2023-2024學年江西省高一年級下冊期末數(shù)學質(zhì)量檢測試題（含答案）

2023-2024學年江西省高一下冊期末數(shù)學質(zhì)量檢測試題

一、單選題

3

1.已知sin（30+a）=j60°va<15（T,貝1"0$。為（）

A?嚕3A/10C4A/3-37

R?-----

1010

【正確答案】D

先求出cos（30°+a）的值，再把cosa變形為cos［（30°+a）-301，再利用差角的余弦公式展

開化簡即得cosa的值.

【詳解】：600<a<150°,

.,.90°<30"+?<180°,

/.COS（30°+（2）=-^

/.cos?=cos[（30°+a）-30°]=cos（30°+a）cos30°+sin（30°+a）sin30°

3+，丄=2

525210

故選：D.

三角恒等變形要注意“三看（看角看名看式）'’和“三變（變角變名變式）”，本題主要利用了

看角變角，a=（30°+a）-30',把未知的角向已知的角轉(zhuǎn)化，從而完成解題目標.

2.如圖所示，正方形O'A'夕C的邊長為2cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則

原圖形的周長是（）

B.8后cm

C.8cmD.4+46cm

【正確答案】A

【分析】由直觀圖確定原圖形中平行四邊形中線段的長度與關(guān)系，然后計算可得.

【詳解】由斜二測畫法，原圖形是平行四邊形，O4=O'A'=2,

又0'8'=2夜，O8=2O'B'=4&，OBLOA,

所以AB=百+(4后=6,

周長為2(2+6)=16.

故選：A.

3.在△ABC中，c=+,A=75。，B=45。，則△ABC的外接圓面積為

71

A.——B.兀C.2nD.4兀

4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理可得2/?=三，解得R=l,故AABC的外接圓面積5=兀/?2=兀

sine

【詳解】在△ABC中,4=75°,8=45。，???。=180。-4-8=60。.設(shè)厶55。的外接圓半徑為

R,則由正弦定理可得2/?=一1，解得R=l,

smC

故厶ABC的外接圓面積S=nR2=n.

故選B.

本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有

關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時

也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說，當條件中同時出現(xiàn)血及

b2、a2時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用

正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.

4.在厶A8C中，若^tanAu/tanB，則厶ABC的形狀是()

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【正確答案】B

【分析】利用切化弦及正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，可得sinBcos5=sinAcosA,HPsin2A=sin2B,

從而可得出A=5或A+B=].

【詳解】由〃tanA=〃2tanB,可得庁sinAcosBu/sinbcosA,

由正弦定理，可得sin?BsinAcosB=sin2AsinBcosA，

因為sinAw0,sin3w0,所以sinBcosB=sinAcosA,

則sin2A=sin28,故2A=25或2A+23=TI,

即A=8或4+2=1,所以△ABC是等腰或直角三角形.

故選：B.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換，考查學生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知|a|=2,向量。在向量人上的投影為G，則。與人的夾角為()

n一?！?兀八九

A.-B.-C.—D.一

3632

【正確答案】B

【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出a與。夾角的余弦值，即可得出夾角大小.

【詳解】記向量a與向量6的夾角為夕，

在b上的投影為同cosO=2cos6).

a在b上的投影為

COS0=—，

2

6e[0,兀],

6

故選：B.

6.已知“，。為單位向量，,+百=&卜-%|,記e是與a+匕方向相同的單位向量，則”在“+b

方向上的投影向量為()

ALR2街「近n2近

A.-eD.---------cC.—cL).------e

3333

【正確答案】C

【分析】利用向量投影的定義求解.

【詳解】由題設(shè)可得2+2a力=2-4〃力+2,即則a-(a+8)=1+g=g,

設(shè)a與a+〃的夾角為a,則卜，a+qcostz=[.

又上+4寸+2*；=第,故Hcosa=gx^=乎，

因為e是與a+6方向相同的單位向量，所以a在a+〃方向上的投影向量為亞e.

3

故選:C

7.甲船在B島的正南方10km處，且甲船以4km/h的速度向正北方向航行，同時乙船自B島

出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60。的方向行駛，當甲、乙兩船相距最近時它們航行的時間是

()

150.15.

A.----minB.—hC.20.5minD.2.05h

77

【正確答案】A

【分析】依題意畫出圖形，假設(shè)經(jīng)過x小時兩船相距最近，利用余弦定理可得

CD-=28x2-20x+l001當》=三時，C。最小，即8最小，兩船相距最近，最后將小時

14

換算成分鐘即可得解.

【詳解】假設(shè)經(jīng)過X小時兩船相距最近，甲乙分別行至C,。如圖所示：

可知8c=10—4x,BD=6x,ZCB￡>=120,

CD2=BC2+BD2-2BCXBDXCOSZ.CBD

1

=(10-4x)9'+36x2+2x(10-4x)x6xx—

=28X2-20X+100.

當》=卷小時，即x=^min時，距離最小.

故選：A.

本題考查利用余弦定理定理解決實際問題，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于?？碱}.

8.若函數(shù)/(x)=sinx+cosx-2sinxcosx+I-a在上有零點，則實數(shù)〃的取值范

圍()

A.15/^,2]B.—A/2,-C.[-D.

【正確答案】A

3乃71

【分析】由題意結(jié)合函數(shù)零點的概念可得方程aT=sin%+cosx-2sinxcosx在一:

_44_

37r冗

上有解，令》=5布了+8$犬-2$皿》8$彳，通過換元法求得y在-亍，-1上的值域即可得

解.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=sinx+cosx—2sinxcosx+l-“在上有零點，

、3乃7t

所以方程。一1=sinx+cosx-2sinxcosx在---,一~-上有解，

_44,

設(shè)^=sinx+cosx=&sin(x+?),

xe-,，-?，二犬+壽-y,O,/e[-x/2,0],

t1=l+2sinxcosx，

,c?2,(1Y5

…y=smx+cosx-2smxcosx=r一廠+1=-|t——+—,

-I2丿4

當f=0時，y取得最大值1,當/=-五時，y取得最小值_五-1，

故可得-夜-IVa-lVl，->/2<a<2.

故選：A.

本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等變換的應(yīng)用，考查了

邏輯思維能力和運算求解能力，屬于中檔題.

9.如圖所示，正方體ABCO-A/B/C/。/的棱長為1,線段B/D/上有兩個動點E、尸且EF=亞，

2

則下列結(jié)論中錯誤的是()

A.AC丄BEB.￡7=7/平面ABC。

C.三棱錐A-8EF的體積為定值D.異面直線AE,BF所成的角為定值

【正確答案】D

【分析】A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的

體積計算的公式可證真假；D.根據(jù)列舉特殊情況可證真假.

【詳解】A.因為厶。丄8。,厶。丄?？冢??？贐D=D,所以AC丄平面

又因為8Eu平面瓦兒)円，所以AC丄BE,故正確;

B.因為。8J/DB,所以￡F〃/)3,且EF仁平面ABC。，￡>3u平面ABC。,

所以￡尸〃平面ABC。，故正確；

C.因為SM.=’XEFXBB1=變?yōu)槎ㄖ担珹到平面囪如円的距離為/Z=_LAC=受,

所以匕-詆=:S0”力=5為定值，故正確；

D.當AGnqq=E,ACC>BD=G,取尸為4，如下圖所示:

因為8F//EG,所以異面直線AE,8尸所成角為/AEG,

V2

且tanZA￡,G=—=^-=—'

GE12

當AGBQ產(chǎn)F,ACnBD=G,取E為R,如下圖所示:

因為D\FUGB,D,F=GB,所以四邊形RGBF是平行四邊形，所以BF//D。,

72

t〃sAG一方石

所以異面直線AE,8尸所成角為ZAEG,且tan=可’

由此可知：異面直線厶區(qū)8廠所成角不是定值，故錯誤.

故選：D.

本題考查立體幾何中的綜合應(yīng)用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及

三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).

10.函數(shù)〃x)=2sin(5+e)(0>O)圖像上一點P(sj)(-2<f<2)向右平移2萬個單位，得

到的點。也在圖像上，線段P。與函數(shù)f(x)的圖像有5個交點，且滿足

0仔T=f(x)，若y=f(x)，xw0,|與…有兩個交點,則“的取

值范圍為()

A.(-2,-"75]B.2,—72JC.D.[x/5,2]

【正確答案】A

【分析】首先根據(jù)已知條件分析出|尸。|=2"=27,可得0=2,再由=可得

y=/(x)對稱軸為x=?利用可以求岀符合題意的一個夕的值，進而得出

f(x)的解析式，再由數(shù)形結(jié)合的方法求。的取值范圍即可.

如圖假設(shè)?(0,0),線段PQ與函數(shù)/(X)的圖像有5個交點，則|圖=2萬,

所以由分析可得|尸。=2萬=27,所以7=萬，

一./口27r2%_

可得3=二=—=2,

r7t

因為所以/=f「+x)即/67)=/《+x

所以“?是〃x)的對稱軸，

O

所以2X：+9=5+&?(Z￡Z),即e=(+4](kWZ),

/(一^j=2sin(—九+9)=-2sin°>/(0)=2sin9，

37r

所以sin^vO,可令人=一1得夕=一二，

4

所以f(x)=2sin(2x-日)，

JT3JT347T3萬71

當xw0,—時，令2x-q-=r€一亍，W，則/?)=2sinf,t&T'7

作/⑺圖象如圖所示：

當，=一學即》=0時>=一應(yīng)，當/=一]即x=?時，y=-2,

由圖知若y=/(x),xe0,y與y=4有兩個交點，則。的取值范圍為卜2,-拒],

故選：A

關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是取特殊點/0,0)便于分體問題，利用已知條件結(jié)合三角函

數(shù)圖象的特點，以及三角函數(shù)的性質(zhì)求出/(x)的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合的思想求解。的

取值范圍.

11.已知向量的夾角為。，忖=2冋=2,向量c=xa+勸，且x,yw[l,2],則向量。工夾

角的余弦值的最小值為()

A國R2不岀D3⑨

77214

【正確答案】A

【分析】依題意可得叫〃,?！荡?77K

3y2則3/+27+4)'2/守+2⑶+4=[2+J+3,

令〃=

x2+2xy+4y2“yI)'丿㈠丿(y)

通過換元可得K，所以，當〃時，可得cos(a,C)的最小值.

【詳解】依題意可得冋=1,網(wǎng)=1,則=同?Wcos(=lx2xg=l,

ac=a(xa+yb\=xa2+ya-h=x+y,

c2=(M+yb)=x2a2+2xyab+y2b2=x2+2xy+4y2,則同=+2盯+4)，,

所以‘c°s低加爺巖后寸一

3y2

令〃=貝匹佰T+2⑶+4=佰+[+3,

22"學U

x+2xy+4y“yI〉丿Vy))

由x,y￡[l,2]得/￡g,2

3,、o21,所以卜2,4,故T林

則一二(f+l)+3c—,12

u4

故選：A.

關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點是：令人7T通過換元得到，，七5

二、多選題

12.若向量。=（石,3）,匕=（〃,6）,下列結(jié)論正確的是（）

A.若°,方同向，則”=1

B.與2垂直的單位向量一定是卜亭,;

C.若b在a上的投影向量為3e（e是與向量a同向的單位向量），則"=3

D.若〃與〃所成角為銳角，則〃的取值范圍是〃>-3

【正確答案】AC

【分析】A.先根據(jù)a,b共線確定出”的可取值，然后根據(jù)。方同向確定出〃的值；

B.分析［-專的相反向量與a的位置關(guān)系并進行判斷；

I22丿

ab.

C.根據(jù)仃=3求解出”的值；

D.根據(jù)4m>0且a力不同向即可求解出〃的取值范圍.

kn=61-

【詳解】A.設(shè)。=助，所以r，所以k=6,〃=l,即a=所以"=1滿足，故

限=3

正確；

B.因為6.手+3.（-￡）=0,所以（手,也是與〃垂直的單位向量，故錯誤；

ab°+一。

C.因為〃在a上的投影向量為3e，所以口=3,所以J的+3?,所以〃=3,故正確;

D.因為a與6所成角為銳角，所以外。>0且“力不同向，

所以產(chǎn)〃+36>0,所以（1,冋，故錯誤;

故選：AC.

思路點睛：已知向量的夾角為銳角或者鈍角，求解參數(shù)范圍的步驟：

（1）根據(jù)兩個向量的夾角為銳角或鈍角，得到或分，＜0，求解出”的范圍；

（2）特殊分析：當兩個向量共線時，計算出參數(shù)的取值；

（3）排除兩個向量共線時參數(shù)的取值，確定出參數(shù)的取值范圍.

13.對于函數(shù)/（x）=sinx+cosx+2sinxcosx,下列結(jié)論正確的是（）

A.把函數(shù)/U）的圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖

象，則乃是函數(shù)產(chǎn)g（x）的一個周期

B.對kX?傘，引，若玉氣，貝（1/（尤1）＜/（占）

C.對VxeR./仁7）=/（?+》）成立

D.當且僅當》=（+%肛上eZ時，?r）取得最大值0+1

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則化簡即可判斷A；々f=sinx+cosx=&sin（x+?）,

f（t）=t2+t-l,判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B；代入直接利用誘導公式化簡即可；首先

求出/⑺的最大值，從而得到x的取值;

【詳解】解：因為f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx=sinx+cosx+（sinx+cosx）--1,令

r=sinx+cosx=V2sin卜+]）,所以/E[-右,&],所以/⑴=產(chǎn)+￡_],

對于A：將/（X）=sinx+cosx+2sinxcosx圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹?■倍，貝lj

g（x）=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x,所以

g（x+；F）=sin2（x+7F）+cos2（x+"）+2sin2（x+；F）cos2（x+；F）

=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x=g（x）,所以乃是函數(shù)產(chǎn)g（x）的一個周期，故A正確；

對于B：因為工￡卜,彳丿，所以"十丁|彳，彳丿，

則/=伝由卜+力[-6-1）在卜尋）上單調(diào)遞減，在仔，用上單調(diào)遞增，

又/（f）=產(chǎn)+-l=0+gj—對稱軸為.=一;，開口向上，函數(shù)/（0=?+-1在[_&,_1）

上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增,

故B錯誤;

心+“卜由+xk噸卜陪+x

故C正確;

因為f(r)="+-i=[r+gj_j,當崢夜時〃。取得最大值

〃%=拒+1，令，=伝++￡|=&，則"吒卜1,所以嗚亨2y0Z,

解得x=?+2版'MeZ,即當x=?+2Z萬次eZ時，函數(shù)/(x)取得最大值a+1,故D錯誤;

故選：AC

本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是換元令f=sinx+cosx,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù);

14.已知;.A3C中，BC=4立，C=[,B￡＞為邊AC上的高，且4。=布，沿8。將△ABO

4

折起至△/)皿的位置，使得cosNPQC=d^@,則()

10

A.平面PDC丄平面8OC

B.三棱錐尸-5CD的體積為8

C.PC=y/2

D.三棱錐P-88外接球的表面積為36乃

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)8。丄AC及翻折前后幾何元素的位置關(guān)系得到亜丄BD1DC,從而可

得平面PDC丄平面8OC,A選項正確；

先根據(jù)已知求出0C,再求得sin/PDC,然后利用三角形的面積計算公式、錐體的體積計

算公式及等體積法求得結(jié)果，即可判斷B選項；

在△「￡心中利用余弦定理求得PC的值，即可判斷C選項；

利用幾何直觀及三棱錐P-8CD外接球的球心與側(cè)面的位置關(guān)系，結(jié)合已知得到部分幾何元

素的數(shù)量關(guān)系，從而求得三棱錐P-88外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積的計算公式求

得結(jié)果，即可判斷D選項.

【詳解】對于A：因為3。為邊AC上的高，所以3。丄AC,沿30將△4?。折起至APB。

的位置后，BD丄PD,BDA.DC,所以亜丄平面PDC,所以平面PDC丄平面8QC,所

以A選項正確；

對于B：因為現(xiàn))丄。C,BC=4垃,NBCD，,所以BD=0C=4,又

4

2

sinZPDC=71-cosZPDC=—>所以SAmr=1x4x亞x巫=2,

10210

1Q

Vp.BC￡>=§x4x2=],所以B選項不正確；

對于C：在△PDC中，PD=A，DC=4,cosNPOC=扌叵，由余弦定理可得

10

PC2=P￡>2+DC2-2/>DDCcosZPDC=10+16-25/i0x4x^^=2,所以PC=&,所以

10

C選項正確；

對于D：如圖，記。為三棱錐尸-BCD外接球的球心，N為△「￡心外接圓的圓心，連接。N,

則ON丄平面PDC,取BC的中點M,0c的中點Q,連接M。，得MQ//BD,又平

面尸。C,所以MQ丄平面PDC,故ON//MQ,連接。M,NQ,易知丄平面BDC,NQ丄

平面3￡>C,故OM//NQ,且NQ丄"。，則四邊形。MQV為矩形，連接DN,貝ijDN

PC^^2.f—

為外接圓的半徑，由正弦定理可得20V=sinNPDC=前=2出,所以

又0N=MQ=；BD=2,故外接球半徑a)=而西加=3,所以三棱錐「一BCD外接球

的表面積為41x3?=36]，所以D選項正確.

故選：ACD.

p

B

O

方法點睛：三棱錐外接球的球心的一般作法：

分別找到兩個側(cè)面三角形的外心，再分別過外心作相應(yīng)平面的垂線，兩垂線的交點即三棱錐

外接球的球心，通常是找到兩個特殊三角形，因為這樣易找到外心或易求得外接圓的半徑.

15.已知向量”與b滿足忖=2,忖=6,a與人的夾角為,，:丄0+向，則

【正確答案】空

3

【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得2的值，進而求得F+a”

【詳解】依題意，忖=2,W=g,°與b的夾角為葛，:丄（；+〃），

121—]4

=a+Aab=22+2x2xV3xcos——=4-34=0,

4

解得4=

+2/la,b+萬-b

本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量模的求法，屬于中檔題.

16.在銳角AA8C中，BC=\,8=2A,則AC的取值范圍為.

【正確答案】（應(yīng)，后）

【詳解】解：在銳角△ABC中，BC=1,ZB=2ZA,：.n+2<3A<7t,且0<2A<7t+2,

故兀+6<A<7t-s-4，故<cosA<—.由正弦定理可得1：sinA="b"：sin2A,

22

b=2cosA,/.V2<b<上.

17.關(guān)于函數(shù)/(x)=4sin(2x-小eR),有下列命題：

①y=尤為偶函數(shù)；

②方程/(X)=2的解集為｛xx=?+Z/，Aez)；

③y=/(x)的圖象關(guān)于點,則對稱；

④y=/(x)在［0,2句內(nèi)的增區(qū)間為0,Q和凈，2萬；

1萬

⑤y=/(%)的振幅為4,頻率為一,初相為-；.

713

其中真命題的序號為.

【正確答案】③⑤

【分析】①利用三角函數(shù)的奇偶性判斷真假；②解三角方程來判斷真假；③利用代入法判斷

真假；④利用單調(diào)性的知識判斷真假；⑤根據(jù)y=Asin(cox+0)的有關(guān)概念判斷真假.

【詳解】①，依題意y=+g萬)=4sin=4sin(2x+午)=4sin(2x+(

令g(x)=4sin(2x+]J,!JliJg(-x)=4sin^-2x+yJ^4sin^2x+yj,所以①錯誤.

②，由〃x)=4sin(2x-g1=2得sin(2x-g]=：.當2》-巳=紅，即”=K0寸，

V37I3丿23612

sin(2x-?)=g,\^,x=^Axx=^+k7t,k&z\,所以②錯誤.

③’f=4sin-f}=4sin=01所以y=〃x)的圖象關(guān)于點一9,0卜j稱,

即③正確.

/(2^r)=4sin^4^--y=-273,

所以色萬,2萬不是/(x)的增區(qū)間，所以④錯誤.

⑤，y=/(x)的振幅為4,周期T=M=zr,頻率為工=丄，初相為-g,所以⑤正確.

21713

故③⑤

本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性、和三角函數(shù)的概念，屬于中檔題.

18.關(guān)于/(x)=sinx-丄，有如下四個結(jié)論：

smx

①f(x)是奇函數(shù).

②/(X)圖像關(guān)于y軸對稱.

③x=^■是/(X)的一條對稱軸.

④/(X)有最大值和最小值.

其中說法正確的序號是.

【正確答案】①③

借助于y=sinx的性質(zhì)，對照四個選項，一一驗證.

【詳解】/(x)=sinx--丄-的定義域{x|xxkr,左eZ}

sinx

一(sinxH-------|

對于①：定義域關(guān)于原點對稱，/(-x)=sin(-x)-—y=-fM,即f(x)

Isinx)

是奇函數(shù)，故①正確;

/(X)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，故②錯誤;

所以/(5-x)=/(]+x),故③正確；

對于④：令r=sinx,/c[—l,O)_(0,1],貝ijy=G(YO,+OO),

無最小值，無最大值，故④錯誤.

故①@

這是另一種形式的多項選擇，多項選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項一一驗證.

19.南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)“，即以小斜幕，并大斜累，減中

斜塞，余半之，自乘于上：以小斜嘉乘大斜累，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方

得積可用公式+『2）］（其中。、b、C、S為三角形的三邊和面積）

表示.在..ABC中，。、b＞。分別為角A、B、C所對的邊，若。=3,且bcosC-ccosB=%-,

3

則上BC面積的最大值為.

【正確答案】空

【分析】由條件比osC-ccosB=丄結(jié)合余弦定理可得出從二3/，然后利用二次函數(shù)的基

3

本性質(zhì)結(jié)合公式5=可求得二鉆。面積的最大值.

【詳解】bcosC-ccosB=----，貝ij

3

-2-?>cricn,。~+—C~CT+C~—b~.?>?

2c"=30cosC-3ccosB=。匕cosC-accosB=ab-----------------ac-----------------=b~-c,

lab2ac

可得從=3/,

所以,

因此，J1BC面積的最大值為些.

4

故答案為.隨

4

方法點睛：求三角形面積的最值一種常見的類型，主要方法有兩類:

（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式或二次函數(shù)的基本性質(zhì)來求解;

（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.

四、解答題

20.已知角a的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在射線2x+y=0（x20）上.

（1）求2sina+cosa的值；

,,,1亠1+2sin(;r+夕)sin(生,亠

(2)若tan(a+0=Q,求、(2〃丿的值.

'sin2/7-cos2/?

【正確答案】(1);(2)

54

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義求得tana,sina,cose,由此求得2sina+cosa的值.

(2)先求得tan77的值，利用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡所求表達式，由此

求得所求表達式的值.

【詳解】(1)因為角a的終邊在射線2x+y=0(xW0)上，所以可設(shè)終邊上一點

P(a,-2a)(a>0),

.2a.-2a2-^5

則根據(jù)三角函數(shù)的定義有tana=-----=-2,sina=.==-——,

ada2+(-2a)25

a<5”,3Js

cosa~/、—7=,所以2sina+cosa=--—?

J/+(_2a)255

,p/c、tana+tanZ71

(2)由tana=-2及tan(a+/)=----------------,

1-tancrtanp3

解得：tan/?=7；

所以上竺竺償@sin2/+cos32sin/cos.

sin2/7-cos2yffsin2/7-cos2/7

_tan2/?4-1-2tanyff

tan2

49+1-14363

49-1-48-4,

本小題主要考查三角函數(shù)的定義，考查兩角和的正切公式，考查誘導公式、同角三角函數(shù)的

基本關(guān)系式，屬于中檔題.

21.ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，b,c.已知2cosc(QCOS3+/?COSA)=C.

(1)求角C；(2)若。=近，SMBC=—,求A4BC的周長.

【正確答案】(1)c=1(2)5+V7

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)正弦定理把2cosc(acosB+6cosA)=cMUK

2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,利用和角公式可得cosC=；，從而求得角C；(2)根據(jù)

三角形的面積和角C的值求得姉=6,由余弦定理求得邊。得到AABC的周長.

試題解析：(1)由已知可得28sC(sinAcosB+sin8cosA)=sinC

2cosCsin(A+B)=sinC=>cosC=—=>C=—

23

(2)SgBc=；absWC=36=ab=6

又.a2+b2-2abcosC=c2

a2+b2=13?(a+h)2=25=>〃+/?=5

JAABC的周長為5+g

正余弦定理解三角形.

22.i§/(x)=cos2x+sinxcosx4-l.

(1)求使不等式〃式)之5成立的X的取值集合；

(2)先將f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變；再向右平移5個單

位;最后向下平移5個單位得到函數(shù)〃(力的圖象.若不等式〃2(x)+；cosx-機>0在(0馬上

恒成立，求實數(shù)，〃的取值范圍.

【正確答案】(1)jA-|-^+^<X<y+^,)tGz|;(2)/M<1.

【分析】(1)利用降累公式和輔助角公式可得/(x)=^sin(2x+(j+|,因此等

價于sin(2x+?)2(),利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求不等式的解集.

(2)根據(jù)圖象變換可得〃(x)=^sinx,從而原不等式可化為-gcos2x+gcosx+g>機在

，，1),換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求用的取值范圍.

【詳解】解.f(x)=cos2a+1+_Lsin2x+]=—sin2x+—cos2x+—sinf2x+—^+―

\丿222222I42

(l)/(MN］即：2x+—l+—>—osml2x+—l>0

<=>2k7c<2X+—<7T+2k/r<=>----+k/r<x<—+k7T^kGZ)

48

所以原不等式的解集為.x—[+左萬=+

oo

(2)/(x)=當■sin「x+?)+|將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變,

得y=』lsin「+X]+3；再向右平移1個單位，得了=變sinx+之；最后向下平移;個單

，2(4丿24’222

位得到函數(shù)/?(》)=—sinx,

2

1丄siYx+hos"-丄cos?11

h2(x)+-COSX=X+-COSX+—

323232

設(shè)￡=cosx,由xjo,1)可得：/e(O,l),

則原不等式等價于：-g產(chǎn)+；r+g>，”在(0,1)上恒成立；

設(shè)g(r)=千+5+”e(O,l),則g(/)在(0,；)遞增，在'』)遞減，所以g(r)>g⑴=；,

所以，"4；.

形如/(x)=Asin25+8sin3rcos(yx+Ccos%x的函數(shù)，可以利用降累公式和輔助角公式將

其化為"X)=A'sin(25+0+夕的形式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求與/(x)相關(guān)的不等式或

方程的求解問題.另外，含cosx的二次式的恒成立問題，常通過換元轉(zhuǎn)化為一元二次不等

式在相應(yīng)范圍上的恒成立問題.

23.已知一ABC的面積為S,三邊分別為a,4c,且A8-AC=^gs.

3

(1)求cosA；

(2)求a=G，求一/SC周長的最大值.

【正確答案】(1)cosA=g；(2)36.

【分析】(1)由數(shù)量積的定義及面積公式的表示化筒即可得解；

(2)由余弦定理得3=S+C)2-3AC±S+C)2-3X"上,從而可得最值.

4

【詳解】(1)由48?厶。=^^5得0〃式05厶=厶也丄。?/?。也4,6cos4=sinA

332

=>tanA=5/3,所以AE]。，yj,

由A=《，解得cosA=4；

(2)由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,

得3=S+c)2-36cNS+c)2-3x如立，解得。+C426,當且僅當匕=c?時等號成立,

4

所以當6=c=6時，A8C周長的最大值為3后,

24.如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2,BBI=2,。芭分別為3cAe的中點.

(1)求證：4旦平面QEG；

(2)求三棱錐G-CDE的體積.

【正確答案】(I)證明見解析

⑵正

【分析】(1)根據(jù)從而可得DE〃A4,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證;

(2)根據(jù)棱錐的體積公式計算即可.

【詳解】(1)證明：2E分別為8C、AC的中點，

又AB〃Ag,.,.OE〃AB1,

又厶由U平面DEC,,DEu平面DEC,,

.?.AM平面。EG；

(2)解：由題知，底面ABC為等邊三角形，

2E分別為BCAC的中點，AB=2,

1G

CE=CD=1,ZACB=60S=-xlxlxsin60=—,

CrDDFE24

又BB、=CC、=2,

三棱錐G-CDE的體積V=1.SCD￡BB,=-X^X2=^.

3CDE'346

25.如圖，在梯形ABCD中，DC//AB,DA^CB^AB=\.

DC

（1）若DC=AC,A8=a，AD=bf試用a、匕表示AC;

（2）若DC=2,例是梯形所在平面內(nèi)一點，求MA?2M8+MC）的最小值.

【正確答案】（1）4c=5+1a+b；（2）—

212

【分析】（1）計算出。C的長，利用平面向量的減法法則可得出結(jié)果；

（2）取A8的中點。，連接。尸，以點。為原點，A3、OF所在直線分別為X、y軸建立平

面直角坐標系，設(shè)點M（x,y）,利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可

求得MA-（2MB+MC）的最小值.

【詳解】（1）如下圖所示，過點A作AE//BC交8于點E,設(shè)AC=￡）C=x,

AE//BC,43//CE且AB=3C=1,所以，四邊形A3CE是邊長為1的菱形，

所以，DE=CD-CE=x-liLAE=AD^},

空=空，即丄=二，整理可得V—x—1=0，x>0,解得》=避土L,

ACADx12

所以，OC=Y5±IAB,因此:，AC=DC-DA=^^-a+b;

22

（2）取8的中點F，連接防，

8=2,尸為C￡>的中點，則。尸=1,所以，AB//DF且AB=DF,

又因為4）=他=1,則四邊形MF。為菱形，則臺/=AD=1=3C=b,

所以，△8CF為等邊三角形，

取43的中點0,連接OF,以點。為原點，AB,。尸所在直線分別為x、y軸建立如下圖

所示的平面直角坐標系，則+河、0卜,手)，

設(shè)點AM=(_g_x,_y),MB=(g-x,-y),MC=

(G、

則2MB+MC=2-3x,---3y,

、2,

所以，MA-(2MB+MC^(-^-x](2-3x)>-y(^-3y=3x2-1.r-l+3j2y

方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：

（1）利用定義：

（2）利用向量的坐標運算；

（3）利用數(shù)量積的幾何意義.

具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用.

26.已知a=（2cosx,l）,力=（Gsinx+cosx,-l）,函數(shù)/（x）=a6.

（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間0,|上的最大值和最小值；

8-4兀一

（2）若“X0）=不工（）￡7萬?求cos2x（）的值；

（3）若函數(shù)y=f（5）在區(qū)間（。,牛）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】（1）“X）1rax=2J（x*n=—l；（2）上詳；（3）0<^<1

【分析】（1）由題意先表示出/（x）的表達式，然后運用輔助角公式化簡，求出在區(qū)間上的

最值

（2）由題意得sin（2/+7）=g,結(jié)合cos2x（）=cos（2七+仁）-聿求解出答案

（3）表示出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合題意討論得到。的取值范圍.

【詳解】（1）==2cosir（gsinx+cos^）-l=Gsin2x+cos2x=2$布（21+看

因為xjo,外，所以署2x+磬?，所以一整sin卜x+,41,

L2」6662I6丿

所以"x)a=2J(xL=T.

Q8

(2)因為/(x0)=g,所以2sin

5

E、r「兀兀［LLt、i2兀-兀_7九

因為/w7,彳，所以工_42%+工4