專題17.3 勾股定理的應用【十二大題型】（舉一反三）-八年級數(shù)學下冊（人教版）（解析版）

專題17.3勾股定理的應用【十二大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求梯子滑落高度】 1【題型2求旗桿高度】 6【題型3求小鳥飛行距離】 9【題型4求大樹折斷前的高度】 12【題型5解一元一次不等式組】 16【題型6解決水杯中筷子問題】 20【題型7解決航海問題】 23【題型8求河寬】 28【題型9求臺階上地毯長度】 31【題型10判斷汽車是否超速】 34【題型11選址使到兩地距離相等】 37【題型12求最短路徑】 41【題型1求梯子滑落高度】【例1】（2023春·廣東惠州·八年級校考期中）某地一樓房發(fā)生火災，消防隊員決定用消防車上的云梯救人如圖（1），如圖（2），已知云梯最多只能伸長到15m（即AB=CD=15m），消防車高3m，救人時云梯伸長至最長，在完成從12m（即BE=12m）高的B處救人后，還要從15m（即DE=15m）高的D處救人，這時消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？（延長AC交DE于點O，AO⊥DE，點B在DE上，OE的長即為消防車的高3m）【答案】消防車從原處向著火的樓房靠近的距離AC為3【分析】在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得到AO和OC，于是得到結論．【詳解】解：在Rt△ABO中,∵∠AOB=90°，AB=15m，OB=12?3=9∴AO=A在Rt△ABO中，∵∠COD=90°，CD=15m，OD=15?3=12∴OC=C∴AC=OA?OC=3（m），答：消防車從原處向著火的樓房靠近的距離AC為3m【點睛】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，小巷左右兩側是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時，竹竿底端O到左墻角的距離OC為0.7米，頂端B距墻頂?shù)木嚯xAB為0.6米若保持竹竿底端位置不動，將竹竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離OF為1.5米，頂端E距墻項D的距離DE為1米，點A、B、C在一條直線上，點D、E、F在一條直線上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墻的高度；(2)竹竿的長度．【答案】(1)墻高3米(2)竹竿的長2.5米【分析】（1）設墻高x米，在RtΔBCO，RtΔ（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．【詳解】（1）解：設墻高x米，∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠BCO=∠EFO=90°，在RtΔBCO，BO2=∵BO=OE，∴(x?1)2解得：x=3，答：墻高3米；（2）由（1得），BO2=∴BO=(3?0.6)答：竹竿的長2.5米．【點睛】本題考查勾股定理實際應用題，解題的關鍵時根據(jù)兩種不同狀態(tài)竹竿長不變列等式及正確計算．【變式1-2】（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一條筆直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墻面上，一端在墻面A處，另一端在地面B處，墻角記為點C．(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．①竹竿的頂端A沿墻下滑1米，那么點B將向外移動多少米？②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？如果不可能，請說明理由；如果可能，請求出移動的距離（保留根號）．(2)若AC=BC，則頂端A下滑的距離與底端B外移的距離，有可能相等嗎？若能相等，請說明理由；若不等，請比較頂端A下滑的距離與底端B外移的距離的大?。敬鸢浮?1)①69?52米；②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點(2)不可能相等，頂端A下滑的距離大于底端B外移的距離．【分析】（1）先根據(jù)勾股定理可得AC=6米，①根據(jù)題意得：AA′=1m，可得到A′C=AC?AA′=5米，由勾股定理可得B′C（2）設AC=BC=a，從A處沿墻AC下滑的距離為m米，點B向外移動的距離為n米，則AB=A′B【詳解】（1）解：∠C=90°，AB=A∴AC=A①根據(jù)題意得：AA∴A′∴B′∴BB即點B將向外移動69?5②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等，理由如下：設從A處沿墻AC下滑的距離為x米，點B也向外移動的距離為x米，根據(jù)題意得：6?x2解得：x1∴從A處沿墻AC下滑的距離為3.5米時，點B也向外移動的距離為3.5米，即竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等；（2）解：不可能相等，理由如下：設AC=BC=a，從A處沿墻AC下滑的距離為m米，點B向外移動的距離為n米，則AB=Aa?m2整理得：2am?n即m?n=m∵a、m、n都為正數(shù)，∴m?n=m2+∴頂端A下滑的距離大于底端B外移的距離．【點睛】本題主要考查了勾股定理的實際應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式1-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）拉桿箱是人們出行的常用品，采用拉桿箱可以讓人們出行更輕松．如圖，一直某種拉桿箱箱體長AB＝65cm，拉桿最大伸長距離BC＝35cm，在箱體底端裝有一圓形滾輪，當拉桿拉到最長時，滾輪的圓心在圖中的A處，點A到地面的距離AD＝3cm，當拉桿全部縮進箱體時，滾輪圓心水平向右平移55cm到A′處，求拉桿把手C離地面的距離（假設C點的位置保持不變）．【答案】拉桿把手C離地面的距離為63cm【分析】過C作CE⊥DN于E，延長AA'交CE于F，根據(jù)勾股定理即可得到方程652-x2=1002-（55+x）2，求得A'F的長，即可利用勾股定理得到CF的長，進而得出CE的長．【詳解】如圖所示，過C作CE⊥DN于E，延長AA'交CE于F，則∠AFC＝90°，設A'F＝x，則AF＝55+x，由題可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，解得x＝25，∴A'F＝25，∴CF＝A′C2又∵EF＝AD＝3（cm），∴CE＝60+3＝63（cm），∴拉桿把手C離地面的距離為63cm．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．【題型2求旗桿高度】【例2】（2023春·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）同學們想利用升旗的繩子、卷尺，測算學校旗桿的高度．愛動腦的小華設計了這樣一個方案：如圖，將升旗的繩子拉直剛好觸底，此時測得繩子末端C到旗桿AB的底端B的距離為1米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5米的點E處，此時測得繩子末端E距離地面的高度DE為1米．請你根據(jù)小華的測量方案和測量數(shù)據(jù)，求出學校旗桿的高度．【答案】12.5米【分析】過點E作EF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得出AC2=AB2+BC【詳解】解：過點E作EF⊥AB，垂足為F，如圖所示：由題意可知：四邊形BDEF是長方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和RtAC2=A即AC2=A又∵AC=AE，∴AB解得：AB=12.5．答：學校旗桿的高度為12.5米．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是根據(jù)勾股定理列出關于AB方程AB【變式2-1】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，大街小巷掛滿了彩旗．如圖是一面長方形彩旗完全展平時的尺寸圖（單位：cm）．其中長方形ABCD是由雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲，陰影部分DCEF為長方形綢緞旗面，將穿好彩旗的旗桿垂直插在地面上．旗桿從旗頂?shù)降孛娴母叨葹?40cm，在無風的天氣里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂時最低處離地面的最小高度h．【答案】90cm【分析】首先觀察題目，作輔助線構造一個直角三角形，如圖，連接DE；已知彩旗為長方形，由題意可知，無風的天氣里，彩旗自然下垂時，彩旗最低處到旗桿頂部的長度正好是長方形彩旗完全展開時的對角線的長度，根據(jù)勾股定理可求出它的長度；然后用旗桿頂部到地面高度減去這個數(shù)值，即可求得答案．【詳解】彩旗自然下垂的長度就是長方形DCEF的對角線DE的長度，連接DE，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得DE＝DF2+Eh＝240－150＝90(cm)．∴彩旗下垂時的最低處離地面的最小高度h為90cm．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，此類題的難點在于正確理解題意，結合實際運用勾股定理．【變式2-2】（2023春·八年級課時練習）太原的五一廣場視野開闊，是一處設計別致，造型美麗的廣場園林，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度CE，他們進行了如下操作：①測得BD的長為15米（注：BD⊥CE）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.7米．(1)求風箏的高度CE．(2)過點D作DH⊥BC，垂足為H，求BH的長度．【答案】(1)風箏的高度CE為21.7米(2)BH的長度為9米【分析】（1）在Rt△CDB中由勾股定理求得CD的長，再加上DE（2）利用等積法求出DH的長，再在Rt△BHD中由勾股定理即可求得BH【詳解】（1）在Rt△CDBCD=C所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米），答：風箏的高度CE為21.7米．（2）由等積法知：12解得：DH=15×20在Rt△BHD中，BH=答：BH的長度為9米．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，正確運用勾股定理是關鍵，注意計算準確．【變式2-3】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一根直立的旗桿高8米，一陣大風吹過，旗桿從點C處折斷，頂部（B）著地，離旗桿底部（A）4米，工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1.25米D處，有一明顯裂痕，若下次大風將旗桿從D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內有被砸傷的危險？【答案】6【分析】先根據(jù)勾股定理求得AC，進而求得AD，根據(jù)勾股定理即可求得范圍．【詳解】由題意可知AC+BC=8,AB=4，則AC即AC解得AC=3，若下次大風將旗桿從D處吹斷，如圖，∴AD=AC?1.25=3?1.25=1.75，∴BD=AB?AD=8?1.75=6.25，AB=B∴則距離旗桿底部周圍6米范圍內有被砸傷的危險．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．【題型3求小鳥飛行距離】【例3】（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一只小鳥旋停在空中A點，A點到地面的高度AB=20米，A點到地面C點（B、C兩點處于同一水平面）的距離AC=25米．若小鳥豎直下降12米到達D點（D點在線段AB上），求此時小鳥到地面C點的距離．【答案】17米【分析】已知AB和AC的長度，根據(jù)勾股定理即可求出BC的長度，小鳥下降12米，則BD=AB-12，根據(jù)勾股定理即可求出CD的長度．【詳解】解：由勾股定理得；BC∴BC=15（米），∵BD=AB?AD=20?12=8（米），∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=∴此時小鳥到地面C點的距離17米．答；此時小鳥到地面C點的距離為17米．【點睛】本題主要考查了勾股定理得實際應用，熟練地掌握勾股定理的內容是解題的關鍵．【變式3-1】（2023春·八年級課時練習）有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了（）米．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】此題可以過低樹的一端向高樹引垂線．則構造了一個直角三角形：其斜邊是小鳥飛的路程，一條直角邊是4，另一條直角邊是兩樹相差的高度3．根據(jù)勾股定理得：小鳥飛了5米．【詳解】解：如圖所示，AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，過D作DE⊥AB于E，則DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，在Rt△ADE中，AD＝5m．故選：C．【點睛】能夠正確理解題意，準確畫出圖形，熟練運用勾股定理即可．【變式3-2】（2023春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）有一只喜鵲在一棵3m高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m的一棵大樹上，大樹高14m，且巢離樹頂部1m．當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時間才能趕回巢中？【答案】它至少需要5.2s才能趕回巢中．【分析】根據(jù)題意，構建直角三角形，利用勾股定理解答．【詳解】解：如圖，由題意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．過A作AE⊥CD于E．則CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242．∴AC=26，26÷5=5.2（s）．答：它至少需要5.2s才能趕回巢中．【點睛】本題考查了勾股定理的應用．關鍵是構造直角三角形，同時注意：時間=路程÷速度．【變式3-3】（2023春·貴州貴陽·八年級?？计谥校┘倨谥校∶骱屯瑢W們到某海島上去探寶，按照探寶圖，他們從A點登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走了3千米，再折向北走了6千米處往東一拐，僅走了1千米就找到寶藏，問登陸點A到寶藏埋藏點B的直線距離是多少千米？

【答案】10千米【分析】通過行走的方向和距離得出對應的線段的長度．根據(jù)題意構造直角三角形，利用勾股定理求解．【詳解】解：過點B作BD⊥AC于點D．根據(jù)題意可知，AD=8﹣3+1=6，BD=2+6=8，在Rt△ABD中，∴AB=A答：登陸點A到寶藏處B的距離為10千米．【點睛】本題考查勾股定理的實際應用．讀懂題意，根據(jù)題意找到需要的等量關系，與勾股定理結合求線段的長度是解題的關鍵．【題型4求大樹折斷前的高度】【例4】（2023春·八年級課時練習）如圖，在傾斜角為45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有一棵樹AB，由于大風，該樹從點E處折斷，其樹頂B恰好落在另一棵樹CD的根部C處，已知AE=1m，AC=(1)求這兩棵樹的水平距離CF；(2)求樹AB的高度．【答案】(1)3m(2)6m【分析】（1）根據(jù)平行的性質，證得AF=CF，根據(jù)勾股定理即可求得．（2）在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理即可解得．【詳解】（1）由題可知MP∥CF，∴∠ACF=∠NMP=45°，∴AF=CF

在Rt△ACF中，CF∴2CF∴AF=CF=3（m）．即這兩棵樹的水平距離為3m．（2）在Rt△CEF中，CE∴CE=3∴AB=AE+CE=5+1=6（m）．即樹AB的高度為6m．【點睛】此題考查了勾股定理，解題的關鍵是熟悉勾股定理的實際應用．【變式4-1】（2023春·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期中）海洋熱浪對全球生態(tài)帶來了嚴重影響，全球變暖導致華南地區(qū)汛期更長、降水強度更大，使得登錄廣東的臺風減少，但是北上的臺風增多．如圖，一棵大樹在一次強臺風中距地面5m處折斷，倒下后樹頂端著地點A距樹底端B的距離為12m，這棵大樹在折斷前的高度為（

A．10m B．15m C．18m【答案】C【分析】如圖，勾股定理求出AC的長，利用AC+BC求解即可．【詳解】解：如圖，由題意，得：BC=5,AB=12，BC⊥AB，

∴AC=A∴這棵大樹在折斷前的高度為13+5=18m故選C．【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式4-2】（2023春·山西陽泉·八年級統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：“如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地距離PA的長為1尺，將它向前水平推送10尺時，即P′C=10尺，秋千踏板離地的距離P′【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2．【分析】根據(jù)勾股定理列方程即可得出結論．【詳解】解：由題意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：（x+1﹣5）2+102＝x2．故答案為：（x+1﹣5）2+102＝x2．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用和列方程，讀懂題意是解題的關鍵．【變式4-3】（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，一根直立的旗桿高8m,因刮大風旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A4m.（1）求旗桿距地面多高處折斷；（2）工人在修復的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1.25m的點D處，有一明顯裂痕，若下次大風將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內有被砸傷的危險？【答案】（1）旗桿距地面3m處折斷；（2）距離桿腳周圍6米大范圍內有被砸傷的危險．【分析】（1）由題意可知：AC+BC=8米，根據(jù)勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因為AB=4米，即可求得AC的長；（2）易求D點距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根據(jù)勾股定理可以求得AB=6米，所以6米內有危險．【詳解】（1）由題意可知：AC+BC=8米，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，又∵AB=4米，∴AC=3米，BC=5米，∴旗桿距地面3m處折斷；（2）如圖，∵D點距地面AD=3-1.25=1.75米，∴BD=8-1.75=6.25米，∴AB=BD∴距離桿腳周圍6米大范圍內有被砸傷的危險．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．【題型5判斷是否受臺風影響】【例5】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，鐵路MN和公路PQ在點O處交匯，∠QON=30°，公路PQ上A處距離O點240米，如果火車行駛時，火車頭周圍150米以內會受到噪音的影響，那么火車在鐵路MN上沿MN方向以72千米/小時的速度行駛時，A處受到噪音影響的時間為秒．【答案】9【分析】過點A作AC⊥MN，求出最短距離AC的長度，然后在MN上取點B，D，使得AB=AD=150米，根據(jù)勾股定理得出BC，CD的長度，即可求出BD的長度，然后計算出時間即可．【詳解】解：過點A作AC⊥MN，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=1在MN上取點B，D，使得AB=AD=150米，當火車到B點時對A處產(chǎn)生噪音影響，∵AB=150米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=AB2?AC∵72千米/小時=20米/秒，∴影響時間應是：180÷20=9秒．故答案為：9．【點睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵在于準確找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長度．【變式5-1】（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）為了鼓勵大家積極接種新冠疫苗，某區(qū)鎮(zhèn)政府采用了移動宣講的形式進行廣播宣傳．如圖，筆直的公路MN的一側點A處有一村莊，村莊到公路MN的距離為300m，宣講車P周圍500m以內能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路上沿(1)村莊能否聽到廣播宣傳？請說明理由．(2)已知宣講車的速度是50m【答案】(1)能，理由見解析(2)16【分析】（1）根據(jù)村莊A到公路MN的距離為300米<500米，即可得出村莊能聽到廣播宣傳．（2）根據(jù)勾股定理得到BP=BQ=5002?3002【詳解】（1）村莊能聽到廣播宣傳，理由如下：∵村莊A到公路MN的距離為300米<500米，∴村莊能聽到廣播宣傳．（2）如圖：假設當宣傳車行駛到P點開始能聽到廣播，行駛到Q點不能聽到廣播，則AP=AQ=500米，AB=300米，由勾股定理得：BP=BQ=5002?∴PQ=800米，∴能聽到廣播的時間為：800÷50=16(分鐘)，∴村莊總共能聽到16分鐘的宣傳．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，結合生活實際，便于更好地理解題意是解題的關鍵．【變式5-2】（2023春·山東青島·八年級?？计谀┤鐖D所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進行爆破，已知點C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上的另一?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB．為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內不得進入，在進行爆破時，公路AB是否有危險而需要封鎖？如果需要，請計算需要封鎖的路段長度；如果不需要，請說明理由．【答案】公路AB有危險需要封鎖，需要封鎖的路段長度為140米【分析】過C作CD⊥AB于D,利用勾股定理算出AB的長度，然后利用三角形的面積公式可求出CD的長，用CD的長和250比較大小即可判斷是否需要封鎖，最后根據(jù)勾股定理求出封鎖的長度．【詳解】解：公路AB需要暫時封鎖，理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D，因為BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根據(jù)勾股定理有AB=500米，因為S△ABC所以CD=BC?AC由于240米封鎖長度為：2×250因此AB段公路需要暫時封鎖，封鎖長度為140米．【點睛】本題考查了正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題的關鍵．【變式5-3】（2023春·廣東廣州·八年級校考期中）如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內是受臺風影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風影響，則A城遭受這次臺風影響有多長時間？【答案】(1)要，理由見解析(2)6【分析】（1）由A點向BF作垂線，垂足為C，根據(jù)勾股定理求得AC的長，與200km比較即可得結論；（2）BF上分別取D、G，則△ADG是等腰三角形，由AC⊥BF，則C是DG的中點，在Rt△ADC中，解出CD的長，則可求DG長，在GD【詳解】（1）解：由A點向BF作垂線，垂足為C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，則AC=160km因為160<200，所以A城要受臺風影響；（2）設BF上點D，DA=200km，則還有一點G，有AG=200km．∵DA=AG，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分線，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200km，AC=160km由勾股定理得，CD=DA2則DG=2DC=240km，遭受臺風影響的時間是：t=240÷40=6（h）．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用以及點到直線的距離，構造出直角三角形是解題關鍵．【題型6解決水杯中筷子問題】【例6】（2023春·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條長16cm的直吸管露在罐外部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（

A．4<a<5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2【答案】B【分析】如圖，當吸管底部在D點時吸管在罐內部分最短，當吸管底部在B點時吸管在罐內部分最長，此時利用勾股定理在Rt△ADB中求出AB【詳解】解：如圖，

當吸管底部在底面圓心時吸管在罐內部分最短，此時吸管的的長度就是圓柱形的高，即12，∴a=16?12=4，當吸管底部在飲料罐的壁底時吸管在罐內部分最長，吸管長度=A∴此時a=16?13=3，所以3≤a≤4．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理的應用，善于觀察題目的信息，正確理解題意是解題的關鍵．【變式6-1】（2023春·重慶渝中·八年級重慶市求精中學校校考期中）一根竹竿插到水池中離岸邊1.5m遠的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的頂端拉向岸邊，則竿頂剛好接觸到岸邊，并且和水面一樣高，問水池的深度為（）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m【答案】A【分析】設水池的深度BC＝xm，則AB＝（0.5+x）m，根據(jù)勾股定理列出方程，進而即可求解．【詳解】解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．設水池的深度BC＝xm，則AB＝（0.5+x）m．根據(jù)勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2，∴1.52+x2＝（x+0.5）2，解得：x＝2．故選：A．【點睛】本題主要考查勾股定理的實際應用，根據(jù)勾股定理，列出方程，是解題的關鍵．【變式6-2】（2023春·山東青島·八年級校考期中）有一個邊長為10米的正方形水池，在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1米．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問：這個水池水的深度和這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？【答案】水池水深12米，蘆葦長13米【分析】根據(jù)題意，構造直角三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：如圖：設蘆葦BC長為x米，則水深AB為（x-1）米．∵蘆葦長在水池中央，∴AC=12根據(jù)勾股定理得：AC則：52解得：x=13，∴x-1=13-1=12，答：水池水深12米，蘆葦長13米．【點睛】本題主要考查勾股定理的實際應用，熟練掌握勾股定理的內容，勾股題意構造直角三角形，，根據(jù)勾股定理列出方程求解是解題的關鍵．【變式6-3】（2023春·河南漯河·八年級統(tǒng)考期中）如圖，湖面上有一朵盛開的紅蓮，它高出水面30cm．大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為60cm，則水深是cm．【答案】45【分析】設水深h厘米，則AB=?，AC=?+30，BC=60，利用勾股定理計算即可．【詳解】紅蓮被吹至一邊，花朵剛好齊及水面即AC為紅蓮的長．設水深h厘米，由題意得：Rt△ABC中，AB=?，AC=?+30，BC=60，由勾股定理得：AC即?+302解得?=45．故答案為：45．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，正確審題，明確直角三角形各邊的長是解題的關鍵．【題型7解決航海問題】【例7】（2023春·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）在海平面上有A，B，C三個標記點，其中A在C的北偏西54°方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點A與點B之間的距離；(2)若在點C處有一燈塔，燈塔的信號有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時會發(fā)射一次信號，此時在點B處有一艘輪船準備沿直線向點A處航行，輪船航行的速度為每小時20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號？（信號傳播的時間忽略不計）．【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信號【分析】（1）由題意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得點A與點B之間的距離；（2）過點C作CH⊥AB交AB于點H，在AB上取點M，N，使得CN＝CM＝500海里，分別求得【詳解】（1）由題意，得：∠NCA＝∴∠ACB＝∵AC＝∴AB=A（2）過點C作CH⊥AB交AB于點H，在AB上取點M，N，使得CN＝

∵CH⊥AB；∴∠CHB＝∵S△ABC∴CH＝∵CN＝∴NH=MH=C則信號次數(shù)為140×2÷20＝答：最多能收到14次信號．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，直角三角形的判定等知識，涉及路程、速度、時間的關系，熟練掌握勾股定理是關鍵．【變式7-1】（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知港口A東偏南10°方向有一處小島B，一艘貨輪從港口A沿南偏東40°航線出發(fā)，行駛80海里到達C處，此時觀測小島B在北偏東60°方向．（1）求此時貨輪到小島B的距離．（2）在小島周圍36海里范圍內是暗礁區(qū)，此時輪船向正東方向航行有沒有觸礁危險？請作出判斷并說明理由．【答案】（1）此時貨輪到小島B的距離為80海里；（2）輪船向正東方向航行沒有觸礁危險．【分析】（1）先根據(jù)題意求出∠BAC=40°、∠ACB=100°，據(jù)此得∠ABC=∠ACB=40°，從而得出AC=BC=40海里；（2）作BD⊥CD于點D，由∠BCD=30°、BC=70知BD=12【詳解】解：（1）由題意知∠BAC=90°﹣10°﹣40°=40°，∠ACB=40°+60°=100°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=40°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=80海里，即此時貨輪到小島B的距離為80海里；（2）如圖，作BD⊥CD于點D，在Rt△BCD中，∵∠BCD=30°、BC=80，∴BD=12∵40＞36，∴輪船向正東方向航行沒有觸礁危險．【點睛】考查了勾股定理（方向角問題）在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，利用解直角三角形的相關知識解答．【變式7-2】（2023春·河南洛陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，海上救援船要從距離海岸8海里的A點位置到海岸BD的M處攜帶救援設備，然后到距離海岸16海里處的C點處對故障船實施救援．已知BD間的距離為18海里，為使救援船盡快趕到故障船實施救援，救援設備被放置在恰當位置．（1）試在圖中確定點M的位置；（2）若救援船的速度是20節(jié)（1節(jié)=1海里/小時），求這艘救援船最快多長時間到達故障船？【答案】（1）見解析；（2）1.5【分析】（1）利用“直線同側兩點到直線上一點距離的和最短的問題”模型，利用軸對稱的知識，確定M的位置.（2）補全圖形，利用勾股定理，得到EC的長，從而得到到達所用時間.【詳解】解：（1）延長AB至E，使BE=AB，連接EC交BD于M，連接AM，則點M即為所求.（2）依題意有AB=8，CD=16，BD=18，根據(jù)（1）的作圖可知，點A，E關于直線BD對稱，∴AB=BE=8，AM=EM，過點E作EF//BD，交CD的延長線與F，∵四邊形BEFD為矩形，∴EF=BD=18，AB=BE=DF=8，∴CF=CD+DF=16+8=24，在RtΔECF中，EC=E∴AM+MC=EM+MC=EC=30，又∵救援船的速度是20節(jié)，即為20×1=20（海里/小時），∵3020∴這艘救援船最快到達故障船的時間為1.5小時.【點睛】本題主要考查了最短距離“直線同側兩點到直線上一點距離的和最短的問題”模型的應用及勾股定理.關鍵是理解題意，熟練掌握從具體的問題中中抽象出數(shù)學模型的建模思想，屬于基礎題.【變式7-3】（2023春·全國·八年級期末）我國在防控新冠疫情上取得重大成績，但新冠疫情在國外開始蔓延，為了防止境外輸入病例的增加，我國暫時停止了一切國際航班、水運．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我國海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，6分鐘后同時到達C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，乙巡航艇的航向為北偏西n°．（1）求甲巡邏艇的航行方向（用含n的式子表示）（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？【答案】（1）90°?n°；（2）6.5海里【分析】（1）先用路程等于速度乘以時間計算出AC，BC的長，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解；（2）分別求得甲、乙航行3分鐘的路程，然后由勾股定理來求甲乙的距離．【詳解】解：（1）AC=120×6BC=50×6又AB=13海里所以AC所以△ABC是直角三角形，所以∠ACB＝90°由已知得∠CBA=90°?n°，所以∠BAC=n°，所以甲的航向為北偏東90°?n°，（2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為120×3乙甲巡邏船航行3分鐘的路程為50×3所以3分鐘后甲、乙兩艘巡邏船相距為：62【點睛】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運用，難度適中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC為直角三角形是解題的關鍵．【題型8求河寬】【例8】（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，為了測量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A、B、C三點，且A、D、E、C四點在同一條直線上，∠C=90°，已測得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的寬度DE．【答案】50m【分析】用勾股定理求出AC，再求DE.【詳解】解∶在Rt△ABCAC=A=100=80(m)，∴DE=AC?AD?EC，=80?20?10=50(m).【點睛】本題考查了勾股定理的應用，屬于基礎題.【變式8-1】（2023春·八年級課時練習）如圖所示，湖的兩岸有兩點A，B，在與AB成直角的BC方向上的點C處測得AC＝50米，BC＝40米．求：（1）A，B兩點間的距離；（2）點B到直線AC的距離．【答案】（1）30米；（2）24米．【分析】（1）ΔABC正好是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可解答；（2）過點B作BD⊥AC于點D，利用等積法求解即可．【詳解】解：由圖可知，三角形ABC是直角三角形∵CA=50m，CB=40m，∴AB=C（2）過點B作BD⊥AC于點D，SΔABC50·BD=30×40，∴BD=24即點B到直線AC的距離是24米．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，熟悉相關性質是解題的關鍵．【變式8-2】（2023春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）蘇科版《數(shù)學》八年級上冊第35頁第2題，介紹了應用構造全等三角形的方法測量了池塘兩端A、B兩點的距離．星期天，愛動腦筋的小剛同學用下面的方法也能夠測量出家門前池塘兩端A、B兩點的距離．他是這樣做的：選定一個點P，連接PA、PB，在PM上取一點C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即確定池塘兩端A、B兩點的距離為15m．小剛同學測量的結果正確嗎？為什么？【答案】小剛同學測量的結果正確，理由見解析.【分析】由勾股定理的逆定理證出△BCP是直角三角形，∠BCP=90°，得出∠ACB=90°，再由勾股定理求出AB即可．【詳解】解：小剛同學測量的結果正確，理由如下：∵PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，∴AC＝PA﹣PC＝9m，PC2+BC2＝52+122＝169，PB2＝132＝169，∴PC2+BC2＝PB2，∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2+BC2【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的綜合運用；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．【變式8-3】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船，河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從點C移動到點E，同時小船從點A移動到點B，且繩長始終保持不變，回答下列問題：(1)根據(jù)題意，可知AC________BC+CE（填“>”“<”“=”）；(2)若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移動的距離CE（結果保留根號）．【答案】(1)=(2)男孩需向右移動的距離為13?89【分析】（1）由繩長始終保持不變即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的長，然后根據(jù)CE=AC?BC即可求解．【詳解】（1）解：∵AC的長度是男孩未拽之前的繩子長，(BC+CE)的長度是男孩拽之后的繩子長，繩長始終保持不變，∴AC=BC+CE，（2）解：連接AB，則點A、B、F三點共線，在Rt△CAF中，AC=AF∵BF=AF?AB=12?4=8（米)，在Rt△CBF中，BC=CF∵AC=BC+CE，∴CE=AC?BC=13?89（米∴男孩需向右移動的距離為13?89【點睛】本題考查了勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理求出AC、BC的長是解題的關鍵．【題型9求臺階上地毯長度】【例9】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，AC=5米，AB=13米，若在樓梯上鋪設防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（

）A．65m2 B．85m2 C．90m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性質推出防滑毯的長為AC+BC，利用面積公式進行求解即可．【詳解】解：由圖可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=A由平移的性質可得：水平的防滑毯的長度=BC=12（米），鉛直的防滑毯的長度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的長為：AC+BC=17（米），∵防滑毯寬為5米∴至少需防滑毯的面積為：17×5=85（平方米）．故選：B．【點睛】本題考查勾股定理．解題的關鍵是利用平移，將防滑毯的長轉化為兩條直角邊的邊長之和．【變式9-1】（2023春·八年級課時練習）如圖，要修建一個育苗棚，棚高?=3m，棚寬a=4m，棚的長為【答案】60平方米【分析】根據(jù)勾股定理先求出棚頂?shù)膶挘缓蟾鶕?jù)長方形的面積公式即可求出需要多少塑料薄膜．【詳解】解：棚高?=3m，棚寬a=4m，設棚頂?shù)膶挒閯tb=?棚的長d為12m∴S=b?d=5×12=60m【點睛】此題重點考查學生對勾股定理的實際應用能力，理清題意，掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式9-2】（2023春·山東濟南·八年級濟南外國語學校?？计谥校┤鐖D，是一個三級臺階，它的每一級的長，寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到BA．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】將臺階展開，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】將臺階展開，如下圖，因為AC=3×3+1×3=12，BC=5，所以AB所以AB=13（cm），所以螞蟻爬行的最短線路為13cm．故選B．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理是解題的關鍵．【變式9-3】（2023春·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）如圖是某幼兒園樓梯的截面圖，擬在樓梯上鋪設防撞地段，若防撞地毯每平方米售價為40元，樓梯寬為2米，則幼兒園購買防撞地毯至少需要元．

【答案】560【分析】根據(jù)勾股定理得，水平的直角邊為4m，地毯水平部分的和是水平邊的長，豎直部分的和是豎直邊的長，即可得地毯的長為7m，根據(jù)地毯的寬為2米，即可得地毯的面積為14m2【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，水平的直角邊為：52地毯水平部分的和是水平邊的長，豎直部分的和是豎直邊的長，即地毯的長為3+4=7(m)，∵地毯的寬為2米，∴地毯的面積為：2×∴幼兒園購買防撞地毯至少需要：40×故答案為：560．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，掌握勾股定理．【題型10判斷汽車是否超速】【例10】（2023春·山西忻州·八年級統(tǒng)考期中）某城市規(guī)定小汽車在街道上的行駛速度不得超過70千米/時，一輛小汽車在一條城市街道上直行，某一時刻剛好行駛到路對面“車速檢測儀A”正前方30米C處，過了2秒后，測得小汽車位置B與“車速檢測儀A”之間的距離為50米，這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．【答案】該小汽車超速了，平均速度大于70千米/時．【分析】直接利用勾股定理得出BC的長，進而得出汽車的速度，即可比較得出答案．【詳解】解：由題意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜邊，根據(jù)勾股定理AB2=B且2秒=23600時，所以速度為∵72>70，∴該小汽車超速了．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，根據(jù)題意得出汽車的速度是解題關鍵．【變式10-1】（2023春·江蘇揚州·八年級校考期中）“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過60千米／時．這時一輛小汽車在一條城市街道直路上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A正前方50米C處，過了8秒后，測得小汽車位置B與車速檢測儀A之間的距離為130米，這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．【答案】汽車沒有超速，理由見解析【詳解】試題分析：直接利用勾股定理得出BC的長，進而得出汽車的速度，即可比較得出答案．由題意：在Rt△ABC中AC2+BC2=AB2∵AC=50

AB=130，∴BC=120米，汽車速度=120÷8=15（米/秒）

限速60千米/時≈16.67米/秒，汽車速度＜限速，故汽車沒有超速．考點：勾股定理的應用．【變式10-2】（2023春·內蒙古巴彥淖爾·八年級?？茧A段練習）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學的知識檢測車速，觀測點設在到公路l的距離為100米的P處．這時，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3秒，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過了每小時80千米的限制速度？【答案】此車超過每小時80千米的限制速度．【分析】首先，根據(jù)在直角三角形BPO中，∠BPO=45°，可得到BO=PO=100m，再根據(jù)在直角三角形APO中，∠APO=60°，運用三角函數(shù)值，可得到AO=1003，根據(jù)AB=AO-BO可求得AB的長；再結合速度的計算方法，求出車的速度，然后將車的速度與80千米/時進行比較，即可得到結論.【詳解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，則∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200m，AO＝AP2?OP2在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，則BO＝OP＝100m.∴AB＝AO－BO＝1003－100≈73(m)．∴從A到B小車行駛的速度為73÷3≈24.3(m/s)＝87.48km/h>80km/h.∴此車超過每小時80千米的限制速度．【變式10-3】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，A中學位于南北向公路l的一側，門前有兩條長度均為100米的小路通往公路l，與公路l交于B，C兩點，且B，C相距120米．

(1)現(xiàn)在想修一條從公路l到A中學的新路AD（點D在l上），使得學生從公路l走到學校路程最短，應該如何修路（請在圖中畫出）？新路AD長度是多少？(2)為了行車安全，在公路l上的點B和點E處設置了一組區(qū)間測速裝置，其中點E在點B的北側，且距A中學170米．一輛車經(jīng)過BE區(qū)間用時5秒，若公路l限速為60km/h（約16．7m/s），請判斷該車是否超速，并說明理由．【答案】(1)見解析，80米(2)超速，見解析【分析】（1）根據(jù)垂線段最短可畫出圖形，根據(jù)三線合一可求出BD=60，然后利用勾股定理可求出新路AD長度；（2）先根據(jù)勾股定理求出DE的長，再求出BE的長，然后計算出速度判斷即可．【詳解】（1）過點A作AD⊥l，交l于點D．

∵AB=AC∴BD=12BC=在Rt△ABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得A∵AB=100,BD=60，∴AD=80

∴新路AD長度是80米．（2）該車超速

在Rt△ADE中，∠ADE=90°由勾股定理得A∵AE=170，∴DE=170∴BE=DE?DB=90∵該車經(jīng)過BE區(qū)間用時5s∴該車的速度為905∵18∴該車超速．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，勾股定理揭示了直角三角形三邊長之間的數(shù)量關系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．當題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時，常使用勾股定理進行求解．【題型11選址使到兩地距離相等】【例11】（2023春·八年級課時練習）如圖鐵路上A，B兩點相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應距A點（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定【答案】B【分析】設AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到AD2+A【詳解】解：設AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D兩村到煤棧的距離相等，∴AD∴AD2∴242解得：x＝16，則煤棧E應距A點16km．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，正確理解題意得到AD【變式11-1】（2023春·遼寧丹東·八年級校考階段練習）如圖，在一顆樹上10米高的D處有兩只猴子，其中一只猴子沿樹爬下，走到離樹20米處的池塘B處，另一只猴子爬到樹頂A處直躍向池塘的B處，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，試問這顆樹有多高?【答案】15米【分析】要求樹的高度，就要求CD的高度，在直角△ABC中運用勾股定理可以列出方程式，AC2+【詳解】解：設CD高為x米，則從D點爬到A點再直線沿AB到B點，走的總路程為(x+AB)米，其中AB=(10+x)2根據(jù)路程相同可得：x+可得(10+x兩邊平方得：(10+x整理得：80x解得：x=510+5=15答：這棵樹的高度為15米．【點睛】本題考查的是勾股定理的靈活運用，要求在變通中熟練掌握勾股定理．【變式11-2】（2023春·山西朔州·八