第十四講二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用講義（原卷版）

第三章第三章函數(shù)第十四講二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用滿(mǎn)分講義典例解析呈現(xiàn)命題點(diǎn)命題點(diǎn)1應(yīng)用二次函數(shù)解決拋物線實(shí)際問(wèn)題類(lèi)型一隧道和拱橋問(wèn)題（2024上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中條山隧道位于山西省運(yùn)城市鹽湖區(qū)，這一隧道的建設(shè)開(kāi)創(chuàng)了全省普通公路特長(zhǎng)隧道工程建設(shè)的先河，也是全國(guó)單洞里程最長(zhǎng)的隧道工程．如圖1是中條山隧道，其截面近似為拋物線型，如圖2為截面示意圖，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．經(jīng)測(cè)量，拋物線的頂點(diǎn)P到的距離為，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降米，水面寬8米．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案．現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)N在x軸上，，．方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度，拱高．其中，點(diǎn)在x軸上，，．要在拱門(mén)中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)）．方案一中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點(diǎn)，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時(shí)，，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在方案一中，當(dāng)時(shí)，求矩形框架的面積并比較，的大?。?023上·安徽滁州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1，某高速路有一段隧道，隧道的橫截面如圖2，橫截面的上邊緣是一段拋物線，以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸作為軸，以水平地面作為軸建立平面直角坐標(biāo)系．已知該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為．（長(zhǎng)度單位：）(1)求的長(zhǎng)；(2)若每個(gè)隧道都是雙向車(chē)道，中間是實(shí)線（車(chē)輛不能壓實(shí)線，實(shí)線的寬度忽略不計(jì)），現(xiàn)有一輛高，寬的貨車(chē)次通過(guò)此隧道，請(qǐng)你判斷該貨車(chē)能否通過(guò)該隧道，并說(shuō)明理由．類(lèi)型二運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題（2023·山西朔州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖①，是可移動(dòng)的灌溉裝置，以水平地面方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，如圖②所示．其水柱的高度y（單位：m）與水柱距噴水頭的水平距離x（單位：m）近似滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式．在圖②中，若水柱在某一個(gè)高度時(shí)總對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的水平位置，則x的取值范圍是．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）擲實(shí)心球是江西省初中學(xué)業(yè)水平測(cè)試體育考試的選考項(xiàng)目．如圖1是一名女生投擲實(shí)心球，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（）與水平距離x（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時(shí)起點(diǎn)處高度為，當(dāng)水平距離為3時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3處．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式：(2)根據(jù)江西省初中學(xué)業(yè)水平測(cè)試體育考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過(guò)程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于7.80，此項(xiàng)考試得分為滿(mǎn)分17.5分．該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿(mǎn)分，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2022·安徽合肥·合肥市廬陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）2022年2月，在北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪中，中國(guó)選手谷愛(ài)凌、蘇翊鳴奪金，激起了人們對(duì)跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面如圖所示，以某一位置的水平線為軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)作水平線的垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線：近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)正上方米處的點(diǎn)滑出，滑出后沿拋物線：運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)滑出運(yùn)動(dòng)到離處的水平距離為米時(shí)，距離水平線的高度恰好為米．(1)求拋物線的解析式（不要求寫(xiě)自變量x的取值范圍）：(2)運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)滑出后，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離點(diǎn)的水平距離為多少米時(shí)）運(yùn)動(dòng)員達(dá)到最大高度，此時(shí)，距離水平線的高度是多少米？(3)運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)滑出后，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員距離點(diǎn)的水平距離為少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離達(dá)到最大值，最大值是多少米？命題點(diǎn)2利潤(rùn)最大問(wèn)題類(lèi)型一頂點(diǎn)處取最值（2024·福建南平·統(tǒng)考一模）某商家將每件進(jìn)價(jià)為15元的紀(jì)念品，按每件19元出售，每日可售出28件．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種紀(jì)念品每件漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量會(huì)減少2件．(1)當(dāng)每件紀(jì)念品漲價(jià)多少元時(shí)，單日的利潤(rùn)為154元？(2)商家為了單日獲得的利潤(rùn)最大，每件紀(jì)念品應(yīng)漲價(jià)多少元？最大利潤(rùn)是多少元？（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）某水產(chǎn)經(jīng)銷(xiāo)商以每千克30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批某品種淡水魚(yú)，由銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)可知，這種淡水魚(yú)的日銷(xiāo)售量y（千克）與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/千克）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷(xiāo)售價(jià)格x（元/千克）5040日銷(xiāo)售量y（千克）100200(1)試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)該經(jīng)銷(xiāo)商銷(xiāo)售這種淡水魚(yú)的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格x為多少時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)W最大？最大的日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？類(lèi)型二不在頂點(diǎn)處取最值（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）某商品每件進(jìn)價(jià)20元，在試銷(xiāo)階段該商品的日銷(xiāo)售量y(件)與每件商品的日銷(xiāo)售價(jià)x(元)之間的關(guān)系如圖中的折線ABC所示(物價(jià)局規(guī)定，該商品每件的銷(xiāo)售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)且不得高于45元)．(1)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若日銷(xiāo)售單價(jià)x(元)為整數(shù)，則當(dāng)日銷(xiāo)售單價(jià)x(元)為多少時(shí)，該商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(3)若該商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于1200元，求銷(xiāo)售單價(jià)x的取值范圍．（2023下·河南安陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某超市采購(gòu)了兩批同樣的記念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)是第二批的倍、且第二批比第一批多購(gòu)送25個(gè)．(1)求第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)又采購(gòu)一批同樣的掛件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)60元時(shí)，每周能賣(mài)出40個(gè)，若每降價(jià)1元，每周多賣(mài)10個(gè)，由于貨源緊缺，每周最多能賣(mài)90個(gè)，求每個(gè)掛件售價(jià)定為多少元時(shí)，每周可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？類(lèi)型三在自變量不同取值范圍內(nèi)求最值（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）某工廠計(jì)劃從A，B兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷(xiāo)售，每日產(chǎn)銷(xiāo)x件．已知A產(chǎn)品成本價(jià)m元/件（m為常數(shù)，且，售價(jià)8元/件，每日最多產(chǎn)銷(xiāo)500件，同時(shí)每日共支付專(zhuān)利費(fèi)30元；B產(chǎn)品成本價(jià)12元/件，售價(jià)20元/件，每日最多產(chǎn)銷(xiāo)300件，同時(shí)每日支付專(zhuān)利費(fèi)y元，y（元）與每日產(chǎn)銷(xiāo)x（件）滿(mǎn)足關(guān)系式(1)若產(chǎn)銷(xiāo)A，B兩種產(chǎn)品的日利潤(rùn)分別為元，元，請(qǐng)分別寫(xiě)出，與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(2)分別求出產(chǎn)銷(xiāo)A，B兩種產(chǎn)品的最大日利潤(rùn)．（A產(chǎn)品的最大日利潤(rùn)用含m的代數(shù)式表示）(3)為獲得最大日利潤(rùn)，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷(xiāo)哪種產(chǎn)品？并說(shuō)明理由．【利潤(rùn)（售價(jià)成本）產(chǎn)銷(xiāo)數(shù)量專(zhuān)利費(fèi)】命題點(diǎn)3幾何圖形面積問(wèn)題（2023上·浙江溫州·九年級(jí)瑞安市安陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）某農(nóng)場(chǎng)要建矩形的飼養(yǎng)室，如圖所示，一面靠著現(xiàn)有足夠長(zhǎng)的墻，其他三面用材料建設(shè)圍墻，在中間再建一道墻隔開(kāi)，并在兩處各留寬的門(mén)，已知計(jì)劃中的材料可建墻體總長(zhǎng)為（不包括門(mén)），則能建成的飼養(yǎng)室最大總占地面積為（

）A． B． C． D．如圖，中，，，，是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），交的直角邊于點(diǎn)，設(shè)為，的面積為，則下列圖象中，能表示關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的大致圖象的是(

)A．

B．

C．

D．

（2023