測量誤差的合成和分配

關(guān)于測量誤差的合成和分配1．誤差傳遞公式設(shè)一個(gè)被測量由兩個(gè)分項(xiàng)、，其函數(shù)表達(dá)式為

則絕對誤差傳遞公式為

式中——被測量的絕對誤差；

——直接測量量的絕對誤差；

——直接測量量的絕對誤差。2.4.1測量誤差的合成(2-18)(2-19)第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

相對誤差傳遞公式為

式中——被測量的相對誤差；

——直接測量的絕對誤差；

——直接測量的絕對誤差。(2-20)第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

同理，當(dāng)被測量由m個(gè)分項(xiàng)合成時(shí),誤差傳遞公式為

式中——第i個(gè)測量分項(xiàng)的測量值；

——直接測量量的絕對誤差。一般，若的函數(shù)關(guān)系為和、差關(guān)系時(shí)，常先求總合的絕對誤差，若函數(shù)關(guān)系為積、商或乘方、開方關(guān)系時(shí)，常先求總合的相對誤差比較方便。(2-21)(2-22)第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例1：用間接測量法測量電阻消耗的功率，若電阻、電壓和電流測量相對誤差分別為、和，問所求功率的相對誤差為多少？例2：用伏安法測電阻時(shí)，若測量電壓和電流的相對誤差為、，試問所求電阻的相對誤差為多少？若為±4%，為±3%，為多少？第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2．系統(tǒng)誤差的合成若測量中各種隨機(jī)誤差可以忽略，則總和的系統(tǒng)誤差可由各分項(xiàng)系統(tǒng)誤差合成。

式中——系統(tǒng)誤差的總和；

——直接測量各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差。(2-23)第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天3．隨機(jī)誤差的合成若各分項(xiàng)的系統(tǒng)誤差為零，則同理可求總合的隨機(jī)誤差

式中——隨機(jī)誤差的總和；

——直接測量各分項(xiàng)的隨機(jī)誤差。(2-24)第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天已知各分項(xiàng)方差，求總合方差的公式為

標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為

(2-25)(2-26)第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天1．等準(zhǔn)確度分配當(dāng)總誤差中各分項(xiàng)性質(zhì)相同（量綱相同）、大小相近時(shí)，采用等準(zhǔn)確度分法，即分配給各分項(xiàng)的誤差彼此相同。若總誤差為，各分項(xiàng)的誤差為；標(biāo)準(zhǔn)差為，令；，則分配給各項(xiàng)的誤差為

2.4.2測量誤差的分配(2-27)(2-28)第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例：有一個(gè)電源變壓器，已知初級線圈與兩個(gè)次級線圈的匝數(shù)比N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程為500V的交流電壓表測量次級線圈的總電壓，要求相對誤差小于±2%，問應(yīng)該選用哪個(gè)級別的電壓表？第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2．等作用分配

當(dāng)分項(xiàng)誤差性質(zhì)不同時(shí)，采用等作用分配方法。在這種分配方式中，分配給各分項(xiàng)的誤差在數(shù)值上不一定相等，但它們對測量誤差總和的作用是相同的。

對于系統(tǒng)誤差，在式（2-23）中，令。則分配給各分項(xiàng)的誤差為

(2-29)第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天對于隨機(jī)誤差，在式（2-25）中，令，則分配給各分項(xiàng)的誤差為

(2-30)

第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例：間接測量電阻上消耗的功率，已測出電流為100mA，電壓為3V，算出功率為300mW，若要求功率測量的系統(tǒng)誤差不大于5%，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差不大于5mW，問電壓和電流的測量誤差應(yīng)在多大范圍內(nèi)，才能保證上述功率誤差的要求。第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天3．抓住主要誤差項(xiàng)進(jìn)行分配當(dāng)分項(xiàng)誤差中某項(xiàng)誤差特別大時(shí)，就可以不考慮次要分項(xiàng)的誤差，或酌情分給次要分項(xiàng)少量誤差比例，確保主要項(xiàng)的誤差小于總合的誤差。若主要誤差項(xiàng)有若干項(xiàng)，這時(shí)可把誤差在這幾個(gè)主要誤差項(xiàng)中分配，考慮采用等準(zhǔn)確度或等作用分配原則。第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.5測量結(jié)果的描述與處理

對測量結(jié)果可采用正確度，精密度和準(zhǔn)確度三種評價(jià)方法。1．正確度表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小程度。系統(tǒng)誤差愈大，正確度愈低；系統(tǒng)誤差愈小，正確度愈高。2.5.1測量結(jié)果的評價(jià)第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2．精密度表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的大小程度，也簡稱為精度。隨機(jī)誤差的大小可用測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來衡量,

越小，測量值越集中，測量的精密度越高；反之，標(biāo)準(zhǔn)確偏差越大，測量值越分散，測量精密度越低。第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天3．準(zhǔn)確度是測量結(jié)果系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合，表示測量結(jié)果與真值的一致程度。在一定的測量條件下，總是力求測量結(jié)果盡量接近真值，即力求準(zhǔn)確度高。圖2.3測量結(jié)果的圖形評價(jià)（a）正確度高、精密度低

?精密度、正確度均高（b）精密度高、正確度低

第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天1.誤差位對齊法誤差位對齊法采用的方法是測量誤差的小數(shù)點(diǎn)后面有幾位，則測量數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)后面也取幾位。2.5.2測量數(shù)據(jù)的整理第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例：用一塊0.5級的電壓表測量電壓，當(dāng)量程為10V時(shí)，指針落在大于8.5V的附近區(qū)域，這時(shí)測量數(shù)據(jù)應(yīng)取幾位？例：用一塊0.5級電壓表的100V量程進(jìn)行測量，指示值為85.35V，試確定有效數(shù)字位數(shù)。第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2．有效數(shù)字表示法（1）有效數(shù)字所謂有效數(shù)字，是指在測量數(shù)值中，從最左邊一位非零數(shù)字算起到含有存疑數(shù)字為止的各位數(shù)字。一般數(shù)據(jù)的最后一位是欠準(zhǔn)確度的估計(jì)字，稱為存疑數(shù)字。第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天（2）數(shù)字的舍入規(guī)則（1）小于5舍去——舍去部分的數(shù)值小于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，末位不變。（2）大于5進(jìn)1——舍去部分的數(shù)值大于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，末位增1。（3）等于5時(shí)，取偶數(shù)——舍去部分的數(shù)值恰好等于所保留末位的0.5個(gè)單位時(shí)，則當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，末位增1（將末位湊成偶數(shù)）。第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯(cuò)誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

常用被測量的量值和它的不確定度共同表示測量結(jié)果，表達(dá)式為

式中——測量值的算術(shù)平均值；

——被測量的不確定度，一般為在實(shí)際應(yīng)用中，常以絕對誤差的形式表示。

2.5.3測量結(jié)果的表示方法(2-31)(2-32)第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天1．將測量數(shù)據(jù)按先后次序列表。2．用公式求算術(shù)平均值。3．用公式求每一次測量值的剩余誤差。4．用公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。2.5.4等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天5.按萊特準(zhǔn)則判斷粗大誤差，即根據(jù)剔除壞值。6.重新計(jì)算和，再判別有無粗大誤差。7.用公式求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值。8.用公式求算術(shù)平均值的不確定度。9.寫出測量結(jié)果的表達(dá)式。第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

實(shí)驗(yàn)曲線的繪制，通常采用平滑法和分組平均法。1．平滑法作圖如圖2.4（a）所示，先將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)在直角坐標(biāo)上，再將各點(diǎn)用折線依次相連，然后從起點(diǎn)到終點(diǎn)作一條平滑曲線，使其滿足以下等量關(guān)系

式中——曲線以下的面積和；

——曲線以上的面積和。2.5.5實(shí)驗(yàn)曲線的繪制(2-33)第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天平滑法作圖示意0xy0xy第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

如圖2.4(b)，將所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)在坐標(biāo)上，先標(biāo)出相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線的中點(diǎn)，再將所有中點(diǎn)連成一條光滑的曲線；或用3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線的重心點(diǎn)連成一條光滑曲線。由于取中點(diǎn)（或重心點(diǎn)）的過程就是取平均值的過程，所以減小了隨機(jī)誤差的影響。2．分組平均法

第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天分組平均法作圖示意0xy第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天2.6最佳測量方案選擇

最佳測量方案是使總誤差為最小的測量方案，是使系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都減少到最小的測量方案。即做到即上述和式中每一項(xiàng)都達(dá)到最小時(shí)，總誤差就會最小。第31頁,共36頁，2