8.2.4三角恒等變換的應(yīng)用第2課時課件-【知識精講精研】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊

三角恒等變換的應(yīng)用第2課時新知探究問題1試寫出兩角和與差的正、余弦公式，由這些公式還能得到其它公式嗎？cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβsin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ．新知探究問題2

如果已知cos（α－β）＝

，cos（α－β）＝

，你能求出cosαcosβ以及sinαsinβ的值嗎？因為cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ，所以兩式分別相加、相減之后整理可得cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，cosαcosβ＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]（4）sinαsinβ＝[cos（α＋β）－cos（α－β）]（5）新知探究追問：那么由兩角和與差的正弦公式能得到什么呢？解答：由sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ．（4），（5），（6），（7）的左邊是積的形式，右邊是和或者差的形式，因此被稱為積化和差公式．可得：sinαcosβ＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]（6）cosαsinβ＝[sin（α＋β）－sin（α－β）]（7）新知探究因此可知f（x）的最大值為1．問題3借助（4）式求出函數(shù)f（x）＝cos（x＋

）＋cos（x－

）的最大值嗎？根據(jù)（4）式可知，f（x）＝2cosxcos＝cosx新知探究從而（4），（5），（6），（7）可分別改寫為：這四個公式左邊是和或差的形式，右邊是積的形式，因此被稱為和差化積公式．問題4令x＝α＋β，y＝α－β，積化和差公式可以改寫為什么？一般地，如果x＝α＋β，y＝α－β，則積化和差公式新知探究公式規(guī)律：公式右邊中括號前的系數(shù)都有

；中括號中前后兩項的角分別為α＋β和α－β；每個式子的右邊分別是這兩個角的同名函數(shù)．和差化積公式新知探究初步應(yīng)用例1

求函數(shù)的周期與最大值．由積化和差公式可知所以函數(shù)的周期為

，最大值為初步應(yīng)用例2

求函數(shù)的周期和最大值．由和差化積公式可知所以函數(shù)的周期為T＝2π，最大值為初步應(yīng)用例3

已知A＋B＋C＝180°，求證：證明：因為A＋B＋C＝180°，所以因此：初步應(yīng)用例4

觀察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性作出證明．初步應(yīng)用sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝追問1：你打算從哪些角度分析這些式子的相同點與不同點？試逐條分析，并寫出一般規(guī)律．可以從角、函數(shù)名、次數(shù)三個角度著手分析．角：每個式子均包括四個角，第一、第三個角相同；第二、第四個角相同，且比第一、三個角大30°；函數(shù)名：每個式子均出現(xiàn)四個函數(shù)名，且從左向右均為正弦、余弦、正弦、余弦；次數(shù)：各式各項均為二次．故可歸納出等式sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）＝初步應(yīng)用sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝追問2：仔細觀察剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能找到等式兩側(cè)的差異嗎？如何設(shè)計變換方案呢？有兩種方案．方案一：從角度差異著手，等式左側(cè)有α，α＋30°兩個角，而等式右側(cè)沒有角，可將α＋30°看作兩角和展開，這樣可減少左側(cè)角的個數(shù)，縮小與右側(cè)的差異；方案二：從次數(shù)差異著手，等式左側(cè)均為二次，右側(cè)為非零常數(shù)，零次，故采用降冪擴角公式（半角公式），積化和差公式降低左側(cè)次數(shù)，縮小與右側(cè)的差異．初步應(yīng)用sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝反映一般規(guī)律的等式是sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）＝證法一：左邊＝＝右邊．初步應(yīng)用sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝反映一般規(guī)律的等式是sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）＝證法二：左邊＝＝右邊．練習(xí)練習(xí)：教科書練習(xí)A：2，3，4．歸納小結(jié)在進行三角恒等變換時，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降冪公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用