2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編11 平面向量

專題11平面向量

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1:平面向量線性運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)量積運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)3：求模問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)4：求夾角問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)5:平行垂直問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)6：平面向量取值與范圍問(wèn)題

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：平面向量線性運(yùn)算

1.（2022?新高考I）在AABC中，點(diǎn)。在邊Afi上，BD=2DA.記。=5，CD=H,則C8=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

2.（2023?天津）在AABC中，4=60。，IBC|=1,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若設(shè)=

AC=b,則AE可用a,b表示為.

3.（2023?上海）已知向量4=（3,4）,6=（1,2）,則.

4.（2022?天津）在AA3C中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,試用a,b表示DE

為.

知識(shí)點(diǎn)2：數(shù)量積運(yùn)算

5.（2022?上海）若平面向量|a|=|8|=|c|=2,且滿足a?c=2,b-c=\,則4=.

6.（2023?上海）已知向量a=（-2,3）,b=（l,2）,則“?〃=.

7.（2021?上海）如圖正方形A3CZ）的邊長(zhǎng)為3,求AB-AC=.

DC

B

8.（2021?浙江）已知非零向量々，b,c,則是aa=b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（多選題）（2021?新高考I）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)［（cosa,sina）,（cos/?,-sin/?）,9（cos（a+0,

sin（a+/?））,A（l,0）,則（）

A.\OPX\=\OP2\B.|AP1|=|AP21

C.OAOP3=OP\OP?D.OAOP{=OP2OP3

10.（2023?乙卷（文））正方形4?CD的邊長(zhǎng)是2,石是的中點(diǎn)，則EC-EO=（）

A.75B.3C.26D.5

11.（2022?乙卷（文））已知向量a,b滿足|a|=l,|b|=6,\a-2b|=3,則。?》=（）

A.-2B.-1C.1D.2

12.（2022?甲卷（文））設(shè)向量a,〃的夾角的余弦值為L(zhǎng)且|a|=l,\b\=3,則（2a+b）?）=.

3

13.（2021?新高考H）已知向量a+6+c=0,|a|=1,|。|=|c|=2,貝Ia+b-c+c々.

14.（2021?北京）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為I,

則（a+0）?C=.

知識(shí)點(diǎn)3：求模問(wèn)題

15.(2023?新高考H)已知向量a,人滿足|a-b|=百，\a+b\^\2a-b\,貝D|b|=

16.(2021?甲卷(理))若向量a,6滿足|“|=3,|a-8|=5,ab=],則|切=.

17.(2023?北京)已知向量a,b滿足。+?=(2,3),1一：=(-2,1),則|肝一出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

18.（2022?乙卷（文））已知向量。=（2,1），—,貝”〃-切=()

A.2B.3C.4D.5

知識(shí)點(diǎn)4：求夾角問(wèn)題

19.(2022?新高考R)已知向量d=(3,4),=(1,0),c=a+tb,若va,c>=<b,c>,貝h=()

A.-6B.-5C.5D.6

20.（2023?甲卷（文））已知向量a=（3,l）,b=(2,2),則cos〈a+b,a-b)=()

A1B如石D空

L?----D.------

171755

21.(2023?甲卷(理))向量|a|=|〃|=l,|c|=&,且a+6+c=0,則cos〈a—c,b-c)=()

A-4B--1c-1D-?

知識(shí)點(diǎn)5:平行垂直問(wèn)題

22.（2022?甲卷（文））已知向量d=（m,3）,b=(l,7?i+l).若〃_L〃,則m=__________.

23.(2023?新高考I)已知向量a=(l,l),6=(1,-1).若3+肪)_1_(。+〃6),貝！J()

A.4+〃=lB.2+〃=—1C.川=1D.辦=一1

24.（2021?乙卷（文））已知向量a=（l,3）,匕=(3,4),若(a-Ab)Lb,則；1=__________.

25.（2021?甲卷（文））已知向量a=（3,l）,Z?=(1,0),c=a+kb.若a_Ld,則4=__________.

26.（2021?乙卷（文））已知向量。=（2,5）,b=(A,4),若al/b,貝！J4=__________.

知識(shí)點(diǎn)6：平面向量取值與范圍問(wèn)題

27.（2022?北京）在AABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則P4PB的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[46]

28.（2023?上海）已知OA、OB、OC為空間中三組單位向量，且OALO8、OALOC,。8與。C夾角為

60。，點(diǎn)P為空間任意一點(diǎn)，且|OP|=1,滿足IOPOCI蒯|OP-OB|\OPOA\,貝11OP?OC|最大值

為.

212

29.（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A4…4的邊A4上，則+…+必一的取值

范圍是.

30.（2022?上海）在AA3C中，ZA=90°,AB=AC=2,點(diǎn)M為邊715的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，則MPCP

的最小值為.

31.（2021?天津）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，。為線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，O￡_L他且交相于點(diǎn)E,

DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則|2BE+OF|的值為,（DE+力尸）?D4的最小值為.

32.（2021?浙'江）已知平面向量a，6，c（cr0）滿足|a|=r|〃|=2，d?方=0，（&—萬(wàn)）?（?=（）,記平面向

量d在a，方向上的投影分別為X，y，在c方向上的投影為Z，則d+y2+z2的最小值

是.

專題11平面向量

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1:平面向量線性運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)2:數(shù)量積運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)3：求模問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)4:求夾角問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)5:平行垂直問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)6：平面向量取值與范圍問(wèn)題

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1:平面向量線性運(yùn)算

1.（2022?新高考I）在A43C中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記C4=%,CD=n,則CB=（）

A.3m—2nB.-2/n+3〃C.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】如圖，

CD=CA+AD=CA^-DB=CA+-{CB-CD）=CA^-CB--CD,

2222

I3

-CB=-CD-CA,^CB=3CD-2CA=3n-2m.

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?天津）在AABC中，ZA=60。，IBC|=1,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為8的中點(diǎn)，若設(shè)AB=a,

AC=b,則AE可用a,6表示為

【答案1—a+—h.

42

【解析】在AAHC中，N4=60。，|8C|=1,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)上為8的中點(diǎn)，AB=a,AC=b,

則AE」(AD+AC)」A3+lAC」a+1b

24242

3.(2023?上海)已知向量”=(3,4),6=(1,2),則a—2。=.

【答案】(1,0).

【解析】因?yàn)橄蛄?=(3,4),6=(1,2),

所以a-26=(3-2xl,4-2x2)=(l,0).

故答案為：(1,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

4.(2022?天津)在AABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,試用a,b蓑示DE

為.

【解析】AABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,如圖:

DE=CE-CD=CB+BE-LcA=b+?-以=迎二土

2222

知識(shí)點(diǎn)2:數(shù)量積運(yùn)算

5.（2022?上海）若平面向量|〃|=|bHc1=丸，且滿足a?b=0,c=2,bc—\,則幾=

【答案】＜/5

【解析】由題意，有〃=0,則。_Lb,設(shè)＜a,c＞=6,

a.c=2]|刎62=2,①

b-c=\=忖卜即仁_。)=1,②

則,得，tan。=L

①2

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：cose=￡2,

5

2尺

則4Y=|41|C|cos?=2-2--^―=2,

分=\[5,

則2=君.

故答案為：＜/5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

6.（2023?上海）已知向量4=（-2,3）,。=（1,2）,則入。=.

【答案】4.

【解析】?.?向量a=（-2,3）,6=（1,2）,

=-2xl+3x2=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2021?上海）如圖正方形A3CD的邊長(zhǎng)為3,求A8-AC=.

【解析】由數(shù)量積的定義，可得A8-AC=A8xACxcosN8AC,

,一f一.?.一...9?2

因?yàn)锳B=ACxcosN3AC,所以4C=A"=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2021?浙江）已知非零向量a,6,c,貝U=8是“a=6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】當(dāng)a_Lc且/?_Lc,則GC=〃-C=0,但a與匕不-一定相等，

故a-b=b，c不能推出a=b,

貝I]"GC="C?"是”的不充分條件；

由a=6,可得a-6=0,

則（a-b）.c=0,即

所以a可以推出,

故"a」c=bc”是“a=b”的必要條件.

綜上所述，是"a=b”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分條件與必要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的基本概念和基本運(yùn)算，屬于

基礎(chǔ)題.

9.(多選題)(2021?新高考I)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)6(cosa,sin。)，'(cos⑸一sin夕),Q(cos(a+/?),

sin(a+y?)),A(l,0),則()

A.\OPX\=\OP2\B.\AP,\=\AP2\

c.OAOP.=OP}OP2D.OAOPX=OP2OP3

【答案】AC

【解析】法-、《(cosa,sina),(cos-sin/?),￡(cos(a+￡),sin(a+〃))，A(l,0),

,OPi=(cosa,sina),OP2=(cos民一sin0),

OP3=(cos(a+p),sin(a+夕))，OA=(1,0),

AP}=(cosa-1,sine?),AP2=(cos夕一1,一sin夕)，

2222

WJIOP1|=yjcosa+sina=1?|OP21=yjcos/3+(-sin/?)=1,則|O[|=|Og|,故人正確；

2

IAPX|=《(cosa-if+sirra=Vcosa+siira-2cosa+1=j2-2cosa,

|AP.|=7(cos/7-l)2+(-sin/?)2=y/cos2j3+sirr(3-2cos/?+1=j2-2cos/7,

|4耳罔4巴|,故5錯(cuò)誤;

04OP3=1xcos(a+夕)+0xsin(a+夕)=cos(a+p),

。6-0P2=cosacos/y-sinasinJ3=cos(a+/7),

,故。正確；

/.OAOP.=OPCOP2

OA?0[=lxcosa+0xsina=cosa,

OP2?Og=cosPcos(a+>9)-sin0sin(a+/?)=cos[4+(a+/?)]=cos(a+2/3),

OAO[wOROR,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

法二、如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

A(l,0),作出單位圓O,并作出角a,0，-。,

使角a的始邊與。4重合，終邊交圓O于點(diǎn)6，角/的始邊為。［，終邊交圓O于6，

角一夕的始邊為。A，交圓O于八，

于是《(cosa,sina),《(cos(a+?),sin(a+?)),g(cos?,-sin/7),

由向量的模與數(shù)量積可知，A、C正確：B、D錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角和的三角函數(shù)，考查

運(yùn)算求解能力，是中檔題.

10.(2023?乙卷(文))正方形438的邊長(zhǎng)是2,E是的中點(diǎn)，則EC-ED=()

A.>/5B.3C.2x/5D.5

【答案】B

【解析】正方形A38的邊長(zhǎng)是2,E是4?的中點(diǎn)，

所以EB-E4=—1,EBA.AD,EA1BC,BCAD=2x2=4,

貝jiECEOXEB+BCMEA+AOXE/rEA+gAD+EA/C+BCAOEl+O+O+dnS.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2022?乙卷(文))已知向量a,6滿足|a|=l,\h\=43,\a-2b\=3,則a?b=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)橄蛄縟,〃滿足出|=百，|。-2切=3,

所以|a-勸|=J(a一處了=證-4a-b+4b?=Jl-4a./?+4x3=3,

兩邊平方得，

13-4ab=9,

解得a-b=\,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2022?甲卷(文))設(shè)向量a,8的夾角的余弦值為』，且|”|=1,|8=3,則(2〃+6)力=_________.

3

【答案】11

【解析】由題意可得a-b=lx3x4=l萬(wàn)=9,

3

則（2。+6）力=2&?6+62=2+9=11.

故答案為：11.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，平面向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，屬于中等題.

13.(2021?新高考H)已知向量l+b+*=0,|b|=|C|=2,^a-b+b-C+d-a=.

【答案】-統(tǒng)

2

【解析】方法1：由Q+Z?+C=0得=一4或。+C=—人或。+C=—。，

/.3+6)2=(-C)2或3+C)2=(一方)2或S+C)2=(一〃)2,

又」。1=1,1=1c1=2,.\5+2a-b=4,5+2a-c=4,8+2b?c=l,

71I；7.,9

??a?b=—,a?c=—,b?C=—,??a?b+a*c+b*c=—?

2222

故答案為：-2.

2

LU”…上(a+b+c)2-|小聞2_?20-1-4-49

刀法2:Q?0+0?C+C?Q=----------------------------------------------=------------------=——.

222

故答案為：-2.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2021?北京)已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為I.

貝!!(a+6)?c=.

【解析】以正方形網(wǎng)格左下角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以橫向線段所在直線為x軸，向右為正方向，以縱向線段所在直

線為y軸，向上為正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.

則4=(2,1),6=(2,-1),c=(0,l),.,.(a+6>c=(4,0)-(0,l)=4x0+0xl=0

知識(shí)點(diǎn)3：求模問(wèn)題

15.(2023?新高考II)已知向量a,6滿足|a-0|=6,|a+2a-切，則|切=.

【答案】B

\a-b\=\/3,\a+b\=\2a-b\,

a2+b2-2a-b=3,a2+b2+2a-b^4a2+b2-4a-b,

a2=2a-b,b2—3,

:.\b\=y/3.

故答案為：6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，屬基礎(chǔ)題.

16.(2021?甲卷(理))若向量“，6滿足|a|=3,|a-6|=5,ab=\,則|b|=.

【答案】3夜.

【解析】由題意，可得(。-匕)2=/-2〃2+/=25,

因?yàn)閨a|=3,ab=\,所以9-2x1+/=25,

所以》2=18,即="=3逝.

故答案為：36.

17.(2023?北京)已知向量a,。滿足a+6=(2,3),a-b=(-2,l),則|a『-|bF=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】Ta+6=(2,3),a-h=(-2,1),

a=(0,2),1=(2,1),

a|2-|fc|2=4-5=-l.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模公式，屬基礎(chǔ)題.

18.(2022?乙卷(文))已知向量a=(2,1),6=(-2,4),則|a-6|=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】a-b=(4,-3),

故々+(—3)2=5,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

知識(shí)點(diǎn)4:求夾角問(wèn)題

19.(2022?新高考H)已知向量a=(3,4),6=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,o,則r=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】向量。=(3,4),b=(1,0),c=a+th,

c=(3+Z,4),

\*<a?c>=<h,c>，

.ay=b-c.25+3/3+7

l?|-|c|51

解得實(shí)數(shù)f=5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

20.(2023?甲卷(文))已知向量a=(3,l),6=(2,2),則cos〈a+b,a-b)=()

1V17「石2y[5

AA.—BR.------C.——nD.------

171755

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，向量。=(3,1),6=(2,2),

則a+b=(5,3),a-b=(1,-1),

則有|a+b|=，25+9=后,\a-b\=y/T+}=y/2,(。+切?(〃-人)=2,

,,z.(。+/?)?(〃一〃)2\/\1

故C0S〈4+。，a-h)=---------------=-.

\a+b\\a-b\734->/217

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的夾角，涉及向量的數(shù)量積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2023?甲卷(理))向量|〃|=|A|=1,|c|=V2,且。+/?+。=0,貝IJCOS〈Q-C,h-c)=()

【答案】D

【解析】因?yàn)橄蛄縄〃Rb|=1,|c|=夜，n.a+b+c=0,所以-c=a+b,

所以/="+。2。,

即2=l+l+2xlxlxcosva，b>>

解得cos<a>b>=0，

所以，

5La-c=2a+b，b-c=a+2b，

所以①一沙四一。=(24+〃)?(4+%)=2〃+2^2+54啰=2+2+0=4,

\a-c\=\b-c\=\!4a2+4a?/?+〃？=74+0+1=75,

所以cos〈a—C,b-c〉=.("二』,('[)=.-廣4-士

\a-c\\b-c\V5xx/55

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)夾角的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

知識(shí)點(diǎn)5：平行垂直問(wèn)題

22.(2022?甲卷(文))己知向量4=(憾3),b=(1,A?I+1).若〃_Lb,則加=.

【答案】_3.

4

【解析】,向量。=(m,3),b=(l,w+1).aLb?

ab=m+3(/n+1)=0,

則m---,

4

故答案為：-3.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，屬于

基礎(chǔ)題.

23.(2023?新高考I)已知向量a=(l,1),Z>=(1,-1).若(。+勸)_L(a+〃匕)，則()

A.A.+fj=\B.4+〃=—1C.A./J=ID.卻——1

【答案】D

【解析】“=(1,1),6=(1,-1),

(/+2/7=(2+1,1-A),4+=(〃+1,1-〃),

由(d+Ab)JL(。+/jb),得(4+1)(〃+1)+(1-2)(1-//)=0.

整理得：2辦+2=0,即〃/=-1.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量加法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

24.(2021?乙卷(文))已知向量。=(1,3),6=(3,4),若(。一/1〃)，6,則2=.

【答案】-

5

【解析】因?yàn)橄蛄俊?(1,3),b=(3,4),

則4-4〃=(1一343—4見(jiàn))，

又(〃一勸)_Lb,

所以(〃一")?方=3(1—34)+4(3—42)=15-254=0,

解得彳=?.

5

故答案為：--

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

25.(2021?甲卷(文))已知向量。二(3/)，b=(1,0),c=a+kb.若々J_c,則％=.

【答案】-W

3

【解析】因?yàn)橄蛄縜=(3,l),6=(1,0),c=a+kb,

由aJ_c,則a?(“+必)=|a『+?力=32+「+h(3x1+1x0)=10+=0,

解得』叱

3

故答案為：-3.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，平面向量垂宜的坐標(biāo)表示，

考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

26.(2021?乙卷(文))已知向量4=(2,5),&=(2,4),若a//b,貝1」2=.

【答案】--

5

【解析】因?yàn)閍=(2,5),b=(A,4),atlb,

所以8—54=0,解得2=

5

故答案為：

5

知識(shí)點(diǎn)6：平面向量取值與范圍問(wèn)題

27.(2022?北京)在AA8C中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則PA-P3的取值范圍是()

A.[-5,3JB.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】在AA8c中，AC=3,8c=4,ZC=90°,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA.C8所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)P(x,y),

因?yàn)镻C=1,

所以f+y2=1.

又PA=(3-x,-y),PB={-xA-y),

所以PA?PB=-x(3-x)-y(4-y)=x2+y1-3x-4y=-3x-4y+1,

設(shè)x=cosd,y=sind,

a

所以「八28=-(385。+4411(9)+1=-55皿(。+3)+1,其中tanp=3,

當(dāng)sin(e+c)=l時(shí)，EVPB有最小值為T(mén),

當(dāng)sin(e+0)=-l時(shí)，PAPB有最大值為6,

所以PAPBe[-4,6],

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的最值問(wèn)題，屬于中檔題.

28.(2023?上海)已知。4、OB、OC為空間中三組單位向量，且OA_LO3、OA1OC,OB與0c夾角為

60°,點(diǎn)P為空間任意一點(diǎn)，且|OP|=1,滿足IOPOCI副|OP-O8|\OPOA\,貝iJ|OPOC|最大值

為.

【答案】-.

7

【解析】設(shè)。4=(0,0,1),03=(3,g,0),0C=(0,1,0),

OP=(x,y,z),不妨設(shè)1，y,z>0,則|OP|=f+V+z?=1,

因?yàn)閨OP-OC|都|OP-O8|\OPOA\,

所以那+z，可得z..y,

所以1=V+y2+y2+y2+y2,解得嬉?,

故。尸?OC=%浮.

故答案為：.

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

-2-2-2

29.（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A4…&的邊A4上，則E4/+叫一+…+叫的取值

范圍是.

【答案】口2+2應(yīng)，16].

【解析】以圓心為原點(diǎn)，4A所在直線為X軸，AA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

.,./亞五、.八、,,V2\/2,V2>/2,,夜歷、

nnn-

則A（o,i），，《-），A（i,。），A4（—~,--—）,A,（o,-i）,A（--—,--—）,4（一1,。）,4（-?

設(shè)尸（x,y），

則依2+叫2+…+必』=出尸&F+I9F+|即『+|也F+|%F+|aF+|7^|2=8(x2+y2)+8,

cos22.5啜IjOP|1,1+COS45°M2*4+/1，

2

2+V2網(wǎng)L221

———+y11,

4

:.12+2y/2^x2+y2)+S16,

即B\2+%2+…+總2的取值范圍是口2+2應(yīng)，16],

故答案為：[12+2&,16],

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔

題.

30.(2022?上海)在AABC中，ZA=9O°,A8=AC=2,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊8c上，則A/PCP

的最小值為.

【答案】-2.

8

【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如下，

則3(2,0),C(0,2),M(l,0),

直線8c的方程為二+上=1,即x+y=2,

22

點(diǎn)尸在直線上,設(shè)P(x,2-x),

/.MP=(x-1,2-x),CP=(x,-x)?