專題2.15 超越方程反解難巧妙構(gòu)造變簡單（原卷版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

【題型綜述】導(dǎo)數(shù)研究超越方程

超越方程是包含超越函數(shù)的方程，也就是方程中有無法用自變數(shù)的多項(xiàng)式或開方表示的函數(shù)，與超越方程相對(duì)的是代數(shù)方程．超越方程的求解無法利用代數(shù)幾何來進(jìn)行．大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解．在探求諸如，方程的根的問題時(shí)，我們利用導(dǎo)數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想就可以很好的解決．此類題的一般解題步驟是：1、構(gòu)造函數(shù)，并求其定義域．2、求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．3、畫出函數(shù)草圖．4、數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況求解．【典例指引】例1．已知函數(shù)在處取得極小值．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)為，若的圖象交軸于兩點(diǎn)且，設(shè)線段的中點(diǎn)為，試問是否為的根？說明理由．例2．設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（3）當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例3．已知函數(shù)（）（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【新題展示】1．【2019山西祁縣中學(xué)上學(xué)期期末】已知函數(shù),．若（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．【2019浙江臺(tái)州上學(xué)期期末】設(shè)函數(shù)，R．（Ⅰ）求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．【2019浙江杭州高級(jí)中學(xué)上學(xué)期期中】已知函數(shù).（1）若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）求證：當(dāng)時(shí)，.【同步訓(xùn)練】1．已知函數(shù)（），且的導(dǎo)數(shù)為．（Ⅰ）若是定義域內(nèi)的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，求證：．3．已知函數(shù)（），．（1）若的圖象在處的切線恰好也是圖象的切線．①求實(shí)數(shù)的值；②若方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，都有成立．4．已知函數(shù)．（1）設(shè)，①記的導(dǎo)函數(shù)為，求；②若方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在上存在一點(diǎn)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．已知函數(shù)．（1）試確定的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；（2）若為自然數(shù)，則當(dāng)取哪些值時(shí)，方程在上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值范圍．6．已知函數(shù)，且直線是函數(shù)的一條切線．（1）求的值；（2）對(duì)任意的，都存在，使得，求的取值范圍；（3）已知方程有兩個(gè)根，若，求證:．7．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），，．（1）若，，求在上的最大值的表達(dá)式；（2）若時(shí)，方程在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)根的取值范圍；（3）若，，求使的圖象恒在圖象上方的最大正整數(shù)．8．設(shè)函數(shù)．（