陜西省安康市高新中學(xué)高三上學(xué)期8月摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題

安康市高新中學(xué)2021屆高三八月摸底考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則運(yùn)算求解.【詳解】由題得.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：，因?yàn)椤啵蔬x：D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，以及交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式知：為奇函數(shù)且上恒正，即可得正確選項(xiàng).【詳解】，故為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象，屬于簡(jiǎn)單題.4.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況（利潤(rùn)=收入支出），下列說法錯(cuò)誤的是（）A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤(rùn)最大C.這一年的總利潤(rùn)超過400萬元 D.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30【答案】C【解析】【分析】由圖中的數(shù)據(jù)逐一分析選項(xiàng)，可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：第11月份的收入最高：為90萬元，第3月份和第4月份的收入最低：為30萬元，所以月收入的極差為60萬元，故A選項(xiàng)正確；1至12月份的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以7月份的利潤(rùn)最大，為60萬元，故B選項(xiàng)正確；總利潤(rùn)為380萬元，故C選項(xiàng)不正確；這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故D選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拆線統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別，以及理解并計(jì)算統(tǒng)計(jì)的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.6.執(zhí)行如圖所示程序框圖，若輸出的，則判斷框中填入的條件可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】解：，；不滿足輸出條件，故進(jìn)行循環(huán)，執(zhí)行完循環(huán)體后，，；不滿足輸出條件，故進(jìn)行循環(huán)，執(zhí)行完循環(huán)體后，，，當(dāng)，時(shí)，滿足輸出條件，故判斷框中應(yīng)填入的條件為，故選:A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線在點(diǎn)處切線的斜率即可；【詳解】由原函數(shù)有：，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，屬于簡(jiǎn)單題.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別判定，，的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】，，，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查比較對(duì)數(shù)與指數(shù)的大小，熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.9.正三棱柱中，，D是BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角，考查計(jì)算能力,屬于容易題.10.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，現(xiàn)要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得，，，，則A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A.80 B. C.160 D.【答案】D【解析】【分析】如圖，中可得，再利用正弦定理得，在中，由余弦定理，即可得答案；【詳解】如圖，中，，，，∴，由正弦定理得，解得，中，，，，∴，∴，中，由余弦定理得，∴，即A，B兩點(diǎn)間的距離為．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.11.已知函數(shù)，有下列四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)②是周期函數(shù)③在上是增函數(shù)④在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)有（）A.①③ B.②④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，所以是周期為的周期函數(shù)，故②正確.當(dāng)時(shí)，，所以，且，所以在上先減后增，③錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，令，得，所以，且，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，所以④正確.綜上所述，正確結(jié)論的編號(hào)有①②④.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性和零點(diǎn)，屬于中檔題.12.設(shè)，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，A為C的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，且，則雙曲線C的漸近線方程為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)以為直徑的圓與漸近線相交于點(diǎn)，則，然后由，解得的坐標(biāo)，再根據(jù)求解【詳解】設(shè)以為直徑的圓與漸近線相交于點(diǎn)，由對(duì)稱性得，由，解得，，∵，∴，∴，∴，∴漸近線方程為．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知x，y滿足約束條件，則的最大值為___________．【答案】3【解析】【分析】有約束條件得到可行域，即目標(biāo)函數(shù)與可行域有交點(diǎn)時(shí)，在x、y軸上的截距最大，即可求的最大值.【詳解】由約束條件可得可行域如下：∴過點(diǎn)時(shí)取得最大值3．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃，根據(jù)約束條件求目標(biāo)函數(shù)最大值，屬于簡(jiǎn)單題.14.已知是第四象限角，，則___________．【答案】【解析】【分析】利用倍角公式可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可得答案；【詳解】由，解得，是第四象限角，∴，．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力.15.已知圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球O的球面上，且圓柱的高與底面半徑均為2，則球O的表面積為___________．【答案】【解析】分析】根據(jù)勾股定理可得球半徑的方程，利用球的表面積公式，即可得答案；【詳解】由已知可得球的半徑，∴表面積．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，且的三邊長(zhǎng)、、成等差數(shù)列，則C的離心率為___________．【答案】【解析】【分析】由已知，設(shè)，，，據(jù)勾股定理有；由橢圓定義知的周長(zhǎng)為4a，由勾股定理，，可得選項(xiàng).【詳解】由已知，設(shè)，，，所以根據(jù)勾股定理有，解得；由橢圓定義知，所以的周長(zhǎng)為4a，所以有，；在直角中，由勾股定理，，∴離心率．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率，橢圓定義，重在對(duì)問題的分析，抓住細(xì)節(jié)，同時(shí)考查計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說眀、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，毎個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最大值及取得最大值時(shí)的值．【答案】（1）；（2）當(dāng)或4時(shí)，取最大值12．【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比，即可得答案；（2）求出，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案；【詳解】（1）設(shè)公比為，由可得，∴，，，∵，∴，解得，∴．（2），∴，∴當(dāng)或4時(shí)，取最大值12．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.18.疫情爆發(fā)以來，相關(guān)疫苗企業(yè)發(fā)揮專業(yè)優(yōu)勢(shì)與技術(shù)優(yōu)勢(shì)爭(zhēng)分奪秒開展疫苗硏發(fā)．為測(cè)試疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，則認(rèn)為測(cè)試沒有通過），選定2000個(gè)樣本分成三組，測(cè)試結(jié)果如下表：組組組疫苗有效673疫苗無效7790已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到B組疫苗有效的概率是0.33．（1）求，的值；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取180個(gè)測(cè)試結(jié)果，求C組應(yīng)抽取多少個(gè)？（3）已知，，求疫苗能通過測(cè)試的概率．【答案】（1），；（2）45；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，再根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，即可得答案；（2）根據(jù)抽樣比，即可得答案；（3）利用古典概型計(jì)算概率，即可得答案；【詳解】（1）∵在全體樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)，抽到B組疫苗有效的概率是0.33．∵，∴，．（2）應(yīng)在C組抽取的個(gè)數(shù)為．（3）由題意疫苗有效需滿足，即，C組疫苗有效與無效的可能情況有，共6種結(jié)果，有效的可能情況有共4種結(jié)果，疫苗能通過測(cè)試的概率．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的抽樣比、古典概型計(jì)算概率，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，四棱錐中，四邊形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，E是PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面PBC；（2）求點(diǎn)P到平面EAC的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)得，勾股定理可證得．根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面PBC，由面面垂直的判定定理可得證．（2）由已知得，再由解三角形的知識(shí)求得，設(shè)點(diǎn)P到平面EAC的距離為h,，可求得答案.【詳解】解析：（1）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，，∴，∴，∴．∵，∴平面PBC，∵平面EAC，∴平面平面PBC．（2）由已知得，在中，，，在中，，在中，，由余弦定理得，所以在中，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)P到平面EAC的距離為h,，解得，∴點(diǎn)P到平面EAC的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直證明面面垂直和利用轉(zhuǎn)化法求三棱錐的體積；考查邏輯推理能力和空間想象能力；屬于中檔題.20.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線:的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，為的中點(diǎn).（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點(diǎn)?若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）見解析（2）直線過定點(diǎn).【解析】【分析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線的方程，同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線的方程，利用韋達(dá)定理求得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此判斷出軸.（2）求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡(jiǎn)后可得直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，，，∴切線的斜率為，切線：，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點(diǎn)問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）．【解析】【分析】（1）求的導(dǎo)函數(shù)，通過討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.(2)由(1)的結(jié)果，求的最小值，解關(guān)于的不等式即可求出的范圍.【詳解】解：的定義域?yàn)?，?），，①若，則，當(dāng)時(shí)，，∴在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②若，則，在單調(diào)遞增；③若，則，∴當(dāng)時(shí)，，∴在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；④若，則，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)，這與恒成立矛盾，故不符合題意；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，而，這與恒成立矛盾，故不符合題意；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即恒成立，故符合題意．綜上，取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的恒成立問題，同時(shí)考查了分類討論的思想和學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22.23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出直線與曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線交曲線于O，A兩點(diǎn)，交曲線于O，B兩點(diǎn)，求AB的最大值和最小值．【答案】（1）；；（2）最大值4，最小值2．【解析】【分析】（1）直線過原點(diǎn)，由參數(shù)方程得其傾斜角后可得極坐標(biāo)方程，曲線先消參化為普通方程，再由公式化為極坐標(biāo)方程．（2）用直線極坐標(biāo)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程，可求得兩交點(diǎn)的極坐標(biāo)，由極坐標(biāo)的意義可得弦長(zhǎng)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得最值．【詳解】解析：（1）∵直線的傾斜角為，∴其極坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為，即，由得，∴為極坐標(biāo)方程為．（2）直線交曲線于O，A兩點(diǎn)，由，解得，直線交曲線于O，B兩點(diǎn)，由，解得，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，