高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)模擬試題分類匯編：立體幾何（教師版）

優(yōu)質(zhì)模擬試題分類匯編(新高考1卷)

立體幾何

—基本原理

1.直線的方向向量：

點(diǎn)A(XI，M，ZJ,B(x2,y2,z2),那么直線AB的方向向量可為AB=(x2-x1,y2-y1,z2-zi)

2.平面的法向量定義：

直線/丄a,取直線/的方向向量a,我們稱向量a為平面a的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一

個(gè)向量a,那么過(guò)點(diǎn)A,且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合

(P|a-AF=O}.

注：一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量.已知一平面

內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量.

3.平面的法向量確定通常有兩種方法：

(1)幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平

面的法向量；

(2)幾何體中沒(méi)有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一

般步驟如下：

(i)設(shè)出平面的法向量為〃=(x,y,z)；

(ii)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=(q,%q),6=(生也,02);

(iii)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于X,y,Z的方程;

n-b=0

(iv)解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.由于一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，故可在

代入方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量.

知識(shí)點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系

空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行.

(1)線線平行

設(shè)直線4,厶的方向向量分別是a,6,則要證明4/4，只需證明。/力，即"劭々eR).

(2)線面平行

線面平行的判定方法一般有三種：

①設(shè)直線/的方向向量是a＞平面a的向量是“，則要證明Illa,只需證明a丄〃，即=0.

②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量

與已知直線的方向向量是共線向量.

③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向

量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可.

②若能求出平面a,"的法向量”,v,則要證明a//〃，只需證明〃//v.

知識(shí)點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系

空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直.

(1)線線垂直

設(shè)直線4,厶的方向向量分別為。,6,則要證明4丄4，只需證明。丄6，即。2=0.

(2)線面垂直

①設(shè)直線/的方向向量是a,平面c的向量是〃，則要證明/丄打，只需證明a//〃.

②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.

(3)面面垂直

①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直.

②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.

知識(shí)點(diǎn)四、用向量方法求空間角

(1)求異面直線所成的角

已知“，&為兩異面直線，A,C與8,O分別是匕上的任意兩點(diǎn)，a,8所成的角為

注：兩異面直線所成的角的范圍為(0°,90°].兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩直線的方向

向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為

兩異面直線所成的角.

(2)求直線和平面所成的角

如圖，設(shè)直線/的方向向量為平面c的法向量為；，直線與平面所成的角為°,1與1

的角為8,則有sin0=|cos?|=[e.?.（易錯(cuò)點(diǎn)）

\e\-\n\

(3)求二面角

如圖，若PA丄a于丄月于3,平面交/于E,則44￡?為二面角戊-/-月的平面

角，ZAEB+ZAPB=180°.

兀-g?,即二面角e等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角.

①當(dāng)法向量％與電的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角。的大小等于4,旳的夾

角(4,“)的大小?

②當(dāng)法向量4,%的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角。的大小等于的夾角

的補(bǔ)角萬(wàn)-的大小.

知識(shí)點(diǎn)五、用向量方法求空間距離

1.求點(diǎn)面距的一般步驟：

①求出該平面的一個(gè)法向量；

②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；

③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距

離.

—>—>—>—>

t-IAp.nIIAP?n

即：點(diǎn)A到平面a的距離Q=|<05/4。。=|AP|?丄;一J=l」^丨，〃是平面a

\AP\\n\\n\

的法向量，如下圖所示.

2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解.

\AB-n\

直線a與平面a之間的距離：d=-------,其中“是平面a的法向量.

丨〃丨

\AB-n\

兩平行平面4,之間的距離：-----L,其中Aca,Be，，“是平面a的法向量.

\n\

3.點(diǎn)線距

設(shè)直線/的單位方向向量為"，Ael，Pel，設(shè)AP=a，則點(diǎn)尸到直線/的距離

d=J\a^,

二.試題演練

例1.(2023屆武漢9月調(diào)研)如圖，在圖1的等腰直角三角形ABC中，AB=CB=3,邊AB,AC

AEAF2

上的點(diǎn)瓦/滿足不二寸=彳，將三角形AE尸沿跖翻折至三角形尸處，得到圖2中的

ABAC3

四棱錐尸-瓦CB,且二面角尸-￡F-3的大小為60。.

(1)證明：平面PBC丄平面EFCB；

(2)求直線8E與平面尸尸C所成角的正弦值.

AFAF2

解析：(1)因?yàn)榇?可=：7,所以EF//5C,因?yàn)榈妊苯侨切蜛5c中，AB1BC,

ABAC3

所以EF丄AB,在四棱錐尸-EFCB中，EF丄EB,EF丄EP.所以/PEB為二面角P-EF-B

的平面角，即ZPE8=60.

又PE=2,BE=1,所以PB=《PE°+BE?—2PE-BE?cos60=5

滿足尸石2=顧2+尸32即鹿丄尸3,又BE丄BC,且P3c3C=3,PB,BCu平面PBC,

所以BE丄平面PBC.又BEu平面EFCB,所以平面PBC丄平面EFCB.

(2)由EF丄EB,EF丄EP,且E3EP=E,EB,EPu平面PBE,故防丄平面PBE,則

有EF1PB又EFUBC,所以3c丄P3,即尸氏兩兩垂直.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)橛?，衣軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則有：B（0,0,0）,￡（0,1,0）,C（3,0,0）,P（0,0,,F（2,1,0）.BE=（0,1,0）.

設(shè)平面PFC的法向量“=（X,Z）,尸C=（3,0,-73）,FC=（1,-1,0）.

n-PC=3x-y/3z=0

,令y=l,得”=（1,1，凡

n-FC=x-y=0

I/\iBE-n\1亞

設(shè)所求角的大小為。，貝。sin。=cos〈BE,n}\=一昌=焉丄f=?.所以直線做與平面

1'八BE\-\n\V1-V55

刊七所成角的正弦值為q.

例2(福建省部分地市2023屆高三第一次質(zhì)量檢測(cè))如圖，在直三棱柱ABC-A瓦G中,

AC=-fi,AB丄BC,E,尸分別為B片,CA的中點(diǎn)，且EF丄平面A41GC.

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)若的=行，求二面角C-4E-A的余弦值.

解析：（1）???斯立面明CG，又ACu面A4（G，/丄AC，又?.?尸為A。的中點(diǎn)，

EA,=EC,又在Rt4481E、RtZXBEC中，BE=EB,,易證得△④耳石也△C3E,

故A耳=BC.AB=AiBl,.-.AB=BC,又ABLBC,AC=0,故AB=1.

(2)以點(diǎn)片為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-孫z,

2丿,C(0,1,A/2),則AE=-1,0,,Ac=(-i,i,V2),

m-AE=0_x人()+十-czZ。一-0U

不妨設(shè)〃7（.，先為）是平面。^^的一個(gè)法向量，那么“，即2

A?=0、-X。+%+&Z。=0

令z0=2,則7〃=（點(diǎn)，-0,2）.又耳G丄面4局胡，故耳￡=（0,1,0）是平面4gBA的一個(gè)

\m-BiCi\421

法向量.設(shè)［為二面角C-4E-A所成平面角，則cosa=

|m|?函「2夜一展

即二面角C-A.E-A的余弦值為!.

例3（福建省泉州市2023屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)一）三棱柱ABC-A耳G中,

A4,=AB=2^,CAl=4,CB>=2近,/￡4A=60。.

（2）若C4=4,求二面角4-CB「G的余弦值.

解析：（1）如圖所示：作45中點(diǎn)。，連接OC,OA，

Q44,=AB,Zft4A=60°,AB\是等邊三角形，.1A8丄Q4,

22

又Q0=4,44=2瓜CB、=2#i,滿足CA,+A,Bt=CB；，即有丄$C,而A8〃4片，

所以AB丄AC,O\IAC=A，。4,4（?<=平面4℃,工平面A0C,

而OCu平面A0C,所以AS丄oc,又因?yàn)?。?5中點(diǎn)，所以C4=CB.

⑵若C4=4,則oc=44。-疔=,易知。A=3,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以。4。4方向?yàn)閤,y軸，以過(guò)點(diǎn)。豎直向上的直線為z軸建立空間直角

過(guò)點(diǎn)c作⑺八方，垂足為。，在△HOC中，期"04='+'16=巫,

2x713x313

所以0。=而x史=1,CD=2A/3,則A（石,0,0）,C（0,l,2石），A（°，3,。），

13

,—,—.-UUU.—UUL1,——.-UUUU.—

￡（一代,4,2近），^（-273,3,0）C\=（0,2,-2V3）,鄧二（-2732-2近），CC；=（-73,3,0）,

[in>CB,=0-2\/^%+2y,—2^/^Z]—0

設(shè)平面CAA的法向量為根=a，%，z）,則有八，即'「乂,

l"C4=0〔2%-2gzi=0

令貝”=1,玉=。，所以機(jī)=（0,6,1）,

丄/広〃3—21

同理可得：平面CBC的法向量〃=（3,后-2）,則8s即"片隔時(shí)=石石=出

因?yàn)樗蠖娼菫殁g角，所以二面角A-^-G的余弦值為.

O

例4.（2023屆佛山一模）如圖，一ACD和△BCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ACD丄

（1）證明：EB〃平面ACD；

(2)若點(diǎn)E到平面ABC的距離為正，求平面ECD與平面BCD夾角的正切值.

解析：(1)如圖，取8的中點(diǎn)，連接AO,則AO丄C。，又因?yàn)槠矫鍭CD丄平面BCD,

且平面ACD-平面3CD=CD,AOu平面ACD,則AO丄平面BCD,又EB丄平面BCD,

所以EB//AO,又班仁平面ACD,AOu平面ACD,所以EB〃平面ACD.

(2)如圖，連接EO,BO,取BC的中點(diǎn)尸，連接。尸，則。尸丄3C,

22

因?yàn)閨AB卜7|AO|+|BO|=屈,則等腰一54c的面積為SBAC=；X正義當(dāng)=號(hào)，

所以三棱錐E—ABC的體積為/ABC=』X正義追=述，因?yàn)榘鄟A平面3CD,DFu平

EABC326

面BCD,則DF丄EB,又因?yàn)?。尸丄BC,EBBC=B,EBu平面￡BC,3Cu平面￡BC,

則。尸工平面EBC,因?yàn)镋B//AO,則點(diǎn)A到平面EBC的距離等于點(diǎn)。到平面E3C的距離

等于戶|=4，因?yàn)樾?=；'2義|即=|即，則匕⑦c=；x即x?=f|郎，

Z2/J2O

又/一.=匕一改，所以國(guó)卻=5,因?yàn)槿詠A平面BCD,BCu平面3CO,8Du平面3CD,

則EB丄3C,EBLBD,所以舊。=|即|,所以EO丄CD,所以平面ECD與平面BCD夾角

EB55A/3

的平面角為NEO3,則tanNEO3=7^=8=T-,

(JDX/33

例5(2023屆深圳一模)如圖，在四棱錐P-ABC。中，PD±AB,S.PD=PB,底面ABCD

rr

是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=~.

(1)證明：平面E4c丄平面ABCD；

(2)若PA丄尸C,求平面出B與平面PBC夾角的余弦值.

解析：(1)連接。B交AC于點(diǎn)O,連接PO.因?yàn)锳BCO是菱形，所以8。丄AC,且。為

2。的中點(diǎn).因?yàn)樗訮。丄80.又因?yàn)锳C,POu平面APC,且ACPO=O,

所以3。丄平面APC.又BDu平面ABCD,所以平面APC丄平面ABCD

TT

(2)取中點(diǎn)連接DM交AC于點(diǎn)區(qū)連接PH.因?yàn)?所以△A3。是等

邊三角形，所以。M丄AB.又因?yàn)槭AAB,PDcDM=D,即,DMu平面

所以AB丄平面PDM.所以丄尸肥由(1)知BD丄PH,且ABBD=B,所以尸H丄平

面A2CD由A3CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，在△ABC中，AH=巫,

cos3003

AO=AB-cos30°=^.由AP丄尸C,在AAPC中，PH2=AH-HC=—x^=-,所以

333

PH=當(dāng).以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、0C分別為X軸、y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

所以A8=P，百,0b

6丄2戈?

BP=0-x------M+4=0

設(shè)平面B43的法向量為勺=(%,必，4),所以1n<3------3

“-AB=0玉+小丫［=0

令X=1得4=.設(shè)平面PBC的法向量為%=（w，y2，z2），

_立,276_

nBP=0^

所以2無(wú)z3%3,J，令%=i得%=（右丄&）.設(shè)平面山B與平面

n2-CB—0

x2-6y2=o

P5C的夾角為6.所以，cos6=|cos<%,〃2>|二"黑

-VSx^+lxl-^-xV?

2出

\2二=彳，所以，平面B4B與平面PBC夾角的

22

（冋』+X

2丿

余弦值為事

例6.（廣州市2023屆高三一模）如圖，已知四棱錐尸-ABC。的底面ABC。是菱形，平面

P8C丄平面ABCD,/ACD=30,E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在E4上，AP=3AF.

（1）證明：PC〃平面班F；

（2）若/PDC=/PDB,且PD與平面ABCD所成的角為45,求平面AEF與平面5EF夾

角的余弦值.

解析：（1）設(shè)AC3E的交點(diǎn)為。，連接尸。，已知。為的重心,

Ao1第4F=:1,所以在中，A簽rtAF1

所以就=5'

/\.±，21（_z~AP2

所以bO//PC,所以歹Ou平面5EF,PC<Z平面3EF,

則PC〃平面3EF.

（2）因?yàn)镹ACD=30,所以ZACB=30,

所以△￡>口為等邊三角形，所以DC=DB,又因?yàn)镹PDC=NPDB,

所以PDB五PDC,所以P3=PC,

取3c的中點(diǎn)為“，連接PH,則尸“丄3C,

平面尸BC丄平面ABCD,平面尸3Cc平面ABCDnBC,

則尸，丄平面ABC。，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲,五6,冃尸為羽y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槭珼與平面A8CD所成的角為NPDH=45。，所以PH=DH,

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2,所以PH=DH=有,所以

尸(0,0,用,8(0,1,0),4隕,2,0),￡＞幀,0,0),網(wǎng)61,0),

因?yàn)锳P=3AF，所以歹，

I333丿

EF=-4,；,#],AE=(O,-1,0),BE=(60,0),

設(shè)〃=(x,y,z)丄平面AEF,

-y=0

n?AE=0

=>■A/31y/3令x=l,y=0,z=l,

n?EF=0-------x+—yH-------z=0

I333

所以〃=(1,0,1),

設(shè)根=(x2,%,Z2)丄平面BEF,

A/3X=0

m-BE=02

=>V31y/3令%=后天2=。*2=T，

m-EF=0一_3~X2+3y2+~3~Z2=0

LI/八m'nJ2

則cos(m,n)=-~——,

|m||n|4

所以平面AEF與平面BEF夾角的余弦值為—.

4

例7(2023屆武漢二調(diào))如圖，四棱臺(tái)488-4片￡2的下底面和上底面分別是邊4和2的

正方形，側(cè)棱CG上點(diǎn)E滿足釜=：

(2)若CG丄平面ABCD,且CG=3,求直線BBX與平面ARE所成角的正弦值.

解析：(1)證明：延長(zhǎng)和。C交于點(diǎn)V,連接M4交8C于點(diǎn)N,連接2N,

由*=丄，故=丄，所以CM=4=AB,所以MCN^ABN,所以BN=NC,所以N

CE2CM2

為BC中點(diǎn)，又且A2=BC，B\CJ/BN且B?I=BN,

所以AQ//BN且A。=BN,

故四邊形4BNR為平行四邊形,

所以AB//RN,又QNu平面AQE,平面ARE,

所以48〃平面

(2)解：以C為原點(diǎn)，CD,CB,CG所在直線分別為x軸、，軸、z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則3（0,4,0）,4（0,2,3）,A（4,4,0）,厶（2,0,3）,E（0,0,2）.

所以=（0,—2,3）,叫=（-2,-4,3）,AE=（T,Y,2）.

n-ADX=0/曰J-2x-4y+3z=0

設(shè)平面的法向量。=(x,y,z),_'得IA/ICC

n-AE=0[-4x-4y+2z=0

取〃=（1,一2,-2）,

2713

故所求角的正弦值為'=

臥阿|A/9-71339

所以直線8月與平面所成角的正弦值為厶叵.

39

例8(2023屆南通二調(diào))如圖，在；ABC中，AD是BC邊上的高，以AD為折痕，將-ACD

折至△APD的位置，使得PB丄AB.

(1)證明：尸8丄平面ABD；

(2)若AD=PB=4,BD=2,求二面角3-卩4一。的正弦值.

解析：(1)證明：；AD是8C邊上的高，

，PD1AD,AD±BD,

PDcBD=D,PD,BDu平面PBD,

.?.AD丄平面PBD,

PBu平面?

:.AD±PB,

又1PB丄AB,AD,ABu平面=

PB丄平面ABZ)；

(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，垂直ADB平面為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系,

AD=PB=4,BD=2,

則B（0,2,0）,P（0,2,4）,A（4,0,0）,D（0,0,0）,

y

二8尸=（0,0,4）,9=（4,-2,T）,ZM=（4,0,0）,

設(shè)平面3上4與平面PAD的一個(gè)法向量分別為4=（%,%，4）,%=（x2，y2,z2）,

n,,BP=4Z[=0

故，解得：Z=0,令國(guó)=1,得：乂=2,

4?PA=4再一2y1-44=0

則4=(1,2,0),

n2?PA=4X2-2y2-4z2=0

,解得:x?—0,z?—1則％=—2,

nx-DA=4X2=0

故彳=(0,-2,l),

設(shè)二面角5-R4-O平面角為，，顯然，為銳角,

.cos”@上2，。＞(。，-2』)|4_4

??OU,C7?11?/-----------I--------------I—?—,

Vl+4xVl+4V5-V55

sin。=Vl-cos26=j

例9（山東省濟(jì)南市23屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱ABC-AgG中，四邊

形四耳B是菱形，AB1AC,平面A4.4B丄平面ABC.

(1)證明：A.B±BXC.

jr

（2）已知Z-ABBX=—,AB=AC=2,平面44G與平面世。的交線為/.在/上是否存在點(diǎn)P,

使直線A/與平面4,尸所成角的正弦值為。？若存在，求線段男尸的長(zhǎng)度；若不存在，試說(shuō)

4

明理由.

解析：（1）證明：因?yàn)槠矫?4181g丄平面A6C,平面A4142c平面ABC=AB,ACJ_AB,

ACu平面ABC,所以AC丄平面

A8u平面AA耳B,所以AC丄48,

因?yàn)樗倪呅蜛AB也是菱形，所以A片丄AB,

又因?yàn)锳CCAB]=A,AC、AB]u平面AB。，所以AB丄平面4J]C,

因?yàn)橛胏u平面明c,所以A1丄4c.

（2）解：取4耳中點(diǎn)O,連接AD,

因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t蝕=網(wǎng)，

又因?yàn)?42用=60,則，ABB,為等邊三角形，

由菱形的幾何性質(zhì)可知乙鈉円=60°,M=A,B,,貝I]9用也為等邊三角形，

因?yàn)椤?4的中點(diǎn)，則AD丄4與，AB//4B,,..AB.LAD,

由（1）知，AC丄平面AABJB,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD.AC所在直線分別為了、丁、

z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）、8（2,0,0）、C（0,0,2）、4（-1,退,0）、旦（1,6,0）,

”=（3,-石,0）,

因?yàn)锳C7/AG，ACz平面A4G，AGu平面A4G，所以AC〃平面A與G，

因?yàn)槠矫鍭4cle平面AB。=l,ACu平面AB。,所以ACHI,由（1）知/丄平面AAiB^B,

設(shè)尸（1,右,，，貝l]AP=（l,6,。，A3=（2,0,0）.

一/、n?AP=x++Zz=0

設(shè)平面ABF的法向量〃=（x,y,z）,貝i",

n?AB=2x=0

取z=一6，可得〃=（0,厶-百），

因?yàn)橹本€48與平面鉆尸所成角的正弦值為。，

4

則|cos<>|==:，解得/=±1,

|府.”2石X,產(chǎn)+34

因此，存在點(diǎn)尸，線段片尸的長(zhǎng)為1.

例11（山東省濟(jì)南市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）在四棱錐尸-ABCD中，底面

ABCD是直角梯形，AB//CD,AB丄AD,側(cè)面上M）丄底面ABCD,DP=DA=DC=AB.

(1)證明：平面P8C丄平面R4B；

(2)若AD=AP,求平面PAC與平面P4B夾角的余弦值.

解析：(1)由題意，取M,N分別為棱尸AH?的中點(diǎn)，連接DM,MN,NC,

則MN〃AB,M2V=：CD//AB,豆CD=；AB,：.MNHCD,且MV=CD,

...四邊形肱VCD為平行四邊形，故DM//OV.：。尸=八4”為棱以的中點(diǎn)，/.DM±PA；

'：AB±AD,平面BLD丄底面ABCD,平面R4￡?c底面ABCZ＞=AD,AB丄平面P4D,

：DMu平面PAD,AB丄DM漢ABPA=A,S.AB,RI在平面內(nèi)

；?DM丄平面PLB.*.?■DM//CW,GV丄平面R4B,又：aVu平面PBC,...平面PBC丄平

面PLB.

(2)由題意及(1)得，取AD中點(diǎn)為°,連接尸0,???—皿＞為等邊三角形，...PO丄亜，

?.?平面上4￡＞丄底面ABCD,，尸。丄底面ABCD,過(guò)。作OE//AB,交BC于點(diǎn)E,則

OELAD-以。為原點(diǎn),。4,OE,。尸所在直線分別為尤軸,＞軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則DM=|,O,^|-j,AP=(-1,0,6),AC=(-2,2,0),

___'3JI

由(1)可知D欣丄平面上鉆故平面R4B的法向量取。M=5，0，j

設(shè)平面PAC的法向量為〃=(x,y,z),

n-AP=0f-x+>/3z=0

由，解得<ccc，

n-AC=0[-2x+2y=0

令了=百，得"=(A/§\瘋1),

設(shè)平面PAC與平面上4B的夾角為e,

2也2幣

cos8=

\n\\DM\6幣-7

平面PAC與平面R4B夾角的余弦值為雙Z.

7

例12（溫州市2023屆高三一模）如圖，線段AA是圓柱。。|的母線，.A5C是圓柱下底面:。

B

（1）劣弧BC上是否存在點(diǎn)。，使得口?！ㄆ矫鍭AB?若存在，求出劣弧8。的長(zhǎng)度；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）求平面CB。]和平面B/見(jiàn)夾角的余弦值.

解析：（1）如圖過(guò)點(diǎn)。作厶3的平行線交劣弧BC于點(diǎn)。，連接。0卩，

因?yàn)锳41U平面OQZ平面AAR,則001〃平面

同理可證0。〃平面,OO{OD=O,且。O[U平面。OQ,ODu平面。QD

所以平面〃平面OOQ,又因?yàn)镺Qu平面OOQ,所以。?！ㄆ矫?4B

故存在點(diǎn)。滿足題意.因?yàn)?，ABC為底面。的內(nèi)接正三角形，所以ZBAC=q,即

71

ZABO=ZBOD=-,

6

3=拒￡「

又因?yàn)??=3,所以。的半徑為2sin三，所以劣弧50的長(zhǎng)度為2x2萬(wàn)=

32萬(wàn)一6

（2）如圖取BC的中點(diǎn)為連接以MB為x軸，M4為》軸，過(guò)M作。。1平行線為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又因?yàn)锳A|=AB=3,設(shè)A3中點(diǎn)為N.

故Af(O,O,O),fif|,o,oj,A°，浮，°，c[-1,0