2024年新高中數(shù)學(xué)考試大題訓(xùn)練-三角恒等變換及應(yīng)用（答案版）

三角恒等變換及應(yīng)用

1.(2023?全國?高一專題練習(xí))在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。涉,c,

ab-

一+—=4cosC.

ba

⑴求匚乏的值;

c

111

⑵若--------1------,--求cosA.

tan5tanAtanC

2.(2023?廣東佛山?佛山一中?？家荒?ABC中，。，b,。分別是角A,B,。的對

邊，且有sin2C+百cos(A+8)=0.

⑴求角C；

(2)當(dāng)。=4,c=時，求.ABC的面積.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))在MC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

1+sin2A=(3tanB+2)cos2A.

37r

(1)若C=z*,求tanB的值；

(2)若A=B,c=2,求ASC的面積.

4.(2023?山東濟(jì)南?一■模)已知函數(shù)/(x)=24sinxcosx+sin2尤一cos。尤.

⑴求/(無)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)ABC中內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,f(A)=2,6=3,c=2,求A的內(nèi)角

平分線AD的長.

5.(2023秋?福建寧德?高二福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí))在銳角,ABC中，角A,

2,C所對的邊為a,b,c,已知(a-6+c)(a-6-c)+ab=0,/?csinC=3ccosA+3acosC.

⑴求c；

⑵求a+b的取值范圍.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))在TWC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且

(b—c)(sinB—sinC)="sinA-6sinC.

(1)求角A的大小；

⑵求sinB+sinC的取值范圍.

7.(2023?江蘇?高一專題練習(xí))ABC中，已知道COS(￡-B]+COS[M+B]=0.AC邊上

的中線為30.

⑴求N5；

(2)從以下三個條件中選擇兩個，使ABC存在且唯一確定，并求AC和3。的長度.

條件①：a1-b2+c2-3c=0;條件②〃=6；條件③S鉆。=15g.

8.（2023?遼寧錦州??？家荒＃┮阎狝BC的內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為〃、b、J

tzcos（B-C）=僅由csinB-a卜osA.

⑴求角A；

⑵若ASC為銳角三角形，且外接圓的半徑為外，求少士式的取值范圍.

b

9.（2023春?新疆?高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

/（%）=273cosfx-cosx+2sin2x,在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

c,且f（A）=3.

⑴求角A；

⑵若6=3,c=2,點。為8C邊上靠近點C的三等分點，求A。的長度.

10.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

2sinC-sinB=tanAcosB.

⑴求A；

（2）若〃=2,求2c—b的取值范圍.

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=gsin20x_2cos25+2（GEN+）在

卜上單調(diào)?

⑴求“X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且“=3,/^=2,求AABC周

長的最大值.

12.（2023?廣東東莞?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在AABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,

c,已知,=2cos]]—.

⑴求A;

⑵若AABC的面積為38,6=2,求a.

2

13.（2023春?廣東肇慶?高一校聯(lián)考期中）已知銳角.ABC,a,b,c分別是角A,B,C

的對邊，且2acosC=b—a.

（1）證明：C=2A；

（2）若CO為NACB的角平分線，交AB于。點，且CD=G,S&S=0.求。的值.

14.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考三模）AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

—=sinC-sin(A-B).

⑴求A；

(2)設(shè)a=2,當(dāng)6+0c的值最大時，求AABC的面積.

15.(2023春?江蘇徐州?高三徐州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))在ABC中，AB=2AC,D是

邊BC上一點,ACAD=2ABAD.

(1)若/BAC=手，求券的值；

4CD

(2)若AC=1,求AD的取值范圍.

16.(2023秋?江蘇南京?高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，P為ABC內(nèi)的一點，

NH4P記為a,NABP記為。，且a,尸在，ABP中的對邊分別記為相，小

(2/M+n)sinp=>/3wcos[3,a,/

⑴求/APB；

⑵若A3=2括，BP=2,PC=若，記NAPC=。，求線段AP的長和ASC面積的最大

值.

17.(2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測)記銳角ABC的內(nèi)角4民C的對邊分別為

,?sin(A-B)sin(A-C)

cosBcosC

⑴求證：B=C；

(2)若asinC=l,求^+77的最大值.

ab

18.(2023?湖南岳陽?湖南省?？级?已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的

對邊分別為。，b,c,且6bcos4^^=csin5.

⑴求C；

(2)若a+b=6c,求sinA.

19.(2023?安徽滁州?安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级?設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分

別為a,b,c,且有2sin(8+5]="^.

k6)a

⑴求角A；

(2)若5C邊上的高/z二正〃，求cos5cosc.

4

20.(2023春?高一單元測試)已知二ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為〃力,。，滿足

A7

4sin2—-cos2(B+C)=—,

⑴求A；

(2)。是線段BC邊上的點，若AD=3D=2,CD=3,求ASC的面積.

參考答案:

1.(D2

⑵器

【分析】（1）利用余弦定理角化邊即可求解;（2）根據(jù)弦化切將原等式變?yōu)閏osB='^^,

sinAsinC

角化邊即可得到/+°2=3必，再結(jié)合"+無=202可得b=1c,a力c,利用余弦定理即可求解.

22

【詳解】（1）因為f+?=4cosC,

ba

〃2.L.22.72_2

結(jié)合余弦定理，得=

ablab

即a2+b2=2c2,

a2+b2

所以丁=2?

111cosAcosCsinCcosA+cosCsinAsinB

(2)由-------=---------1--------=---------1==--------------

tanBtanAtanCsinAsinC-----------sinAsinC------------sinAsinC

即cosB=3?-上，即―/一6上

sinAsinCaclacac

222

BPa+c=3b,又。2+/?=2C2,

所以=a=^-cf

22

b2+c2-a2

所以cosA=

2bc

2?(1)C=?或g或?

/33

⑵5ABe=/或

【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換將式子化簡，即可求出角C的大小；

（2）先根據(jù)余弦定理求出邊匕的長度，再根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）因為sin2C+6cos（A+8）=。，且A+8+C=%,

所以sin2C+百cos（A+5）=sin2C+上cos（萬-C）=2sinCcosC-正cosC=0,

即2sinCeosC=A^cosC，

所以cosC=0或sinC=，

2

解得C咤或(或三.

(2)因為a=4,c=V13,所以。,

^272_2

根據(jù)余弦定理得cosC=a，

lab

所以」=16+萬—13,即62—46+3=0,

28b

解得人=1或6=3,

當(dāng)人=1時，S4?r=—tz/?sinC=—x4x1x-^/3,

人時222

當(dāng)Z?=3時，SMe=gabsinC=gx4x3x=3^3,

所以ABC的面積的面積為四或3相.

3.(l)tanB=j

⑵且

3

【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得tan[A+：）=2tanB+2,結(jié)合條件可得關(guān)于tan8的方程，進(jìn)而即得;

（2）根據(jù)條件可得tan4=且，進(jìn)而可得々=6=之叵，然后根據(jù)三角形面積的公式即得.

33

37rJT

【詳解】（1）若C=l，則A+5=f,

44

因為1+sin2A=(3tan5+2)cos2A,cos2Aw0,

m、i1+sin2A(sinA+cosA)2sinA+cosAtanA+1(兀、_?-

所以-------=--z------:=-----------=-------=tanA4+-=3tanB+2,

cos2AcosA-sinAcosA-sinA1-tanA(4)

所以tan|--B|=3tanB+2=>--—=3tanB+2,

12)tanB

解得12口5=；或—1,因為

所以tan5=；；

tanA+lc,八

(2)若A=B,由tan卜+<=3tan8+2,可得-------=3tanA+2,

1-tanA

整理可得tan"4,即tanA=±也

33

因為4=碇(0目，所以tanA=3,A=B=g所以C==,

k2；363

_c_2y/3

所以ABC是以C為頂角的等腰三角形，"=〃=；―,

2cos—

6

所以一ABC的面積為5=!”從山。=」、迪x迪x《l=3.

223323

7T57r

4.(1)E+—(keZ)

|_36_

(2)|73

【分析】(1)利用倍角公式和輔助角公式得到了(尤)=2sin12x-￡j,進(jìn)而求出單調(diào)遞減區(qū)間；

TTTT

(2)先求出A=g,從而得到/氏4。=/。1。=:，由工加+53C0=5右曲列出方程，求出A。的長.

36

【詳解】(1)因為f(x)=2岔sinxcosx+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=2sin^2x-^

LLl、tc,兀一c兀一371,一

以2kiiH—42%W2knH-----,k￡Z,

262

JT571

解得kuH—Wx?kitH-----,kEZ,

36

TT5冗

所以/(幻的單調(diào)遞減區(qū)間為k7i+-,k7i+—,keZ.

3o

(2)因為/(A)=2sin(2A-￡1=2,所以sin12A-0=1.

因為丑(0,兀)，所以2A所以=J

6I66J62

所以A=],

TT

t^ZBAD=ZCAD=~,

6

由題思知，^AABD+S^ACD=^AABC，

所以」AB.ADsin/BAD+-AD-ACsinACAD=-ABAC-sinABAC,

222

即-!-x2ADsin巴+-!-x3A￡)sinH=-!-x2x3sin二，

262623

所以

5.⑴2后

(2)(6,4我

【分析】(1)由(a-6+c)m-6-c)+H=0得出C=m，再利用正弦定理，兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，

將bcsinC=3ccosA+3〃cosC轉(zhuǎn)化為sinB-c?走=3sin3，即可求出答案；

2

2兀

(2)利用正弦定理，將a+b轉(zhuǎn)化為4sinA+4sin3,再根據(jù)三角形內(nèi)角和得出8=(-A,代入，根據(jù)兩

角差的正弦公式及輔助角公式得出“+。=4百sin'+胃，再由一ABC為銳角三角形得出角A的范圍，即可

a+b的取值范圍.

【詳解】(1)解：(a-b+c)(a-b-c)+ab=O,

日口a+b-c

/+Z?2—c2=ab,即------——

lab2

/.cosC=—,

2

又，0<C<7l,

?-?ci

sinC=—,

2

besinC=3ccosA-\-3acosC,sinC=—

2

sinB-c--=3(sinCcosA+sinAcosC)=3sin(A+C)=3sin5,

2

0<5<兀，即sinW0,

c=3,解得c=26.

2

a_b_c_2A/3

(2)解：由正弦定理得，sinAsinBsinC73

a=4sinA,b=4sinB,

a+5=4sinA+4sinB,

一71

A+B+C=71,C=-,

3

.n2兀A

?.B=------A

3

貝I]a+b=4sinA+4sin

=4(sinA+cosA+；sinA)

=6sinA+2\/3cosA

=4gsin（A+胃,

ABC為銳角三角形，

???可嗚）,2as

??,?7發(fā)1『「兀2兀卜、

sinfA+—e心>1,

46sin（A+胃e（6,4百],

即a+be（6,4同

6.（Dj

⑵金石

【分析】（1）由正弦定理，將角化邊，再根據(jù)余弦定理，求解即可.

（2）由⑴可知，A=|>則sinB+sinC=A/^sin/+E]=6sin]A+eJ,

根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖象和

性質(zhì)，求解即可.

【詳解】（1）由正弦定理可得3-。）3-。）=/。一歷，^b2+c2-a2^bc,

由余弦定理的變形得cosA="+f,

2bc2

又4￡（0,兀），所以A=/

27r（2TEA

（2）由A+5+C=7r得C=-^—B,且

所以sinC=sin[g—Js]=sinTC-[B+1]=sin^B+^,

所以sin5+sinC=sin3+sin[3+1]=TsinB+cosB=百sin13+弓），

因為兀;B+—G

所以sin(e+E卜］,1

從而sinB+sinCG

即sing+sinC的取值范圍為

2?

7.⑴3=§

（2）選擇條件②和條件③；AC=14,5。=M.

【分析】（1）利用三角恒等變換對已知等式進(jìn)行化簡，即可求解;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用余弦定理可判斷條件①錯誤；根據(jù)條件②和條件③，利用三角形面積公式可

得c"利用余弦定理可得54,在樹中’利用正弦定理可得se當(dāng)進(jìn)而得至"4=?在

△ABD中利用余弦定理可得BD=M.

【詳解】（1）解：因為若

則道cos—cosB+sin—sinB+cos—cosB-sin—sinB=0,

I33JI66)

\/3cosB+sincos=A/3COSB+sinB=2sin=0,

又b<B<兀，解得：B+￡TF=?,故5=D?TT.

33

27r

(2)解：由(1)得NA8C=T，

〃242_序1

又余弦定理得：cos/ABC==」,所以。2+°2一/=一℃,

2ac2

而條件①中4-62+°2一3°=0,所以。=-3,顯然不符合題意，即條件①錯誤,

由條件②。=6,條件③SABc=gacsin/A2C=15g,解得c=10,

由余弦定理可得k=/+c2-2accosZABC=36+100+60=196,所以b=14.

_b解得=*

在，ABC中，由正弦定理可得一^

sinAsinZABC

JT13

X0<A<1,所以cosA=.,

因為3。為AC邊上的中線，所以AD=CD=7,

在△MD中，由余弦定理可得BO?解得2。=曬.

故AC=14,BD=M.

8.(Dy

(2)[6,4@

【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到tzsinBsinC=^csinBcosA，再由正弦定理將邊化角，即可求出tanA，

從而得解；

(2)利用正弦定理得到。=3,b=2y/3sinB,即可得到以工=26[sinB+總；],由三角形為銳角三角

形得到3的取值范圍，即可得到sin5的取值范圍，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】(1)解：因為acos(B-C)=(2由csinB-4cosA,

可得acos(B-C)+acosA=2^csinBcosA,

貝！]acos(B-C)-?cos(B+C)=20csinBcosA,

所以acosBcosC+^sinBsinC-a(cosBcosC-siaBsinC)=Z^ScsinBcosA,

即6zsinBsinC=^csinBcosA,由正弦定理得sinAsinBsinC=幣sinCsinBcosA,

顯然sinC>0,sinB>0,所以sinA=gcosA,

所以tanA=VL因為AW(O,TI),

所以A=g.

a

(2)解：因為三===2百，

即.71

sinAsmnsin—

3

所以a=3,b=2J^sin5，

=b+—=273sinB+臺力=2A/3fsinBH--------

所以

b2sinB(4sinB

0<B<-

2

因為ASC為銳角三角形且B+C=T，所以<,所以

o<一<巴62

32

即sinBeg,",

令/(x)=x+；,

4x)

根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)/(司=尤+?在Ig亨I上單調(diào)遞減，在I曰■1］上單調(diào)遞增,

目小"一國=5/⑴=：,

所以/(x)e［g,2),即sinB+/>e［百,2),所以26卜inB+3

4sinB

即的取值范圍為［6,4@.

71

9.⑴'?

(2)加巫

3

【分析】(1)運(yùn)用三角恒等變換化簡函數(shù)，再運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值解方程即可.

(2)方法一：在△ABC中運(yùn)用余弦定理求得BC及cos8,再在△ABO中運(yùn)用余弦定理可求得A。的值.

21

方法二：運(yùn)用平面向量基本定理可得AO=gAC+§AB,兩邊同時平方運(yùn)用數(shù)量積求解即可.

【詳解】(1)|g^j/(x)=2^/3cos^x-^cosx+2sin2x=2^sinxcosx+2sin2x

=5/3sin2x+(l-cos2x)=百sin2x-cos2x+1=2sin一弓1+1,

所以f(A)=2sin(2A—弓1+1=3,所以sin(2A—弓］=1.

所以2A—4二q+2也,女wZ,BPA=-+^,^eZ.

623

又0<4<兀，所以A=5.

(2)如圖所示,

A

方法一：在△ABC中，由余弦定理可得3c2=a2=b2+c2-2Acos/B4C=9+4—12xL=7,

2

則BCue.又點。為3c邊上靠近點C的三等分點，所以80=2立.

3

「a2+c2-b27+4-9幣

又在△4BC中,cosB=--------------=------7^—=——,

lac4。714

在△AB。中，由余弦定理可得AO?=5A2+302—23AX3OXCOSB=4+^—2X2X^^XE=8,

93149

所以3平

21

方法二：因為點。為8C邊上靠近點C的三等分點，所以4￡>=耳4。+耳45.

4144415?

等式兩邊同時平方可得|AO|2=§|AC|2+g|A3|2+5AC?A3=4+§+5x3x2x5=§.

所以|4。|=歲，即人。=季

10.(DA=

⑵(-2,4)

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及兩角和的正弦公式的逆用，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及三角

函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角注意角的范圍即可；

（2）利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及正弦定理的邊化角，根據(jù)（1）的結(jié)論得出角B的范圍及余弦函數(shù)的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）由題意知，2sinC-sinB=^-xcosB,

cosA

所以2cosAsinC-cosAsinB=sinAcosB,

則2cosAsinC=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+=sinC,

又C￡（o,兀），所以sinCwO,所以cosA=g,

又A￡（0,7l）,所以A=g.

（2）由（1）得2sinC-sinB=2xcos3,由正弦定理得2c-6=竺些，

cosAcosA

IT

又a=2,A=y,所以2c-b=4cos反

因為840朝，所以cosB^D所以4384一2,4),

故2c_be(_2,4),即2c-b的取值范圍為(-2,4).

.71,7T/_\

11.(1)ku----,kuH—(左7￡Z)

63

(2)9

【分析】⑴先利用降嘉公式和輔助角公式可得〃x)=2sin120x.J+l,再根據(jù)在卜上單調(diào)，

12兀4Ji

可得彳*，2-r-無，從而可求得“，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；

ZZ693

(2)先根據(jù)=2求出A，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得b+c的最大值，即可得解.

【詳解】(1)y(x)=73sin2ft?x-cos2ox+l=2sin^2<z>%-^+l,

因為在卜上單調(diào)，

12兀、4兀33

所以5、囪—一巴解得-盧4萬,

因為0$N+,

所以啰=1,即^3sinIcox-cosIcox+1=2sin(2x-^J+l,

令2%兀一3<2x-^<2E+](ZGZ),

解得E-巴<x<kn+—[kGZ),

63'

JTJT

即〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間是k7i--,kn+-(旌Z)；

⑵因為=2,

所以2sin,+1=2,

所以sin(A-

因為0<Av兀，

1、I兀A兀5兀

所以一：<A，

o66

所以A4，

由余弦定理可得a2=/?2+c2-2Z?ccosA，

BPZ?2+c2-=9,即3bc=(b+c)2_9,

因為^^等：，當(dāng)且僅當(dāng)6=c時，等號成立,

所以3伍：)22伍+C)2-9,解得"C<6,

則a+Z?+c<9,即△ABC周長的最大值為9.

兀

12.(l)A=q

(2)a=y/13

【分析】(1)化簡得到6=6〃51!1。+碇05。，根據(jù)正弦定理得到cosA=V^sinA,得到答案.

(2)根據(jù)面積公式得到C=3G，再利用余弦定理計算得到答案.

【詳解】(1)2cos^y-C^=2coscosC+2sinsinC=cosC+^3sinC,

所以“=cosC+百sinC,故人=A/^asinC+QcosC.

a

由正弦定理得sinB=GsinAsinC+sinAcosC，又B=TI—(A+C),

所以sin5=sin[兀一(A+C)]=sin(A+C)=班sinAsinC+sinAcosC,

故sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+6sinAsinC，

CG(0,7i),sinCwO,所以cosA=J^sinA,BPtanA=,故4=?

(2)S.ABC=—bcsmA=—x2cx—=^^-,所以c=3g.

△ABC2222

22

由余弦定理可得"=/?+C-2Z7CCOSA=4+27-2X2X3A/3X^=13,

2

所以a=A/13

13.(1)證明見解析

c、6&

(2)a=-^-

【分析】(1)由正弦定理可將2acosC=b-a轉(zhuǎn)化為2sinAcosC=sin3-sinA,結(jié)合角度關(guān)系轉(zhuǎn)化得

sin(C-A)=sinA,即可證得C=2A；

(2)由CD為/ACB的角平分線，C=2A,可得AO=CO=6,根據(jù)KCD面積公式可求得sin2A=,

再由三角形ABC為銳角三角形可得A的范圍，由平方公式二倍角公式可得sinA,cosA的值，根據(jù)和差公式

得sin3的值，由余弦定理求得6,再根據(jù)正弦定理的。的值即可.

【詳解】(1)證明：因為2acosC=b—a,由正弦定理三=々=三得：

2sinAcosC=sin3—sinA,又sinB=sin（兀一A-C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC-sinA,整理得sin（C-A）=sinA.

又0,—，則C—A=A,即C=2A.

(2)因為CO為/AC5的平分線，且C=2A,

所以ZACD=ZA="CB,則AD=CO=G，

所以S,AC?=，AD-CD-sinZAOC=，AD-C￡>?sin（兀一2A）=2sin2A=?,可得sin2A=

2223

因為ABC為銳角三角形，所以0<8=兀-3A<彳TT，解得凸<4<?,

264

兀

0<C=2A<-

2

所以cos2A=^1—sin22A=—=1—2sin2A=2cos2A—l,所以sinA=-^-,cosA=，

333

所以sin5=sinAcosC+cosAsinC=sinAcos2A+cosAsin2A=x—+x，

33339

在；ACD中，由余弦定理可得

2222

Z?=AC=CD+Ar>-2CDADcosZAr>C=3+3-6cos（7i-2A）=6+6cos2A=8,所以6=2日，

j.420x

abbsmA6A/2

由正弦定理得〃=3

sinAsinBsin85G5

9

14.（嗎

【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和和三角函數(shù)公式化簡等式，即可得出A.

（2）根據(jù)正弦定理將b+J5c轉(zhuǎn)化為關(guān)于5的三角函數(shù)式，利用三角變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其最值，從

而求出仇c,即可求出AABC的面積

【詳解】（1）由題意

b

在△A3C中，一=sinC—sin（A—3）,A+B+C=TI,

,.bsinB

由正弦定T理m/得rt，一=—；

asmA

—=sinC-sin（A-B）

A+B+C=TI，整理得到2cosAsin5=^0,

,sinA

b_smB

asinA

而3為三角形內(nèi)角,故sinB>0,故sin2A=1,而2A?0,2兀）,

故2A=q即A=2.

24

（2）由題意及（1）得

A=/故外接圓直徑2氏=不=2五

在3c中，。=2,

4sin—

4

故Z?+0c=2RsinB+&x2RsinC=242sin5+后sin13+7

=2^2（sin5+sinB+cosB）=2近（2sinB+cos,

=2A/10sin（B+^>）,

其中cos（p-~~,sin0=，且夕￡（。身,

”（八3兀）,,_（33兀兀].33冗兀3兀57i

因為5￡[0,—I,故3+?！闿夕,7+0），而—+0w

44T5T

jr

故sin（5+0）的最大值為1,此;時3+0二萬,

故sinB=cos（p=~~~，cosB=sin（p=-y-,

故b=2母―巫,

55

且sinC=sin[3+；）=旦跳B+c°sB）=?x亞=①

2172510

故X”

=4csmA」x也x施

此時S.ABC

225525

15.⑴需0

⑵片

【分析】(1)首先求出2540、ACAD,再在△AB。、ACD.,ABC中分別利用正弦定理計算可得;

(2)設(shè)N8AT>=tz,則NC4D=2c,ZBAC^3a,由面積公式表示出S、SABD>SACD-即可得到

sin3a=A￡)(sina+sinacosa),從而得到A￡>=牝-*T,令l+cosa=/,則JA￡>=4，+3-8,設(shè)

1+C0S6Zt

/(f)=4t+：-8利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出了⑺的值域，即可得解.

3jr

【詳解】⑴解：由4AC=7ZCAD^BAD,

7T

可得/BAD=—,ZCAD=^.

42

在△ABD中，由正弦定理得8打=,‘in/BAD

smB

在A。中，由正弦定理得CD=[",$也:CA":

sinC

win「/AR

在,ABC中，由正弦定理得吟=嘿，

smBAC

.71

理二sin加。smC^J

=AB=V2X2=^

CDsinZCADsin8$出生AC2

2

(2)解：由AC=1,得AB=2.

設(shè)/BAD—a,則ACAD=2a,ABAC=3a,

所以S^ABC=；A3?ACsinZBAC=sin3cr,SAABD=gAB?ADsin/BAD=ADsina,

S^ACD=-^AC'ADsinZCAD=ADsinacosa,貝！Jsin3a=AD(sincr+sinacosa),

故A。sin3asinacos2a+cosasin2。4cos2cif-1

sina+sincrcosasina+sinacosa1+cosa

3

設(shè)l+cosa=1,貝UAD=4t+—8.

t

兀3

因為0<NB4C〈兀，所以0<。<耳，貝吃<f<2.

設(shè)=〃+：—8,-<t<2,貝ur（f）=4-

因為當(dāng)。</<2時，f\t）>Q,所以函數(shù)/⑺在區(qū)間（I，2）上單調(diào)遞增.

因為/g1=0,/（2）=|,所以

故仞的取值范圍為（o,1J.

2兀

16.⑴三；

（2）答案見解析.

【分析】（1）由已知可推出sinc=gcos尸-gsin〃，整理得到sina=sin[]-尸]根據(jù)a,6的范圍可得

TT

?+^=j,進(jìn)而即可得出ZAPB；

（2）由已知可得AP=2,進(jìn)而根據(jù)SOBC=$△”&+S3PC+SZ\BPC即可得出$A"=君+3$M（0-%],根據(jù)

O<0<n,即可得出三角形面積的最大值.

【詳解】（1）已知（2〃z+"）sinA=G〃cos￡,由正弦定理可得

（2sina+sin尸）sin0=也sin13cos/3,由sin/N0,

所以2sina+sin。=7§cos4,即sina=^-cos^-^-sin^,

所以sinaMsin[4-/7].

因為a,匹[0，。8（0,口

所以一夕，則a+'=；,所以44尸2=兀_（々+夕）=^.

（2）在aPB中，由余弦定理得知：

AB2=AP2+BP2-2AP-BPcosZAPB,

即12=Ap2+4+2AP，因為AP>0,所以AP=2.

2冗4JC

因為ZAPB+NBPC+ZAPC=2兀，所以N3PC=2兀-----0=——0

33

*^AABC=+S&APC+S&BPC

=—xAPxBPxsinZAPB+—xAPxCPxsinZAPC+—xBPxCPxsinZBPC

222

：上手4K-

=-x2x2xsin—+-x2x5/3xsind+x2xxsinf0

2323

=G+GsinO+sin]9-6)=^+A/3^sin^+sin4兀cos0-cos事4兀sin0

33

=V3+V3f-sin6>-—cos。

=,\/3+5/3sin0———V3cos〃q+J—sm”j

2222

77

一看),

=y/3+3sin180＜。＜兀.

、[兀/□兀兀

因m為，——<0——<5,

OOO

所以，當(dāng)即e=M時，ABC面積有最大值6+3.

623

17.(1)見解析;

【分析】（1）運(yùn)用兩角和與差正弦進(jìn)行化簡即可;

b11

（2）根據(jù)（1）中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得〃sinC=2RsinAF；=》sinA=l,然后等量代換出+再運(yùn)用

2Ra2b2

降次公式化簡，結(jié)合內(nèi)角取值范圍即可求解.

sin(A—3)_sin(A—C)

【詳解】（1）證明：由題知

cosBcosC

所以sin(A-B)cosC=sin(A-C)cosB,

所以sinAcosBcosC-cosAsin5cosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cosAsinCcosB

因為A為銳角，即cosAwO，

所以sinBcosC=sinCeosB，

所以tan5=tanC,

所以6=C.

(2)由(1)知：B=C,

所以sinB=sinC,

因為asinC=l,

所以工=sinC,

a

_b

因為由正弦定理得：a=2RsinA,sin5=——,

2R

~b

所以asinC=27?sinA?——=Z?sinA=l,

2R

所以;=sinA,

b

因為A=%—5-C=7T—2c,

所以』=sinA=sin2C,

b

所以

11

宮+7

=sir?C+sin22c

1CS2C2

=-°+(1-COS2C)

——cos22c—cos2c—

22

因為ABC是銳角三角形，且5=C,

所以,

42

TT

所以式<2C<?,

所以—l<cos2CvO,

i1i75

當(dāng)c°s2C=-：時，取最大值為多,

4/。216

1125

所以e+