初中數(shù)學(xué)120大招-86 共頂點(diǎn)模型

中考數(shù)學(xué)幾何模型2：共頂點(diǎn)模型名師點(diǎn)睛撥開云霧開門見山共頂點(diǎn)模型，亦稱“手拉手模型”，是指兩個(gè)頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點(diǎn)重合，兩個(gè)三角形的兩條腰分別構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等或者相似。尋找共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型的步驟如下：（1）尋找公共的頂點(diǎn)（2）列出兩組相等的邊或者對應(yīng)成比例的邊（3）將兩組相等的邊分別分散到兩個(gè)三角形中去，證明全等或相似即可。兩等邊三角形兩等腰直角三角形兩任意等腰三角形*常見結(jié)論：連接BD、AE交于點(diǎn)F，連接CF，則有以下結(jié)論：典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD、CE．（1）試判斷BD、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）延長BD交CE于點(diǎn)F試求∠BFC的度數(shù)；（3）把兩個(gè)等腰直角三角形按如圖2放置，（1）、（2）中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC與△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；（3）成立，∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，∴AE＝AD，AC＝AB，在△EAC與△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；∵△EAC≌△DAB，∴∠ECA＝∠DBA，∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．變式練習(xí)>>>1.已知：如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）求證：BD＝AE．（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四邊形ABED的面積．【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，∴∠CBD＝∠CAE，∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，∴∠EAC+∠APD＝90°，∴∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABD＝90°，∵∠DAE＝∠ABD，∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝AE＝10，∴S四邊形ABED＝10×10÷2＝50．例題2.如圖，等邊△ABC，等邊△ADE，等邊△DBF分別有公共頂點(diǎn)A，D，且△ADE，△DBF都在△ADB內(nèi)，求證：CD與EF互相平分.變式練習(xí)>>>2.已如圖，已知等邊三角形ABC，在AB上取點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使得AD＝AE，作等邊三角形PCD，QAE和RAB，求證：P、Q、R是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．【解答】解：連接BP，∵△ABC和△PCD都為等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝BP，又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，∴R，A，Q三點(diǎn)共線，又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，∴R，B，P三點(diǎn)共線，又AQ＝AE＝AD＝BP，∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，又∠R＝60°，∴△PQR是等邊三角形，則P、Q、R是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．例題3.在等邊△ABC與等邊△DCE中，B，C，E三點(diǎn)共線，連接BD，AE交于點(diǎn)F,連接CF.(1)如圖1，求證：BF=AF+FC，EF=DF+FC；(2)如圖2，若△ABC，△DCE為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則(1)的結(jié)論是否成立？若不成立，寫出正確結(jié)論并證明.例題4.【問題探究】（1）如圖①已知銳角△ABC，分別以AB、AC為腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE，連接CD、BE，試猜想CD、BE的大小關(guān)系CD＝BE；（不必證明）【深入探究】（2）如圖②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D在邊BC上（不與B、C重合），連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為BC＝CE+CD；（不必證明）線段AD2，BD2，CD2之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長．【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△DAC和△BAE中，∵，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，故答案為：CD＝BE．（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2，∵BD＝CE，DE＝AD，∴CD2+BD2＝2AD2．故答案為：BC＝CE+CD．例題5.如圖1，在△ABC中，BC＝4，以線段AB為邊作△ABD，使得AD＝BD，連接DC，再以DC為邊作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．（1）如圖2，當(dāng)∠ABC＝45°且α＝90°時(shí)，用等式表示線段AD，DE之間的數(shù)量關(guān)系；（2）將線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，連接BF，AF．①若α＝90°，依題意補(bǔ)全圖3，求線段AF的長；②請直接寫出線段AF的長（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如圖1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①補(bǔ)全圖形，如圖2，設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)H，連接AE，交BC于點(diǎn)G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE與△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE與BC相交于點(diǎn)H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵線段CB沿著射線CE的方向平移，得到線段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1.如圖，在等邊△ABC與等邊△DCE中，B，C，E三點(diǎn)共線，BD交AC于點(diǎn)G，AE交DC于點(diǎn)H，連接GH.求證：GH∥BE.2.如圖，在正方形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，連接AE，BE，在△ABE外分別以AE，BE為邊作正方形AEMN和EBFG，連接NC，AF，求證：NC∥AF.3.如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，連接AD，BE，求證：AB2+DE2=AD2+BE2.4.如圖，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC為腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，連接AD，求AD的長.5.【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，已知△ABC，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)、AB為腰向△ABC外作等腰直角△ABE．請你以A為直角頂點(diǎn)、AC為腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不寫作法，保留作圖痕跡）．連接BD、CE．那BD與CE的數(shù)量關(guān)系是BD＝CE．【拓展探究】如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形AEFB和正方形ACGD，連接BD、CE，試判斷BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解決問題】如圖3，有一個(gè)四邊形場地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【解答】【發(fā)現(xiàn)問題】解：延長CA到M，作∠MAC的平分線AN，在AN上截取AD＝AC，連接CD，即可得到等腰直角△ACD；連接BD、CE，如圖1所示：∵△ABE與△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，故答案為：BD＝CE；【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四邊形AEFB與四邊形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解決問題】解：以AB為邊向外作等邊三角形ABE，連接CE，如圖3所示：則∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；當(dāng)C、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值為23．6.已知線段AB⊥直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)D在直線l上，分別以AB、AD為邊作等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，直線CE交直線l于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)F在線段BD上時(shí)，如圖①，求證：DF＝CE﹣CF；（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段BD的延長線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)F在線段DB的延長線上時(shí)，如圖③，請分別寫出線段DF、CE、CF之間的數(shù)量關(guān)系，在圖②、圖③中選一個(gè)進(jìn)行證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若BD＝2BF，EF＝6，則CF＝2或6．【解答】（1）證明：如圖①中，設(shè)AD交EF于O．∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，∵∠AOE＝∠FOD，∴∠OFD＝∠OAE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，∴∠FBC＝∠FCB＝30°，∴CF＝BF，∴DF＝CE﹣CF（2）如圖圖②中，結(jié)論：DF＝CF﹣CE．圖③中，結(jié)論：DF＝CE+CF；如圖②中，∵△ABD≌△ACE，∴