2023-2024學(xué)年北京市朝陽區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年北京市朝陽區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

2023.11

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1.直線G-y-3=°的傾斜角是（）

A.30。B.60°C.120°D.150。

2.設(shè)平面。的法向量為（12-2）,平面夕的法向量為（-2,T㈤，若￡〃/?,則％的值為（）

A.3B.4C.5D.6

3.P是橢圓1+4/=16上一點，勺居是該橢圓的兩個焦點，且|尸耳|=7,則I尸局=（）

A.1B.3C.5D.9

匚匚1

4.雙曲線26的焦點到漸近線的距離為（）

A.&B.屈C.2及D.2G

5.已知直線=x被圓C：（x-3）2+（y-l）2=/（r>0）截得的弦長為2,則一（）

A.石B.遍C.3D.4

6.如圖，在平行六面體488一A4GA中，的=°,AB=b,=c,點尸在“C上，且A°：PC=3:2

32,2

—a——b——c

555c.555D.555

7.已知圓6：/+9=1與圓C2：（x-2）2+（y+2）2=l,則圓G與圓C2的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.外離

2

XJ

8.已知耳月是橢圓°/十5一1（”">°）的左、右焦點，點P為C上一點，O為坐標(biāo)原點，尸°尸2為

正三角形，則C的離心率為（）

叵B

A.五TB.6Tc.2D.2

1

9.一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降2米后，水面寬

匕-----12-----7

A.13米B.14米C.15米D.16米

三+匕=1工-工=1

10.已知橢圓/：?2/（。>°>°）,雙曲線N：m2n2（根.設(shè)橢圓M的兩個焦點分

別為門，歹2,橢圓M的離心率為'，雙曲線N的離心率為‘2,記雙曲線N的一條漸近線與橢圓M一個交

e\

點為P,若尸耳8且1片用=2|尸不，則e?的值為（）

0-1__

A.2B.石Tc.2D.a+1

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.過點人（3,2）且與直線無+>+1=°平行的直線方程為

J匚1

12.橢圓2k的一個焦點是（°，T）,那么左等于

13.已知點PQ，。）在拋物線C：丁=4無上，則點尸到拋物線C的焦點的距離為

14.在長方體488-A4CQ中，阿|=1,|明=2,|泅=3,則BD-AG=.

片+片=1

15.已知點P是橢圓不+彳一上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M,則線段PM的中點"（蒼日

的軌跡方程為

16.如圖，正方體ABCO-A4GA的棱長為1,￡/分別為的中點，尸是底面ABC2上一點.若

AP//平面跳F,則"長度的最小值是；最大值是

三、解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

2

17.在棱長為2的正方體AB。。一4瓦￡〃中，點E是BC的中點，點尸是8中點.

⑴證明：平面明尸;

⑵求。到面A?/的距離.

c?___\--=1

18.已知橢圓,32,左右焦點分別為不工，直線>=-*+1與橢圓C相交于AB兩點.

⑴求橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率;

⑵求A8E的面積.

19.在如圖所示的多面體中，4)//8。且位＞=23(7,ADLCD,EG//AD^EG=AD,CDIIFG宣

CD=2FG,0G_L平面ABCD,DA=DC=DG=2,m,N分別為棱比'，EG的中點.

(I)求點F到直線EC的距離；

(II)求平面BED與平面EDC夾角的余弦值；

(III)在棱GF上是否存在一點Q,使得平面MNQ//平而EDC?若存在.指出點Q的位置，若不存在，說明

理由.

C：W+*=l(a>6>0)e=^-

20.已知橢圓匕過點〈”),且離心率3

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)點廠為橢圓C的左焦點，點7(一3，根)，過點尸作7F的垂線交橢圓C于點P，Q,連接07與PQ交于點

叫

H.求闕的值.

3

21.已知集合人=｛4，％必M”｝(04卬<出<<見，心2)具有性質(zhì)p：對任意的(l<z<j<n)(

%+%與"，一勾兩數(shù)中至少有一個屬于A.

⑴分別判斷數(shù)集｛°J3外與｛023,6｝是否具有性質(zhì)p并說明理由;

(2)證明：4=0,且此=2(4+%++?！?；

(3)當(dāng)n=5時，若%=3,求集合A.

1.B

【分析】根據(jù)直線一般方程得直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角與斜率得關(guān)系可得傾斜角的大小.

【詳解】解：由直線后-y-3=°得直線的斜率k=百

又直線的傾斜角為且ae[0°』80。)，所以tana=6,得a=60。

故選：B.

2.B

【分析】依題意可得兩平面的法向量共線，即可得到(一Z-4，％)='。，」-2),從而得到方程組，解得即可;

-2=A

<-4=2%,=-2

【詳解】解：因為所以(一2，<左)="1，2，-2),即卜=-2乙解得卜=4；

故選：B.

3.A

【分析】首先將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而得出橢圓長半軸長，再根據(jù)橢圓定義即可求解.

r+￡=1

【詳解】解：對橢圓方程廠2+4曠2=16變形得164，易知橢圓長半軸的長為4,

由橢圓的定義可得用+陷=2x4=8,

又附卜7,故|*=1,

故選：A.

4.B

【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出焦點坐標(biāo)與漸近線方程，代入點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】由雙曲線的對稱性可知，求出一個焦點到一條漸近線的距離即可，則

反=1()

26的一個焦點為,一條漸近線為后->=°,則焦點到漸近線的距離為

4

|A/3x2V2-0|「

1

2=V6

j(⑹+(-If

故選：B.

5.A

【分析】根據(jù)半徑的平方等于弦長一半的平方加圓心到直線的距離的平方，即可求出答案.

【詳解】圓心到直線的距離Vi2+i2，弦長的一半為1,'=仇”)+

故選：A.

6.C

【分析】利用空間向量的基本定理可得出AP關(guān)于IJ的表達(dá)式.

3

【詳解】因為4尸：%=3:2,所以個一二年，

則有：

AP=A\+\P=AA.+-A.C=AAi+-(\A+AD+DC^=AAx+-(-AAx+AD+AB)

2典3%3翌2r3f3r

5"55555

故選：C.

7.D

【分析】求出圓心距，大于兩半徑之和，從而判斷出兩圓的位置關(guān)系.

【詳解】Gd+/=i的圓心為6(0,0),半徑4=1,

22

C2:(x-2)+(y+2)=1的圓心為G(2,-2),半徑々=1,

則圓心距=-2-?！?(-2一0『=20,且|C?=20"+M

故圓G與圓,2的位置關(guān)系是外離.

故選：D

8.B

【分析】結(jié)合圖像，利用平面幾何的知識證得/耳尸鳥=90°,結(jié)合橢圓的定義可分別求出歸周」小1及

忸耳|+伊段=2”,由此得到a，c的關(guān)系式，進(jìn)而可求得橢圓C的離心率.

【詳解】如圖，連結(jié)尸尸1

fy2

由橢圓C：/+F=lQb叫可知他l=c,即+阿=2”,

5

因為尸。4為正三角形，所以附|=網(wǎng)=。，

又因為10K1=（弱卜1°”,所以/尸4°=/°尸耳,

又/PFQ+/OPF]=ZPOF2=60。，所以/尸耳O=NOPF[=30°

故/耳「工=/OPF、+ZOPF2=30°+60°=90°

所以在放印風(fēng)中，儼胤=寓局85/。月「=2'、￥=6

所以由附㈤*=2a得&+c=2a,gp(>/3+l)c=2a

2(73-1)

2

e_￡_=5/3—1

aA/3+1(73+1)(73-1)

故橢圓C的離心率為

【分析】沿拱頂建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出圓的方程后可得水面下降2米后的水面寬.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（F—2）,3（6,-2）,

設(shè)圓的方程為：/+（〉+機）一=加（加＞0）,代入人,則有加=10,

故圓的方程為：d+（＞+i°）一=i°°

令y=-4,貝/=±8,故舊同=16,

10.A

6

【分析】聯(lián)系橢圓定義可順利解得其離心率，由漸近線方程可以順利解得雙曲線的離心率.

二+匚1

【詳解】橢圓“：?2b2（。＞6＞0）中，尸「‘尸工且|耳瑪|=2|/＞耳|

則幽=陰圖,橢圓長軸長為附H叫=（1+回1/

/^*4*7Vy'X:

e_2c_閨-2「61

則橢圓M的離心率2a附|+|*1+6

直線OP斜率為6

又由題意可知直線OP為雙曲線N的一條漸近線，

V丁1J

一—77=]V=±—X

雙曲線N：m-n-的漸近線方程為.m

-=^A

故〃？，即〃=13機，

則雙曲線N的實半軸長為，川+"=+（癡了=2m

c2m-

e?=-=----2

則雙曲線N的離心率一am

q_癢1

則e?2

故選：A

]]%+y—5=0

【分析】設(shè)所求直線方程為x+〉+C=°,利用A點坐標(biāo)求得C,從而求得正確答案.

【詳解】設(shè)過點A（3,2）且與直線x+y+l=°平行的直線方程為x+y+C=°,

將A（3,2）代入x+y+C=O得3+2+C=0,C=-5,

所以所求方程為無+y-=°.

故答案為：x+y-5=o

12.3

【分析】根據(jù)橢圓中/=/+/,得出/的代數(shù)式，并根據(jù)焦點坐標(biāo)列出方程即可求解.

—+^—=1

【詳解】因為橢圓2k，所以c?=h2,

又因為橢圓的一個焦點是（°，T）,

所以"2=1,解得左=3,

故答案為：3.

13.3

【分析】根據(jù)給定的拋物線方程求出其準(zhǔn)線方程，再結(jié)合拋物線定義即可計算作答.

【詳解】拋物線C：V=4x的準(zhǔn)線方程為：X=-1,由拋物線定義得，點P（2，。）到拋物線C的焦點的距離

d=2—（—1）=3

所以點尸到拋物線C的焦點的距離為3.

故答案為：3

14.3

【分析】根據(jù)給定的幾何體，用空間向量的基底鉆，血，明表示向量2nAG,再利用向量數(shù)量積運算律

計算即得.

［詳解］在長方體ABCO-A4GA中，BD=AD-AB,AC1=AD+AB+AAl,

......2，2__.

所以3/>4。1=047）_筋>（4￡>+筋+>141）=4￡>__泣一+^7>>141_45??141=22_12=3

【分析】先利用中點坐標(biāo)公式寫出「（蒼2月，再把“無，2月代入橢圓方程化簡即可.

【詳解】因為RWx軸，垂足為M,且PM的中點為N（x，y）,

旦+匚1

所以尸（羽2月，又因為P是橢圓不+彳一上任意一點,

~(2*/1

所以64，即6.

8

故答案為：6.

還與

16.4T

【解析】取A"中點N,A片中點M,連接AM,AN,MN,利用面面平行的判定定理證得平面AMN//

平面跳F,結(jié)合已知條件可知尸在等腰-WN中，可求得AP長度的最值.

【詳解】取4"中點N,A片中點連接A",AN,MN

由正方體488一4469,E，N分別為4G，A2的中點，.-.AN//BE

又㈤V<Z平面3EF,5Eu平面BEF,〃平面5￡產(chǎn)

區(qū)尸分別為'GC2的中點，由中位線性質(zhì)知所〃與Q

同理可知加//耳%〃砂

又MVU平面BEF,￡Fu平面BEF,，M/V//平面跳產(chǎn)

又ANMN=N,A/V,A/7Vu平面24AH

平面AAW//平面BEE

尸是底面4耳G2上一點.且AP〃平面的",PeW

Ap

m^=AM=AN=

在等腰4WN中，AP的長度最大時為

MN=—AP=AM

布的長度最小時，P為MN中點、,2,,即

306

故答案為：4,

【點睛】方法點睛：證明面面平行常用的方法:

9

（1）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行;

（2）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；

（3）兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；

（4）利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.

17.（1）證明見解析

2

⑵§

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直時，直線的方向向量與平面的法向量共線證明即可;

（2）利用空間向量，根據(jù)點到平面的距離公式求解即可.

【詳解】（1）以A為原點，直線AB,AD,"1所在直線分別為X軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示：

則4（0,0,0）,4（2,0,2）,A（0,2,2）,尸（1,2,0）,￡（2,1,0）,￡＞（0,2,0）

則AF=（l,2,0）,明=（2,0,2）,RE=（2,T,-2）,

設(shè)平面尸的一個法向量為根=（%y，z）,

、iruum

\mlAFx+2y=0

iiruuir

貝武根?叫2x+2z=0,?。?一2,則y=l,z=2,

所以加=（一2」，2）,

又因為班=（2,T，一2）,所以加=-*,

所以。山，平面

（2）由（1）知平面A瓦尸的法向量為根=（一21，2）,

又因為示=（°，一2，°）,

|DA.m|2

所以n到面明廠的距離為H3

B4A/6

18.（1）焦點坐標(biāo)為月（―L"鳥a°）；離心率為3（2）5

10

【分析】（1）由橢圓的定義及性質(zhì)可以得出橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率,

（2）先計算點士到y(tǒng)=-x+l的距離，再利用公式求出線段A3的長，

最后用面積公式計算解決問題.

cZ+￡-1

【詳解】（1）橢圓32知，該橢圓的焦點在無軸上，設(shè)焦距為2c,

由〃=3方=2,所以02=1,所以焦點坐標(biāo)為耳（-1，。），8（1，。）

離心率為：。石3

（2）由直線>=一*+1與橢圓C相交于48兩點，設(shè)&（再,％）,2（%,%）

」一1

<3263

則卜=一兀+1消去）得5%2_6%一3=0,%+%2=三，X1X2=-T

°°，

22

|AB\=J(1+^)[(X1+^)-4V2]=2x[I]-4x

所以v1⑴

1-1+0-11r-

-1d=--7=--=6

又外至ijy=_%+i的是巨離為<2

S

ABF

所以A'片的面積為：X2255

2夜

④；；

19.(I)(II)3（III）不存在，證明見解析;

【分析】（D由題知，DGLDC,DGA.DA,又ADLCD,建立以D點為原點的空間直角坐標(biāo)系，求得

2CEEF

EF-(■?)2

一CE

向量CE=（2,-2,2）,EF=（-2,1,0）；則點F到直線EC的距離為丫

（II）求得平面BED和平面EDC的法向量，利用向量的夾角求得二面角的余弦值;

（in）假設(shè)GF上存在點Q使得平面MNQ〃平面匹C,設(shè)出坐標(biāo)，求得平面MNQ的法向量，與平面EDC

的法向量應(yīng)共線，驗證是否存在即可.

【詳解】（D由DG,平面ABCD知，DG±DC,DG1DA,又ADLCD,

則建立以D點為原點的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

11

則0(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),G(0,0,2)；E(2,0,2),尸(0,1,2),8(1,2,0)

3

則2,

CE=(2,-2,2),EF=(-2,1,0)

所以點F到直線EC的距離為?

(ID由(I)知，=(L2,0),DE=(2,0,2),DC=(0,2,0)

f

設(shè)平面BED的法向量為機=(%，、力,

m-DB=x+2y=0

<

則［M.°￡1=2X+2Z=0,令y=1,則根=(一2』,2)

->

設(shè)平面EDC的法向量為n=(x，y，z),

n?DE=2x+2z=0

<

則卜?OC=2y=0,令x=l,則:=(l,0,_l)

m-n-42^2

cos<m,n>=-I-rj—r=

3V2

2A/2

由圖知，二面角3-ED-C為銳二面角，故余弦值為3

(III)設(shè)GF上存在一點Q,設(shè)0(。，42),Ae[0,l]

f3-3

MQ=(0"——,1)MN=(1,—,1)

則2,2

設(shè)平面MNQ的法向量為P=(x?，z)

12

3

p?MN=x-—y+z=0

3-3

pMQ=(4-7)y+z=0p=(2,1,—A)

則2,令y。則2

若平面MNQ//平面即C,貝H〃P,

故久不存在，即不存在點Q使得平面MNQ〃平面EDC

22

二+匕=1

20.(1)62(2)1

【分析】第一問用橢圓短軸和離心率的相關(guān)定義求解即可，第二問中叱的斜率易求，討論是否為°分別

求解即可.

c_^6

a3

“2=62+。2

b=yj2

【詳解】(1)由題意得

解得二=6萬=2

由T(-3,叫/(-2,0),顯然斜率存在，砧=-切

㈣二1

當(dāng)m=0時，舊。1

y=—(x+2)

當(dāng)機W0時，直線0Q過點尸且與直線7F垂直，則直線PQ方程為Q

由

顯然A>°.

13

1212-6mJ

設(shè)尸(4乂卜口伉，%),則*27W2+35'"27712+3

則PC中點x_2一一加2+3.直線OT的方程為1_一§

y=—(x+2)

X

由〔產(chǎn)一」3得H=―一m5-―+3；.

圖Li

.?.阿.

綜上同口的值為1.

【點睛】本題考查解析幾何，屬于難題，第一問用基本定義即可求解，第二問用所學(xué)知識，分析題意，進(jìn)

行分類討論，求解即可，考生需加強分類討論思想的學(xué)習(xí).

21.⑴數(shù)集｛°J34｝具有性質(zhì)p數(shù)集｛。，2,3,6｝不具有性質(zhì)p；理由見解析；

(2)證明見解析；(3)A=他'6,9.12｝.

【分析】(1)根據(jù)定義，計算并判斷出數(shù)集｛0134具有性質(zhì)P,數(shù)集｛023,6｝不具有性質(zhì)p；

(2)判斷出。"