2022-2023學(xué)年河北省秦皇島市萃文中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年河北省秦皇島市萃文中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知不等式（x+y）（+）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】求（x+y）（）的最小值；展開湊定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，只要求（x+y）（）的最小值≥9∵≥∴≥9∴≥2或≤﹣4（舍去），所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4，故選項(xiàng)為B．【點(diǎn)評(píng)】求使不等式恒成立的參數(shù)范圍，常轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值2.m，n是空間兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】用線面、面面垂直和平行的定理，結(jié)合長方體進(jìn)行判斷．【解答】解：①為真命題，因n∥β，α∥β，所以在α內(nèi)有n與平行的直線，又m⊥α，則m⊥n；②為假命題，α∥β，m⊥α?m⊥β，因?yàn)閙⊥n，則可能n?β；③為假命題，因m⊥n，α∥β，m∥α，則可能n?β且m?β；④為真命題，m⊥α，α∥β，得m⊥β，因m∥n，則n⊥β；故選B．3.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （

） A． B． C． D．參考答案：D略4.函數(shù)（實(shí)數(shù)t為常數(shù)，且）的圖象大致是(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】先由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)排除選項(xiàng)A,C;再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到選項(xiàng).【詳解】由f（x）=0得x2+tx=0，得x=0或x=-t，即函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，排除A，C，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=[x2+（t+2）x+t]ex，當(dāng)x→-∞時(shí)，f′（x）＞0，即在x軸最左側(cè)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，排除D，故選：B．【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.5.以下是解決數(shù)學(xué)問題的思維過程的流程圖：在此流程圖中，①②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法匹配正確的是()A．①—分析法，②—反證法

B．①—分析法，②—綜合法C．①—綜合法，②—反證法

D．①—綜合法，②—分析法

參考答案：D6.已知，.則之間的大小關(guān)系是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A7.以下說法錯(cuò)誤的是（

）A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“”的充分不必要條件C.若命題存在，使得，則:對(duì)任意，都有D.若p且q為假命題，則p，q均為假命題參考答案：D【分析】根據(jù)逆否命題定義、命題否定的定義分別判斷出正確；解方程得到解集和的包含關(guān)系，結(jié)合充要條件的判定可知正確；根據(jù)復(fù)合命題的真假性可知錯(cuò)誤，由此可得結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)：根據(jù)逆否命題的定義可知：原命題的逆否命題為“若，則”，可知正確；選項(xiàng)：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正確；選項(xiàng)：根據(jù)命題的否定可知對(duì)任意，都有，可知正確；選項(xiàng)：由且假命題，則至少有一個(gè)為假命題，因此不正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.

參考答案：C9.點(diǎn)P（7，﹣4）關(guān)于直線l：6x﹣5y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）A．（5，6） B．（2，3） C．（﹣5，6） D．（﹣2，3）參考答案：C【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【分析】設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，b），求出PQ的中點(diǎn)為M（，），直線l的斜率k=．再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組，解出a、b之值，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)P（7，﹣4）關(guān)于直線l：6x﹣5y﹣1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（a，b），可得PQ的中點(diǎn)為M（，），直線l的斜率k=，∵PQ與直線l相互垂直，且PQ的中點(diǎn)M在直線l上，∴，解得，可得Q的坐標(biāo)為（﹣5，6）．故選：C10.若不等式的解集為，則的值為（）A.10

B.-10

C.14

D.-14參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落入E中的概率是________．參考答案：略12.設(shè)成立，可得，由此推得

．參考答案：13.橢圓的離心率為

.參考答案：略14.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是

▲

．參考答案：15.函數(shù)g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax(a<0)在區(qū)間（-∞，）內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是_______．參考答案：∵g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a，g（x）在遞減，則g′（x）在上小于等于0，即：3ax2+4（1-a）x-3a≤0，當(dāng)a＜0，g′（x）是一個(gè)開口向下的拋物線，

設(shè)g′（x）與x軸的左右兩交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0）

由韋達(dá)定理，知x1+x2=x1x2=-1，

解得則在A左邊和B右邊的部分g′（x）≤0又知g（x）在遞減，

即g′（x）在上小于等于0，

∴x1≥即：解得，

∴a的取值范圍是．故答案為點(diǎn)睛：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知二次方程對(duì)應(yīng)的小根應(yīng)大于等于，因?yàn)樗孕「鶓?yīng)改為而不是16.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，則△ABC的面積是．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理，結(jié)合c2=（a﹣b）2+6，C=，求出ab=6，利用S△ABC=absinC，求出△ABC的面積．【解答】解：由c2=（a﹣b）2+6，可得c2=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6=a2+b2﹣ab，所以ab=6；所以S△ABC=absinC=×6×=．故答案為：．17.如果對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的取值范圍是

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D．求證：．參考答案：如圖，因?yàn)槭菆A的切線，所以，,又因?yàn)槭堑钠椒志€，所以從而

…（5分）因?yàn)?所以,故．因?yàn)槭菆A的切線，所以由切割線定理知,,而,所以

…（10分）19.(本小題滿分10分)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球．(1)試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果；(2)若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．參考答案：20.設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，（）．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說明理由；（Ⅲ）證明：（）．參考答案：（Ⅰ）證明：設(shè)，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，因?yàn)椋詫?duì)任意實(shí)數(shù)均有．即，所以．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，由（1）知；②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，令，，因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)，，由歸納假設(shè)知，，即在上為增函數(shù)，亦即，因?yàn)?，所以．從而?duì)任意，有,即對(duì)任意，有，這就是說，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有．由①,②知，當(dāng)時(shí)，都有．（Ⅲ）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，．由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．再證對(duì)任意正整數(shù)，．要證明上式，只需證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立．方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：①當(dāng)時(shí)，成立，所以不等式（*）成立．②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式（*）成立，即．則．

,這說明當(dāng)時(shí)，不等式（*）也成立．由①，②知，對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對(duì)，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因?yàn)椋?，……，，將以上個(gè)不等式相乘，得．所以對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．綜上可知，對(duì)，不等式成立．21.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離以及離心率均為，直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且＝λ．（1）求橢圓方程；（2）若＋λ＝4，求m的取值范圍．參考答案：解析：（1）設(shè)C：＋＝1（a>b>0），設(shè)c>0，c2＝a2－b2，由條件知－c＝＝，＝，……2分∴a＝1，b＝c＝，

……4分故C的方程為：y2＋＝1

（2）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，∴λ＋1＝4λ＝3

……6分設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0（*）x1＋x2＝，x1x2＝

……8分∵＝3∴－x1＝3x2∴消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0m2＝時(shí)，上式不成立；m2≠時(shí)，k2＝，……10分由（*）式得k2>2m2－2因λ＝3∴k≠0∴k2＝>0，∴－1<m<－或<m<1即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）……12分22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為２，寬為１，、邊分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）.將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上.（1）若折痕所在直線的斜率為，試求折痕所在直線的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求折痕長的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，折痕為線段，設(shè)，試求的最大值.參考答案：解：(1)①當(dāng)時(shí),此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,折痕所在的直線方程②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為，