專(zhuān)題17.4 勾股定理與最短路徑問(wèn)題的七大類(lèi)型-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（人教版）（解析版）

專(zhuān)題17.4勾股定理與最短路徑問(wèn)題的七大類(lèi)型【人教版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)勾股定理與最短路徑問(wèn)題的七大類(lèi)型的理解！【類(lèi)型1平面圖形上的“捷徑”問(wèn)題】1．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)期末）課間休息時(shí)，嘉嘉從教室窗戶向外看，看到行人為了從A處快速到達(dá)圖書(shū)館B處，直接從長(zhǎng)方形草地中穿過(guò)．為保護(hù)草地，嘉嘉想在A處立一個(gè)標(biāo)牌：“少走■米，踏之何忍？”如圖，若AB＝17米，BC＝8米，則標(biāo)牌上“■”處的數(shù)字是（

）A．6 B．8 C．10 D．11【答案】A【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．【詳解】在RtΔABC中，由勾股定理得，AC=AB2∴AC+BC?AB=15+8?17=6（米)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草．．

【答案】4【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，與直角邊進(jìn)行比較即可求得結(jié)果．【詳解】解：依據(jù)題意可得：∠C=90°，∴AB=A∴少走了3+4?5=2m∵2步為1米，∴2×2=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，會(huì)用勾股定理解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，有兩條互相垂直的街道a和b，a路上有一小商店A,b路上有一批發(fā)部B．小商店主人每次進(jìn)貨都沿著A—O—B路線到達(dá)B處，然后原路返回．已A,B兩處距十字路口O的距離分別為600米、800米，如果小商店主人重新選一條最近的路線，那么往返一趟最多可比原來(lái)少走米．【答案】800【分析】連接AB，由勾股定理解得AB=1000，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知最近的路線是從A直接到B，往返一趟需要走2000米，再求出原來(lái)走的路線往返一趟需要走2800米，據(jù)此求出差即可解答．【詳解】解：連接AB，∵∠AOB=90°，∴AB=OA根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知最近的路線是從A直接到B，往返一趟需要走1000×2=2000米，原來(lái)走的路線往返一趟需要走2×（600+800）=2800米，最近路線比原來(lái)路線少走2800-2000=800米，故答案為：800．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谀┠承^(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8

(1)小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B再到點(diǎn)C位置，為了方便居民出入，技術(shù)人員打算在綠地中開(kāi)辟一條從點(diǎn)A直通點(diǎn)C的小路，請(qǐng)問(wèn)如果方案落實(shí)施工完成，居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走多少路程？(2)這片綠地的面積是多少？【答案】(1)6(2)114【分析】（1）連接AC，利用勾股定理求出AC=A（2）先利用勾股定理逆定理證明△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）如圖，連接AC，

∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12∴AC=A∴AB+BC?AC=9+12?15=6（m）答：居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走6m（2）∵CD=17m，AD=8m．∴AD∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，∴S△DAC=1∴S四邊形答：這片綠地的面積是114m【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某學(xué)校進(jìn)大門(mén)是一直角通道（A→B→C），為方便學(xué)生進(jìn)入教學(xué)樓，學(xué)校打開(kāi)了操場(chǎng)綠色通道（A→C）進(jìn)行分流，學(xué)生可以走“捷徑AC”直接到達(dá)教學(xué)樓，若AB＝80米，BC＝60米，則走“捷徑AC”可以少走多少米？【答案】走“捷徑AC”可以少走40米．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC即可解決問(wèn)題．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵AB=80米，BC=60米，∴AC=AB2AB+BC?AC=60+80?100=40（米)，答：走“捷徑AC”可以少走40米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意求出AC的長(zhǎng)．【類(lèi)型2平面圖形上的“飲水”問(wèn)題】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB2=120．試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長(zhǎng)度和最短，則此時(shí)AM+NB＝（）A．6

B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足AM+NB的值最小即可．過(guò)A作直線a的垂線，并在此垂線上取點(diǎn)A′，使得AA′＝4，連接A′B，與直線b交于點(diǎn)N，過(guò)N作直線a的垂線，交直線a于點(diǎn)M，連接AM，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AA′，交射線AA′于點(diǎn)E，則A'B為所求，最后利用勾股定理可求得其值．【詳解】解：如圖，過(guò)A作直線a的垂線，并在此垂線上取點(diǎn)A′，使得AA′＝4，連接A′B，與直線b交于點(diǎn)N，過(guò)N作直線a的垂線，交直線a于點(diǎn)M，連接AM，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AA′，交射線AA′于點(diǎn)E，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四邊形AA′N(xiāo)M是平行四邊形，∴AM＝A′N(xiāo)．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定為4，所以AM+NB最?。蓛牲c(diǎn)之間線段最短，可知AM+NB的最小值為A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2=AB∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B=A所以AM+NB的最小值為8．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線之間的距離，平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離最短等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)M、點(diǎn)N的位置是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·河南許昌·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，一個(gè)牧童在小河正南方向4km的A處牧馬，若牧童從A點(diǎn)向南繼續(xù)前行7km到達(dá)點(diǎn)C．則此時(shí)牧童的家位于C點(diǎn)正東方向8km的B處．牧童打算先把在A點(diǎn)吃草的馬牽到小河邊飲水后再回家，請(qǐng)問(wèn)他應(yīng)該如何選擇行走路徑才能使所走的路程最短？最短路程是多少？請(qǐng)先在圖上作出最短路徑，再進(jìn)行計(jì)算．【答案】畫(huà)圖見(jiàn)詳解，牧童選擇如圖所示的AF+FB的回家路線時(shí)，所走的路程最短，最短路程為17km．【分析】作圖：先取A點(diǎn)關(guān)于河岸l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接BD交直線l于點(diǎn)F，連接AF，即最短路徑為：BD．根據(jù)題意可知：牧童的行走路線為AF+BF，根據(jù)A點(diǎn)關(guān)于河岸l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，可得AF+BF=DF+BF，即根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)D、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，路徑最短，且最短路徑為BD，根據(jù)題意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．【詳解】作圖：先取A點(diǎn)關(guān)于河岸l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接BD交直線l于點(diǎn)F，連接AF，即最短路徑為：BD，如圖：∵牧童先由A點(diǎn)去河邊，再?gòu)暮舆呏苯臃祷丶抑?，∴牧童的行走路線為AF+BF，∵A點(diǎn)關(guān)于河岸l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴AF=DF，∴AF+BF=DF+BF，即根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)D、F、B三點(diǎn)共線時(shí)，路徑最短，且最短路徑為BD，∵A點(diǎn)距離河岸l為4km，∴AD=4×2=8（km），∵AC=7km，∴DC=AD+AC=8+7=15（km），根據(jù)題意可知∠C=90°，BC=8km，∴△BCD是直角三角形，∴BD=D答：牧童選擇如圖所示的AF+FB的回家路線時(shí)，所走的路程最短，最短路程為17km．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出圖形，找到最短回家路線是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)村莊A、B在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送自來(lái)水（水管需直接到A、B村）.(1)水廠應(yīng)修建在什么地方，可使所用的水管最短（請(qǐng)你在圖中設(shè)計(jì)出水廠的位置）：(2)如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)100000元【分析】（1）屬于“將軍飲馬”類(lèi)型的題目，作點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接BE，與CD的交點(diǎn)的位置就是修建水廠的位置（2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可【詳解】（1）如圖，作點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接BE，交CD于點(diǎn)P，點(diǎn)P的位置就是修建水廠的位置（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E，作BD的垂線EF，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)FAP+PB=FP+PB=FB=20000×5=100000元答：最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為100000元【點(diǎn)睛】本題考查“將軍飲馬”類(lèi)型題的作圖，以及勾股定理，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵4．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)南京第五初中?？茧A段練習(xí)）“數(shù)學(xué)建模”：(1)模型——小馬喝水問(wèn)題：直線MN表示一條河流的岸，在河流同側(cè)有A、B兩地，小馬從A地出發(fā)到B地，中間要在河邊飲水一次，請(qǐng)?jiān)趫D①中用三角板作出使小馬行走最短路程的飲水點(diǎn)P的位置．（保留作圖痕跡）(2)運(yùn)用——和最小問(wèn)題：如圖②，長(zhǎng)方形ABCD，E是BC的中點(diǎn)，AB=4，BC=43，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PC＋PE【答案】(1)見(jiàn)解析(2)PE+PC的最小值為6．【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′．連接A′B交直線l于點(diǎn)P（2）作E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接CE′，則PE+PC的最小值即為CE′的長(zhǎng)；由已知可求△EBE′【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)；；（2）解：作E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接C則BE'=BE則PE+PC的最小值即為CE∵AB=CD=4，BC=43∴BD=42∴BD=2CD，E為BC的中點(diǎn)，∴∠DBC=30°，∴∠EBE∴△EBE′是等邊三角形，且EB=BE′=過(guò)點(diǎn)E′作E′G∴BG=GE=3，在Rt△E′BG中，E′在Rt△CE′G中，CG=43-∴CE′=∴PE+PC的最小值為6．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)求最短距離，含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理；通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)將PE+PC轉(zhuǎn)化為線段CE'的長(zhǎng)是解（2）題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．(1)牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，試問(wèn)在何處飲水，所走路程最短？(2)所走最短路程是多少？【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)1000米．【分析】（1）根據(jù)題意作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，連接A1B交CD于點(diǎn)E（2）最短路程可構(gòu)建直角三角形求得【詳解】（1）如圖所示：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，連接A1B交CD∴牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，在點(diǎn)E處飲水，所走路程最短，最短路程是AE+BE=在CD上任取一點(diǎn)F（不與點(diǎn)E重合），連接AE，AF，A1F，如果在點(diǎn)F處飲水，則走的路程為AF+BF=下面證明在點(diǎn)E處飲水，所走路程最短∵AE=A1∴AE+BE=A1在△A1BF∴在點(diǎn)E所在的位置飲水，所走的路程最短（2）如圖：過(guò)點(diǎn)D作BD的延長(zhǎng)線DA2，使得DA∵A1∴AE+BE=∴所走最短路程是1000米【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的解答依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短，可以利用對(duì)稱(chēng)性的特點(diǎn)，通過(guò)等線代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離6．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在進(jìn)行13.4《最短路徑問(wèn)題》的學(xué)習(xí)時(shí)，同學(xué)們從一句唐詩(shī)“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐?李頎《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題．同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，找到了問(wèn)題的答案，并進(jìn)行了證明．下列圖形分別說(shuō)明了以上研究過(guò)程．證明過(guò)程如下：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)A∵點(diǎn)B，B′關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C，C′在∴CB=_________，C′B=_________，∴在△AC′B′中，∵AB(1)請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整．（直接填在橫線上）(2)課堂小結(jié)時(shí)，小明所在的小組同學(xué)提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使PB?PA的值最大呢？請(qǐng)你類(lèi)比“將軍飲馬”問(wèn)題的探究過(guò)程，先說(shuō)明如何確定點(diǎn)P的位置，再證明你的結(jié)論是正確的．(3)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，M2,2,N4,?1,MN=13，P【答案】(1)C(2)連結(jié)BA并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；證明見(jiàn)解析(3)5或13；6,0或0,5【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B，B′關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，可得CB=CB′，C′B=（2）連結(jié)BA并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可；（3）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接M延長(zhǎng)MN′交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；此時(shí)PM?PN的最大值為MN′；當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，連接MN，延長(zhǎng)NM交y軸于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P【詳解】（1）解：證明：如圖4，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連結(jié)A∵點(diǎn)B，B′關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C，C′在∴CB=CB′，∴AC+CB=AC+CB在△AC′B∴AC+CB<AC′+故答案為：C（2）解：連結(jié)BA并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．證明：如圖，在直線l上任取任一點(diǎn)P′，連結(jié)A在△ABP′中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得：而當(dāng)點(diǎn)B，A，P共線時(shí)，BP?AP=AB，所以此時(shí)BP?AP最大；（3）解：如圖，當(dāng)時(shí)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接M延長(zhǎng)MN′交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；此時(shí)PM?PN的最大值為∵N4,?1∴點(diǎn)N′∵M(jìn)2,2∴MN設(shè)直線MN′的解析式為把點(diǎn)M2,2，N2k+b=24k+b=1，解得：k=?∴直線MN′的解析式為當(dāng)y=0時(shí)，x=6，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為6,0；當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，連接MN，延長(zhǎng)NM交y軸于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求，此時(shí)PM?PN的最大值為設(shè)直線MN的解析式為y=ax+m，把點(diǎn)M2,22a+m=24a+m=?1，解得：a=?∴直線MN的解析式為y=?3當(dāng)x=0時(shí)，y=5，此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為0,5綜上所述，PM?PN的最大值為5或13，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為6,0或0,5．故答案為：5或13；6,0或0,5【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際，最短距離問(wèn)題，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為A′B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，ΔABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一點(diǎn)M、N使CM+MN的值最小，畫(huà)出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】（1）10；（2）3，圖和理由見(jiàn)解析【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′E交BC于P，此時(shí)PA+PE的值最?。B接BA′，先根據(jù)勾股定理求出BA′的長(zhǎng)，再判斷出∠A′BA=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作C′N(xiāo)⊥AC于N交AB于M，連接AC′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：（1）如圖2所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′E交BC于P，此時(shí)PA+PE的值最?。B接BA′．由勾股定理得，BA′=BA=BC2+AC2∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE=12BA=2∵∠C=90°，AC=BC=2，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E=A'B2+BE2故答案為：10；（2）如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，作C′N(xiāo)⊥AC于N交AB于M，連接AC′，則C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC為等邊三角形，∴∠AC′N(xiāo)=30°，∴AN=12∴CM+MN的最小值為C′N(xiāo)=22?1【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)--最短路線問(wèn)題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將所給問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．【類(lèi)型3圓柱上的最短路徑問(wèn)題】1．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為6，圓柱高為3，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（

）

A．43 B．23 C．35【答案】D【分析】要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，得到矩形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC的長(zhǎng)度．

∵圓柱底面的周長(zhǎng)為6，圓柱高為3，∴AB=3，BC=BC∴AC∴AC=32∴這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2AC=62故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．2．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谀┤鐖D，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點(diǎn)繞到正上方的B點(diǎn)，已知知圓柱底面周長(zhǎng)是3m，高為16m，則所需彩帶最短是（）m．

A．8 B．5 C．20 D．10【答案】C【分析】把曲面展開(kāi)變?yōu)槠矫妫脙牲c(diǎn)間線段最短，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，線段AB即為所需彩帶最短，由圖可知AC=3×4=12，BC=16，∴由勾股定理得，AB=A

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間線段最短和勾股定理在生活中的應(yīng)用．將曲面問(wèn)題變?yōu)槠矫鎲?wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱高為8cm，底面圓的周長(zhǎng)為12cm，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，那么它爬行的最短路程是（

A．20cm B．15cm C．12cm【答案】D【分析】根據(jù)題意，將立體幾何展開(kāi)，可知最短路徑AB，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，

∴從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，爬行的最短路程是AB的長(zhǎng)，∵AC=DE=12，BF=8，點(diǎn)B,F分別是DE,AC的中點(diǎn)，∴在Rt△ABF中，AB=∴最短路程是10cm故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)，立體幾何圖形的展開(kāi)圖，勾股定理的綜合運(yùn)用，掌握以上知識(shí)的是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為12m的半圓，其邊緣AB=CD=20m（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)E在CD上，CE=4m.一滑板愛(ài)好者從A點(diǎn)滑到

A．28m B．24m C．20m【答案】C【分析】滑行的距離最短，即是沿著AE的線段滑行，我們可將半圓展開(kāi)為矩形來(lái)研究，展開(kāi)后，A、D、E三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，AE為斜邊，AD和DE為直角邊，寫(xiě)出AD和DE的長(zhǎng)，根據(jù)題意，由勾股定理即可得出AE的距離．【詳解】解：將半圓面展開(kāi)可得：

AD=12米，DE=DC?CE=AB?CE=16米，在Rt△ADEAE=12即滑行的最短距離為20米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，U型池的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的寬是半圓的弧長(zhǎng)，矩形的長(zhǎng)等于AB=CD=20m.本題就是把5．（2023春·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，在容器內(nèi)壁離容器底部1.5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿1.5cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為15A．9cm B．12cm C．18cm【答案】C【分析】將容器側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于上邊沿的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B【詳解】解：如下圖，將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B根據(jù)題意，可知A′B=15cm∴A′所以底面圓的周長(zhǎng)為9×2=18cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題以及勾股定理等知識(shí)，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，透明的圓柱形玻璃容器(容器厚度忽略不計(jì))的高為12cm，在容器內(nèi)壁離容器底部4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿4cm的點(diǎn)A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為15cm，則該圓柱底面周長(zhǎng)為（

）cm．A．9 B．10 C．18 D．20【答案】C【分析】將容器側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于上邊沿的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A’B的長(zhǎng)度為最短路徑15，構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理可以求出底面周長(zhǎng)的一半，乘以2即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B即為最短距離，根據(jù)題意：A'B=15cm，BD=12?4+AE=12cm，∴A'D=A所以底面圓的周長(zhǎng)為9×2=18cm.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型4圓錐上的最短路徑問(wèn)題】1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考期末）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，母線AB長(zhǎng)為30cm，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開(kāi)始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度是（

v

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π【答案】B【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)求得半徑為10，根據(jù)母線長(zhǎng)求得展開(kāi)后的扇形的圓心角為120°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm∴2解得：r=10∵n解得：n=120∴側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為120°如圖所示，AC即為所求，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，∵∠ABC=120°，BA=BC，則∠BAC=30°∵AB=30，則BD=15∴AD=153，AC=2AD=30

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為120°解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長(zhǎng)是．【答案】4【分析】先把圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，再根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短確定最短路線，求出展開(kāi)圖扇形圓心角，最后根據(jù)勾股定理求解線段長(zhǎng)即可．【詳解】解：由題意知，底面圓的直徑為2，故底面周長(zhǎng)等于2π，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得，2π=4πn解得n=90°，所以展開(kāi)圖中圓心角為90°，根據(jù)勾股定理求得到點(diǎn)A的最短的路線長(zhǎng)是：42故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，最短路問(wèn)題，弧長(zhǎng)公式和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，擁有良好的空間想象能力是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圓錐的底面半徑是4cm，母線長(zhǎng)為12cm，C為母線PB的中點(diǎn)，螞蟻在圓錐側(cè)面上從A爬到C的最短距離是【答案】6【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面周長(zhǎng)是8πcm，即可得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是120°【詳解】解：圓錐的底面周長(zhǎng)是：2π×4=8π(cm則8π=n=120°，即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是120°，如圖所示，∴∠APB=60°，∵PA=PB，∴△PAB是等邊三角形，∵C是PB的中點(diǎn)，∴AC⊥PB，∴∠ACB=90°，∵在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中AP=12cm，PC=6∴在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中：AC=A∴螞蟻在圓錐側(cè)面上從A爬到C的最短距離是：63故答案為：63【點(diǎn)睛】本題考查了最短距離問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的計(jì)算，勾股定理，將最短距離轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離并正確計(jì)算．4．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明用半徑為20，圓心角為θ的扇形，圍成了一個(gè)底面半徑r為5的圓錐.（1）扇形的圓心角θ為；（2）一只蜘蛛從圓錐底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)A的最短路程是.【答案】90°/90度20【分析】（1）由于圓錐的底面圓周長(zhǎng)就是圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可求出側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成平面圖形，構(gòu)造直角三角形根據(jù)勾股定理即可求得．【詳解】解（1）∵圓錐的底面周長(zhǎng)=2π∴θ解得θ=90°；故答案為90°．（2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，構(gòu)造Rt△AOA′故答案為202【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，根據(jù)題意把立體圖形展開(kāi)成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑，在平面圖形上構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型5正方體上的最短路徑問(wèn)題】1．（2023春·北京西城·八年級(jí)北京十四中?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)B為一條棱的中點(diǎn).螞蟻在正方體表面爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（

）A．10cm B．4cm C．17cm【答案】C【分析】正方體側(cè)面展開(kāi)為長(zhǎng)方形，確定螞蟻的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)勾股定理可求出路徑長(zhǎng)，【詳解】解：如圖，它運(yùn)動(dòng)的最短路程AB=(2+2)故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短，找到起點(diǎn)終點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東茂名·八年級(jí)茂名市第一中學(xué)?？计谥校┕潭ㄔ诘孛嫔系囊粋€(gè)正方體木塊（如圖①），其棱長(zhǎng)為4cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A．2(2+6) B．42+4【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，將圖②展開(kāi)，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，正方體上表面的對(duì)角線為CD，將圖②展開(kāi)，連接AB交CD于點(diǎn)E，線段AB的長(zhǎng)度即為螞蟻爬行的最短路程，由題意可知：△ACD為等邊三角形，△CBD為等腰直角三角形，∵AC=AD,BC=BD,AB=AB，∴△ACB≌△ADBSSS∴∠CBE=∠DBE，∴AB⊥CD，∵正方體的棱長(zhǎng)為4cm，∴BC=BD=4cm，AC=AD=CD=在Rt△CEB中，BE=CE=在Rt△CEA中，AE=∴AB=AE+CE=22故選A.【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵，是將立體圖像展開(kāi)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定最短路徑．3．（2023春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如右圖，一只螞蟻從棱長(zhǎng)為4cm的正方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱外表面爬到B點(diǎn)，那么它的最短路線的長(zhǎng)是cm

【答案】4【分析】把此正方體的一面展開(kāi)，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和點(diǎn)B間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長(zhǎng)等于棱長(zhǎng)，另一條直角邊長(zhǎng)等于兩條棱長(zhǎng)，利用勾股定理可求得．【詳解】解：∵展開(kāi)后如下圖所示，則有AC=8cm,由勾股定理得：AB∴AB=45故答案為4

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，將平面展開(kāi)利用勾股定理求解是解決“怎樣爬行最近”這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方體盒子的棱長(zhǎng)為23，O為AE的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)C處，它想沿正方體的表面爬行到點(diǎn)O處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為

【答案】39【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，用勾股定理求解．【詳解】解：如圖，連接CO，則線段CO的長(zhǎng)就是螞蟻需爬行的最短路程，

∵正方體的棱長(zhǎng)為23，O為AE∴∠Q=90°，QO=23，CQ=3由勾股定理得CO=Q答：螞蟻需爬行的最短路程為39，故答案為：39．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間線段最短，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．5．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為3的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，按照如圖所示經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，則它運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)為．【答案】3【分析】把正方體展開(kāi)在平面上，應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】解：把正方體展開(kāi)在平面上，如圖所示，此時(shí)AB最短，∵AB∴AB=310故答案為：310【點(diǎn)睛】本題考查路徑最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把正方體展開(kāi)在平面上，應(yīng)用勾股定理求解．6．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校├忾L(zhǎng)分別為5cm，3cm兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)P在E1F1上，且E1【答案】45【分析】求出兩種展開(kāi)圖PA的值，比較即可判斷；【詳解】解：如圖，有兩種展開(kāi)方法：方法一∶PA=(5+3)方法二∶PA=(5+3+1)故需要爬行的最短距離是45故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)-最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【類(lèi)型6長(zhǎng)方體上的最短路徑問(wèn)題】1．（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為15cm，10cm，20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)A沿盒的表面爬到點(diǎn)

A．105cm B．25cm C．529cm【答案】B【分析】將長(zhǎng)方形的盒子按不同方式展開(kāi)，得到不同的矩形，求出不同矩形的對(duì)角線，最短者即為正確答案．【詳解】解：①只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1：

長(zhǎng)方體的寬為10cm，高為20cm點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是∴BD=CD+BC=10+5=15cm，AD=20∴在直角三角形ABD中,根據(jù)勾股定理得：AB=B②只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形,如圖2：

長(zhǎng)方體的寬為10cm，高為20cm點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是∴BD=CD+BC=20+5=25cm，AD=10∴在直角三角形ABD中,根據(jù)勾股定理得：AB=B③只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開(kāi)與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形,如圖3：

長(zhǎng)方體的寬為10cm，高為20cm點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是∴AC=CD+AD=20+10=30cm在直角三角形ABC中,根據(jù)勾股定理得:AB=A∵25<529∴螞蟻爬行的最短距離是25cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，根據(jù)題意畫(huà)出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，解答時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┮阎L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2cm，4cm，8cm，一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則需要爬行的最短距離為（

A．2cm B．4cm C．10cm D．【答案】C【分析】將長(zhǎng)方體按不同方式展開(kāi)，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出AB長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：如圖1所示將長(zhǎng)方體展開(kāi)，則AB=2+4如圖2所示將長(zhǎng)方體展開(kāi)，則AB=2如圖3所示將長(zhǎng)方體展開(kāi)，則AB=2+8∵237∴螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為10cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)???最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將圖形展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為直角三角形利用勾股定理解答．3．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長(zhǎng)方體木柜（木柜與墻面和地面均沒(méi)有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．若AB=3，BC=4，CC1A．74 B．310 C．89 【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是l1螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是l2l1>l故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯(cuò)題型，希望能引起同學(xué)們的注意．4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長(zhǎng)度為（

）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】把長(zhǎng)方體沿AB邊剪開(kāi)，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】如圖所示，連接AB′，則AA′在Rt△AA′故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，把長(zhǎng)方體沿AB邊剪開(kāi)得到矩形AA5．（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的長(zhǎng)方體，AB=BC=2，BD=1，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到點(diǎn)F，則螞蟻爬行的最短距離為．【答案】2【分析】按照不同的展開(kāi)圖計(jì)算，比較確定答案即可．【詳解】如圖，得到如下展開(kāi)圖：取GH的中點(diǎn)M，連接FM，則四邊形GDFM是矩形，此時(shí)，AG=GM=1,FM=GD=AB=2所以AF=A取BC的中點(diǎn)N，連接FN，則四邊形BDFN是矩形，此時(shí)，AG=FN=1,AN=2+1=3所以AF=A因?yàn)?0＞所以最短距離為22故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體展開(kāi)圖上的最短距離計(jì)算，正確把握展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．6．（2015秋·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5dm、4dm、3dm的無(wú)蓋長(zhǎng)方體木箱(如圖,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1)求線段BG的長(zhǎng)；(2)現(xiàn)在箱外的點(diǎn)A處有一只蜘蛛，箱內(nèi)的點(diǎn)C處有一只小蟲(chóng)正在午睡，保持不動(dòng)．請(qǐng)你為蜘蛛設(shè)計(jì)一種捕蟲(chóng)方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小蟲(chóng)．(木板的厚度忽略不計(jì))【答案】（1）BG＝5dm；（2）答案見(jiàn)解析過(guò)程．【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理可得出BG的長(zhǎng)；（2）將正方體展開(kāi)，聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”性質(zhì)，通過(guò)對(duì)稱(chēng)、考查特殊點(diǎn)等方法，化曲為直．【詳解】解：（1）如圖，連接BG．在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝4即線段BG的長(zhǎng)度為5dm；（2）①把ADEH展開(kāi)，如圖此時(shí)總路程為(3+3+5)2+②把ABEF展開(kāi)，如圖此時(shí)的總路程為(3+3+4)2+52③如圖所示，把BCFGF展開(kāi)，此時(shí)的總路程為(3+3)2+由于117＜125<137，所以第三種方案路程更短，最短路程為【類(lèi)型7臺(tái)階上的最短路徑問(wèn)題】1．（2023春·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別為9、3和1,A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺(tái)階面爬行的最短路程是（）A．18 B．15 C．12 D．8【答案】B【分析】此類(lèi)題目只需要將其展開(kāi)便可直觀的得出解題思路．將臺(tái)階展開(kāi)得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從B點(diǎn)到A點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：如圖，將臺(tái)階展開(kāi)，因?yàn)锳C＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路