遼寧省沈陽2023-2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月開學(xué)考試試題

遼寧省沈陽2023-2024上學(xué)期9月份開學(xué)考試

數(shù)學(xué)試卷

第I卷（選擇題）

一、單選題

4-%

<x---->0>

1.集合〔xTJ=（）

A.（^o,l）kj[4,+co）B.（-CO,1]O（4,+CO）C.（1,4]D.[1,4]

【答案】c

【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解不等式，即可得出答案.

【詳解】由——>0,得「八），解得1〈尤W4,

x—1x—lwO

/I-V

則集合\尤---->0^=（1,41.

x-1J

故選：C.

2.下述正確的是（）

A.若。第四象限角，則sin〃>0

7T

B.若cos6=0,則夕=—

2

C.若6的終邊為第三象限平分線，則tam9=—l

兀

D.“8=E+—,左eZ”是“sin6=cos夕'的充要條件

4

【答案】D

【分析】對于A,利用三角函數(shù)定義即可判斷；對于B,求出。的值即可判斷；對于C,算出。的范圍即可判斷;

對于D,利用充分，必要的定義進行判斷即可

【詳解】對于A,若。為第四象限角，根據(jù)三角函數(shù)定義可得sin9<0,故不正確；

7T

對于B,若cos8=0,則。=萬+左兀水三％,故不正確；

5兀

對于c,若e的終邊為第三象限平分線，則e=—+2防I,左wz,

4

此時tan8=l,故不正確；

對于D,由。=防i+巴,ZwZ可得堊一=tan6=l,即sin9=cos9,滿足充分性；

4cos0

,/j

由sin8=cos?？傻胻an6=y^—=l,所以。=防1+二,女eZ,滿足必要性，故正確

COS04

故選:D

3.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+e)(?>Ojd<7i)的部分圖象如圖所示，且%則。,0的值為

c口c2兀

CD=L^(p=—D.G)=L^(p=

【答案】C

jrTTL(29兀、

【分析】由%-玉=—可得一=—,求出周期，再利用周期公式可求出0,再由/==-1可求出9的值.

444<12J

T712兀

【詳解】由題意可得一=—,得T=TI,所以一二兀，得①=2,

44co

所以/(x)=2sin(2x+°)(M|<7i),

/、<2971

因為"％)的圖象過點石-,-1,

29TI5?！?/p>

所以2sin+(p\=-\,得sin157i_t+e)=sin[-^+9

~6~62

所以sin[o_￡￡

2,

所以夕一巴=巴+2版,左eZ,或夕一巴=2+2版,keZ,

6666

7T

所以/=§+2左兀，左￡Z,或0=7l+2E,k￡Z,

因為|同<兀，所以。=三，

故選：c

cc,(x+l)(y+l)

4.已知x>0,y>0,x+2y=l,則——叢一^的最小值為()

孫

A.4+473B.12C.8+473D.16

【答案】C

【分析】把待求式中“1”用x+2y替換，然后用基本不等式求得最小值.

【詳解】因為x>0,y>0,x+2y=l,

在z（x+l）（>+l）（x+x+2y（y+x+2y）（2x+2y）（x+3y）

所以----------=----------------------=-----------------

xyxyxy

=2爐+6/+8孫>2也7,6/+8孫=&+46,

孫孫

當且僅當2必=6V，即％=2百—3,〉=2—8時，等號成立.

故選：C.

5.中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳

后世.如圖，某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物A8,高約為37m,在地面

上點C處（B,C,N三點共線）測得建筑物頂部A,鸛雀樓頂部M的仰角分別為30和45，在A處測得樓頂

部M的仰角為15，則鸛雀樓的高度約為（）

A.74mB.60mC.52mD.91m

【答案】A

【分析】求出AC，ZCMA=30°,NC4M=45°，在八4&0中，由正弦定理求出MC=74j5,從而得

到MN的長度.

AB37

【詳解】在RtZkABC中，AC=

sinZACBsin30°

ZACM=180°-ZACB-ZMCN=105°,ZC4M=15°+30°=45°,

在AACM中，ZCMA=1800-ZMAC-ZACM=30°,

由*MC,MC=AC-sin45°=—?sin45°=740,

sin30°sin45°sin30°sin230°

在Rt△初VC中，ACV=MC-sin45°=74.

故選：A

6.嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展.下圖1是番禺區(qū)某風景優(yōu)美的公園地圖,

其形狀如一顆愛心.圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心

形”在X軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為()

圖1圖2

A.y=國B.y=x44-￡

Cy=^-x2+2\x\D.y=Jr?+2%

【答案】C

【分析】利用基本不等式可求得y=國，4—VW2,知A錯誤；由xw(—2,0)時，y=x］4-x2<0可知B

錯誤；根據(jù)y=J_/+2國VI、圖象中的特殊點及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可知C正確；根據(jù)函數(shù)定義域可知

D錯誤.

【詳解】對于A,y==西(j2)卜?+-2］=2(當且僅當f=4—%2,即

X=±3時取等號)，

.?.y=N，4—/在(一2,2)上的最大值為2,與圖象不符，A錯誤；

2

對于B,當xe(—2,0)時，y=Xy］4-x<0-與圖象不符，B錯誤；

22

對于C,y=^+2|%|=^-(|%|-1)+1-，當X=±l時，ymax=l；

又y=J-人+2國過點(—2,0),(2,0),(0,0)；

由—*+2國20得：國(國—2)<0,解得：-2<x<2,即函數(shù)定義域為［—2,2］；

又+2卜乂=J-x2+2,，

y=卜+2國為定義在［—2,2］上的偶函數(shù),圖象關(guān)于了軸對稱；

當％e［0,2］時，_y=V-X2+2X=^-(x-l)2+l，則函數(shù)在(0」)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減;

綜上所述：y=以+2國與圖象相符,C正確；

對于D,由―f+2x20得：0WxW2,.?一=，一￡+2%不存在xe(—2,0)部分的圖象,D錯誤.

故選：c.

7.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(九)，若對任意xeR有/'(x)>l,

/(l+x)+/(l-x)=O,且/(0)=—2,則不等式“X—1)>尤—1的解集為()

A.B.(3,-K?)C.(2,+co)D,(0,+OO)

【答案】B

【分析】構(gòu)造g(x)=〃x)—x,確定函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，計算"2)=2,g(2)=0,轉(zhuǎn)化得到

g(x—l)>g⑵，根據(jù)單調(diào)性得到答案.

【詳解】設(shè)g(x)=/(x)-X,則g'(九)=/'(x)—1>0恒成立，故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.

/(l+x)+/(l-x)=0,則〃2)+〃0)=0,即/⑵=2,故g(2)=〃2)-2=。

/(x-1)>x-l,即g(x-l)>0,即g(x-l)>g(2),故1—1>2,解得x>3.

故選：B.

8.記a=2。舒2022，b=20^2023.c=2°到2023，則a，b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【分析】由函數(shù)/(X)=%礪在R上單調(diào)遞增，可判斷〃<b,再對。、。兩邊取對數(shù)，由函數(shù)g(%)=電土在

+1

卜2,+8)單調(diào)遞減，可得c<a,從而得解.

1/\

【詳解】設(shè)/⑶=^2023,則/(%)在R上單調(diào)遞增，

故/(2022)</(2023),即a<6；

由于Ina=In2022,Inc=---In2023,

20232024

Inx

設(shè)g(x)=x>e2，

x+1

1+x1111

------InxId----luxc1

則g'(x)=^k=^^<”x>e2

<0'

(x+l)-(x+1)(x+1)

則g(x)在(e2,+c?)單調(diào)遞減，故g(2023)<g(2022),

即IncvIna,則c<〃；

綜上得，b>a>cfD正確.

故選:D

二、多選題

9.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(xsinx),則()

A.7(%)是偶函數(shù)B.2兀是/(%)的一個周期

C.函數(shù)g(x)=/(%)—1存在無數(shù)個零點D.存在/e(—兀,兀)，使得

【答案】AC

【分析】求出/(f)即可判斷A項；求出"了+2兀)即可判斷B項；當x=]+2E?eZ時，有

/(無)=1,即可說明C項；當0<x<兀時，可求出0<xsinx<x<7i.進而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D項.

【詳解】對于A項，定義域為R.又/(—x)=sin(—尤sin(—x))=sin(_xsinx)=/(%),

所以"X)是偶函數(shù)，故A項正確；

對于B項，尤+2兀)=sin((x+2兀)sin(尤+2兀))=sin(無sin尤+2兀sinx)牛/(%),所以2兀不是/

的一個周期，故B項錯誤；

JT

對于C項，因為左eZ時，有sin1'+2E|=l,又|J+2E?sine+2kn=—+2kn,所以/（九）=1

有無數(shù)多個解，所以函數(shù)g(x)=/(x)—1存在無數(shù)個零點，故C項正確；

對于D項，當?！淳拧簇r，有0<sinx<l,所以0vxsinxv%〈兀.

所以有/(%)>0在(。，兀)上恒成立.

又/(0)=0，/(%)是偶函數(shù)，

所以，當一兀<x<兀時，有〃x)20恒成立，故D項錯誤.

故選：AC.

10.已知—A5C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是()

aa+b+c

A.----=-----------------

sinAsinA+sinB+sinC

B.若上ABC為斜三角形，則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

C.若AC.C3〉0,則一ABC是銳角三角形

CLhc

D.若——=-----=------,則一ABC一定是等邊三角形

sinAcosBcosC

【答案】AB

【分析】利用正弦定理推理判斷AD；利用和角的正切及誘導(dǎo)公式推理判斷B；利用平面向量的數(shù)量積定義確定

角C判斷C作答.

dhc

【詳解】對于A,由正弦定理----=-----=-----=2R,

sinAsinBsinC

,0a+b+c27?(sinA+sinB+sinC)…a一

得-------------------=-----------------------=2R=-------,A正確；

sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinCsinA

對于B,斜，ABC中，tanC=tan[7i-(A+B)]=-tan(A+B)=-tanA+tan^,,

1一tanAtaaB

則1@114+12]18=1@11。(12112412115—1),即tanA+tanB+tanC=tanAtanjBtanC,B正確；

對于C,由ACC8〉0，得人℃6=,。,。5,0$(兀-C)=—QZ;COSC>0,貝！JCOSC<0,

因此。為鈍角，一A5c是鈍角三角形，C錯誤；

T?一、一epabcsinAsinBsinC

對1于D,由正弦定理及-----=------=------,得ZC3-----=------=------,

sinAcosBcosCsinAcosBcosC

JT

即tanB=tanC=l,而5,Ce(0,ji),則3=。=—,A3。為等腰直角三角形，D錯誤.

4

故選：AB

11.如圖(1),筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如

圖(2),一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒尸到水面的距離為d(單位：m)(尸在水下則

(兀7T\3

d為負數(shù))、d與時間/(單位：s)之間的關(guān)系是d=3sin葭f—7+二，則下列說法正確的是()

圖(1)圖(2)

A.筒車的半徑為3m,旋轉(zhuǎn)一周用時30s

3

B.筒車的軸心。距離水面的高度為一m

2

C.fw(40,50)時，盛水筒P處于向上運動狀態(tài)

D.盛水筒尸出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點

【答案】BD

【分析】根據(jù)振幅和最小正周期可確定A錯誤；利用dmax一-可知B正確；根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可

9

知C錯誤；令d=3，由正弦型函數(shù)的值可構(gòu)造方程求得/，進而得到Min，知D正確.

713

【詳解】對于A,d=3sin+的振幅為筒車的半徑，，筒車的半徑為3m；

30O)2

nn37=丘=60,.?.旋轉(zhuǎn)一周用時60s,A錯誤;

d=3sin+G的最小正周期

306)2

30

3a3

對于B，dmax=3+—=—，筒車的半徑度=3，.,?筒車的軸心0距離水面的高度為4ax—r=—(m),B正

lllaA22lllaA2X1/

確;

7兀371

對于C,當.￡(4。,5。)時，—€

T,T，此時d單調(diào)遞減,

???盛水筒尸處于處于向下運動的狀態(tài)，C錯誤;

A?.7T71)33c33.71兀

對于D,令3sin|—t---H—=3H—,sin----1------=1,

1306J222306

2/6=1+2版(左eZ),解得：t=20+60^(A;eZ),

又方20,當左=0時，tmm=20s,即盛水筒P出水后至少經(jīng)過20s才可以達到最高點，D正確.

故選：BD.

12.已知當%>0時，-^―<ln(l+-)<-,則(

)

1+XXX

B.In9<1+—++—<lnl0

29

C.(―)9<9!D.O)2+O)2++O)2<e

e

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定的不等式，賦值變形判斷A；賦值求和判斷CD；變形不等式右邊，借助二項式定理及組合數(shù)

的性質(zhì)推理判斷D作答.

1111119-9

【詳解】因為——<ln(l+-)<-,令x=8,—=-<ln(l+-)=ln-,則e9<‘，

1+xXX1+89888

令龍=9,ln(l+！)=lnW<2，則W<e?,A正確；

9999

因為ln(lH—)=In----<一，則In—<1,In—<一，?,,,In—<一，以上各式相加有In10<1H---1-H—,

xXX1229929

B錯誤;

由ln(l+—)=In'+1<上得,xln(x+l)-xlnx-l<0,即xln(x+l)-(x-l)lnx-l<lnx,

xxx

于是ln2—l<lnl，21n3—ln2—1<ln2,31n4—21n3—l<ln3,…，91nl0—8ln9—l<ln9,

[Q9]Q

以上各式相加有91nl0—9<ln9!,即===(',<9!,c正確;

ee

111c°C1C91

由ln(l+—)〈一得，(l+-r<e,因此W+2++2=(i+±)9<e，

XXX9°91999

.*.C：n(n—l)(n—2)(“一女+1)

設(shè)女,〃eNT,左<”，-^-=---------------------<1,

nknk-k\

「k「k/~i009「°/~il09

則爭今所以（,>+仔）?++（獷<3+小+￥<e，D正確.

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點睛：由給定信息判斷命題的正確性問題，從給定的信息出發(fā)結(jié)合命題，對變量適當賦值，再綜合

利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識及方法是解決問題的關(guān)鍵.

第II卷（非選擇題）

三.填空題

13.以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是

勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為:，則該勒洛三角形/Ax

的面積是.//\\

【答案】與①

【分析】根據(jù)弧長公式求出三角形邊長，再根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式可得結(jié)果.

jr17C7E

【詳解】因為的長度為一，所以AB=1，S扇-xFx—=—,

3236

所以勒洛三角形的面積是3s用A”—2S,ABC=3x--2x-xlxJl-（-）2=2EZ2/I.

故答案為：得

14.已知函數(shù)/'（x）=2sinx+」一，XG（0,TI）,當x=a時，函數(shù)/（%）取得最小值，貝!Jcos2a=

smx

【答案】0

【分析】利用基本不等式取等條件可確定sina的取值，結(jié)合二倍角余弦公式可求得結(jié)果.

【詳解】當工￡（0,兀）時，sinxe（0,1］,

/（x）=2sinx+—-—>2A/2sinx---—=2收（當且僅當2sinx=」一,即sin%二二■時取等號），

sinxVsin%sinx2

匹I

sina=—,cos2cif=1-2sin2cif=1-2x—=0.

22

故答案為：0.

7

15.已知函數(shù)/（%）=以雙8-2）3>0）在區(qū)間（,2兀］上有且只有2個零點，則CD的取值范圍是_________.

66a）

【答案】）

36

兀兀

【分析】先求得力九——￡（兀,2口?！唬?根據(jù)題意，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.

66

7兀兀71

【詳解】由%￡（,2兀］,可得。X----G（71,2^71----］,其中①〉0,

6a）66

因為函數(shù)/（x）=cos（ox-3在區(qū)間（乂,2兀］上有且僅有2個零點，

66

兀5兀

2①71——>——

則滿足］6:,解得《40〈二，即實數(shù)0的取值范圍是［±,打）.

-71/713636

故答案為:

7U7U

16.已知偶函數(shù)/（%）的定義域為R,函數(shù)8（%）=51117%-<：051》+51117%-<：057工，且

log2(4x+2),xe[0,1)

/(%)=<g(x),xe[l,9),若在[T/V司上的圖象與直線y=2恰有602個公共點，則加的取

/(x-9),xe[9,+oo)

值范圍為.

【答案】一,9021

【分析】根據(jù)題意，分多個區(qū)間研究了（%）與直線）=2有幾個交點，利用了（%）在［-機上與直線y=2恰有

602個公共點，即可得出加的范圍.

【詳解】由題意得了（%）是定義域為R的偶函數(shù),

當xe［0,l）時，I〈log2（4x+2）<log26,

、t,「f廠1t兀/兀5兀?兀、71

當xw|l,5|時，一K—x—,sin—xcos-x

L」44444

.r-八\5兀719兀.7C7C

當x￡15,9）時r，—<—x<c—,sin—%Vcos-x

L744444

當xe[9,??）時，“力是周期為9的周期函數(shù).

因為"％）是定義域為R的偶函數(shù)，且"0）=1,

所以了（%）在［0,m\上的圖象與直線y=2恰有301個公共點.

"%）在［0,9）上的圖象如圖所示,

〃力在［0,9）上的圖象與直線y=2有3個公共點，

令log2（4%+2）=2,得x=g,

令2后sin［：x_：］=2,得x=2或4.

所以這3個公共點的橫坐標依次為2,4.

因為301=3x100+1,

所以工+lOOx9Km<2+100x9,即更見<m<902.

22

故答案為：一,9021

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)圖像交點個數(shù)求參數(shù)，考查三角函數(shù)的二倍角公式、兩角差的正弦公式、

輔助角公式、函數(shù)的周期性，考查了計算能力和函數(shù)思想，屬于中檔題.

四、解答題

17.在A3。中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,—ABC的面積為S,已知從+

（1）求角A；

（2）若a=2,求標-c的取值范圍.

兀

【答案】（1）A=—

6

⑵（-2,4]

【分析】（1）已知等式由余弦定理和面積公式代入變形可得求角人

⑵利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求回-c=4sinC+三，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可

求解取值范圍.

【小問1詳解】

已知尸+。2一標=465，由余弦定理和三角形的面積公式,

得2bccosA=4百?g^csinA,即cosA=6sinA，

若cosA=0,則sinA=O,不符合題意，故cosAwO,

所以tanA=3,由AG(O,TI),得人=工.

36

【小問2詳解】

a=2,A=—,B+C=n—A=—,

66

b_c_a_2

由正弦定理sin_BsinCsinAsi.n?！?/p>

6

y/3b-c=4^/3sinJB-4sinC=4^A/3sinB-sin=4Qsin--C-sinC

=46—cosC+^-sinC-sinC=4|—cosC+-sinC=4sin(c+四],

[122J[22JI3j

由則C+fe/，/]，得sin[c+m]e]一gl

所以4sinC+三e（—2,4],即、&—c的取值范圍（一2,4].

18.已知3c的內(nèi)角A3,C所對的邊分別為a,b,c,a=3,b+6cosB=2c.

（1）求A；

（2）M為，A5C內(nèi)一點，AM的延長線交3c于點￡>,,求ABC的面積.

請在下列兩個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，并解決問題.

①一A3C的三個頂點都在以M為圓心的圓上，且MD=@；

2

②LABC的三條邊都與以M為圓心的圓相切，且AD=空.

2

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分.

71

【答案】（1）-

3

⑵正

4

【分析】（1）根據(jù)已知等式結(jié)合正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換，即可得角A的大??；

（2）選擇條件①，利用三角形的外心為根據(jù)正弦定理、余弦定理可得為等邊三角形，再利用面積

2bc

公式可得」43c的面積；選擇條件②，利用三角形的內(nèi)心為利用等面積法求得b+c=——，再根據(jù)余弦

3

定理得A=9,即可求得一45c的面積.

【小問1詳解】

在，ABC中，因為。=6,所以Z?+2acos5=2c,

由正弦定理，得sinB+2sinAcosB=2sinC，

因為A+3+C=7i,所以sinB+2sinAcos5=2sin（A+5）,

化簡，得cosA=；,因為AG（O,TI）,所以A

【小問2詳解】

選條件①：

設(shè)」43。的外接圓半徑為R,

則在.43。中，由正弦定理得2R=——=2石，即尺=百，

sinA

由題意知：BM=CM=&BC=3,

f3+3-91

由余弦定理知：cosZBMC=-----『~]==-->

2xj3x,32

2冗7T

所以=—，/MBD=—.

36

在/BDAf中，由正弦定理知：smZBDM=^^sin^MBD=1,

MD

71

所以ZBDM=—,

2

從而所以ABC為等邊三角形,

的面積5=』'32、且=述.

224

選條件②:

]兀

由條件知：ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-,

26

由S極=5由+S皿得*S嗚=]?心嗚+*心i哈

中小4n3A/3由[、[3y/317\日口入?_2bc

因為AD=---，所以—be=----X—(Z?+c)，即b+c=---,

2222V73

由(1)可得〃+02—9=/^,即S+c)2—3bc=9,

所以[g]-3bc-9=0,4(Z?c)2-21be-81=0-即(4Z?c+9)(Z?c—9)=0,

又因為Z?c>0,所以bc=9,

所以一ABC的面積S=’Asin?=Lx9x1=WI.

23224

19.已知函數(shù)/(x)=2^sin2[x+j+2sin2x--1.

(1)求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間;

3「兀-1

(2)方程y(x)=—在o,-上的兩解分別為不、%2，求cos(玉一%)的值.

2L，」

【答案】(1)——+kn^—+kn(%wZ)

_63J

⑵』

4

【分析】(1)化簡了(%)解析式，利用整體代入法求得了(%)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)根據(jù)三角恒等變換的知識，先求得cos(2%—2々)，然后求得cos(再一9)的值?

【小問1詳解】

/(x)=2Gsin?(%+：]+2sin2x一6一1

=A/32sin2fx+1-1-cos2x=-V3cosf2%+1-cos2x

=Gsin2%-cos2x=2sin(2x--^1,

J[7[7C

由——+2E<2x——<-+2kn,

262

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為：一巳+左6^+而(&eZ).

【小問2詳解】

、r八兀S兀兀5兀

設(shè)M<電,?,x￡0,一,貝！)2x---€---,—

122666

7171兀5兀

由于正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,

6226

由"x)=2sin12xq5,得sin="

3「兀一

因為方程/(%)二—在0,-上的兩解分別為石、/，

2L，」

1+cos2%

由cos(2%-2%)=2cos2(%一馬)—1，可得cos(玉_々)=l(^i-2)=|

【點睛】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求sin。,cos。,tana,一定要注意判斷a的范圍，根據(jù)a的范圍來確

定sina,cosa,tana的符號，這一步容易忽略.同樣，在用二倍角公式來求單倍角時，也要注意角的范圍.

20.已知/(x)="—以2,曲線＞=/(尤)在(1,/⑴)處的切線方程為丁=加:+1.

(1)求a1的值；

(2)求〃*)在［0,1］上的最大值;

(3)當xeH時，判斷y=/(x)與，=9+1交點的個數(shù).(只需寫出結(jié)論，不要求證明)

【答案】(1)a=l,0=e—2；(2)/(x)max=f(l)=e-l;(3)見解析

【詳解】試題分析：⑴求出〃%)的導(dǎo)數(shù)，計算/'⑴，/(1),求出。，〃的值即可；⑵求出“力的導(dǎo)

數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到了(%)在［0,1］遞增，從而求出了(%)的最大值；(3)根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀

可得>=/(九)與丁=公+1有兩個交點.

試題解析：⑴f'［x)=ex-2ax,由已知可得/=2a=b,f(l^=e-a=b+l,解之得

a=l,b=e-2.

(2)令g(x)=/'(x)=e*—2x.則g'(x)=e*—2,

故當0Wx<ln2時，g'(x)<0,g(%)在［0,ln2)單調(diào)遞減;

當ln2<xWl時，g'(x)>0,g(x)在(In2,l］單調(diào)遞增；

所以g(x)1nhi=g(比2)=2—21n2>。,

故/。)在［0』單調(diào)遞增,所以“X)1mx=/(l)=e—1.

⑶當xeH時，y=/(九)與y=bx+l有兩個交點.

21.如圖，C,￡>是兩個小區(qū)所在地，C,￡>到一條公路AB的垂直距離分別為C4=lkm,DB=2km,A8兩端之

間的距離為6km.

DD

HPBAQD

(1)某移動公司將在AB之間找一點P,在P處建造一個信號塔，使得P對A,C的張角與P對8,D的張角

相等(即NCR4=NDP8),試求PC+PD的值；

(2)環(huán)保部門將在AB之間找一點。，在。處建造一個垃圾處理廠，使得。對C,。所張角最大，試求Q8的

長度.

【答案】(1)PC+PD=3亞

(2)的長度為12-J派m

I2

【分析】(1)設(shè)K4=尤，ZCPA=a,NDPB=/?,利用三角函數(shù)的定義可求tano=—,tan/=——，

x6-x

由題意可得工=二一，解得X的值即可求解.

x6-x

1?

(2)設(shè)AQ=x,ZCQA=a,NDQ/B=〃，利用三角函數(shù)的定義得tan。=—,tan/?=----，利用兩角

x6-x

%+6tanZCQD

和的正切公式可求tanZCQD=,—，令『=%+6,可得6<f<12,可得=-741O，

x--6x+2t+——18

t

進而根據(jù)題意利用雙勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)B4=x,ZCPA=a,NDPB=0,

12

依題意有tan。,tan/=----,

x6-x

12

由tana=tan/?,得一二----,解得％=2,

x6-x

從而PC=JAC2+AP2=&+*=行，PD=ylPB^BD1=A/42+22=275，

故PC+尸。=岔+275=3A/5.

【小問2詳解】

設(shè)AQ=x,ACQA-cc,ZJDQB—/3,

12

依題意有tanor=—,tan/=----,

x6-x

所以tanZCQD=tan[?—(0+4)]

=-tan(o+/?)

12

—+----

_x6-x

_112

1--.----

x6-x

x+6

%?