江蘇省連云港市高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬卷

連云港市2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高二期末考試模擬卷02

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角為興助/=()

A.-1B.-3C.0D.2

1.8【分析】本題考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，以及由兩點(diǎn)求直線的斜率，此題屬于基礎(chǔ)題型.

首先根據(jù)斜率公式求直線48的斜率k,再由傾斜角和斜率的關(guān)系求出直線的斜率，進(jìn)而求出y的值.

【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)4(4,2y+l),8(2,-3),所以直線4B的斜率k=宅畢=y+2,

4—Z

又因?yàn)橹本€的傾斜角為華，所以/￡=-1,所以y=-3.故選B.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，直線過(guò)點(diǎn)P(L2),且被圓0：V+y2=9截得的弦長(zhǎng)為4及，則直線的方

程為()

A.31一4>+5=0B.3x+4y-ll=0

C.%=1或3x-4y+5=0D.x=l或3x+4y-ll=0

2.C【解析】由已知，圓心O到直線/的距離d=J到—(20了=囪二W=1，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

此時(shí)直線的方程為x=l,滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=Z(x-l)+2,即

kx-y+2-k=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得d=7再;=1,解得*=；,此時(shí)方程為y=.故選

C.

3.若點(diǎn)P為拋物線y=2/上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為()

A.iB.JC.1D.2

842

3.A【分析】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

根據(jù)拋物線的定義，將|PF|轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離即可求解.

【解析】設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d,則有|PF|=d,拋物線的方程為y=2/,

即/=%,其準(zhǔn)線方程為y=7.當(dāng)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，d有最小值:，即|PF|的最小值為"故選A.

Zooo

22

4.已知雙曲線=1（“>0,人>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，過(guò)耳作圓/+/=/的切線，交雙曲

a~b

線右支于點(diǎn)M,若/耳M5=60。，則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±（3+百）xB.y=±2xC.y=D.y=±（l+百）x

4.C【解析】如圖，作。AJ.-M于點(diǎn)A,63,6M于點(diǎn)8,因?yàn)榕c圓/+,2=/相切，

所以|Q4|=a,優(yōu)用=2|Q4|=2a,忻@=28,在RtABMg中，N￡M瑪=60°,所以

|8知|=」型1=翠=友勺居必=生物.又點(diǎn)M在雙曲線上，由雙曲線的定義可得：

tan60°G31213

所以忸加|一出叫=|￡邳+|91|一后陷=26+方^一勺獸=2。，整理得6=過(guò)戶。，所以

2=過(guò)二叵，所以雙曲線的漸近線方程為y=±北立x.故選C.

a33

5.已知等比數(shù)列｛即｝中，若4%,a3,2a2成等差數(shù)列，則公比q=（）

A.1B.—1或2C.3D.—1

5.B【分析】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列列出等式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程即可求出公比q的值.

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛a"的公比為q（qH0），：4%,a3,2a2成等差數(shù)列，［2a3=2。2+4%,

?；a】#0,q2—q—2=0,解得q=2或q=-1.故選艮

6.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還其意思為：“有一個(gè)人走378里路，第一天

健步行走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地則此人第4天和第5天

共走的路程為()

A.60里B.48里C.36里D.24里

6.C【分析】本題考查數(shù)學(xué)文化與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)題意可得每天行走的里程構(gòu)成等比數(shù)列，求出首項(xiàng)，進(jìn)而可求其第四五項(xiàng)的和.

【解析】設(shè)每天行走的里程數(shù)組成的數(shù)列為｛an｝，則數(shù)列｛an｝是公比為:的等比數(shù)列，

所以的+a2+-+a6="，了=378(里),故由=192(里)，所以a4+=192x盤+192x廣36(里

)，

故選C.

7.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(x4—)'=1H--B.(log,X)'=-----

XX2o-xln2

vrA2r

C.(3)=3log3eD.(xcosx)=-2xsinx

7.B【解析】因?yàn)?=1—],故A錯(cuò)；因?yàn)?log2X)'=￡^,故B正確；

因?yàn)?3")'=3"In3,故C錯(cuò)；H(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,故D錯(cuò).故選B.

8.若過(guò)點(diǎn)(1,2)可作曲線y=/+ax的三條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(1,3)

8.C【分析】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的兒何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷方程根的個(gè)數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的極值，屬于中檔題.首先求函數(shù)在切點(diǎn)P(x0,以+a&)處的切線方程，在根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)9(為與丫=

a-2有3個(gè)交點(diǎn)，即可求參數(shù)的取值范圍.

2

【解析】y'=3x+a,設(shè)切點(diǎn)P(&,端+ax0),所以在點(diǎn)P處的切線方程為y-(瑞+ax0)=(3就+a)(x—

&)，

因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(1,2),所以2-瑞-=(3瑞+a)(l-3，整理為2端-3瑞一a+2=0,

即a—2=2xg—3XQ,設(shè)g(x)=2x3—3x2,則g'(x)-6x2-6x=6x(x—1),

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x<0或x>l時(shí)，g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-8,0)和(1,+8)上單調(diào)遞增，

則函數(shù)g(x)的極大值是g(0)=0,函數(shù)的極小值是g(l)=-1,

若函數(shù)90)與、=a-2有3個(gè)交點(diǎn)，則-l<a-2<0,即l<a<2.

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2).故選C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線4：x+my—l=0,/2：0〃—2)x+3y+3=0,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若則加=T或m=3B.若“〃2，則力=3

C.若/1_L，2，則加=—；D.若/[-L/?，貝=g

9.BD【解析】直線“〃2,則3-砥加-2)=0,解得加=3或m=—1，但加=一1時(shí)，兩直線方程分別為

x—y—1=0,-3x+3y+3=O即x-y-3=0,兩直線重合，只有機(jī)=3時(shí)兩直線平行，A錯(cuò)，B正確；

則加一2+3帆=0，m=—,C錯(cuò)，D正確.故選BD.

-2

10.在等差數(shù)列｛〃“｝中，4+。9=14,4=3,則4o=

10.11【解析】由4+%=14,4=3,又｛%｝為等差數(shù)列，得%+“9=24+101=14,

=3,解得弓=2,1=1,則4()=q+9d=2+9=11.故答案為11.

11.等差數(shù)列｛4｝中，S,,為其前n項(xiàng)和，4=15,S5=SU,則以下正確的是()

A.d——2B.。6=-%

C.S”的最大值為S7D.使得S...O的最大整數(shù)〃=16

1MBD【分析】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的函數(shù)特性.

設(shè)等差數(shù)列｛&｝的公差為d,根據(jù)％=15,S5=SI1(列出關(guān)于d的等式，可求d,進(jìn)而表示出凡、S.,

從而對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得出結(jié)果.

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,因?yàn)椋?15,S5=S「

所以""11.15t1''"3,解得d=—2,故A正確；

22

所以〃-1"?2:fl12：,?17,%=-2x6+17=5,，“|二2-11171,

所以有4=一41，故8正確;

令%=一2〃+17=0,解得〃=8.5,因?yàn)閐<0,所以｛《,｝為遞減數(shù)列，所以〃..9時(shí)，a“<0,&8時(shí)

,勺〉0,則〃=8時(shí)，S“最大，故C錯(cuò)誤；

由于6"0-2-?而，令S“=-/+16〃..O,解得0<%16,

所以使得S,..0的最大整數(shù)是〃=16,故。正確.故選ABD.

12.阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對(duì)高中教材中的拋物線做過(guò)系統(tǒng)而深入的研究,

定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三

角形.設(shè)拋物線C：y=f上兩個(gè)不同點(diǎn)4,8橫坐標(biāo)分別為用，x2)以A8為切點(diǎn)的切線交于尸點(diǎn).則關(guān)

于阿基米德三角形P鉆的說(shuō)法正確的有()

A.若AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則P點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上

B.若阿基米德三角形月45為正三角形，則其面積為空

4

C.若阿基米德三角形RW為直角三角形，則其面積有最小值,

4

D.一般情況下，阿基米德三角形PAB的面積S=I*一人]

4

12.ABC【解析】由題意可知：直線AB一定存在斜率，所以設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m,

由題意可知：點(diǎn)4天,才),8(々,石)，不妨設(shè)西<0<々，由y=Y?y2x,所以直線切線PAM的

2

方程分別為：y-X|=2xl(x-xl),y-%2=2X2(X-X2),

2_玉+々

y—x,=2x(x—x)

兩方程聯(lián)立得：'1"，解得：2,所以尸點(diǎn)坐標(biāo)為：(N,中2),

y-x=2X(X-X)

222y=中2-

2

直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立得：\2=>x-Ax-/n=O=>Xj+x2=k,x]x2=-m.

[y=x

A：拋物線C:曠=》2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0」)，準(zhǔn)線方程為y=—L,

44

因?yàn)锳3過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以加=4，而%X2=-加=一,，

44

顯然尸點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故A選項(xiàng)正確；

B：因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切?，所以有IPARP8I,

即_%）2+（石尤2-kA=/（芯一'A，

因?yàn)檗k工工2，所以化簡(jiǎn)得：西=一%2，此時(shí)A（X1,X；）,B（-X|,X；）,P點(diǎn)坐標(biāo)為：（0,-X；）,

因?yàn)榘⒒椎氯切蜵4B為正三角形，所以有|PA|=|A8|,所以

J（0-9）2+（f2-.）2=—2%n%=_曰，因此正三角形PAB的邊長(zhǎng)為6，

所以正三角形F4B的面積為百xVLsin60°=」x百x百、迫=當(dāng)8,故B選項(xiàng)正確;

2224

C：阿基米德三角形廿LB為直角三角形，當(dāng)R4_LPB時(shí)，

x}+x2X,

所以％k_1二\"一芯——,i

KpAMB—1=?2=-1"=-7

XjX2-x1

ik1

直線AB的方程為：y="+屋所以。點(diǎn)坐標(biāo)為：（于一1）,點(diǎn)尸到直線A8的距離為:

2'4'4JIA3=—%2)2+(%；—君)2=J(%1—%2)2:+(為+:2)n

J.2+(-1)22

=J[(X[+々)2-4%%2][1+(項(xiàng)+/)2]，因?yàn)閄|+w=k,g=一；，所以AB="(P+1)(1+左2)=]+左2,

因此直角以6的面積為：-X-Jk2+l-(k2+l)^-yl(k2+1)3>-,

2244

當(dāng)且僅當(dāng)A=（）時(shí)，取等號(hào)，顯然其面積有最小值,，故C選項(xiàng)正確;

4

D:因?yàn)閄]+毛=%,西％2~~m'所以

2

IAB1=J（X|一工2）2+（片—十；）2=J（X|一工2）"1+（%+々）2]=歸一x2\\Jk+\,

點(diǎn)P到直線A3的距離為：

X.+X,.,

2.-左+(一1)?X1?%2+m’2--（X|+X2）+（1>%,工2（用工2）

1(3一切2

\jk~+(-1)2\Jk~+(-1)-2VF7T，

所以阿基米德三角形PAB的面積5=*寸匹！器43

4

故D選項(xiàng)不正確.故選ABC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線]:x+(，〃+l)y=2則當(dāng)機(jī)=0時(shí)，直線的傾斜角為.

3兀3it

13.—【解析】當(dāng)加=0時(shí)，l:x+y=2,斜率％=一1,所以直線的傾斜角為二.

44

14.雙曲線工-f=1上的點(diǎn)F到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11,則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)______.

2524一「一

14.21【分析】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由雙曲線的定義求解即可.

【解析】a2=25,)2=24,:.c2=a2+b2=49,.'.a=5,c=7,

22

,?雙曲線三一士=1上的點(diǎn)F到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11,設(shè)點(diǎn)F到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為x,可知X..2,

2524

由雙曲線的定義，得"112“山，解得x=21或x=l(舍去，故答案為21.

2222

15.已知橢圓二+J=1與雙曲線二一上=1有共同的焦點(diǎn)，則〃2=_______.

2516m5

15.4【分析】本題考查雙曲線與橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)列出關(guān)系式求解即可.

X2V2X2222

【解析】橢圓一+J=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(±3,0),橢圓一+2=1與雙曲線二一匕=1有共同的焦點(diǎn)，

25162516m5

可得m+5=9,解得〃2=4.故答案為4.

,若函數(shù)f(X)與3,4])的圖象上

16.已知函數(shù)〃尤)一〃1r+3,g(x)=-5x-41n—

6x

至少存在一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

,4])的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn),

【解析】函數(shù)/'(x)與

L2」1Le

等價(jià)于/'(%)+g(x)在1，4上有零點(diǎn)，

令/?(x)=F'(x)+g(x)=—x2-zn-5x-41n—=—x2--m-5x+41nx

2x2

則/(%)=—+&=,所以在[上，

(1)(1)/i,(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

o

在［1,4］上，/Z(x)<0,單調(diào)遞減，則/z(x)<7z(l),又力(1)=-加一展

_j=22—"?--------4,/?（4）=81n2—12,

因/?（4）_〃Q）=81n2_8+3_J<0,又〃（4）<〃Q）,則〃（x）N〃（4）,

9

所以〃（4）=81n2—加—12W0①〃（1）=一根一^20②

99

解得81n2—故答案為8ln2-12,--

22

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知圓C的圓心在無(wú)軸正半軸上，且圓C與y軸相切，點(diǎn)P(2,4)在圓C上

(1)求圓C的方程;

(2)若直線/：(〃7+l)x+y+m+4=0與圓C交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=8,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

17.【解析】(1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,O),a>Q,半徑「=。，

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓上，所以|PC|=r,即(a—2)2+(0—4『=標(biāo)，a>Q

解得：a=5,所以圓C的方程為：(x—5『+>2=25；

|5（/??+l）+m+4||6m+9|

(2)由(1)得圓心(5,0)到直線/的距離4=

2=,半徑廠=5,

JW+1）+1++1

所以弦長(zhǎng)\AB\=2〃一儲(chǔ)=2,25-儲(chǔ)，即8=2,25-屋,

\6m+9|

整理得：d2=9.即4=3,所以Jm+iy+i=3'整理3機(jī)2+10機(jī)+7=0,

77

解得：加=一二或一1,都符合題意，所以"，的值-二或—1.

33

22

18.已知雙曲線Ci：工-匕=1

412

(1)若點(diǎn)M(3,/)在雙曲線Ci上，求M點(diǎn)到雙曲線G右焦點(diǎn)的距離;

(2)求與雙曲線G有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)(-3,2卡)的雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.【解析】(I)雙曲線C”二一匕=1的右焦點(diǎn)為(4,0),

412

9

點(diǎn)M(3,/)在雙曲線G上，可得理=12(--1)=15,

則M點(diǎn)到雙曲線G右焦點(diǎn)的距離為1幣5=4；

(2)與雙曲線Ci有共同漸近線，可設(shè)雙曲線C2的方程為三-t=膽(機(jī)翔，*1),

412

9241

代入點(diǎn)(-3,2-y6),可得〃尸-----,

4124

則雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為PE=I.

3

19.記5,是等差數(shù)列｛”“｝的前”項(xiàng)和，若§5=-35,S7=-21.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式，并求S“的最小值；

(2)設(shè)2=||,求數(shù)列｛或｝的前n項(xiàng)和卻

19.(1)設(shè)｛6,｝的公差為d,則5q+個(gè)”=一35,7“+早”=-21,

:.Oy=-15,d=4,.1a”=—15+4(〃-1)=4〃—19.

ia

由a“=4〃-19..0得〃…a，,〃=1，2.3,4時(shí)a“<0,〃..5時(shí)，a“>0,

Sn的最小值為S4=4q=—36.

(2)由(1)知，當(dāng)44時(shí)，h?=\an\=-an-,

2

.5時(shí)，bn=|an|=an,S1t=1d=2"-17",

當(dāng)〃,4時(shí)，T?=-S?=nn-2n2.

當(dāng)〃..5時(shí)，7；=S“-2s4=2〃2-17〃+72,

,丁=4,

""|2n2-17n+72.n..5.'

20.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,4=1,an+]=2Sn+1,等差數(shù)列｛2｝的公差大于0.已知S2=b2+1,且

4為2,々成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式；

,1、

(2)求數(shù)列｛丁二｝的前〃項(xiàng)和7.

20.【解析】(1)因?yàn)?+i=2S,+l,所以a“=2S,i+l("N2),

所以4用一=(2Sn+l)-(2S?_,+1)=2an,即an+t=3a?(n>2),

當(dāng)〃=1時(shí)，々=2SI+1=3,所以4=3%,所以｛4｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列,

所以勺=3一

(2)設(shè)｛4｝公差為d,由邑=瓦+1,得a=3,

因?yàn)橐乙惨渤傻缺葦?shù)列，所以q=仇打，即(3-")(3+3砌=9,

解得d=2或d=O(舍去)，所以4=1,所以仇=2〃-1.

…，1_1

所以T~i=:rjz77>

b?bn+｝(2n-l)(2/?+l)

1111、

因?yàn)?---------------(z-------------),

(2n-l)(2n+l)22〃-12〃+1

所以小；［(/+(；］)++(+-*力4(1-￡)=端.

21.已知函數(shù)f(x)=-^-+\nx.

e

⑴若a=e,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

(2)求函數(shù)“X)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.【解析】(1)依題意，/(力=一5+:,故/⑴=0,

又/(1)=0,故所求切線方程為y-l=0.

心\a1ex-ax1(ex、

(2)依題意/(x)=--+—=-=----a.

exxeeI