高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-概率統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案

IV-3大題考法——概率、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例

題型（一）回歸方程及應(yīng)用

方法例解

［典例］（2021?焦作適應(yīng)性考試）2021年，我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利.為了鞏固拓

展脫貧攻堅(jiān)成果，不斷提高群眾的幸福感，某縣繼續(xù)推進(jìn)山羊養(yǎng)殖項(xiàng)目.為了建設(shè)相應(yīng)的配

套項(xiàng)目，該縣主管部門對該縣近年來山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，得到了該縣每年售

賣山羊數(shù)量M單位：萬只）與相應(yīng)年份代碼x的數(shù)據(jù)如下表：

年份201520162017201820192020

年份代碼X123456

售賣山羊數(shù)量y（萬只）111316152021

（1）由表可知y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程:

（2）已知該縣養(yǎng)殖的山羊品種只有甲、乙兩種，且甲品種山羊與乙品種山羊的數(shù)量之比

為2：3,甲品種山羊達(dá)到售賣標(biāo)準(zhǔn)后的出售價(jià)為2500元/只，乙品種山羊達(dá)到售賣標(biāo)準(zhǔn)后

的出售價(jià)為2700元/只.為了解養(yǎng)殖山羊所需要的時(shí)間，該縣主管部門隨機(jī)抽取了甲品種山

羊和乙品種山羊各100只進(jìn)行調(diào)查，得到要達(dá)到售賣標(biāo)準(zhǔn)所需的養(yǎng)殖時(shí)間如下表：

養(yǎng)殖時(shí)間（月數(shù)）6789

甲品種山羊（只）20353510

乙品種山羊（只）10304020

以上述樣本統(tǒng)計(jì)的養(yǎng)殖山羊所需時(shí)間情況估計(jì)全縣養(yǎng)殖山羊所需時(shí)間（即以各養(yǎng)殖時(shí)間

的頻率作為各養(yǎng)殖時(shí)間的概率），且每月每只山羊的養(yǎng)殖成本為300元，結(jié)合（1）中所求回歸

方程，試求2022年該縣養(yǎng)殖山羊所獲利潤的期望（假設(shè)山羊達(dá)到售賣標(biāo)準(zhǔn)后全部及時(shí)賣

完）.（利潤=賣山羊的收入一山羊的養(yǎng)殖成本）

n____

Zxiyi-nxy

AAAA1=1A---A---

參考公式：回歸方程為其中匕=----------,a=y—bX.

Xx?—Hx2

z=l

1+2+3+4+5+6

［解］（1）因?yàn)闊o=,A=3.5,

—11+13+16+15+20+21

6____6_

以沙=371,6xy=336,)=91,6x2=73.5,

z=li=l

6____

%y,—6xy

~Ai=\371-336

所以b=7G”<=2,

6_91—73.5

Ex?—6x2

z—1

可得1=16-2X3.5=9.

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=2x+9.

（2）由（1）可知，當(dāng)x=8時(shí)，可得￡=25,

23

其中甲品種山羊有25X§=10（萬只），乙品種山羊有25X§=15（萬只）.

由頻率估計(jì)概率，可得甲品種山羊達(dá)到售賣標(biāo)準(zhǔn)需要的養(yǎng)殖時(shí)間為6個(gè)月，7個(gè)月，8

個(gè)月和9個(gè)月的概率分別為0.2,0,35,0.35和月1,

所以甲品種山羊要達(dá)到售賣標(biāo)準(zhǔn)需要養(yǎng)殖時(shí)間的期望為6X0.2+7X0.35+8X0.35+

9X0.1=7.35（月）.

由頻率估計(jì)概率，可得乙品種山羊達(dá)到售賣標(biāo)準(zhǔn)需要的養(yǎng)殖時(shí)間為6個(gè)月，7個(gè)月，8

個(gè)月和9個(gè)月的概率分別為0.1,0,3,0.4和0.2,

所以乙品種山羊要達(dá)到售賣標(biāo)準(zhǔn)需要養(yǎng)殖時(shí)間的期望為6X0.1+7X0.3+8X0.4+

9X0.2=7.7（月）.

X300=2500-2205=295（元），

X300=2700-2310=390（元），

故2022年該縣售賣的山羊所獲利潤的期望為10X295+15X390=8800（萬元）.

融通方法求解線性回歸方程的3步驟

依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具'：

中二有線性相關(guān)關(guān)系i

U二二二二二二二二二二二二二二二二

［計(jì)算〕~~i計(jì)算出石另，京町,￡斯％的值，計(jì)算回歸系數(shù)展

U'----------丄1---------------------」

［求方程］;寫出線性回歸直線方程廣晟+a;

應(yīng)用體驗(yàn)

1.（2021?新余二模）某地1?10歲男童年齡樂（歲）與身高的中位數(shù)y,（cm）（i=l,2,…，10）

如下表：

武歲）12345678910

y(cm)12

對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

y/cm

140

130

120

110

100

90

80

70

012345678910%/歲

S(x,-a)?

曲q—0)22(2?=i

1I

y1=1

(y—y)

5.5112.4582.5()3947.71566.85

(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程(回歸方程系數(shù)精確到0.01)；

(2)某同學(xué)認(rèn)為，y=pf+"+r更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型，他求得的回歸方

程是丫占+68。7.經(jīng)調(diào)查，該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3cm.與(1)中的線性回歸方程

比較，哪個(gè)回歸方程的擬合效果更好？

解：⑴由表中數(shù)據(jù)可求得：T=5.5,~=112.45,

10__

XU-x)8-y)

"八j=]

所以乃=——--------------=,82.5)^6.87,

Z(Xi-X)2

Z=1

a=~y-bl=112.45-X?=74.67,

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為菽+74.67.

(2)若回歸方程為気+74.67,

A

當(dāng)x=ll時(shí)，yxX11+74.67=150.24;

若回歸方程為yfx+68.07,當(dāng)x=llHf,yX112X11+68.07=143.64,JL|143.64-145.3|

=1.66<|150.24-145.3|=4.94,

所以回歸方程yfx+68.07對該地11歲男童身高中位數(shù)的擬合效果更好.

2.(2021?梅州二模)2020年新型冠狀病毒肺炎疫情席卷全球，我國在全力保障口罩、防

護(hù)服等醫(yī)療物資供給基礎(chǔ)上，重點(diǎn)開展醫(yī)療救治急需的呼吸機(jī)、心電監(jiān)護(hù)儀等醫(yī)療設(shè)備的組

織生產(chǎn)和及時(shí)供應(yīng)，統(tǒng)籌協(xié)調(diào)醫(yī)用物資生產(chǎn)企業(yè)高速生產(chǎn)，支援世界各國抗擊肺炎疫情.我

市某醫(yī)療器械公司轉(zhuǎn)型升級，從9月1日開始投入呼吸機(jī)生產(chǎn)，該公司9月1日?9月9日

連續(xù)9天的呼吸機(jī)日生產(chǎn)量為%(單位：百臺，i=l,2,…，9),數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如

圖所示的散點(diǎn)圖.

注：圖中日期代碼1?9分別對應(yīng)9月1日?9月9日；表中&=e，z=gX厶.

i=\

(1)從9個(gè)樣本點(diǎn)中任意選取2個(gè)，在2個(gè)樣本點(diǎn)的生產(chǎn)量都不高于300臺的條件下，

求2個(gè)樣本點(diǎn)都高于200臺的概率；

(2)由散點(diǎn)圖分析，樣本點(diǎn)都集中在曲線)，=ln(4+a)的附近，求y關(guān)于，的方程)，=ln(初

+a),并估計(jì)該公司從生產(chǎn)之日起，需要多少天呼吸機(jī)日生產(chǎn)量可超過500臺.

n

2fiiVi-n〃v

AAA7=1AAA------

參考公式：回歸方程是+其中力=~~,a=v—p/Z.

E4一雙〃)2

/=1

參考數(shù)據(jù)：e5^148.4.

解：(1)由散點(diǎn)圖知，不高于300臺的點(diǎn)有5個(gè)，其中高于200臺的點(diǎn)有4個(gè)，

則在2個(gè)樣本點(diǎn)的生產(chǎn)量都不高于300臺的條件下，

C13

2個(gè)樣本點(diǎn)都高于200臺的概率為P=q=g.

(2)y=ln(/?r+。)0z=^=bt+af

9____

Zto-9tz

f=l1095—9X5X19——

則由回歸方程系數(shù)求解公式知，b=---------------=-285—9X52—=4，。=z—bt

i=\

=19-4X5=-1,

故y=ln(4r—1).

因?yàn)镴?=ln(4r—l)>5=>4r—l>e5^^r>37.35,

所以需要38天呼吸機(jī)日生產(chǎn)量可超過500臺.

題型(二)獨(dú)立性檢驗(yàn)

方法例解

［典例］(2021?全國甲卷)甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級

品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況

統(tǒng)計(jì)如下表：

一級品二級品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

心=------皿-be辛_

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>ib)0.()5()().0100.001

k3.8416.63510.828

［解］(1)甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為霽=弓；乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻

平為200—5，

亠所上厶,400X(150X80-120X50)2

(2)由《2知'K-=-200X200X270X130―210256,

由10.256>6.635知，有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

融通方法

1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出2X2列聯(lián)表.

(2)根據(jù)公式群=門〃、絲啜嗒%丄不計(jì)算K2的觀測值k.

(3)查表比較k與臨界值的大小關(guān)系，作出統(tǒng)計(jì)推斷.

2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)在實(shí)際問題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系的表述，表示結(jié)論成立的概率

的大小.

(2)對判斷結(jié)果進(jìn)行描述時(shí)，注意對象的選取要準(zhǔn)確無誤，且結(jié)論應(yīng)是對假設(shè)結(jié)果進(jìn)行

的含概率的判斷.

應(yīng)用體驗(yàn)

1.隨著城市規(guī)模的擴(kuò)大和人們生活水平的日益提高，某市近年機(jī)動車保有量逐年遞

增.根據(jù)機(jī)動車管理部門的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以5年為一個(gè)研究周期，得到機(jī)動車每5年純增數(shù)量

(單位：萬輛)的情況為：

1995?2000?2005?2010?2015?

年度周期

20002005201020152020

時(shí)間變量即12345

純增數(shù)量w萬輛3691527

其中i=l,2,3,…，時(shí)間變量為對應(yīng)的機(jī)動車純增數(shù)量為處且通過數(shù)據(jù)分析得至?xí)r間

變量X與對應(yīng)的機(jī)動車純增數(shù)量y(單位：萬輛)具有線性相關(guān)關(guān)系.

(1)求機(jī)動車純增數(shù)量y關(guān)于時(shí)間變量X的回歸方程，并預(yù)測2025~2030年間該市機(jī)動

車純增數(shù)量的值；

(2)該市交通管理部門為了了解市民對“單雙號限行”的贊同情況，隨機(jī)采訪了220名

市民，將他們的意見和是否擁有私家車情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到2X2列聯(lián)表為：

贊同限行不贊同限行合計(jì)

沒有私家車9020110

有私家車7040110

合計(jì)16060220

根據(jù)列聯(lián)表判斷，能否有99%的把握認(rèn)為“對限行是否贊同與擁有私家車有關(guān)”？

附：

P(K2^ko)

ko

解：(1)由機(jī)動車的純增數(shù)量表可知

—1—1

x=5(1+2+3+4+5)=3,y=§(3+6+9+15+27)=12,

5

1X3+2X6+3X9+4X15+5X27=237,

i=l

5______

2到—5x?y

A尸?

所以力二-------------

縮-5X2

尸1

_______237-5X3X12__________57____

=(l2+22+32+42+52)-5X32=55-45=5'7，

AAA————A

因?yàn)榛貧w直線過樣本點(diǎn)的中心(x,yX3+a,

解得a=-5.1,所以yx—5.1.

A

當(dāng)年度周期為2025?2030時(shí)，x=7,所以丫義7—5.1=34.8,

所以2025?2030年間該市機(jī)動車約純増34.8萬輛.

220X(90X40—20X70)255

（2）根據(jù)列聯(lián)表,計(jì)算得解=r9.167,

110X110X160X60~6

因?yàn)?.167>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為“對限行是否贊同與擁有私家車有關(guān)”.

2.（2020?全國卷III）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)

天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）:

鍛煉人次

空氣質(zhì)謚[0,200](200,400](400,600]

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為123,4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表）;

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級

為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2X2列聯(lián)表，并根據(jù)

列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有

關(guān)？

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bc￥

附：K2—

(a+8)(c++c)(6+0'

77^(100X20+300X35+500X45)=350.

1UU

（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2X2列聯(lián)表:

人次W400人次＞400

空氣質(zhì)量好3337

空氣質(zhì)量不好228

，…，,100X(33X8—22X37)2

根據(jù)t列聯(lián)表得心=—=5.820.

DJ入入/U八JU

由于5,820>3,841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣

質(zhì)量有關(guān).

題型(三)隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

方法例解

［典例］(2021?滄州二模)某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)同種產(chǎn)品的生產(chǎn)線，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，100

次生產(chǎn)該產(chǎn)品所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下：假設(shè)訂單A約定交貨時(shí)間為11天，訂單B約定

交貨時(shí)間為12天.(將頻率視為概率，當(dāng)天完成即可交貨)

所用的時(shí)間(單位：天)10111213

甲生產(chǎn)線的頻數(shù)10201010

乙生產(chǎn)線的頻數(shù)520205

(1)為盡最大可能在約定時(shí)間交貨，判斷訂單A和訂單8應(yīng)如何選擇各自的生產(chǎn)線(訂單

A,8互不影響)；

(2)已知甲、乙生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本分別為3萬元、2萬元，訂單A,B互不影響，若規(guī)定

實(shí)際交貨時(shí)間每超過一天就要付5000元的違約金，現(xiàn)訂單A,B用(1)中所選的生產(chǎn)線生產(chǎn)

產(chǎn)品，記訂單A,8的總成本為4(萬元)，求隨機(jī)變量J的期望值.

［解］(1)頻率分布表如下：

所用的時(shí)間(單位：天)10111213

甲生產(chǎn)線的頻率

乙生產(chǎn)線的頻率

設(shè)事件4,4分別表示訂單A選擇甲、乙生產(chǎn)線在約定時(shí)間交貨；

事件囪，&分別表示訂單8選擇甲、乙生產(chǎn)線在約定時(shí)間交貨.

P(4)=0.2+0.4=0.6,

P(A2)=01+04=0.5,

P(Bi)=0.2+0.4+0.2=0.8,

P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

所以訂單A選擇甲生產(chǎn)線，訂單8選擇乙生產(chǎn)線.

(2)設(shè)制表示訂單A實(shí)際交貨時(shí)間超過約定時(shí)間的天數(shù)，及表示訂單B實(shí)際交貨時(shí)間超

過約定時(shí)間的天數(shù)，為，&的分布列分別如下：

X\012

P

X201

P

設(shè)X=X|+X2，則x的分布列如下:

X=X\+及0123

p

￡(X)=0X0.54+1X0.24+2X0.2+3X0.02=0.7,

所以E《E(X)=5.35(萬元)，

所以訂單A,B的總成本4的期望值為5.35萬元.

融通方法求解隨機(jī)變量分布列問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

(1)求離散型隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事

件，然后綜合應(yīng)用各類概率公式求概率.

(2)求隨機(jī)變量均值與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列.

應(yīng)用體驗(yàn)

(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)一臺設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部

件1,2,3需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2,0.3,各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立.

(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；

(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解：(1)設(shè)部件1,2,3需要調(diào)整分別為事件A,B,C,

由題知P(A)=0.1,P(B)=0.2,P(C)=0.3,各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，

所以部件1,2都不需要調(diào)整的概率尸(T了)=P(T>P(/X0.8=0.72,

故部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為1-P(T-T)=O.28.

(2)X可取0,1,2,3,

P(X=0)=P(T~B~C)=P(T)P(T)-PCCXX0.7=0.504,

P(X=})=P(A~B-~C)+P(~AB~C)+PCACXXXXXX0.3=0.398,

P(X=3)=P(AB-CXX0.3=0.006,

P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=0.092,

所以X的分布列為

X0123

P

￡(X)=0X0.504+1X0.398+2X0.092+3X0.006=0.6.

題型(四)幾個(gè)特殊分布及期望

方法例解

［典例］為評估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取

100個(gè)零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/mm5758606162636465666768697072合計(jì)

件數(shù)11356193318442121100

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值〃=64,標(biāo)準(zhǔn)差。=2.2,以頻率作為概率的估計(jì)值.

(1)為評估設(shè)備M的性能，從樣本中任意抽取一個(gè)零件，記其直徑為X,并根據(jù)以下規(guī)

則進(jìn)行評估(P表示相應(yīng)事件的頻率)：

①<〃+(7)20.6827；②P(/L2<7<XW〃+2(r)20.9545；③尸@一3<r<XW〃+

3。)20.9973.

若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備M的性能等級為甲；若滿足其中兩個(gè)不等式，則

設(shè)備M的性能等級為乙；若僅滿足其中一個(gè)不等式，則設(shè)備M的性能等級為丙；若全部不

滿足，則設(shè)備M的性能等級為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級.

(2)將直徑小于或等于n~2a或直徑大于〃+2。的零件認(rèn)為是次品.

①從設(shè)備用的生產(chǎn)流水線上任意抽取2個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)V的數(shù)學(xué)期望；

②從樣本中任意抽取2個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望￡(Z).

［解I(1)因?yàn)閪a<X^+a)=P(61.8<X<66.2)=0.8>0,6827,

P(H-2<7<XW幺+2。)=P(59.6<XW68.4)=0.94<0.9545,

尸(/L3C<XW〃+3o)=P(57.4<XW70.6)=0.98<0.9973,所以設(shè)備M的性能等級為丙.

(2)易知樣本中次品共6個(gè)，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06,

①由題意可知丫?8(2,0.06),于是仇Y)=2X0.06=0.12.

②Z的分布列為

Z012

風(fēng)C?4cl

P

CiooC?ooC?oo

遼C§4,C&C&,C?3

故鳳勾二。*而+1*帀+2義醞=石=°」2.

融通方法

1.二項(xiàng)分布的解題策略

(1)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，

確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)〃和變量的概率，從而求得概率.

(2)①求隨機(jī)變量。的期望與方差時(shí)，可首先分析。是否服從二項(xiàng)分布，如果4?伙〃，

p),則用公式E(J=叩，。(。=叩(1—p)求解，可大大減少計(jì)算量.

②有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分

布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E^+h)=aE(^+h以及E?=np求出E(階+8),同樣還可求出

。(前+母

2.正態(tài)分布下2類常見的概率計(jì)算

(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)

于直線對稱，曲線與x軸之間的面積為1.

(2)利用3。原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的小c進(jìn)行對

比聯(lián)系，確定它們屬于〃+<7),(/<—2<7,〃+2(7),(B—3(7,幺+3。)中的哪一個(gè).

應(yīng)用體驗(yàn)

國家發(fā)改委、住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實(shí)施

方案》，規(guī)定某46個(gè)大中城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，并且垃圾回收、利用率

達(dá)標(biāo).某市在實(shí)施垃圾分類的過程中，從本市社區(qū)中隨機(jī)抽取了50個(gè)進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)這50

個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)，得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28

噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū)，用樣本估計(jì)總體.

垃圾量修T)借，￥)售陽修0修,引停T)作《

頻數(shù)56912864

(1)估計(jì)該市社區(qū)在這一天垃圾量的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)若該市社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N5,27.04),其中，〃近似為50個(gè)樣

本社區(qū)的平均值x(精確到0.1噸)，從該市社區(qū)中隨機(jī)抽取3個(gè)社區(qū)，設(shè)X為“超標(biāo)”社區(qū)

的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(精確到0.0001).

附：若y服從正態(tài)分布NQi,cr),則P(//一■戶0.6826,—〃+

2<7)?0.9544,

尸。，一3b：yW"+3/0.9974.

參考數(shù)據(jù):0.84133比0.5955,0.15873七0.0040,0.84132X0.1587^0.1123.

一1

解：⑴樣本數(shù)據(jù)各組的中點(diǎn)值分別為14,17,20,23,26,29,32,則x=而(14X5+17X6+

20X9+23X12+26X8+29X6+32X4)=22.76.

⑵由⑴知“=22.8,『=27.04,

所以<7=5.2,

,,,1-0.6826

所以P(X>n+a)=------2------=0.1587,

由題知X?8(3,0.1587),X的所有可能取值為0,1,2,3.

所以P(X=0)=C?X0.84133X0.1587°=0.5955,

P(X=l)=dX0.84132X0.1587'=0.3369,

P(X=3)=GX0.8413°XO.I5873=0.0040,

P(X=2)=1-0.5955-0.3369-0.0040=0.0636.

所以X的分布列為

X023

P0.59550.33690.06360.0040

所以E(X)=3X0.1587=0.4761.

題型通法點(diǎn)撥|概率與統(tǒng)計(jì)問題重在“辨”——辨析、辨型

(1)準(zhǔn)確弄清問題所涉及的事件有什么特點(diǎn)，事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對立、獨(dú)

立等；

(2)理清事件以什么形式發(fā)生，如同時(shí)發(fā)生、至少有幾個(gè)發(fā)生、至多有幾個(gè)發(fā)生、恰有

幾個(gè)發(fā)生等；

(3)明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等；

(4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來計(jì)算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)槪率計(jì)算公式

和性質(zhì)來計(jì)算事件的概率；

(5)確定隨機(jī)變量取值并按照屬于超幾何分布還是二項(xiàng)分布求其對應(yīng)的概率，寫出分布

列后再求期望.

(6)會套用求2,冊2的公式求值，再作進(jìn)一步求值與分析.

［解題示范］

［典例］(2021.新高考I卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每

位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該

同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答,無論回答正確與否,

該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每

個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能

正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列.

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？說明理由.

［關(guān)鍵步驟］:［解題樣板］［微點(diǎn)提醒］

?辨析：由題意分辨隨：(1)由已知可得，X的所有可能取值為0,20,100,?，灰影處準(zhǔn)確寫出X的可能取

機(jī)變量的取值則P(X=0)=l—0.8=0.2.：值是關(guān)鍵.

：P(X=20)=0.8X(l-0.6)=0.32

；P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

；所以N的分布列為：

X020100

?辨型：確定形式為相:?灰影處注意分布列中的概率

P0.20.320.48

互獨(dú)立事件和為1.

；(2)由(D可知小明先回答3類問題累計(jì)得分的期望為E(X):

：=0X0.24-20X0.32+100X0.48=54.4,

：若小明先回答li類問題，記￥為小明的累計(jì)得分，

:則Y的所有可能取值為0,80,100,

P(Y=0)=l—0.6=0.4,

?結(jié)論：進(jìn)行大小比:P(Y=80)=0.6X(l-0.8)=0.12.?

較，確定選擇:P(Y=100)=0.6X0.8=0.48,

則Y的期望為E(Y)=0X0.4+80X0.12+100X0.48=57.6,?灰影處若不理解期望的實(shí)標(biāo)

；因?yàn)镋(Y>>E(X),所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選；意義可能致誤.

:擇先回答E類問題.?

［應(yīng)用體驗(yàn)］

1.某市在開展創(chuàng)建“全國文明城市”活動中，工作有序扎實(shí)，成效顯著，尤其是城市

環(huán)境衛(wèi)生大為改觀，深得市民好評.“創(chuàng)文”過程中，某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護(hù)問

題情況的問卷調(diào)查,現(xiàn)從參與問卷調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:

第1組［15,25),第2組［25,35),第3組［