù)據(jù)即可得出答案．【解答】解：設(shè)所求邊長為x，由題意，得=，解得x=（10﹣10）cm．故答案為（10﹣10）．【點(diǎn)評】本題主要考查了黃金分割點(diǎn)的概念，需要熟記黃金比的值，難度適中．14．（4分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（5，﹣3），其對稱軸為直線x=4，則拋物線一定經(jīng)過另一點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，﹣3）．【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可．【解答】解：∵點(diǎn)（5，﹣3）關(guān)于對稱軸直線x=4的對稱點(diǎn)為（3，﹣3），∴拋物線一定經(jīng)過另一點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，﹣3）．故答案為：（3，﹣3）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的對稱性．15．（4分）如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，若△PEF的面積為3，那么△PDC與△PAB的面積和等于12．【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理；L5：平行四邊形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】利用三角形中位線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)得出=，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵E、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，∴EFBC，∴=，∵△PEF的面積為3，∴S△PBC=12，∵P為平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，∴S△PBC=S平行四邊形ABCD=12，∴△PDC與△PAB的面積和等于12．故答案為：12．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)等知識，得出S△PBC=S平行四邊形ABCD是解題關(guān)鍵．16．（4分）已知圓A與圓B內(nèi)切，AB=10，圓A半徑為4，那么圓B的半徑為14．【考點(diǎn)】MJ：圓與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)內(nèi)切兩圓的半徑之差等于兩圓的圓心距即可求解．【解答】解：設(shè)圓B的半徑為R，根據(jù)題意得：R﹣4=10，解得：R=14，故答案為：14．【點(diǎn)評】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能夠了解兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距等于兩圓的半徑之差．17．（4分）已知拋物線y=a（x+1）2+2過（0，y1）、（3，y2），若y1＞y2，那么a的取值范圍是a＜0．【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到y(tǒng)1=a+2，y2=16a+2，再由y1＞y2，得a＞16a，然后解不等式即可．【解答】a＜0；解：∵拋物線y=a（x+1）2+2過（0，y1）、（3，y2），∴y1=a+2，y2=16a+2，∵y1＞y2，∴a＞16a，∴a＜0．故答案為a＜0．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．18．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．在平面內(nèi)將△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落到A′，點(diǎn)C落到C′，若旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′和點(diǎn)A、點(diǎn)B正好在同一直線上，那么∠A′AC′的正切值等于或3．【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題．【分析】分類討論：當(dāng)C′點(diǎn)在線段AB上，如圖1，連結(jié)AA′，先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，在根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC′=BC=4，A′C′=AC=3，則AC′=AB﹣BC′=1，然后在Rt△AA′C′中，利用正切的定義即可得到tan∠A′AC′==3；當(dāng)C′點(diǎn)在線段AB的延長線上，如圖2連結(jié)AA′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC′=BC=4，A′C′=AC=3，則AC′=AB+BC′=9，然后在Rt△AA′C′中，根據(jù)正切的定義得到tan∠A′AC′==．【解答】解：當(dāng)C′點(diǎn)在線段AB上，如圖1，連結(jié)AA′，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵在平面內(nèi)將△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落到A′，點(diǎn)C落到C′，∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，∴AC′=AB﹣BC′=1，在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′===3；當(dāng)C′點(diǎn)在線段AB的延長線上，如圖2，連結(jié)AA′，∵在平面內(nèi)將△ABC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A落到A′，點(diǎn)C落到C′，∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，∴AC′=AB+BC′=9，在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′===，綜合所述，∠A′AC′的正切值等于或3．故答案為或3．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了銳角三角函數(shù)的定義．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：﹣cos60°．【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解即可．【解答】解：原式=﹣×=﹣=﹣．【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．20．（10分）一個(gè)弓形橋洞截面示意圖如圖所示，圓心為O，弦AB是水底線，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位線，DE∥AB．（1）當(dāng)水位線DE=4m時(shí)，求此時(shí)的水深；（2）若水位線以一定的速度下降，當(dāng)水深8m時(shí)，求此時(shí)∠ACD的余切值．【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；M3：垂徑定理的應(yīng)用．【分析】（1）延長CO交DE于點(diǎn)F，連接OD，根據(jù)垂徑定理求出BC的長，由sin∠COB=得出OB的長，根據(jù)DE∥AB可知∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．由OF過圓心可得出DF的長，再根據(jù)勾股定理求出OF的長，進(jìn)而可得出CF的長；（2）若水位線以一定的速度下降，當(dāng)水深8m時(shí)，即CF=8m，則OF=CF﹣OC=3m，連接CD，在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的長，由cot∠ACD=cot∠CDF即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）延長CO交DE于點(diǎn)F，連接OD∵OC⊥AB，OC過圓心，AB=24m，∴BC=AB=12m．在Rt△BCO中，sin∠COB==，∴OB=13mCO=5m．∵DE∥AB，∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．又∵OF過圓心，∴DF=DE=×4=2m．在Rt△DFO中，OF===7m，∴CF=CO+OF=12m，即當(dāng)水位線DE=4m時(shí)，此時(shí)的水深為12m；（2）若水位線以一定的速度下降，當(dāng)水深8m時(shí)，即CF=8m，則OF=CF﹣OC=3m，連接CD，在Rt△ODF中，DF===4m．在Rt△CDF中，cot∠CDF==．∵DE∥AB，∴∠ACD=∠CDE，∴cot∠ACD=cot∠CDF=．答：若水位線以一定的速度下降，當(dāng)水深8m時(shí)，此時(shí)∠ACD的余切值為．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，過點(diǎn)C作CE∥AB交BD的延長線于點(diǎn)E，=，=．（1）求（用向量、的式子表示）；（2）求作向量+（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，CE∥AB，可得AB=2CE，然后由=，=，即可求得；（2）由平行線分線段成比例定理，可得=，然后由三角形法則，即可求得答案．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴，∵AB=AC=12，DC=4，∴AD=8；∴=，∴AB=2CE，∵，∴，∴=﹣=﹣；（2）如圖，即為所求．∵AB∥CE，∴BD：DE=AB：CE=2，∴===﹣，∵=+=+，∴+=+．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的知識．此題難度適中，注意掌握三角形法則的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．（10分）在中俄“海上聯(lián)合﹣2014”反潛演習(xí)中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機(jī)B測得潛艇C的俯角為68°，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出潛艇C離開海平面的下潛深度．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【專題】121：幾何圖形問題．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D，則AD即為潛艇C的下潛深度，分別在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，從而利用二者之間的關(guān)系列出方程求解．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D，則AD即為潛艇C的下潛深度，根據(jù)題意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，設(shè)AD=x，則BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD===，在Rt△BCD中，BD=CD?tan68°，∴1000+x=x?tan68°解得：x=≈≈308米，（分母有理化化簡得到296米）兩個(gè)答案都是正確的．∴潛艇C離開海平面的下潛深度為308米或296米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形并選擇合適的邊角關(guān)系求解．23．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，過D作AC∥DE交BC的延長線于點(diǎn)E，且CD2=AC?DE（1）求證：∠DAC=∠DCE；（2）若AD2=AB?AD+AC?DE，求證：∠ACD=90°．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】14：證明題．【分析】（1）證明∠ACD=∠CDE，，得到△ACD∽△CDE，即可解決問題．（2）證明∠ACB=∠ADC，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；結(jié)合∠B=∠ACD，得到△ABC∽△ACD，進(jìn)而證明AC2=AD?AB，結(jié)合已知條件證明AD2=AC2+CD2，即可解決問題．【解答】證明：（1）如圖，∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE；又∵CD2=AC?DE，∴；∴△ACD∽△CDE，∴∠DAC=∠DCE．（2）∵△ACD∽△CDE，∴∠ADC=∠E；∵AC∥DE，∴∠ACB=∠E，∴∠ACB=∠ADC；∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴，∴AC2=AD?AB，∵AD2=AB?AD+AC?DE，CD2=AC?DE，∴AD2=AC2+CD2，∴∠ACD=90°．【點(diǎn)評】該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；牢固掌握判定定理及性質(zhì)定理是靈活解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．24．（12分）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=，D為OC中點(diǎn)，直線y=﹣2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D．（1）求此拋物線解析式和頂點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）求證：∠ODB=∠OAD；（3）設(shè)直線AD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在x軸上，若△AMP與△BND相似，求點(diǎn)N坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【專題】16：壓軸題．【分析】（1）利用直線解析式求出點(diǎn)A、D，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；（2）求出∠ODB和∠OAD的正切值，然后根據(jù)等角的正切值相等證明；（3）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出∠AMP=∠OBD，然后求出AM、PM、BD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論求出BN，再求出ON，最后寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．【解答】（1）解：∵直線y=﹣2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，∴A（1，0），D（0，2），∵D為OC中點(diǎn)，∴C（0，4），∵A（1，0），對稱軸為直線x=，∴B（4，0），∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C點(diǎn)，∴，解得，∴此拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）；（2）證明：在Rt△AOD和Rt△ACD中，∠DOB=90°，∴tan∠ODB===2，tan∠OAD===2，∴∠ODB=∠OAD；（3）解：∵直線AD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，對稱軸為直線x=，∴M（，﹣3），∵∠ODB=∠OAD，∴∠ADO=∠OBD，∵對稱軸平行于y軸，∴∠ADO=∠AMP，∴∠AMP=∠OBD，∵AM